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湖北省黄冈中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含解析


湖北省黄冈中学 2015 年春季高二年级期末考试数学试题(理科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,总分 150 分,考试时间 120 分钟. 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1、若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i 是虚数单位,b 是实数),则 b=( )

A.-2

B.

C.

D.2

2、如果命题“p 且 q”是假命题,“非 p”是真命题,那么( ) A.命题 p 一定是真命题 B.命题 q 一定是真命题 C.命题 q 可以是真命题也可以是假命题 D.命题 q 一定是假命题

3、若 A.2 C.4

则 a 的值是( ) B.3 D.6

4、曲线 y=-5e +3 在点(0,-2)处的切线方程为( ) A.5x+y+2=0 C.y=5x+2 B.y=5x-2 D.5x-y+2=0

x

5、函数 y=(3-x )e 的单调递增区间是( ) A.(-∞,0) C.(-∞,-3)和(1,+∞) B.(0,+∞) D.(-3,1)

2

x

6、已知点 A(4,1,3),B(2,-5,1),C 为线段 AB 上一点且 为( )

,则点 C 的坐标

A.

B.

C.

D.

7、若 A.

在(1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是( ) D.(-∞,-1)

8、已知方程 ax +by =ab 和 ax+by+c=0(其中 ab≠0,a≠b,c>0),它们所表示的曲线 可能是( )

2

2

9、设斜率为

的直线 l 与椭圆

交于不同的两点,且这两个交点在 x

轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为( )

A.

B.

C.

D.

10、点 P 是双曲线

左支上的一点,其右焦点为 F(c,0),若 M 为

线段 FP 的中点,且 M 到坐标原点的距离为

,则双曲线的离心率 e 的取值范围是( )

A.

B.

C.(1,+∞)

D.

11、直线 4kx-4y-k=0 与抛物线 y =x 交于 A,B 两点,若|AB|=4,则弦 AB 的中点到直线

2

的距离等于( ) A.2 B.4

C.

D.

12、给出下列命题:

①若函数 f(x)的导函数为 f′(x),则 f(x)在定义域内为增函数的充要条件是对于 x∈ D,f′(x)>0 恒成立;

②对于空间向量



,且 // ,则



③对于空间向量



,且 与 夹角的余弦值为

,则



④若命题“

使得

”为假命题,则实数 m 的取值范围是.

其中真命题的序号是( ) A.①②④ C.③④ B.②③ D.②④

第Ⅱ卷

非选择题

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13、设 F(1,0),M 点在 x 轴上,P 点在 y 轴上,且 上运动时,点 N 的轨迹方程为__________.

,当点 P 在 y 轴

14、观察下列等式:

?? 则当 m<n 且 m,n∈N 时,

(最后结果用 m,n 表 示).

15、(甲)【平面几何选讲】如图,AB,CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中

点 P,

,∠OAP=30°,则 CP 的长为__________.

(乙)【极坐标与参数方程】已知直线的参数方程为: 极坐标方程为 ,那么,直线 l 与圆 C 的位置关系是__________.

,圆 C 的

(丙)【不等式选讲】若 小关系为__________.

,则 P,Q 的大

16、(甲)【平面几何选讲】如图,AD,AE,BC 分别与圆 O 切于点 D,E,F,延长 AF 与圆 O 交于另一点 G.给出下列三个结论:①AD+AE=AB+BC+CA;②AF·AG=AD·AE;③△AFB∽ △ADG. 其中正确结论的序号是__________.

(乙)【极坐标与参数方程】⊙O1 的极坐标方程为ρ =4cosθ ,⊙O2 的参数方程为

,则⊙O1 与⊙O2 公共弦的长度为__________.

(丙)【不等式选讲】已知函数 __________.

,则不等式 f(x)≥x 的解集为

2

三、解答题(本大题共 6 小题,70 分) 17、(本小题满分 12 分)已知 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两相等实根,且 f′ (x)=2x+2. (1)求 f(x)的解析式. (2)求函数 y=f(x)与函数 y=-x -4x+1 所围成的图形的面积.
2

18、(本小题满分 12 分)设命题 p:实数 x 满足 x -4ax+3a <0,其中 a>0,命题 q:实数

2

2

x 满足

. q 为真,求实数 x 的取值范围;

(1)若 a=1,且 p (2) p是

q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

19、(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=lnx-a x +ax(x∈R). (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,求实数 a 的取值范围.

