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福建省福州市第八中学高三上学期第二次质量检查数学(理)试题 Word版含答案

比知识你 海纳百 川,比 能力你 无人能 及,比 心理你 处变不 惊,比 信心你 自信满 满,比 体力你 精力充 沛,综 上所述 ,高考 这场比 赛你想 不赢都 难,祝 高考好 运,考 试顺利 。
福州八中 2016—2017 学年高三毕业班第二次质量检查

数学(理)试题

考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分
2016.10.6

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.)

1.设U ? R ,已知集合 A ? {x | x ? 1},B ? {x | x ? a} ,且 (?U A) B ? R ,则实数 a 的取

值范围是

A. (?? ,1)

B. (?? ,1]

C. (1,? ?)

D.[1,? ?)

2.下列命题中错误的是

A.命题“若 x2-5x+6=0,则 x=2”的逆否命题是“若 x≠2,则 x2-5x+6≠0”

B.命题“角 α 的终边在第一象限,则 α 是锐角”的逆命题为真命题 C.已知命题 p 和 q,若 p∨q 为假命题,则命题 p 与 q 中必一真一假 D.命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题是真命题

3.设 x ? R ,则“ x ? 2 ?1 ”是“ x2 ? x ? 2 ? 0 ”的

A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. 函 数 f (x) ? a x?1 ? 2 (a ? 0, a ? 1) 的 图 象 恒 过 定 点 A , 若 点 A 在 直 线

mx ? ny ?1 ? 0 上,其中 m ? 0, n ? 0 ,则 1 ? 2 的最小值为 mn

A. 4

B. 5

C. 6

D. 3 ? 2 2

5.已知定义域为 R 的函数 f (x) 不是奇函数,则下列命题一定为真命题的是

A.?x ? R, f (?x) ? ? f (x)

B.?x ? R, f (?x) ? f (x)

C.

?x 0

?

R,

f

(?x ) 0

?

?

f

(x ) 0

D.

?x 0

?

R,

f (?x ) ? 0

f (x ) 0

6.已知角 ?

的终边与单位圆

x2

?

y2

? 1交于点

P

? ??

1 2

,

y

? ??

,则

sin

? ??

? 2

?

2?

? ??

?

A. 1

B. 1
2

C. ? 3
2

D. ? 1
2

7.由曲线 y ? x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为

A. 10 3

B. 16 3

C.4

D.6

8.要得到函数 f (x) ? sin(3x ? ? ) 的导函数 f ?(x) 的图象,只需将 f (x) 3

的图象

A.向右平移 ? 个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变) 3
B.向右平移 ? 个单位,再把各点的纵坐标缩短到原来的 3 倍(横坐标不变) 6
C.向左平移 ? 个单位,再把各点的纵坐标缩短到原来的 3 倍(横坐标不变) 3
D.向左平移 ? 个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变) 6

9.若函数 f(x)= log (a x3 ?2 )x( a 0? 且 a ? 1)在区间(一 2 ,一 1)内恒有 f(x)
>0,则 f(x)的单调递减区间为

A.(一 ? ,一 6 ),( 6 ,+ ? ) B.(一 2 ,一 6 ),( 2 ,+ ? )

3

3

3

C.(一 2 ,一 6 ),( 6 ,+ ? ) D.(一 6 , 6 )

3

3

33

10.设? ? (0, ? ) , ? ? (0, ? ) ,且 tan? ? 1? sin ? ,则

2

2

cos ?

A. 3? ? ? ? ? B. 2? ? ? ? ?

2

2

C. 3? ? ? ? ? 2

D. 2? ? ? ? ? 2

11. 已 知 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 y ? f ? x? 的 导 函 数 为 y ? f '? x? , 当 x ? 0 时

f ?? x? ? f ? x? ? 0 ,若 a ? 1 f (1) , b ? ?2 f (?2) , c ? ( ln 1 ) f ( ln 1 ) ,则 a,b, c 的大

x

22

2

2

小关系是

A. a ? b ? c B. b ? c ? a

C. a ? c ? b

D. c ? a ? b

12.已知定义域为 R 的函数 g(x),当 x∈(﹣1,1]时,g(x)

=

? ? ?

