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广东省五校协作体2016届高三上学期第一次联考数学试卷(理科)(解析版).doc


2015-2016 学年广东省五校协作体高三(上)第一次联考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.cos600° 的值为( A.﹣ ) B.﹣ C. D.

【考点】运用诱导公式化简求值. 【分析】把 600° 变为 720° ﹣120° ,然后利用诱导公式及余弦函数为偶函数化简后,再利用 cos=﹣cosα 和特殊角的三角函数值化简后即可得到值. =cos(2×360° 【解答】解:cos600° ﹣120° ) =cos(﹣120° )=cos120° =cos =﹣cos60° =﹣ . 故选 B

2.i 为虚数单位,则(1+i55)2=( A.4 B.0

) C.2i D.﹣2i

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用虚数单位 i 的运算性质化简,展开平方得答案.
55 2 4 13 3 2 2 【解答】解: (1+i ) =[1+(i ) ?i ] =(1﹣i) =﹣2i,

故选:D.

3.下列有关命题的说法中,正确的是(



A.命题“若 x2>1,则 x>1”的否命题为“若 x2>1,则 x≤1” B.命题“若 α>β,则 tanα>tanβ”的逆否命题为真命题 C.命题“? x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是“? x∈R,都有 x2+x+1>0” D.“x>1”是“x2+x﹣2>0”的充分不必要条件 【考点】特称命题;四种命题;全称命题.

2 2 【分析】若 x >1,则 x>1 的否命题为:若 x ≤1,则 x≤1

原命题为假命题,根据互为逆否命题的真假关系相同可知逆否命题为假命题, x∈R,使得 x2+x+1<0 的否定是? x∈R,都有 x2+x+1≥0
2 由 x +x﹣2>0,可得 x>1 或 x<﹣2,由推出关系即可判断 2 2 【解答】解:命题“若 x >1,则 x>1”的否命题为“若 x ≤1,则 x≤1”,故 A 错误

“若 α>β,则 tanα>tanβ”为假命题,根据互为逆否命题的真假关系相同可知逆否命题为假命 题,故 B 错误
2 2 命题“? x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是“? x∈R,都有 x +x+1≥0”,故 C 错误

x>1? x2+x﹣2>0,但是 x2+x﹣2>0 时,x>1 或 x<﹣2,即 x>1”是“x2+x﹣2>0”的充分 不必要条件,故 D 正确 故选 D

4.集合 P={x∈Z|y= A.[﹣1,1] 【考点】交集及其运算.

},Q={y∈R|y=2cosx,x∈R},则 P∩Q=( B.{0,1} C.{﹣1,1}



D.{﹣1,0,1}

【分析】求出集合 P,Q,然后求解交集即可. 【解答】解:P={x∈Z|y= 则 P∩Q={﹣1,0,1}. 故选:D. }={﹣1,0,1},Q={y∈R|y=2cosx,x∈R}=(﹣2,2) ,

2 5.已知 =(﹣1,2) , =(m ﹣2,2m) ,若 与 共线且方向相反,则 m 的值为(



A.1 或﹣2

B.2

C.﹣2

D.﹣1 或 2

【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示. 【分析】利用向量共线定理即可得出. 【解答】解:∵ ∥ ,∴2(m ﹣2)﹣(﹣1)×2m=0,
2 化为:m +m﹣2=0, 2

解得 m=﹣2 或 m=1. 当 m=1 时, 当 m=﹣2 时, =(﹣1,2)= ,共线且方向相同,舍去. =(2,﹣4)=﹣2 ,共线且方向相反,满足题意.

∴m=﹣2 故选:C.

6.下列函数中,在其定义域内是减函数的是( A.f(x)=

) D.f(x)=

B.f(x)=( )|x| C.f(x)=sinx﹣x

【考点】函数单调性的判断与证明. 【分析】根据反比例函数的性质判断 A,根据指数函数的性质判断 B,根据导数的应用判断 C、D 即可. 【解答】解:对于 A:f(x)= 在定义域(﹣∞,0)∪(0,+∞)上不单调,故 A 不合题 意; 对于 B:f(x)=3
﹣|x|

,x≥0 时,递减,x<0 时,递增,故 B 不合题意;

对于 C:f(x)=sinx﹣x,f′(x)=cosx﹣1≤0,故 f(x)在 R 递减,符合题意; 对于 D:f(x)= ,f′(x)= ,令 f′(x)>0,解得:0<x<e,令 f′(x)<0,

解得:x>e,故 f(x)在(0,e)递增,在(e,+∞)递减,不合题意; 故选:C.