2 2

20、(本小题满分 12 分)在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=

BC,∠ABC=60°,N 是 BC

的中点,将梯形 ABCD 绕 AB 旋转 90°,得到梯形 ABC′D′(如图). (1)求证:AC⊥平面 ABC′; (2)求证:C′N∥平面 ADD′; (3)求二面角 A-C′N-C 的余弦值.

21、(本小题满分 12 分)如图,已知圆 G:

经过椭圆

的右焦点 F 及上顶点 B,过圆外一点(m,0)(m>a)倾斜角为 直线 l 交椭圆于 C,D 两点, (1)求椭圆的方程; (2)若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的外部,求 m 的取值范围.



四、选考题(本小题满分 10 分)

22、【平面几何选讲】 如图所示,在四边形 ABCP 中,线段 AP 与 BC 的延长线交于点 D,已知 AB=AC 且 A,B,C, P 四点共圆.

(1)求证:

;(2)若 AC=4,求 AP·AD 的值.

23、【极坐标与参数方程】在极坐标系下,已知圆 O:

和直线 l:

, (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标.

24、【不等式选讲】已知函数 f(x)=|x+1|+|x-3|. (1)解不等式 f(x)≤3x+4; (2)若不等式 f(x)≥m 的解集为 R,设求实数 m 的取值范围.

答案解析: 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,总分 150 分,考试时间 120 分钟. 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1、若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i 是虚数单位,b 是实数),则 b=( )

A.-2

B.

C. 1、D 解析:

D.2

为纯虚数,则



2、如果命题“p 且 q”是假命题,“非 p”是真命题,那么( ) A.命题 p 一定是真命题

B.命题 q 一定是真命题 C.命题 q 可以是真命题也可以是假命题 D.命题 q 一定是假命题 2、C 解析:“非 p”是真命题,则 p 为假命题,命题 q 可以是真命题也可以是假命题.

3、若 A.2 C.4 3、A

则 a 的值是( ) B.3 D.6



4、曲线 y=-5e +3 在点(0,-2)处的切线方程为( ) A.5x+y+2=0 C.y=5x+2 4、A 解析:曲线 y=-5e +3 在点(0,-2)处的切线斜率为-5,所以切线方程为 y=-5x-2.
x

x

B.y=5x-2 D.5x-y+2=0

5、函数 y=(3-x )e 的单调递增区间是( ) A.(-∞,0) C.(-∞,-3)和(1,+∞) 5、D B.(0,+∞) D.(-3,1)

2

x

解析:y′=-2xe +(3-x )e =(-2x+3-x )e >0,∴2x-3+x <0,∴x∈(-3,1).

x

2

x

2

x

2

6、已知点 A(4,1,3),B(2,-5,1),C 为线段 AB 上一点且 为( )

,则点 C 的坐标

A.

B.

C. 6、A

D.

解析:

,设 C 点坐标为(x,y,z),则





7、若 A. 7、C

在(1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是( ) D.(-∞,-1)

解析: 其中真命题的序号是( ) A.①②④ C.③④ 12、D

在.

B.②③ D.②④

解析:①f′(x)在少数点可以为 0;②对于空间向量 于 ,则 ;③对于空间向量

, ,

,且 平行 ,且 与

夹角的余弦值为

,则 ”为假命题,则

;④若命题“

使得



第Ⅱ卷

非选择题

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13、设 F(1,0),M 点在 x 轴上,P 点在 y 轴上,且 上运动时,点 N 的轨迹方程为__________. 13、y =4x 解析:设 ,
2

,当点 P 在 y 轴









14、观察下列等式:

?? 则当 m<n 且 m,n∈N 时,

(最后结果用 m,n 表 示). 14、n -m
2 2

解析:第一行 m=0,n=1,右边的值为 1;第二行 m=2,n=4,右边的值为 12=4 -2 ;第 三行 m=5,n=8,右边的值为 39=8 -5 ;
2 2

2

2

所以猜想



15、(甲)【平面几何选讲】如图,AB,CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中

点 P,

,∠OAP=30°,则 CP 的长为__________.