x

1 ?1

?1,

?1 ? x ? 0 ,且 g(x+2)=g(x)对?x∈R 恒成立,若函数

??x2 ? 3x ? 2, 0 ? x ? 1

f(x)=g(x)﹣m(x+1)在区间[﹣1,5]内有 6 个零点,则实数 m 的取值范围是

A.( 2 , 2 ) 53
C.[ 2 , 2 ) 53

B.(﹣ ? , 2 ]∪( 2 ,+ ? )

5

3

D.[ 2 , 2 ] 53

第Ⅱ卷(主观题 90 分)

二、 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13. sin18 ?sin 78 ? cos162 ?cos 78 等于________
14.若函数 y= x ? m 在区间(1,+∞)内是减函数,则实数 m 的取值范围是____. x ?1

15 . 设 点 P 在 曲 线 y ? ex 上 , 点 Q 在 曲 线 y ? ln x 上 , 则 | PQ | 的 最 小 值





16.定义:如果函数 y ? f (x) 在定义域内给定区间[a, b] 上存在 x0 (a ? x0 ? b) ,满



f (x0 ) ?

f (b) ? f (a) ,则称函数 y ? b?a

f (x) 是[a, b]上的“平均值函数”,x0 是它的一个

均 值 点 , 例 如 y ? x 2 是 [?1,1] 上 的 平 均 值 函 数 , 0 就 是 它 的 均 值 点 . 现 有 函 数

f (x) ? x3 ? mx 是[?1,1] 上的平均值函数,则实数 m 的取值范围是



三、解答题:解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)=4cos xsin (x+错误!未找到引用源。)-1. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间[-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。]上的最大值和最小 值.
18.(本小题满分 12 分)函数 f ? x? ? x2 ? mx?m ? 0? 在区间?0, 2? 上的最小值记为 g ?m? . (Ⅰ)若 0 ? m≤4 ,求函数 g ?m? 的 解 析 式 ;

(Ⅱ)定义在 ???,0? ?0, ??? 的函数 h? x? 为偶函数,且当 x ? 0 时, h? x? ? g ? x? .若

h?t? ? h?4?, 求 实 数 t 的 取 值 范 围 .

19.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) .

(I)求函数 f (x) 的单调区间;

(II)函数 f (x) 的图象的在 x ? 4 处切线的斜率为 3 , 若函数 2

g(x) ? 1 x3 ? x2[ f '(x) ? m] 在区间(1,3)上不是单调函数,求 m 的取值范围.

3

2

? ? 20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x? ? 3 sin?x ? cos?x .cos?x ? 1 (其中 2
? ? 0 ),若 f ? x? 的一条对称轴离最近的对称中心的距离为 ?
4

(1)求 y ? f ?x? 的单调递增区间;

(2)在 ?ABC 中角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c 满足
?2b ? a?cosC ? c?cos A,且f ?B? 恰是 f ? x? 的最大值,试判断 ?ABC 的形状.

21.(本小题满分 12 分)如图, ? ,? ,C 三地有直道相通,AB=10 千米,AC=6 千米, BC=8 千米.现甲、乙两 人同时从 ? 地出发匀速前往 ? 地,经过 t 小时,他们之间的距离

为 f ?t? (单位:千米).甲的路线是 ??,速度为 10 千米/小时,乙的路线是 ?C?,速

度为 16 千米/小时.乙到达 ? 地后原地等待.设 t ? t1 时乙到达 C 地.
(1)求 t1 与 f ?t1 ? 的值; (2)已知对讲机的有效通话距离是 3 千米,当 t1 ? t ? 1 时,求 f ?t? 的表达式,并判 断 f ?t? 在?t1,1? 上的最大值是否超过 3 ?说明理由.

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) ? x ? 1 . e2x
(1)当 x ? 0 时, f ? x? ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围;
x ?1
(2)当 a ? 2 时,求证: f ? x??ln?2x ? a? ? x ?1.

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数学(理)试卷参考答案及评分标准

1-5 BCADC 6-10 DBDBB 11-12 CA

13. 1 14. m ? 1 15. 2
2

(?3,? 3]

16.