7.下列命题中正确的是(



A.函数 y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数 B.函数 y=2sin( C.函数 y=2sin( ﹣2x)在区间[﹣ )﹣cos( ]上单调递减 ) (x∈R)的一条对称轴方程是 x=

D.函数 y=sinπx?cosπx 的最小正周期为 2,且它的最大值为 1 【考点】正弦函数的图象. 【分析】利用诱导公式及二倍角公式化简,利用正弦及余弦函数图象及性质,分别判断,即 可求得答案. 【解答】解:由 y=sinx 为奇函数,并不是 x∈[0,2π]是奇函数,故 A 错误; 由令 +2kπ≤ ﹣2x≤ +2kπ,k∈Z,解得:﹣ +kπ≤x≤﹣ +kπ,k∈Z,

∴y=2sin(

﹣2x)单调递减区间为[﹣ , ],

+kπ,﹣

+kπ],k∈Z,

当 k=1 时,单调递减区间为[﹣ ∴函数 y=2sin( 故 B 正确; y=2sin ( 令 2x+ x= ) ﹣cos ( =kπ,k∈Z,解得:x=

﹣2x)在区间[﹣

]上单调递减,

=2cos[ ) ﹣

﹣ ( ,k∈Z,

]﹣cos ) (

=cos ) (2x+

) ,

不是数 y=2sin(

)﹣cos(

) (x∈R)的一条对称轴,故 C 错误;

由 y=sinπx?cosπx= sin2πx, ∴函数的周期 T= 故选 B. =1,最大值为 ,故 D 错误,

8.m,n 是空间两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ①m⊥α,n∥β,α∥β? m⊥n;②m⊥n,α∥β,m⊥α? n∥β; ③m⊥n,α∥β,m∥α? n⊥β;④m⊥α,m∥n,α∥β? n⊥β; ( A.①② B.①④ C.②④ ) D.③④



【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】利用线面垂直、线面平行、面面平行的性质定理和判定定理对四个命题分别分析解 答. 【解答】解:对于①,m⊥α,n∥β,α∥β 利用线面垂直、线面平行以及面面平行的性质定 理可以得到 m⊥n;故①正确; 对于②,m⊥n,α∥β,m⊥α? n∥β 或者 n 在 β 内;故②错误; 对于③,m⊥n,α∥β,m∥α 得到 n 与 β 可能相交或者平行或者在 β 内;故③错误; 对于④,m⊥α,m∥n,得到 n⊥α,又 α∥β? n⊥β;故④正确; 故选:B.

9.

=(



A . ﹣1 【考点】定积分.

B.e﹣1

C .1

D.e

【分析】因为(xlnx﹣x)′=lnx,根据定积分的计算法则计算即可. 【解答】解: 故选:C =(xlnx﹣x)| =(elne﹣e)﹣(1ln1﹣1)=1,

10.已知定义在 R 上的奇函数 f(x) ,设其导函数为 f′(x) ,当 x∈(﹣∞,0]时,恒有 xf′ =xf (x) <f (﹣x) , 令F (x) (x) , 则满足 F (3) >F (2x﹣1) 的实数 x 的取值范围是 ( A. (﹣2,1) B. (﹣1, ) C. ( ,2) D. (﹣1,2) )

【考点】函数的单调性与导数的关系;导数的运算. 【分析】根据函数的奇偶性和条件,判断函数 F(x)的单调性,利用函数的奇偶性和单调 性解不等式即可. 【解答】解:∵f(x)是奇函数, ∴不等式 xf′(x)<f(﹣x) ,等价为 xf′(x)<﹣f(x) , 即 xf′(x)+f(x)<0, ∵F(x)=xf(x) , ∴F′(x)=xf′(x)+f(x) , 即当 x∈(﹣∞,0]时,F′(x)=xf′(x)+f(x)<0,函数 F(x)为减函数, ∵f(x)是奇函数, ∴F(x)=xf(x)为偶数,且当 x>0 为增函数. 即不等式 F(3)>F(2x﹣1)等价为 F(3)>F(|2x﹣1|) , ∴|2x﹣1|<3, ∴﹣3<2x﹣1<3, 即﹣2<2x<4, ∴﹣1<x<2, 即实数 x 的取值范围是(﹣1,2) , 故选:D.

