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平面向量的加减运算


张家港市二职中

曹文华

课题:平面向量的加减运算
重点:向量加法的三角形法则与平行四边形法则。 难点:向量加法的运算法则,向量减法运算。 学习要求:1、理解向量加法的意义,会用三角形法则和平行四边形法作两个向量的和; 2、理解向量减法的意义,能作出两个向量的差; 3、掌握向量加法的交换律和结合律,并用它进行向量计算。 [教学过程] 教学方法 时间 一:复习旧课: 1、什么叫向量? 既有大小,又有方向的量叫做向量。 回顾旧知 5’ 2、什么叫相等向量? 方向相同,长度相等的两个向量叫做相等向量。 3、什么叫平行向量? 方向相同或相反的两个非零向量,叫做平行向量,平行向量也叫共线向 量。 二、新课内容: (1)引入 ①某人从 A 到 B,再从 B 按原方向到 C,则两次的位移和: + = 教学内容

A B
提出课题 5’ + = C

C

②若上题改为从 A 到 B,再从 B 按反方向到 C,则两次的位移和:

A

B

③若上题再改为从 A 到 B,再从 B 改变方向到 C,则两次的位移 和: + =

1

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C

A

B

上述①②③三个小题,说明向量共线、不共线时都可依据向量的运 算法则求“和” 。 (2)向量加法的三角形法则: C

A 三角形法则如图,已知非零向量 = 、 + = = ,则向量 + =

B 、 与 在平面内任取一点 A,作 的和。记作 + 。

叫做

即:

这种规定两个向量加法的法则叫做三角形法则。 可以看出向量加法的规律: 重点讲授 强化新知 20’ 当被加向量与加向量首尾相接时, 它们的和等于被加向量的起点到 加向量的终点形成的向量,即, + = 。

注:尾首相连,首尾连 (3)向量加法的平行四边形法则: 课本“例题解析” :ABCD 是平行四边形,求作 解:因为 A +



=

,所以

+

= D

+

=

B

C 和 ,它们是

生活实例:作用在同一物体上的不共线的两个力 怎样合成的?

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以 与

、 为邻边作□ACBD, 则与 = +



共起点的对角线就是

的合力,即

D C

A

B 力的合成等同于向量的加法。 说明向量的加法可以按照平行四边形 法则来进行。 平行四边形法则:以同一点 A 为起点的两个已知向量 邻边作□ACBD,则以 A 为起点的对角线 就是 与 、 为

的和,这

种作两 个向量的和的 方法叫做 向量加法的平行四边形 法则,即 : = + 。

法则特点:两个已知向量的起点相同,以公共起点为起点的对角线 所对应向量就是和向量。 课堂练习 10’ 课本 P89 第 1、2 题 (4)向量的运算律: ①a+b=b+a ②a+0=0+a=a ③(a+b)+c=a+(b+c) 图形探索: B 突破难点 10’ O A C C D

A

? ? ? ? a?b ? b?a

? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? (b ? c).

B

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(5)向量的减法: 向量 a 加上 b 的相反向量,叫做 a 与 b 的差, 即 a-b=a+(-b) 。求两个向量的差的运算叫做向量的减法。 1、向量减法的定义: OA - OB = OA +(- OB ) = OA + BO = BO + OA = BA B 突破难点 20’ O 推导表明: OA - OB 可以表示为从向量 OB 的终点指向向量 OA 的终点 的向量 OA - OB = BA 注:起点相同,由减向量的终点指向被减向量的终点。 2、例题解析,课本 P89 课本 P89 第 3、4 题 习题册:第一、二题 三、小结: 1、三角形法则:特点:首尾相接。适用于任意向量的加法。 课堂练习 小结 10’ 2、平行四边形法则:特点:起点相同。适用于不共线向量的加法。 3、向量的加法满足: (1)交换律: + = + = +( + ) A

(2)结合律: ( + )+

4、向量的减法:起点相同,由减向量的终点指向被减向量的终点。 [课后作业] 习题册:P41

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1.若 a 是任一非零向量, b 是单位向量,下列各式①| a |>| b |;② a ∥ b ; >0;④| b |=±1;⑤

③| a |

a a

= b ,其中正确的有(



A.①④⑤

B.③

C.①②③⑤

D.②③⑤ )

2.四边形 ABCD 中,若向量 AB 与 CD 是共线向量,则四边形 ABCD( A.是平行四边形 C.是平行四边形或梯形 B.是梯形

D.不是平行四边形,也不是梯形 )

3.把平面上所有单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是( A.一条线段 B.一个圆面 C.圆上的一群弧立点 D.一个圆 )

