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广东省龙山中学2010-2011学年高二4月月考试题数学(理)

广东省龙山中学 2010-2011 学年高二 4 月月考试题数学(理)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只 有一项是符合题目要求的)
1.设 A ? ?(x, y) y ? ?4x ? 6?, B ? ?(x, y) y ? 3x ?8? ,则 A B ?
A.? ( 2?, ?1) B? . (?2 ,? 2 ) C? ?. ?( 3 , 1)D? ? ?. ( 4 , 2 ) .

2. “ a ? 0 ”是“复数 a ? bi (a,b ? R) 是纯虚数”的

A .必要不充分条件

B .充分不必要条件

C .充要条件

D .不充分不必要条件

?→

?

→?

3. 设向量 a 与 b 的夹角为? , a =(2,1),3 b + a =(5,4),则 cos? =

4

1

10

3 10

A. 5

B. 3

C . 10

D . 10

4. 如右图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正三角形,俯视图是一个圆, 那么几何体的侧面积为

( A)

1? 2

(B) .

2? 2

(C ) .

2? 4

? (D) . 4

?a
f (a) ? sin xdx,

f [ f (? )]

5. 已知函数

0



2=

( A) .1 (B) .1? cos1 (C ) . 0 (D) . cos1?1

6. 在等差数列中,若是 a2 ? 4a7 ? a12 ? 96 ,则 2a3 ? a15 等于 ( A) .12 (B) . 96 (C ) 24 (D) . 48

7. 在实数集上定义运算 ? :x ? y ? x(1? y) ,若不等式 (x ? a) ? (x ? a) ? 1 对任意实
a 数 x 都成立, 则实数 的取值范围是

( A) . ??1,1?

(B) . ?0,2?

(C

)

(?

1 2

,3 2

)

(D)

(? 3 ,1 ) 22

?x ? 0

?? y ? 0 ??x ? y ? s

下,当3 ? s ? 5

8. 在约束条件 ?? y ? 2x ? 4

时,目标函数 z ? 3x ? 2y 的最大值的变化范围是

( A) .[6,15] (B) .[7,15] (C ) [6,8] (D) .[7,8]

二.填空题(每小题 5 分,共 30 分)

9. 抛物线 x2 ? 4ay (a ? 0) 的焦点到其准线的距离为

.

10. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频

率分布直方图(如下图)。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这

10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在[2500,3000) (元)/月 收入

段应抽出

人.

11. 右面框图表示的程序所输出 的结果是 _______ .

频率/组距 0.0005

0.0004

0.0003

0.0002

0.0001

月收入(元) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

?a x (x ? 0),

f (x) ? ?

12 .已知函数

?(a ? 3)x ? 4a(x ? 0) 满足对任意

x1

?

x2 ,都有

f

(x1 ) ? x1 ?

f (x2 ) x2

?

0 成立,则 a 的取值范围是

.

13. 用1, 4,5, x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为 288 ,则 x =

14.如图, PC 切⊙ O 于点 C ,割线 PAB 经过圆心 O ,弦 CD ⊥ AB C

于点 E , PC ? 4 , PB ? 8,则 CD ? _______.

B

OE

A

P

D

三.解答题(请写出必要的解题步骤) 15. (本题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? ?1? 2 3 sin x cos x ? 2 cos2 x
(Ⅰ)求函数 f ?x? 的最小正周期;
(Ⅱ)求函数 f ?x? 的单调减区间.

16. (本题满分 12 分)
2 甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试,已知甲能通过测试的概率是 5 ,甲、乙、

3

3

丙三人都能通过测试的概率是 20 ,甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是 40 ,且乙通

过测试的概率比丙大. (Ⅰ)求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少;

(Ⅱ)求测试结束后通过的人数? 的数学期望 E? .

17.(本题满分 14 分)
如图,已知矩形 ABCD中,AB ? 10 ,BC ? 6 ,将矩形沿对角线 BD把 ?ABD折起,使 A

移到 A1 点,且 A1 在平面 BCD上的射影 O 恰好在 CD 上.
A1

(Ⅰ)求证: BC ? A1D ;

学§科§

(Ⅱ)求证:平面 A1BC ? 平面 A1BD ; (Ⅲ)求三棱锥 A1 ? BCD 的体积.

D

C

O

18.(本题满分 14 分)

A

B

已知圆 C 方程为: x2 ? y2 ? 4 .

(Ⅰ)直线 l 过点 P ?1, 2? ,且与圆 C 交于 A、B 两点,若| AB |? 2 3 ,求直线 l 的方程;
x y (Ⅱ)过圆 C 上一动点 M 作平行于 轴的直线 m ,设 m 与 轴的交点为 N ,若向量

OQ ? OM ? ON , 求动点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.

19. (本题满分 14 分)

设 函 数 f ? x? 的 定 义 域 为 R , 当 x ? 0 时 f ?x? ? 1 , 且 对 任 意 的 实 数 x, y ? R , 有 f ? x? y? ? f? ?x ?f ?y

(Ⅰ)求 f ?0? ,判断并证明函数 f ? x? 的单调性;

(Ⅱ)数列?an? 满足 a1 ?

f ?0? ,且 f (an?1 ) ?

1

(n ? N * )

f (?2 ? an )

①求?an? 通项公式。

1 ②当 a ?1 时,不等式 an?1

?1 an?2

? ... ? 1 a2n

?

