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初中数学中考第八讲不等式与不等式组知识点分析


第八讲:不等式和不等式组
知识梳理 知识点 1、不等式的概念 重点:掌握不等式的概念 难点:各种不等号的意义
a a 用不等号表示不等关系的式子, 叫做不等式. x ? 1 ? 2 , 如: 3-4 ? 4-3, ? 0 , ? 0
2

等都是不等式. 五种不等号的读法及意义: (1) ? ”读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的,但不能明确哪个大哪个小; “ , (2)“>”读作“大于” ,表示其左边的量比右边的量大; (3)“<”读作“小于” ,表示其左边的量比右边的量小; (4)“ ? ”读作“大于或等于” ,即“不小于” ,表示左边“不小于”右边; (5)“ ? ”读作“小于或等于” ,即“不大于” ,表示左边“不大于”右边; 我们可以看出不等号开口所对的数较大,不等号尖口所对的数较小. 例.用不等式表示:①a 大于 0_____________;② 和比 x 的 3 倍小______________________。 解题思路: 注意其不等关系, 用符号语言表示, a ? 0 , ② x ? y ? 0 , (5 ? x ) ? 3 x ? 0 ① ③ 知识点 2、不等式的解集 重点:掌握不等式的解和解集的概念 难点:区分不等式的解和解集的概念 对于一个含有未知数的不等式, 任何一个适合这个不等式的未知数的值, 都叫做这个不 等式的解. 对于一个含有未知数的不等式, 它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合, 简称这 个不等式的解集. 求不等式的解集的过程,叫做解不等式. 知识 3、用数轴表示不等式的方法 重点:掌握用数轴表示不等式的方法 难点:实心点和空心圈的区别 是负数____________;③5 与 x 的

一元一次不等式的解集用数轴表示有以下四种情况,如下图所示: (1) x ? a 如图中 A 所示:

(2) x ? a 如图中 B 所示:

(3) x ? a 如图中 C 所示:

(4) x ? a 如图中 D 所示:

用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律: 大于向右画,小于向左画,有等号( ? , ? )画实心点,无等号(>,<)画空心圈. 知识点 4、不等式的基本性质 重点:掌握不等式的基本性质 难点:运用不等式的基本性质解决问题 不等式基本性质 1: 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式, 不等号的方向不变. 不等式基本性质 2:不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 不等式基本性质 3:不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 例.用不等号填空:若。 解题思路:根据性质 1 a ? 5 ? b ? 5 ,根据性质 3 ? 4 a ? ? 4 b ,根据性质 2 知识点 5、一元一次不等式的概念及解法 重点:一元一次不等式的解法 难点:熟练解一元一次不等式 一般的,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是 1,且不等式的两边都是整式, 这样的不等式叫做一元一次不等式. 一元一次不等式的解法: 解一元一次不等式的一般步骤: ①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤将 x 项的系数化为 1. 注意:解不等式时,上面的五个步骤不一定都能用到,并且不一定按照顺序解,要根据 不等式的形式灵活安排求解步骤.
a 3 ? b 3

例 1.下列不等式中,是一元一次不等式的是( A.2x-1>0 B.-1<2

) D.y +3>5
2

C.3x-2y<-1

解题思路:含有一个未知数并且未知数的次数是 1,这样的不等式是一元一次不等式,选 A 例 2.解不等式
x?5 2 ?1? 3x ? 2 3



解:去分母得: 3 ? x ? 5 ? ? 6 ? 2 ?3 x ? 2 ? . 去括号得: 3 x ? 15 ? 6 ? 6 x ? 4 . 移项得: 15 ? 6 ? 4 ? 6 x ? 3 x . 合并同类项得: 5 ? 3 x . 系数化为 1,得: x ?
5 3



练习 x 为何值时,代数式

的值比代数式

的值大。

答案:当 x<



知识点 6、一元一次不等式组的概念及解法 重点:一元一次不等式组的解法 难点:熟练解一元一次不等式组 一元一次不等式组的概念: 几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组. 几个一元一次不等式的解集的公共部分, 叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集 求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组. 当任何数 x 都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集. 一元一次不等式组的解法: ①分别求出不等式组中各个不等式的解集; ②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集.
? ? 2 x ? 5 ? 3 x ? 4     (1) ? 例求不等式组: ? 4 ?3 x ? 1 ? ? 5 ? 2 x ? 1 ?   ) 的整数解. (2 ?1 ? x x ? ?        ( 3 ) 2 ? 3

解题思路:先分别解每一个不等式,再利用数轴求出不等式组的解集,最后在不等式组

的解集内求出整数解. 解:由(1)得: x ? ? 9 ,由(2)得: x ?
9 2

,由(3)得: x ?

