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河北省衡水中学11-12学年高二下学期期中考试(数学理)

2011— 2011—2012 学年度高二下学期期中考试 高二年级(理科) 高二年级(理科)数学试卷
一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的 选择题(每小题5 60分 下列每小题所给选项只有一项符合题意, 序号填涂在答题卡上) 序号填涂在答题卡上) 是实数, 1.设 a 是实数,且 A. .

1 2

a 1+ i + 是实数, 是实数,则 a = ( 1+ i 2 3 B.1 C. . . 2

) D. 2 . ) D. e + .

x ?x 所围成的图形的面积等于( 2.由曲线 y = e , y = e 以及 x = 1 所围成的图形的面积等于(

A.2 .

B. 2e ? 2 .

C. 2 ? .

1 e

1 ?2 e


3 , 所围成的三角形的面积为( 3.曲线 y = x 在点 (11) 处的切线与 x 轴、直线 x = 2 所围成的三角形的面积为(

A. .

4 3

B. .

8 9

C. .

8 3

D. . )

4 9

3 2 的极值点的个数是( 4. 函数 f ( x ) = x + 3 x + 3 x ? a 的极值点的个数是(

A.2 .

B.1 .

C.0 .

D.由 a 确定 .

( ) 用反证法证明时, 5. 1)已知 p 3 + q 3 = 2 ,求证 p + q ≤ 2 ,用反证法证明时,可假设 p + q ≥ 2 , 的两根的绝对值都小于 . (2)已知 a,b ∈ R , a + b < 1 ,求证方程 x 2 + ax + b = 0 的两根的绝对值都小于 1.用反证 ) 法证明时可假设方程有一根 x1 的绝对值大于或等于 1,即假设 x1 ≥1 ,以下结论正确的是 , ( ) B. (1) 与 (2) 的假设都正确 D. (1) 的假设错误; (2) 的假设正确 的假设错误;

A. (1) 与 (2) 的假设都错误 C. (1) 的假设正确; (2) 的假设错误 的假设正确;

6.定积分 . A. .



π 2 0

sin 2

x dx 的值等于( 的值等于( 2
B. .

) C. .

π 1 ? 4 2

π 1 + 4 2

1 π ? 2 4

D. .

π ?1 2

7.设 是定义在正整数集上的函数, 满足: 成立时, 7.设 f ( x ) 是定义在正整数集上的函数,且 f ( x ) 满足: 当 f (k ) ≥ k 2 成立时,总可推出 “
f (k + 1) ≥ ( k + 1) 成立” 那么,下列命题总成立的是( 成立” 那么,下列命题总成立的是( .
2



成立, A.若 A.若 f ( 1 ) < 1 成立,则 f ( 10 ) < 100 成立
-1-

B.若 成立, B.若 f ( 2 ) < 4 成立,则 f (1) ≥ 1 成立

C.若 成立, C.若 f (3) ≥ 9 成立,则当 k ≥ 1 时,均有 f ( k ) ≥ k 2 成立
成立, D.若 D.若 f ( 4) ≥ 25 成立,则当 k ≥ 4 时,均有 f ( k ) ≥ k 2 成立 8.如图是今年元宵花灯展中的一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁, 8.如图是今年元宵花灯展中的一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁, 如图是今年元宵花灯展中的一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形 下一个呈现出来的图形是( 下一个呈现出来的图形是( )

9.设 是自然数, 9.设 n 是自然数,f(n)= 1 +

1 1 1 + + …… + ,经计算可得, 经计算可得, 2 3 n 3 5 7 观察上述结果, f(2)= , f (4) > 2, f (8) > , f (16) > 3. f (32) > . 观察上述结果 , 可得出的一般结论是 2 2 2


( A.

2n + 1 2 n +2 n D. f ( 2 ) > 2 f (2n) >
10. 已知 a,b ∈ R , 2 + a i, 且

B.

f (n 2 ) ≥

n+2 2

C.

f (2 n ) ≥

n+2 2

2 b + i( i 是虚数单位) 是虚数单位) 是实系数一元二次方程 x + px + q = 0

的两个根, 的值分别是( 的两个根,那么 p,q 的值分别是( A. p = ?4, q = 5

) C. p = 4, q = 5 D. p = 4, q = 3

B. p = ?4, q = 3

11.数列 {a n } 中,a1=1,Sn 表示前 n 项和,且 Sn,Sn+1,2S1 成等差数列,通过计算 S1,S2, 项和, 成等差数列, S3,猜想当 n≥1 时,Sn= A.
( )

2n +1 2 n ?1

B.

2n ?1 2 n ?1

C.

n( n + 1) 2n

D.1-

1 2 n ?1

12. 已 知 函 数 f ( x ) = x 3 ? px 2 ? qx 的 图 像 与 x 轴 切 于 点 ( 1,0 ) 则 f ( x ) 的 极 值 为 ,
( ) B.极大值为 B.极大值为 0,极小值为 D. 极大值为 ?