11.某几何体的三视图如图所示,其中三个图中的四边形均为边长为 1 的正方形,则此几何 体的表面积可以是( )

A.3

B.6

C.3+

D.2

【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 【分析】 如图所示, 该几何体是正方体的内接正三棱锥, 利用面积公式可得几何体的表面积. 【解答】解:如图所示,该几何体是正方体的内接正三棱锥. 因此此几何体的表面积 S=4× 故选 D. =2 ,

12.已知函数 的是( )

,则下列关于函数 y=f[f(x)]+1 的零点个数的判断正确

A.当 k>0 时,有 3 个零点;当 k<0 时,有 2 个零点 B.当 k>0 时,有 4 个零点;当 k<0 时,有 1 个零点 C.无论 k 为何值,均有 2 个零点 D.无论 k 为何值,均有 4 个零点 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】因为函数 f(x)为分段函数,函数 y=f(f(x) )+1 为复合函数,故需要分类讨论, 确定函数 y=f(f(x) )+1 的解析式,从而可得函数 y=f(f(x) )+1 的零点个数;

【解答】解:分四种情况讨论. (1)x>1 时,lnx>0,∴y=f(f(x) )+1=ln(lnx)+1, 此时的零点为 x= > 1;

(2)0<x<1 时,lnx<0,∴y=f(f(x) )+1=klnx+1,则 k>0 时,有一个零点,k<0 时, klnx+1>0 没有零点;
2 2 (3)若 x<0,kx+1≤0 时,y=f(f(x) )+1=k x+k+1,则 k>0 时,kx≤﹣1,k x≤﹣k, 2 可得 k x+k≤0,y 有一个零点, 2 若 k<0 时,则 k x+k≥0,y 没有零点,

kx+1>0 时, y=f +1=ln +1, (4) 若 x<0, (f (x) ) (kx+1) 则 k>0 时, 即 y=0 可得 kx+1= , y 有一个零点,k<0 时 kx>0,y 没有零点, 综上可知,当 k>0 时,有 4 个零点;当 k<0 时,有 1 个零点; 故选 B.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.已知 sinθ+cosθ= (0<θ< ) ,则 sinθ﹣cosθ 的值为 ﹣ .

【考点】同角三角函数基本关系的运用. 【分析】已知等式两边平方,利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简,整理求出 2sinθcosθ 的值,判断出 sinθ﹣cosθ 小于 0,再利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系 化简,开方即可求出 sinθ﹣cosθ 的值. 【解答】解:∵sinθ+cosθ= >0,0<θ< , ,sinθ﹣cosθ<0,

2 2 2 ∴(sinθ+cosθ) =sin θ+cos θ+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ=

∴2sinθcosθ= ,
2 2 2 ∴(sinθ﹣cosθ) =sin θ+cos θ﹣2sinθcosθ=1﹣2sinθcosθ= ,

则 sinθ﹣cosθ=﹣ 故答案为:﹣ .



14.设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[﹣1,1)时,f(x)

=



则 f(f( ) )= ﹣2 . 【考点】函数的周期性. 【分析】根据周期函数的定义得到 f( )=f(2﹣ )=f(﹣ ) ,然后将其代入函数解析 式求值即可. 【解答】解:∵f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数, ∴f( )=f(2﹣ )=f(﹣ ) ,

∵f(x)=



2 ∴f(﹣ )=﹣4×(﹣ ) +

= ,

∴f( )=log3 故答案是:﹣2.

=﹣2.

15. | +t + 已知 , 是两个互相垂直的单位向量, 且 ? = ? =1, 则对任意的正实数 t, 的最小值是 2 .

|

【考点】函数的最值及其几何意义;平面向量数量积的运算. 【分析】由题意建立直角坐标系,取 =(1,0) , =(0,1) ,从而可得 =(1,1) ,| |= 从而可得| +t + |= ;

=



=2



【解答】解:∵ ? =0,| |=| |=1,

? = ? =1,

建立如图所示的直角坐标系,取 =(1,0) , =(0,1) , 设 =(x,y) , ∴(x,y)?(1,0)=(x,y)?(0,1)=1. ∴x=y=1. ∴ =(1,1) , ∴| |= ∵t>0. ∴| +t + |= ;

=



=2



当且仅当 t=1 时取等号. 故答案为:2 .