(乙)【极坐标与参数方程】已知直线的参数方程为: 极坐标方程为 ,那么,直线 l 与圆 C 的位置关系是__________.

,圆 C 的

(丙)【不等式选讲】若 小关系为__________.

,则 P,Q 的大

15、(甲)【平面几何选讲】

解析:因为圆 O 的半径为 a,









(乙)【极坐标与参数方程】相交

解析:直线 l 的直角坐标方程为

,圆 C 的直角坐标方程为



圆心到直线的距离 (丙)【不等式选讲】P<Q

,直线 l 与圆 C 的位置关系是相交.

解析: .



16、(甲)【平面几何选讲】如图,AD,AE,BC 分别与圆 O 切于点 D,E,F,延长 AF 与圆 O 交于另一点 G.给出下列三个结论:①AD+AE=AB+BC+CA;②AF·AG=AD·AE;③△AFB∽ △ADG. 其中正确结论的序号是__________.

(乙)【极坐标与参数方程】⊙O1 的极坐标方程为ρ =4cosθ ,⊙O2 的参数方程为

,则⊙O1 与⊙O2 公共弦的长度为__________.

(丙)【不等式选讲】已知函数 __________. 16、(甲)【平面几何选讲】①② 解析: ①

,则不等式 f(x)≥x 的解集为

2

② (乙)【极坐标与参数方程】 解析:⊙O1 极坐标方程为ρ =4cosθ ,直角坐标方程为(x-2) +y =4;⊙O2 参数方程为
2 2

,直角坐标方程为 x +(y+2) =4,两式相减,得到 x+y=0, O1 到此直线的距离为 (丙)【不等式选讲】 ,公共弦长为 .

2

2

解析:



,所以不等式 f(x)≥x 的解集为 x∈.

2

三、解答题(本大题共 6 小题,70 分) 17、(本小题满分 12 分)已知 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两相等实根,且 f′ (x)=2x+2. (1)求 f(x)的解析式. (2)求函数 y=f(x)与函数 y=-x -4x+1 所围成的图形的面积.
2

解析:(1)设 f(x)=ax +bx+c(a≠0).由题意得 ∴a=1,b=2,c=1.(3 分) ∴f(x)=x +2x+1.(4 分)
2

2

(2)由题

.(6 分) .(12 分)

18、(本小题满分 12 分)设命题 p:实数 x 满足 x -4ax+3a <0,其中 a>0,命题 q:实数

2

2

x 满足

. q 为真,求实数 x 的取值范围;

(1)若 a=1,且 p (2) p是
2

q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.
2

解析:(1)由 x -4ax+3a <0,得(x-3a)(x-a)<0. 又 a>0,所以 a<x<3a, 当 a=1 时,1<x<3,即 p 为真命题时,1<x<3.(2 分)





解得

,即 2<x≤3.

所以 q 为真时,2<x≤3.(4 分)



为真,则



所以实数 x 的取值范围是(2,3).(5 分) (2)设 ,

因为



的充分不必要条件,

所以

.(7 分)

所以 0<a≤2 且 3a>3,即 1<a≤2. 所以实数 a 的取值范围是(1,2].(12 分)

19、(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=lnx-a x +ax(x∈R). (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,求实数 a 的取值范围. 解析:(1)当 a=1 时,f(x)=lnx-x +x,其定义域是(0,+∞),
2

2 2

,(2 分)

令 f(x)=0,即 ∵x>0,∴x=1.

,解得

或 x=1.

当 0<x<1 时,f′(x)>0,当 x>1 时,f′(x)<0. ∴函数 f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.(4 分) (2)显然函数 f(x)=lnx-a x +ax 的定义域为(0,+∞),
2 2

.(5 分)

①当 a=0 时,



∴f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,不合题意.(6 分) ②当 a>0 时,f′(x)≤0(x>0)等价于

(2ax+1)·(ax-1)≥0(x>0),即



此时 f(x)的单调递减区间为





.(7 分)

③当 a<0 时,f′(x)≤0(x>0)等价于

(2ax+1)·(ax-1)≥0(x>0),即



此时 f(x)的单调递减区间为





.(8 分)

综上,实数 a 的取值范围是

.(12 分)

20、(本小题满分 12 分)在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=

BC,∠ABC=60°,N 是 BC

的中点,将梯形 ABCD 绕 AB 旋转 90°,得到梯形 ABC′D′(如图). (1)求证:AC⊥平面 ABC′; (2)求证:C′N∥平面 ADD′; (3)求二面角 A-C′N-C 的余弦值.