2 5



在数轴上表示出不等式(1),(2),(3)的解集如下图所示:

则不等式组的解集是: ? 9 ? x ?

2 5



不等式组的整数解是: ? 8 , ? 7 , ? 6 , ? 5 , ? 4 , ? 3 , ? 2 , ? 1, 0 . 注意:从上面的例题我们可以概括出求不等式组公共解的一般规律:同大取大,同小取 小,一大一小中间找. 练习解不等式组,并把解集在数轴上表示出来。

答案:-2≤x<3 图略 知识点 7、一元一次不等式(组)的实际应用题 重点:分析题意,找准不等关系 难点:找不等关系,列不等式(组) 例. “五一”黄金周期间,某学校计划组织 385 名师生租车旅游;现知道出租公司有 42 座和 60 座两种客车,42 座客车的租金每辆为 320 元,60 座客车的租金每辆为 460 元, 若学校同时租用这两种客车 8 辆(可以坐不满) ,而且要比单独租用一种车辆节省租金,请 你帮助该学校选择一种最节省的租车方案。
385 ? 42 ? 9 . 2 故应租 10 辆。 解题思路: 单租 42 座客车: 共需租金 320 ? 10 ? 3200 (元)

单租 60 座客车: 385 ? 60 ? 6 . 4 故应租 7 辆,共需租金 460 ? 7 ? 3220 (元)设租用 42 座客 车 x 辆,则 60 座的客车租 ( 8 ? x ) 辆由题意得 ?
? 42 x ? 60 ( 8 ? x ) ? 385 ? 320 x ? 460 ( 8 ? x ) ? 3200

解之得: 3

3 7

? x ?5

5 18

∵x 只能取整数,故 x=4,5 当 x=4 时,租金为: 320 ? 4 ? 460 ? 4 ? 3120 (元) 当 x ? 5 时,租金为: 320 ? 5 ? 460 ? 3 ? 2980 (元) 答:租用 42 座客车 5 辆,60 座客车 3 辆时,所用租金最少。 评注:一元一次不等式(组)在实际生活中有着广泛的应用,解此类实际问题时,需 从题目中捕捉不等关系的词语(如:不足、至少、不少(多)于、不超过、不低于等等关键 的词语)用不等式(组)将它们表示出来,通过解不等式(组)找出符合题意的解。 练习 市政公司为绿化一段沿江风光带,计划购买甲、乙两种树苗共 500 株。甲种树苗 50 元 /株,乙种树苗 80 元/株,有关统计说明:甲、乙两种树苗的成活率分别为 90%和 95%。 (1)若购买树苗的钱不超过 34000 元,应如何选购树苗? (2)若希望树苗的成活率不低于 92%,且购买树苗的费用最低,应如何选购树苗? 解: (1)设购买甲种树苗 x 株,则购买乙种树苗 ( 500 ? x ) 株。 由题意得: 50 x ? 80 ( 500 ? x ) ? 34000 解这个不等式,得: x ? 200 (2)设见(1) ,由题意得
90 % x ? 95 %( 500 ? x ) ? 92 % ? 500

解这个不等式,得: x ? 300 又设购买两种树苗的费用之和为 y 元,则
y ? 50 x ? 80 ( 500 ? x )

即: y ? ? 30 x ? 40000 由一次函数的增减性知:当 x ? 300 时,所用的购树费用最少,费用是 31000 元。

最新考题
中考要求及命题趋势

1.不等式,一元一次不等式(组) 及其解集的概念。 2.不等式的基本性质,一元 一次不等式(组)解法以及解集的数轴表示。 3.解决不等式(组)的应用题,要求学生会将应用题里关于‘已 知 量 ’ ‘未知 量 ’ 之间的关系用明确的不等式关系表示出来,并注意 应用题中字母 所表示的实际意义。 2010 年的中考将会以填空和选择的方式考查不等式的基本性质和解集概念,解答题是解不 等式(组) ,并把解集在数轴上表示出来。不等式的应用题还是热点考查内容,考查可能与 日常生活相联系,也可能与其他章节内容,如方程、函数及几何内容相结合。 应试对策 解不等式(组)是本讲的重点,而不等式的性质是解不等式的基础,在复习本节 时 , 首先要强化三条性质的应用顺练,切忌不等式两边同乘 (除)含 字母的代数式(即正负不 明的代数式) ;其次注意 数 形 结合的方法, 即充分利用数轴,关于不等式(组)的应用题, 要通过建模训练, 学会找出实际问题中的不等关系, 并能在不等式的解集中找出符合题意的 答案,还要注意与其他类型的应用题结合起来训练。 考查目标一:一元一次不等式(组)的解法。 例 1. 不等式 2 x ? 3 ? x 的解集是( A. x<2 B. x>2 ) C. x>1 D. x<1