12 35

(log

a ?1

x

?

log

a

x ? 1) 对不小于 2

的正整数恒成立,求 x 的取值范围。

20. (本题满分 14 分)
已知 f ?x? ? x3 ? bx2 ? cx ? d 在 ?? ?,0]上是增函数,在[0,2]上是减函数,且 f ?x? ? 0 有
三个根?,2, ? ?? ? 2 ? ? ?。
(Ⅰ)求 c 的值,并求出 b 和 d 的取值范围; (Ⅱ)求证 f (1) ? 2 ; (Ⅲ)求| ? ?? | 的取值范围,并写出当| ? ?? | 取最小值时的 f (x) 的解析式.

广东省龙山中学 2010-2011 学年高二 4 月月考试题数学(理) 参考答案

17. 解(Ⅰ)设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是 x 、 y 依题意得:

?2 ?? 5

xy

?

3 20

,

?? 3 ?? 5

(1

?

x)(1 ?

y)

?

3 40

,



??? x ?

? ??

y

? ?

3 4 1 2

, .



? ??

x

?

? ??

y

? ?

1 2 3 4

, .

(舍去)┅┅┅┅┅┅┅4



31 所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是 4 、 2 .

┅┅┅┅┅┅┅6 分

P (? ? 0) ? 3

(Ⅱ)因为

40

P(? ? 3) ? 3 20

P(? ? 1) ? 2 (1? 3)(1? 1) ? (1? 2) 3 (1? 1) ? (1? 2)(1? 3) 1 ? 7

54 2

54 2

5 4 2 20

P

(?

?

2)

? 1? (P0

?

P1

?

P3 )

?

17 40

所以

E?

=

0?

3 40

?1?

7 20

?

2?

17 40

?

3?

3 20

?

33 20

┅┅┅┅┅┅┅12 分

18. 证明:(Ⅰ)∵ A1 在平面 BCD 上的射影 O 在 CD 上, ∴ A1O ⊥平面 BCD ,又 BC ? 平面 BCD ∴ BC ? A1O ………………………………………………………2 分

19. 解(Ⅰ)①当直线 l 垂直于 x 轴时,则此时直线方程为 x ? 1,
? ? ? ? l 与圆的两个交点坐标为 1, 3 和 1,? 3 ,其距离为 2 3 满足题意 ………1 分
②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y ? 2 ? k?x ?1?,即 kx ? y ? k ? 2 ? 0

设圆心到此直线的距离为 d ,则 2 3 ? 2 4 ? d 2 ,得 d ? 1 …………3 分

1


?

|

?k ? 2 | k2 ?1



k

?

3 4

,故所求直线 方程为 3x

?

4y

?5

?

0

综上所述,所求直线为 3x ? 4y ? 5 ? 0 或 x ? 1 …………7 分
(Ⅱ)设点 M 的坐标为 ?x0 , y0 ? ( y0 ? 0 ), Q 点坐标为 ?x, y?

则 N 点坐标是 ?0, y0 ?

…………9 分

∵ OQ ? OM ? ON ,

∴ ? x, y? ? ? x0, 2y0 ?

即 x0 ? x ,

y0

?

y 2

…………11 分

又∵

x

2 0

?

y

2 0

?

4 ,∴ x2

?

y2 4

?

4( y

?

0)

∴Q

点的轨迹方程是

x2 4

?

y2 16

? 1( y

?

0)



轨迹是一个焦点在 x 轴上的椭圆,除去短轴端点。

…………13 分 …………14 分

bn


?

1 an?1

?

1 an?2

? ... ?

1 a2n

, 则bn?1

?

1 an?2

?

1 an?3

? ... ?

1 a2n?2

bn ?1

? bn

?

1 a2n?1

?

1 a2n?2

?

1 an?1

?

1? 4n ?1

1? 4n ? 3

1 2n ?1

?

(4n

1 ? 1)(4n ?

3)(2n

? 1)

?

0,{bn }
是递增数列………………11



当 n≥2 时,

(bn ) min

? b2

?

1 a3

?

1 a4

?

1? 5

1 7

? 12 35

? 12 35

?

12 35

(log a?1

x

?

log a

x

? 1)

……………………………12



即 log a?1 x ? log a x ? 1 ? 1 ? log a?1 x ? log a x
而 a>1,∴x>1 故 x 的取值范围(1,+∞)……………………………14 分

(2) f (1) ? 1? b ? d

f (2) ? 0 ………………5 分

?d ? ?8 ? 46且b ? ?3

? f (1) ? 1? b ? 8 ? 46

? ?7 ? 3b

………………6 分

? 2 ………………………………8 分

(3) f (x) ? 0有三根?,2,?

? f (x) ? (x ?? )(x ? 2)(x ? ? ) ? x3 ? (? ? ? ? 2) x2 ? 2??

?

??? ? ?????

? ?

?2 ?d
2

?

?b

………………………………10 分

?| ? ?? |2 ? (? ? ? )2 ? 4??

? (b ? 2)2 ? 2d

? b2 ? 4b ? 4 ?16 ? 8b

? b2 ? 4b ?12

? (b ? 2)2 ?16

又 b ? ?3

?| ? ?? |? 3

当且仅当b=-3时取最小值,此时d=4 ………………12 分

? f (x) ? x3 ? 3x2 ? 4 ·………………………………………………14 分