解析:(1)证明:

,N 是 BC 的中点,∴AD=NC,又 AD∥BC, ∴四边形 ANCD 是平行四边形, ∴AN=DC,又∠ABC=60°,∴AB=BN=AD, ∴四边形 ANCD 是菱形,

, ∴∠BAC=90°,即 AC⊥AB,又平面 C′BA⊥平面 ABC, 平面 C′BA∩平面 ABC=AB,∴AC⊥平面 ABC′.(3 分) (2)证明:∵AD∥BC,AD′∥BC′,AD∩AD′=A,BC∩BC′=B, ∴平面 ADD′∥平面 BCC′,又 C′N ∴C′N∥平面 ADD′.(6 分) (3)解:∵AC⊥平面 ABC′,AC′⊥平面 ABC. 如图建立空间直角坐标系, 平面 BCC′,





设平面 C′NC 的法向量为 n=(x,y,z) 取 z=1,则 .

∵AC′⊥平面 ABC,∴平面 C′AN⊥平面 ABC,又 BD⊥AN, 平面 C′AN∩平面 ABC=AN,∴BD⊥平面 C′AN,BD 与 AN 交于点 O,

O 则为 AN 的中点,

,∴平面 C′AN 的法向量



, 由图形可知二面角 A—C′N—C 为钝角,

所以二面角 A—C′N—C 的余弦值为

.(12 分)

21、(本小题满分 12 分)如图,已知圆 G:

经过椭圆

的右焦点 F 及上顶点 B,过圆外一点(m,0)(m>a)倾斜角为 直线 l 交椭圆于 C,D 两点, (1)求椭圆的方程; (2)若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的外部,求 m 的取值范围.



解析:(Ⅰ)∵圆 G:

经过点 F、B.



.故椭圆的方程为

.(4 分)

(Ⅱ)设直线 l 的方程为





消去 y 得

.(6 分)



,则







∵点 F 在圆 E 的外部,

,(10 分)



,解得 m<0 或 m>3.



,解得





.(12 分)

四、选考题(本小题满分 10 分) 22、【平面几何选讲】 如图所示,在四边形 ABCP 中,线段 AP 与 BC 的延长线交于点 D,已知 AB=AC 且 A,B,C, P 四点共圆.

(1)求证:

;(2)若 AC=4,求 AP·AD 的值.

解:(1)证明:因为点 A,B,C,P 四点共圆,所以∠ABC+∠APC=180°,又因为∠DPC+

∠APC=180°,所以∠DPC=∠ABC,又因为∠D=∠D,所以△DPC∽△DBA,所以



又因为 AB=AC,所以

.(5 分)

(2) 因为 AB=AC, 所以∠ACB=∠ABC, 又∠ACD+∠ACB=180°, 所以∠ACD+∠ABC=180°. 由 于∠ABC+∠APC=180°,所以∠ACD=∠APC,又∠CAP=∠DAC,所以△APC∽△ACD,所以

,所以 AP·AD=AC =16.(10 分)

2

23、【极坐标与参数方程】在极坐标系下,已知圆 O:

和直线 l:

, (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程;

(2)当

时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标.

解:(1)圆 O:
2 2

,即
2 2

圆 O 的直角坐标方程为:x +y =x+y,即 x +y -x-y=0.(2 分)

直线 l:

,即

则直线 l 的直角坐标方程为:y-x=1,即 x-y+1=0.(5 分)

(Ⅱ)由

.(8 分)

故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为

.(10 分)

24、【不等式选讲】已知函数 f(x)=|x+1|+|x-3|. (1)解不等式 f(x)≤3x+4; (2)若不等式 f(x)≥m 的解集为 R,设求实数 m 的取值范围.

解:(1)



原不等式等价于: ∴不等式的解集为.




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