16.直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各顶点都在同一球面上,若 AB=3,AC=2,AA1= BAC=60° ,则它的这个外接球的表面积为 12π . 【考点】球的体积和表面积.

,∠

【分析】画出球的内接直三棱 ABC﹣A1B1C1,作出球的半径,然后可求球的表面积. 【解答】解:直三棱 ABC﹣A1B1C1 的各顶点都在同一球面上, 若 AB=3,AC=2,∠BAC=60° , 则 BC= = ,

如图,连接上下底面外心,O 为 PQ 的中点,OP⊥平面 ABC, 则球的半径为 OA,

由题意,AP=

=

,OP=



∴OA=

=



2 所以球的表面积为:4πR =12π.

故答案为:12π.

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.在极坐标系中,曲线 L 的极坐标方程为:7cos ,以极点为原点,极轴

为 x 的非负半轴,取与极坐标系相同的单位长度,建立平面直角坐标系,在直角坐标系中,

直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .

(1)在直角坐标系中,写出曲线 L 的一个参数方程和直线 l 的普通方程; (2)在曲线 L 上任取一点 P,求点 P 到直线 l 距离的最小值,并求此时点 P 的坐标. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)先求出曲线 L 的直角坐标方程,再求出曲线 L 的一个参数方程,消去参数可 得直线 l 的普通方程; (2)由(1)知曲线 L 的一个参数方程为 线 l 距离 d= 出结论. 【解答】解: (1)方程 7cos ﹣
2 2 2 可化为 7ρ cos θ=144﹣9ρ ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

(θ 为参数) ,可得曲线 L 上的点到直 (sinα= ,cosα= ) ,即可得

=

所以,曲线 L 的直角坐标方程为:

=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

曲线 L 的一个参数方程为

(θ 为参数)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

直线 l 的普通方程为 x+y﹣10=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (2)由(1)知曲线 L 的一个参数方程为 所以,曲线 L 上的点到直线 l 距离 d= (sinα= ,cosα= )﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 当 sin(θ+α)=1 时曲线 L 上的点到直线 l 距离最小,最小值为 此时 P 点直角坐标为( , ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (θ 为参数) =

)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

18.设向量 =(sinωx,cosωx) , =(cosφ,sinφ) , (x∈R,|φ|< =

,ω>0) ,函数 f(x) ) ,

的图象在 y 轴右侧的第一个最高点(即函数取得最大值的一个点)为 P( )

在原点右侧与 x 轴的第一个交点为 Q( (1)求函数 f(x)的解析式;

(2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对应边分别是 a,b,c 若 f(C)=﹣1, 且 a+b=2 ,求边长 c.



【考点】余弦定理;平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用. f x) =sin 【分析】 (1) 利用平面向量数量积的运算, 两角和的正弦函数公式化简可得 ( (ωx+φ) , 利用周期公式可求 ω,将点 P( 即可得解函数 f(x)的解析式. (2)由题意可得 sin(2C+ )=﹣1,结合范围 0<C<π,可得 C= .由 , )代入 y=sin(2x+φ) ,结合范围|φ|< ,可求 φ,

解得 ab=3,利用余弦定理即可解得 c 的值. 【解答】 (本小题满分 12 分) 解:f(x)= 由题意,得 = =sinωxcosφ+cosωxsinφ=sin(ωx+φ) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣ ,可得:T=π,所以 ω=2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

将点 P( 所以 φ=2kπ+ 又因为|φ|< 所以 φ=

) ,代入 y=sin(2x+φ) 得 sin(2× , (k∈Z) , ,

+φ)=1,

,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ) , (x∈R)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

即函数 f(x)的解析式为 f(x)=sin(2x+ (2)由 f(C)=﹣1,即 sin(2C+ 又因为 0<C<π,可得:C= 由

)=﹣1, .﹣﹣﹣﹣﹣﹣

,知 abcosC=﹣ ,

所以,ab=3.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
2 2 2 2 由余弦定理知 c =a +b ﹣2abcosC= (a+b) ﹣2ab﹣2abcosC= (2

) ﹣2×3﹣2×3× (﹣ )

2

=9, 所以 c=3 或﹣3(舍去) ,故 c=3.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

19.如图,底面为平行四边形的四棱柱 ABCD﹣A′B′C′D′,DD′⊥底面 ABCD,∠DAB=60° , AB=2AD,DD′=3AD,E、F 分别是 AB、D′E 的中点. (Ⅰ)求证:DF⊥CE; (Ⅱ)求二面角 A﹣EF﹣C 的余弦值.