4

17.解:(1)因为 f(x)=4cos x·sin(x+错误!未找到引用源。)-1

=4cos x(错 误 ! 未 找 到 引 用 源。 sin x+错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 cos

x)-1……………1 分 =错误!未找到引用源。sin 2x+2cos2x-1

……………2 分

=错误!未找到引用源。sin 2x+cos 2x……………4 分

=2sin(2x+错误!未找到引用源。),……………5 分

所以 f(x)的最小正周期为π .……………6 分

(2)因为-错误!未找到引用源。≤x≤错误!未找到引用源。,所以-错误!未找到引用源。

≤2x+错误!未找到引用源。≤错误!未找到引用源。.……………8 分

于是,当 2x+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,即 x=错误!未找到引用源。时,f(x)

取得最大值 2;……………9 分

当 2x+错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。,即 x=-错误!未找到引用源。时,f(x)

取得最小值-1.……………10 分

(最大值与最小值各 2 分)

18.解:(Ⅰ)因为

f

? x? ? x2 ? mx ?m ? 0? , 所 以

f

?x?

?

? ??

x

?

m 2

?2 ??

?

m2 4

, ····················2 分

所 以 f ? x? 在 区 间 ?0 , 2? 上 的 最 小 值 记 为 g ?m? ,

所 以 当 0 ? m≤4 时, 0 ?

m≤2 2

,故

g?m? ?

f

? ??

m? 2 ??

?

? m2 4

. ·······································4



(Ⅱ)当

m

?

4

时,函数

f

?

x?

?

? ??

x

?

m 2

2
? ??

?

m2 4



?0, 2?













所 以 g ? m? ? f?2? ? 4 ? 2 m; ······························································································5 分

结合(Ⅰ)可知,

g

?m?

?

? ?? ?

m2 4

,0

?

m



4,

············································································ 6



??4 ? 2m, m ? 4.

因为

x ? 0 时, h(x) ?

g(x) , 所 以

x ? 0 时, h? x?

?

? ?? ?

x2 4

,0 ?

x ≤ 4,

····························· 7



??4 ? 2x, x ? 4.

易 知 函 数 h ? x? 在 ?0, ??? 上 单调递减, ···········································································8 分

因为定义在 ???,0? ?0, ??? 的函数 h? x? 为偶函数,且 h?t ? ? h?4? ,

? ? 所 以 h t ? h?4? , 所以 0 ? t ? 4 , ···············································································10 分

所以

?t ? 0, ??| t |? 4,



?t ? ???4

0 ?

t

?

4







?4 ? t ?

0或0 ? t ?

4.

综 上 所 述 , 所 求 的 实 数 t 的 取 值 范 围 为 ??4 , 0? ? 0 ,?4. ····································12 分

19.解:(1) f '(x) ? a(1 ? x) (x ? 0) x

(2 分)

高三数学理科答案 1

当 a ? 0时, f (x)的单调增区间为 ?0,1?,减区间为?1,???

当 a ? 0时, f (x)的单调增区间为 ?1,???,减区间为?0,1?;

当 a=0 时, f (x) 不是单调函数

(5 分)

(2) f '(4) ? ? 3a ? 3 得a ? ?2, f (x) ? ?2ln x ? 2x ? 3 42

? g(x) ? 1 x3 ? ( m ? 2)x2 ? 2x,? g'(x) ? x2 ? (m ? 4)x ? 2 (6 分)

3

2

? g(x)在区间(1,3)上不是单调函数 ,且g'(0) ? ?2

?g'(1) ? 0, ???g'(3) ? 0.

(8 分)

?m ? ?3,

?

? ???m

?

19 3

,

(10

分)

m ? (? 19 ,?3) 3

(12 分)

20.解:(Ⅰ)因为

f (x) ? 3 sin ?x ? cos?x ? cos2 ?x ? 1 ? 3 sin 2?x ? 1 (2 cos2 ?x ?1)

22

2

? 3 sin 2?x ? 1 cos 2?x ? sin(2?x ? ? ) ………………………3 分

2

2

6

f (x) 的对称轴离最近的对称中心的距离为 ? 4

所以T ? ? ,所以 2? ? ? ,所以? ? 1 2?

f (x) ? sin(2x ? ? ) ………………………………5 分 6

解 ? ? ? 2k? ? 2x ? ? ? ? ? 2k?

2

62

得: ? ? ? k? ? x ? ? ? k?

