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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-2教案:第4章 拓展资料:用定积分求面积的两个常用公式

用定积分求面积的两个常用公式

求平面图形围成的面积是定积分重要应用之一,下面介绍求面积的两个常用公式及其应 用. 一、两个常用公式 公式一:由连续曲线 y=f(x),直线 x=a,x=b 与 y=0 所围成的曲边梯形的面积 A 为 A=

?

b

a

| f ( x) | dx .

特别地,⑴当 f(x)≥0 时(如图 1),A= ⑵当 f(x)≤0 时(如图 2),A=-

?

b

a

f ( x)dx ;

?

b

a

f ( x)dx ;

⑶当 f(x)有正有负时(如图 3),A=

?

c

a

f ( x)dx - ? f ( x)dx .
c

b

y

y

y ? f ( x)

y

a

b

o o
a
图1
b

x
a

c

o

b

x
y ? f ( x)

x

y ? f ( x)

图2

y

图3
y ? f ( x)

公式二:由连续曲线 y=f(x),y=g(x),f(x)≥g(x) 及直线 x=a,x=b 所围成的图形(如图 4)的面积 A 为 A=

? [ f ( x) ? g ( x)]dx .
a

b

二、应用举例 例 1 由 y=x ,x=0,x=2,y=0 围成的图形 面积. 分析:先画出图象,利用公式 1 转化为定积分问 题即可解决. 解:⑴如图 1,由公式 1,得 S=
3

a
图4

o
y ? g ( x) y

b

x

?

2

0

1 1 1 2 ? ? 24 ? ? 04 ? 4 . x dx = x 4 |0 4 4 4
3

o

2

x

评注: 注意定积分与利用定积分计算曲线围成图形的

图1

-1-

面积区别.定积分是一种积分和的极限,可为正,也可为负或零,而平面图形的面积在一般 意义上总为正.一般情况下,借助定积分分别求出每一部分曲边梯形的面积,然后将它们加 在一起. 例 2 ⑴由曲线 y=x ,y =x 所围成图形的面积. ⑵由 y=
2 2

1 2 1 3 x -1,y= x,y= x 在第一象限所围成图形的面积. 4 2 4

分析:先画图象找出范围,利用公式 2,用积分表示,再求积分. 解:⑴ 如图 2,所求面积为阴影部分.

? y2 ? x ? 解方程组 ? ,得交点(0,0),(1,1),由公式 2,得 2 ? ?y ? x
S=

2 3 x3 1 2 1 1 2 2 ( x ? ) |0 ? ? ? . = ( x ? x ) dx ?0 3 3 3 3 3
1

1 1 ? ? y ? x2 ?1 ? y ? x2 ?1 ? ? ? 4 4 ⑵如图 3,解方程组 ? 和? , 1 3 ?y ? x ?y ? x ? ? ? 2 ? 4
得 x=0,x=1+ 5 (负的舍去),x=4. 由公式 2,得图形面积 S=

?

1? 5

0

4 3 1 1 1 ( x ? )dx + ? [( x 2 ? 1) ? x]dx 1 ? 5 4 2 4 2

?

21 ? 5 5 . 6
y y
y?
y? 1 2 x ?1 4

3 x 4 y?

1 x 2

o
图2

1

x

o
图3

1? 5 4

x

-2-