【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的性质;向量语言表述线线的垂直、 平行关系. 【分析】 (Ⅰ)证明 CE⊥DE,CE⊥DD′,从而可得 CE⊥平面 DD′E,进而可得 CE⊥DF;

(Ⅱ)取 AE 中点 H,分别以 DH、DC、DD'所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系, 用坐标表示点与向量,求得平面 AEF 的法向量 ,平面 CEF 的法向量

,利用向量夹角公式,即可求得二面角 A﹣EF﹣C 的余弦值. 【解答】 (Ⅰ)证明:∵AD=AE,∠DAE=60° ∴△DAE 为等边三角形, 设 AD=1,则 即 CE⊥DE. … ,∴∠DEC=90° ,

∵DD'⊥底面 ABCD,CE? 平面 ABCD,∴CE⊥DD′. ∵DE∩DD′=D ∴CE⊥平面 DD′E ∵DF? 平面 DD′E ∴CE⊥DF. … ,

(Ⅱ)解:取 AE 中点 H,则

又∠DAE=60° ,所以△DAE 为等边三角形,则 DH⊥AB,DH⊥CD. 分别以 DH、DC、DD'所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系, 设 AD=1,则





设平面 AEF 的法向量为

,则

,取





平面 CEF 的法向量为

,则

,取





∴ ∵二面角 A﹣EF﹣C 为钝二面角



∴二面角 A﹣EF﹣C 的余弦值为





20.如图,平面四边形 ABCD 中,AB= (1)若∠A=60° ,求 cosC.

,AD=DC=CB=1.

2 2 (2)若△ABD 和△BCD 的面积分别为 S、T,求 S +T 的取值范围.

【考点】余弦定理. 【分析】 (1)连接 BD,在△ABD 中,△BCD 中利用余弦定理即可得解 cosC 的值. (2)分别在△ABD,△BCD 中由余弦定理得 cosC= 3cos2A+2 (cosA﹣ 范围. 【解答】 (本小题满分 12 分) 解: (1)如图,连接 BD, 在△ABD 中由余弦定理得: BD2=AB2+AD2﹣2AB?ADcos60°=4﹣ 在△BCD 中由余弦定理得: BD2=BC2+DC2﹣2BC?DCcosC=2﹣2cosC, , cosA﹣1,两边平方整理得 sin2C=﹣

cosA,利用三角形面积公式,三角函数恒等变换的应用化简可得 S2+T2=﹣ ) + ,结合范围 0<A<
2

且 A≠

,利用二次函数的图象和性质即可得解

∴cosC=

﹣1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ cosA,

2 2 2 (2)在△ABD 中由余弦定理得:BD =AB +AD ﹣2AB?ADcosA=4﹣2 2 2 2 在△BCD 中由余弦定理得:BD =BC +DC ﹣2BC?DCcosC=2﹣2cosC,

∴cosC=

cosA﹣1,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ cosA,sin2C=﹣3cos2A+2 cosA,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

两边平方整理得:sinC=﹣3cosA+2 ﹣﹣﹣﹣﹣

S2+T2=( AB?ADsinA)2+( CB?CDsinC)2= sin2A+ sin2C = sin2A+ (﹣3cos2A+2 =﹣ cos2A+ cosA)
2 ) + ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

cosA+ =﹣ (cosA﹣ 且 A≠ ,

依题意知:0<A<

,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

∴0<cosA<1,且 cosA≠
2 2 所以 S +T 的取值范围为(

, )∪( , ) .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣

21.已知函数 f(x)=lnx﹣ax2+(a﹣2)x (a∈R) (1)若 f(x)在 x=1 处取得极值,求 a 的值;
2 (2)当 x∈[a ,a]时,求函数 y=f(x)的最大值.