6

3

所以函数 f (x) 单调增区间为[? ? ? k? , ? ? k? ](k ? Z ) ………………6 分

6

3

(Ⅱ) 因为 (2b ? a) cosC ? c ? cos A ,由正弦定理,

得 (2sin B ? sin A) cos C ? sin C ?cos A

2sin B cosC ? sin AcosC ? sin C cos A ? sin(A ? C)

因为 sin(A ? C) ? sin(? ? B) ? sin B ? 0

2sin BcosC ? sin B ,所以 sin B(2cos C ?1) ? 0

所以 cos C ? 1 2
所以 0 ? B ? 2? 3

0 ? C ? ? ,所以 C ? ? ……………………9 分 3

, 0 ? 2B ? 4? , ? ? ? 2B ? ? ? 7?

36

66

根据正弦函数的图象可以看出, f (B) 无最小值,有最大值 ymax ? 1,

此时 2B ? ? ? ? ,即 B ? ? ,所以 A ? ?

62

3

3

所以 ?ABC 为等边三角形…………………………12 分

21.解:(1)t ? 3 18

………1 分

记乙到 C 时甲所在地为 D,则 AD=15 千米, 4
在三角形 ACD 中,由余弦定理CD 2 ? AC 2 ? AD 2 ? 2 AC ? AD cos A得:

f (t ) ? CD ? 3 41 (千米) ……4 分

1

4

(2)甲到达 B 用时 1 小时,乙到达 C 用时 3 小时, 8

从 A 到 B 总用时 7 小时 ……5 分 8

当t ? 3 ? t ? 7 时,

18

8

f (t) ? (14 ?16t)2 ? (10 ?10t)2 ? 2(14 ?16t)(10 ?10t) ? 4 5
------7 分

? 2 25t2 ? 42t ?18

当 7 ? t ? 1时, f (t) ? 10 ?10t
8

所以

f

(t)

?

???2 ?

25t 2 ? 42t ? 18

???10 ?10t

3?t ? 7

8

8 ------9 分

7 ?t ?1 8

因为

f

?t?



? ??

3 8

,

7 8

? ??



的最大值是

f

(3) 8

?

3

41 ,------10 4



f

?t?



?7 ?? 8

,1???

上的最大值是

f

(7) 8

?

5 ,---- ----11 4



所以

f

?t

?



? ??

3 8

,1???

上的最大值是

3

41 ,超过 3 . 4

----12 分

22.解:(1)∵ x ? 0 , f ? x? ? m ,
x ?1

∴ m ? ? x ?1?2 ? 0 ,∴
e2x

m

?

x ?1 .----2 ex





g

?

x?

?

x? ex

1

?

x

?

0? ,----3



? ∵ g?? x? ?

?x ex

? 0,∴ g ? x? 在

0, ??? 上单调递减,---4



∴ g ?x? ? g ?0? ?1,∴ m 的取值范围是?1, ??? .---5 分 max

(2)当

a

?

2

时,

? ??

?

a 2

,

??

? ??

?

?

?1,

??

?

,∴

x

?1

?

0



高三数学理科答案 2

? ? 要证

x ?1 e2x

ln

?2x

?

a?

?

x

?1

,只需证

ln

2x ? a

? e2x ,---6 分

又因为 a ? 2 ,∴只需证 ln ?2x ? 2? ? e2x ,

即证 h?t? ? et ? ln?t ? 2? ? 0?t ? 2x ? ?2? .---7 分

∵ h??t ? ? et ? 1 ?t ? 2? 单调递增,
t?2

且 h???1? ? 1 ?1 ? 0 , h??0? ? 1? 1 ? 0 ,

e

2

∴必有 t0 ???1,0? ,使 h??t0 ? ? 0 ,

? ? 即 et0

1 ? t0 ? 2 ,∴ t0 ? ?ln

t0 ? 2

.---9 分

在 ??2,t0 ? 上 h??t? ? 0 ;在 ?t0,??? 上 h??t? ? 0 ,

∴ h?t? min

? h ?t0 ? ? et0

? ln ?t0

? 2? ?

1 t0 ? 2 ? t0

?

?t0 ?1?2
t0 ? 2

? 0 ,---11 分

∴ h?t? ? et ? ln?t ? 2? ? 0,即 ln?2x ? 2? ? e2x ,

故当 a ? 2 时, f ?x??ln?2x ? a? ? x ?1.---12 分