4 ,极小值为 0 27 4 C.极小值为 C.极小值为 ? ,极大值为 0 27
A.极大值为 A.极大值为

4 27

4 ,极小值为 0 27

把答案填在题中横线上) 二、填空题(每题 5 分,共 20 分。把答案填在题中横线上) 填空题(
-2-

沿直线运动, 4) 13 一个质点以速度V (t ) = t ? t + 6( m / s ) 沿直线运动,则在时间间隔 (1, 上的位移是
2

14. 若 函 数 f ( x ) = 是 .

4x 2 在 区 间 ( m,m + 1) 上 是 单 调 递 增 函 数 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 x +1
2

15. 下面是按照一定规律画出的一列“树型”图: 下面是按照一定规律画出的一列“树型”

个树枝, 设第 n 个图有 an 个树枝,则 an +1 与 an (n ≥ 2) 之间的关系是
2



16 . 已 知 复 数 z 1 = m + (4 ? m )i ( m ∈ R ), z 2 = 2 cos θ + (λ + 3sin θ )i (λ , θ ∈ R ) , 并 且

z 1 = z 2 ,则 λ 的取值范围

.

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 解答题( 17. ( 是虚数, 17. 本题 10 分)设 z 1 是虚数, z 2 = z 1 +

1 是实数, 是实数,且 z 2 ∈ [ ?1,1] . z1

的实部的取值范围; (1) 求 | z 1 | 的值及 z 1 的实部的取值范围; ( 2) 若 ω =

1? z 1 为纯虚数. ,求证 ω 为纯虚数. 1+ z 1

求证: 18. (本题 12 分)已知 a > 0 ,求证: a +
2

1 1 +2≥a+ + 2 2 a a

甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产须占用甲方的资源, 19.(本题 12 分)甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲 方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下, 方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的 年利润 x (元)与年产量 t (吨)满足函数关系 x = 2000 t .若乙方每生产一吨产品必须赔 为赔付价格) 付甲方 s 元(以下称 s 为赔付价格)

-3-

的函数, (1)将乙方的年利润 w (元)表示为年产量 t (吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年 ) 产量; 产量;
2 ,在乙方按照获得最大利润 (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y = 0.002t (元) 在乙方按照获得最大利润 ) ,

的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 s 是 多少? 多少?

20.( 20.(本题 12 分)已知数列 {an } 中, a4 = 28 ,且满足 (1)求 (1)求 a1 , a2 , a3 ;

an +1 + an ? 1 =n an +1 ? an + 1

(2)猜想 (2)猜想 {an } 的通项公式并证明

2 21.( 如图所示, 21.(本题 12 分) 如图所示,求抛物线 y = 2 px ( p > 0) 和过它上

面的点 P ? 1

?p ? 的切线的垂线所围成的平面图形的面积. ,p ? 的切线的垂线所围成的平面图形的面积. ?2 ?

22.(本小题满分 12 分)已知函数 ( 的单调性; (I)讨论 f (x) 的单调性; )

f ( x) = ln x ? ax 2 + (2 ? a) x .

证明: (II)设 a > 0 ,证明:当 0 < x < )

1 1 1 时, f ( + x ) > f ( ? x ) ; a a a

, 两点, (III)若函数 y = f (x) 的图像与 x 轴交于 A,B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x0, )

-4-

证明: )<0. 证明:导数 f ′ (x0)< .

高二年级(理科) 期中数学答案
一、选择题: BDCCD 二、 填空题 13. 31.5m 三、解答题 ADADA BA 15. n +1 = 2an + 2 a 16. ?

14. 1 ≤ m ≤ 0 ?

9 ≤λ ≤7 16

17. (1)解:设 z 1 = a + bi ( a , b ∈ R 且 b ≠ 0 ,则

z 2 = a + bi +

1 a b = (a + 2 ) + (b ? 2 )i 2 a + bi a +b a +b 2
2 2

因为 z 2 是实数,所以 a + b = 1 ,即 | z 1 |= 1 , z 2 = 2a 所以 ?1 ≤ 2a ≤ 1 , 所以 z 1 实部取值范围为 [ ? (2) ω =

1 1 , ] 2 2

……………… 5 分 ………………10 分

b i ,所以 ω 是纯虚数 a +1
a2+ 2- 2≥a+ -2, a a
1 1 1 1

18. 证明:要证 只需证

a2+ 2+2≥a+ + 2. a a a2+ 2+2)2≥(a+ + 2)2, a a
1 1 1 1 1

∵a>0,故只需证( 1 2 即 a + 2+4

a

a2+ 2+4≥a2+2+ 2+2 2(a+ )+2, a a a a2+ 2≥ 2(a+ ), a a a a
1 1

从而只需证 2

1 1 1 2 2 2 只需证 4(a + 2)≥2(a +2+ 2),即 a + 2≥2,

a

而上述不等式显然成立,故原不等式成立

………………12 分

19. 解: (1)因为赔付价格为 s 元/吨,所以乙方的实际年利润为 w = 2000 t ? st .
-5-

由 w′ =

1000 1000 ? s t ?s = , t t
2

? 1000 ? 令 w′ = 0 ,得 t = t0 = ? ? . ? s ?
当 t < t0 时, w′ > 0 ;当 t > t0 时, w′ < 0 , 所以 t = t0 时, w 取得最大值.