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值. 【分析】 (1)求出函数的定义域为(0,+∞) , = (2)求出 0<a<1,
2

,由此利用导数性质能求出 a. = ,由此利用导数性

质和分类讨论思想能求出 f(x)在[a ,a]上的最大值. 【解答】 (本小题满分 12 分)

2 解: (1)因为函数 f(x)=lnx﹣ax +(a﹣2)x (a∈R) ,所以函数的定义域为(0,+∞) ,

所以

=



因为 f(x)在 x=1 处取得极值,即 f′(1)=﹣(2﹣1) (a+1)=0,解得 a=﹣1, 当 a=﹣1 时,在( ,1)内,f′(x)<0,在(1,+∞)内,f′(x)>0, 所以 f(x)在 x=1 处取得极小值,符合题意. 所以 a=﹣1. (2)因为${a}^{2},所以 0<a<1, = 因为 x∈(0,+∞) ,所以 ax+1>0, 所以 f(x)在(0, )上单调递增,在( ,+∞)上单调递减. 当 0<a
2 时,f(x)在[a ,a]上单调递增,



3 2 所以 f(x)max=f(a)=lna﹣a +a ﹣2a,



时,f(x)在(a , )上单调递增,在( = ,

2

)上单调递减,

所以 f(x)max=f( )=﹣ln2﹣ + 当 所以 综上所述,当 0<a 当 当

2 时,f(x)在[a ,a]上单调递减,


2 3 2 时,f(x)在[a ,a]上的最大值是 lna﹣a +a ﹣2a;

2 时,f(x)在[a ,a]上的最大值是



2 5 3 2 时,f(x)在[a ,a]上的最大值是 2lna﹣a +a ﹣2a .

22.已知函数 f(x)=x(lnx﹣ax) (a∈R) ,g(x)=f'(x) . (1)若曲线 y=f(x) 在点(1,f(1) )处的切线与直线 3x﹣y﹣1=0 平行,求实数 a 的值.
2 (2)若函数 F(x)=g(x)+ x

?①若函数 F(x)有两个极值点,求 a 的取值范围 ?②将函数 F(x)的两个极值点记为 s、t,且 s<t,求证:﹣1<f(s)

【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (1)求出 f(x)的导数,解关于 a 的方程,求出 a 的值,检验即可; (2)①求出 F(x)的导数,结合函数的极值的个数以及二次函数的性质求出 a 的范围即可; ②求出 s 的范围,问题转化为证明 lns﹣ ﹣ + >0,根据函数的单调性证明即可.

【解答】解: (1)f′(x)=lnx﹣ax+x( ﹣a)=lnx﹣2ax+1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ f′(1)=1﹣2a,因为直线 3x﹣y﹣1=0 的斜率为 3, 所以 1﹣2a=3,解得 a=﹣1,﹣﹣ 经检验 a=﹣1 时,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线与直线 3x﹣y﹣1=0 平行, 所以 a=﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
2 (2)①因为 F(x)=lnx﹣2ax+1+ x ,

所以,F′(x)=

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

若函数 F(x)有两个极值点 s、t,s<t,
2 即 h(x)=x ﹣2ax+1 在(0,+∞)首先要存在两个相异零点 s、t, 2 由 h(x)=x ﹣2ax+1 的系数可知 st=1>0,

所以,

,所以 a>1,

当 0<x<s 或 x>t 时,F′(x)>0,当 s<x<t 时 F′(x)<0, 所以 F(x)有两个极值点 s、t 所以,若函数 F(x)有两个极值点 a 的取值范围为(1,+∞)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ②由前所述,易知 s=a﹣ 所以 s∈(0,1)﹣﹣﹣﹣﹣ 又 s ﹣2as+1=0,得:as= f(s)=s(lns﹣as)=s(lns﹣ 要证﹣1<f(s)只要证 s(lns﹣ ﹣﹣
2

=

(a>1) ,

, )﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ )>﹣1 即证 lns﹣ ﹣ + >0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

设函数 g(s)=lns﹣

﹣ + ,0<s<1,g′(s)=



当 0<s<1 时,g′(s)<0,所以 g(s)在区间(0,1)上是减函数, 所以 g(s)>g(1)=0,即 lns﹣ ﹣ + >0,得证.﹣﹣﹣﹣﹣

2016 年 12 月 9 日


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