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高三数学函数的最大值与最小值1_图文

函数的最大值 与最小值 一、复习与引入 1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方 法是: ①如果在x0附近的左侧 f ?( x) ? 0 右侧 f ?( x) ? 0 ,那么,f(x0) 是极大值; ②如果在x0附近的左侧 f ?( x ) ? 0 右侧 f ?( x) ? 0 ,那么,f(x0) 是极小值. 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点 取到. 3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小,而不是极值. 二、新课——函数的最值 y 观察右边一 个定义在区间 [a,b]上的函数 a x1 o X X b x y=f(x)的图象. f(x2) f(x1)、f(x3) 是极小值,_________ 发现图中____________ 是极 f(b) ,最小值 大值,在区间上的函数的最大值是______ f(x3) 。 是_______ 2 3 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下,怎 样才能判断出f(x3)是最小值,而f(b)是最大值呢? 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则求f(x) 在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下: ①:求y=f(x)在(a,b)内的极值(极大值与极小值); ②:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较,其中 最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 求函数的最值时,应注意以下几点: (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概 念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围 内讨论问题,是一个整体性的概念. (2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内 的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极 值必是函数的最值. (3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且 极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点 外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值 (或极小值). (4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最 值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值, 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值. (5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个 极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际 意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的 函数值进行比较. 三、例题选讲 例1:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小 值. 3 ? y ? 4 x ? 4 x. 解: 令 y? ? 0 ,解得x=-1,0,1. 当x变化时, y?, y 的变化情况如下表: x -2 (-2,-1) - (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 1 0 + 0 0 + y’ y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 1 从上表可知,最大值是13,最小值是4. 3 x2 ? 5x ? 6 例2:求函数 f ( x ) ? 在区间[-1,3]上的最大值与 2 x ?1 最小值. 5( x 2 ? 2 x ? 1) . 解: f ?( x ) ? 2 2 ( x ? 1) 令 f ?( x ) ? 0 ,得 x1 ? 1 ? 2 , x2 ? 1 ? 2 , 且x1 , x2 ?[?1,3]. 7?5 2 7?5 2 , f (1 ? 2 ) ? . 相应的函数值为: f (1 ? 2 ) ? 2 2 又f(x)在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(3)=0 7?5 2 ; 比较得, f(x)在点 x1 ? 1 ? 2 处取得最大值 2 7?5 2 . 在点 x2 ? 1 ? 2 处取得最小值 2 2 3 2 3 延伸1:设 3 ? a ? 1 ,函数 f ( x ) ? x ? 2 ax ? b( ?1 ? x ? 1)的最 6 大值为1,最小值为 ? 2 解:令 f ?( x) ? 3 x ? 3ax ? 0 得x=0或a. 当x变化时, f ?( x ) ,f(x)的变化情况如下表: x -1 (0 (0,a) 1,0) + 0 a (a,1) 1 2 ,求常数a,b. 0 + f’ ( x) 由表知,当x=0时,f(x)取得极大值b,而f(0)>f(a),f(0)> f(x) -1-3a/2+b ↗ b ↘ 1↗ f(-1),f(1)>f(-1).故需比较f(1)与 f(0)的大小. 3 a /2+b 3a/2+b f(0)-f(1)=3a/2-1>0,所以f(x)的最大值为f(0)=b,故b =1. 又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/2<0,所以f(x)的最小值为f(-1) =-1-3a/2+b=-3a/2,所以 ? 3a ? ? 6 ? a ? 6 . 2 2 3 延伸2:设p>1,0≤x≤1,求函数f(x)=xp+(1-x)p的值域. 说明:由于f(x)在[0,1]上连续可导,必有最大值与最小值, 因此求函数f(x)的值域,可转化为求最值. p?1 p?1 p?1 p?1 解: f ?( x) ? px ? p(1 ? x) ? p[ x ? (1 ? x) ]. 令 f ?( x ) ? 0 ,则得xp-1=(1-x)p-1,即x=1-x,x=1/2. 1 1 1 而 f ( 2 ) ? 2 p ?1 ,f(0)=f(1)=1,因为p>1,故1>1/2p-1. 所以f(x)的最小值为 2 p ?1 ,最大值为1. 1 2 p ?1 从而函数f(x)的值域为 [ ,1]. 练习1:求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最 大值和最小值. 答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7. 练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最

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