4.若 a , b 是两个不平行的非零向量,并且 a ∥ c , b ∥ c ,则向量 c 等于( A. 0 B. a C. b D. c 不存在 )

5.向量( AB + MB )+( BO + BC )+ OM 化简后等于( A. BC B. AB C. AC

D. AM ) D.以上都不对

6. a 、 b 为非零向量,且| a + b |=| a |+| b |则( A. a ∥ b 且 a 、 b 方向相同 B. a = b

C. a =- b ) D. AE )

7.化简( AB - CD )+( BE - DE )的结果是( A. CA B. 0 C. AC

8.在四边形 ABCD 中, AC = AB + AD ,则( A.ABCD 是矩形 B.ABCD 是菱形

C.ABCD 是正方形 D.ABCD 是平行四边形 )

9.已知正方形 ABCD 的边长为 1, AB = a , AC = c , BC = b ,则| a + b + c |为(

5

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A.0

B.3

C. )

2

D.2 2

10.下列四式不能化简为 AD 的是( A. ( AB + CD )+ BC C. MB + AD - BM

B. ( AD + MB )+( BC + CM ) D. OC - OA + CD )

11.设 b 是 a 的相反向量,则下列说法错误的是( A. a 与 b 的长度必相等 B. a ∥ b

C. a 与 b 一定不相等 D. a 是 b 的相反向量 )

12.如果两非零向量 a 、 b 满足:| a |>| b |,那么 a 与 b 反向,则( A.| a + b |=| a |-| b | C.| a - b |=| b |-| a | 13.下列说法中正确的是 ( )

B.| a - b |=| a |-| b | D.| a + b |=| a |+| b |

A. a 与 b 的和 a ? b 与 a 同向、长度等于 a 与 b 的长度之和 B. a 与 b 的差 a ? b 与 a 同向、长度等于 a 与 b 的长度之差 C.当 a 与 b 同向时, a ? b 与 a 同向、长度等于 a 与 b 长度之和 D.当 a 与 b 反向时, a ? b 与 a 同向、长度等于 a 与 b 的长度之差 14.已知四边形 ABCD 是平行四边形,那么下列等式中恒成立的是 A. AC ? DC ? BC C. AC ? CB ? BA 二、判断题 1.向量 AB 与 BA 是两平行向量. ( ) ) ( )

?

?

? ?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

??? ?

???? ??? ?

B. AC ? DC ? AD D. AC ? AB ? AD

??? ?

???? ???? ??? ? ????

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

2.若 a 是单位向量, b 也是单位向量,则 a = b . (
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3.长度为 1 且方向向东的向量是单位向量,长度为 1 而方向为北偏东 30°的向量就不是单位向 量. ( ) ) ) ) )

4.与任一向量都平行的向量为 0 向量. (

5.若 AB = DC ,则 A、B、C、D 四点构成平行四边形. (

6.设 O 是正三角形 ABC 的中心,则向量 AB 的长度是 OA 长度的 3 倍. (

7.在坐标平面上,以坐标原点 O 为起点的单位向量的终点 P 的轨迹是单位圆. ( 8.凡模相等且平行的两向量均相等. ( 二、填空题 1.已知四边形 ABCD 中, AB = )

1 DC ,且| AD |=| BC |,则四边形 ABCD 的形状是 2
. . .



2.已知 AB = a , BC = b , CD = c , DE = d , AE = e ,则 a + b + c + d = 3.已知向量 a 、 b 的模分别为 3,4,则| a - b |的取值范围为 4.已知| OA |=4,| OB |=8,∠AOB=60°,则| AB |= 5 . a = “向东走 4km ” , b = “向南走 3km ” , 则| a + b | = .
D

C O

6.已知四边形 ABCD 是平行四边形,则 (1) AB ? BC =______; (2) AB ? AD =______; (3) DA ? BA =______; (4) AO ? DO =______;

??? ? ??? ?
??? ? ??? ?

??? ? ????

A

B

???? ????

??? ? ??? ? ???? ???? (5) AB ? BC =_____; (6) DC ? OD =_____;
7.如图,在六边形 ABCDEF 中,有
F

E

D

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (1) AB ? BC =______; (2) AB ? BC ? CD =______; ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (3) AB ? BC ? CD ? DE ? EF ? AF =______;
7

C A B

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四、解答题 三、根据下列所给向量 a 、 b ,作出 a ? b 、 a ? b : 1、 2、

?

?

? ?

? ?

3、

4、

3.已知 OA = a , OB = b ,且| a |=| b |=4,∠AOB=60°, ①求| a + b |,| a - b | ②求 a + b 与 a 的夹角, a - b 与 a 的夹角.

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