因此乙方取得最大年利润的年产量 t0 为 ?

? 1000 ? ; ? (吨) ? s ?
2

2

………………6 分

(2)设甲方净收入为 v 元,则 v = st ? 0.002t .

? 1000 ? 将t = ? ? 代入上式, ? s ?
106 2 得到甲方净收入 v 与赔付价格 s 之间的函数关系式 v = ? 4 × 109 . s s
又 v′ =

2

106 × (8000 ? s 3 ) , s5

令 v′ = 0 ,得 s = 20 . 当 s < 20 时, v′ > 0 ;当 s > 20 时, v′ < 0 , 所以 s = 20 时, v 取得最大值. 因此甲方应向乙方要求赔付价格 s = 20 (元/吨)时,获最大净收入. ………………12 分 20. 解 (1)

an+1+an-1 a4+a3-1 =n. ,当 n=3 时, =3.∵a4=28,∴a3=15; an+1-an+1 a4-a3+1 a3+a2-1 =2.∵a3=15,∴a2=6; a3-a2+1
………………4 分

当 n=2 时, 当 n=1 时,

a2+a1-1 =1.∵a2=6,∴a1=1. a2-a1+1

(2)猜想 an=n(2n-1). ①当 n=1 时,a1=1,而 a1=1×(2×1-1)=1,等式成立. ②假设当 n=k 时,等式成立,即 ak=k(2k-1). 则当 n=k+1 时, ………………6 分

ak+1+ak-1 ak+1+k(2k-1)-1 = k, = k, ak+1-ak+1 ak+1-k(2k-1)+1

-6-

整理,得(1-k)ak+1=-2k -k +2k+1=(2k+1)(1-k ),

3

2

2

ak+1=(1+k)(2k+1)=(k+1)[2(k+1)-1],
等式也成立. 综合① ② 可知,n∈ N 时,等式成立.
*

………………11 分 ………………12 分

21. 解:由题意令 y =

2 px ( x ≥ 0) ,

y′ =

1 2

1 p 2p = , y′ | p = 1 , x= 2 px 2 px 2

所以过 P 点且垂直于过 P 点的抛物线的切线的直线的斜率为 ?1 . 1 1 其方程为 y ? p = ? ? x ? 即 2x + 2 y ? 3 p = 0 . 与抛物线方程联立消去 x ,得 y 2 + 2 py ? 3 p 2 = 0 , 解得 y = p 或 y = ?3 p . 又 x = ?y +

? ?

p? ?. 2?
………………4 分

3 p, 2
p

?? 3 ? y2 ? 所以所求平面图形的面积为 S = ∫ ?? ? y + p ? ? dy ?3 p 2 ? 2p? ?? ? ? y2 3 1 3? p = ? ? + py ? y ? |?3 p 6p ? ? 2 2
?? 1 3 1 ? ? 9 9 9 ?? = ?? ? p 2 + p 2 ? p 2 ? ? ? ? p 2 ? p 2 + p 2 ? ? 2 6 ? ? 2 2 2 ?? ?? 2
= 16 2 p . 3 f ′( x) =
………………12 分

注:对 x 积分结果正确同样给分 22.解: (I) f ( x)的定义域为(0, +∞),

1 (2 x + 1)(ax ? 1) ? 2ax + (2 ? a ) = ? . x x

(i)若 a ≤ 0, 则f ′( x) > 0, 所以f ( x)在(0, +∞) 单调增加. (ii) a > 0, 则由f ′( x ) = 0得x = 若

1 1 1 , 且当 x ∈ (0, )时, f ′( x) > 0, 当x > 时, f ′( x) < 0. a a a

-7-

1 a 1 1 (II)设函数 g ( x ) = f ( + x ) ? f ( ? x ), 则 a a
g ( x) = ln(1 + ax) ? ln(1 ? ax) ? 2ax, g ′( x) =


所以 f ( x )在(0, ) 单调增加,在 ( , +∞ ) 单调减少.

1 a

………………4 分

a a 2a 3 x 2 + ? 2a = . 1 + ax 1 ? ax 1 ? a2 x2
故 当

1 0 < x < 时, g ′( x) > 0, 而g (0) = 0, 所以g ( x) > 0 a 1 1 f ( + x) > f ( ? x). a a

1 0< x< 时 a



………………8 分

(III)由(I)可得,当 a ≤ 0时, 函数y = f ( x) 的图像与 x 轴至多有一个交点, 故 a > 0 ,从而 f ( x ) 的最大值为 f ( ), 且f ( ) > 0. 不妨设 A( x1 , 0), B ( x2 , 0), 0 < x1 < x2 , 则0 < x1 < 由(II)得 f ( 从而 x2 >

1 a

1 a

1 < x2 . a

2 1 1 ? x1 ) = f ( + ? x1 ) > f ( x1 ) = 0. a a a

x + x2 1 2 ? x1 , 于是x0 = 1 > . a 2 a
………………12 分

由(I)知, f ′( x0 ) < 0.

-8-