解:移项,合并同类项,得: 3 x ? 3 系数化为 1,得: x ? 1 例 2. (2009 年内蒙古包头)解不等式: 解:去分母得: x ? 1 ? 2 ? 2 x 移项,合并同类项得: ? x ? ? 1 系数化为 1,得: x ? 1 解集在数轴上表示为:
x ?1 2 ? 1 ? x ,并把解集表示在数轴上。

评注:熟练掌握不等式的基本性质是正确的解一元一次不等式的基础。解不等式的一

般步骤与解方程的步骤相同。但要特别注意“不等式两边同乘以(或除以)一个负数时,必 须改变不等号的方向” ,这是一个难点和易错点。 例 3. ( 2009 年 天 津 市 ) 解 不 等 式 组 , 并 在 数 轴 上 把 解 集 表 示 出 来 。
?x ? 3 ?3? x ? ? 2 ?1 ? 3 ( x ? 1) ? 8 ? x ? (1) (2)

解:解不等式(1)得: x ? 3 解不等式(2)得: x ? ? 2 ∴原不等式的解集为: ? 2 ? x ? 3 在数轴上表示如下:

例 4. ( 2009 恩 施 市 ) 若 不 等 式 组 ?
(a ? b )
2006

?x ? a ? 2 ?b ? 2x ? 0

的 解 集 是 ?1? x ?1 , 则

? ___________。

?x ? 2 ? a ? 解:解原不等式组得: ? 因为不等式组的解集为: ? 1 ? x ? 1 b ?x ? 2 ?
?a ? 2 ? ?1 ?a ? ?3 ? ??b ,? ? ?b ? 2 ? ?1 ?2

? (a ? b )

2006

? (?3 ? 2)

2006

?1

评注:一元一次不等式组的解集的求法是: (1)先分别求出此不等式的解集; (2)再利用数轴求出多个解集的公共部分就是这个不等式组的解集,若各不等式的解 集没有公共部分,则这个不等式组无解。

考查目标二:一元一次不等式(组)的整数解。
?x ?1 ?1 ① ? 例 5. (2009 年崇左)解不等式组 ? 2 ? x ? 2 ? 4 ( x ? 1) ?

,并写出不等式组的正整数解。


解:解不等式①得: x ? 3 解不等式②得: x ? ? 2
? 不等式组的解集是 ? 不等式组的正整数解是 ? 2? x ?3 1, 2 , 3

例 6. 不等式 5 ? 2 x ? 8 ? x 的负整数解是_________________。 解:移项,合并同类项得: ? x ? 3 系数化为 1,得, x ? ? 3 ∴原不等式的负整数解是 ? 3 , ? 2 , ? 1 评注:求一元一次不等式(组)的整数解的一般步骤是:先求出一元一次不等式(组) 的解集,再确定适合解集范围的整数解、正整数解、非负整数解(自然数解)等特殊解,有 时借助于数轴会更直观。 考查目标三:一元一次不等式(组)的实际应用题 例 7(昆明中考)我市某中学要印制本校高中招生的录取通知书,有两个印刷厂前来联系制 作业务,甲厂的优惠条件是:按每份定价 1.5 元的八折收费,另收 900 元制版费;乙厂的 优惠条件是:每份定价 1.5 元的价格不变,而制版费 900 元则六折优惠.且甲乙两厂都规 定:一次印刷数量至少是 500 份. (1)分别求两个印刷厂收费 y(元)与印刷数量 x(份)的函数关系, 并指出自变量 x 的取值范围. (2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案?如果这个中学要印制 2000 份录取通知书。那 么应当选择哪一个厂?需要多少费用? 解题思路:本题主要考查一次函数、不等式等知识,考查运算能力及分析和解决实际问题 的能力. 解:(1)y 甲=1.2x+900(元)x≥500(份),且 x 是整数 y 乙=1.5x+540(元) x≥500(份),且 x 是整数

(2) 若 y 甲>y 乙,即 1.2x+900>1.5x+540∴x<1200 若 y 甲=y 乙,即 1.2x+900=1.5x+540∴x=1200 若 y 甲<y 乙,即 1.2x+900<1.5x+540∴x>1200 当 x=2000 时,y 甲=3300 答:当 500≤x<1200 份时,选择乙厂比较合算; 当 x=1200 份时,两个厂的收费相同; 当 x>1200 份时,选择甲厂比较合算; 所以要印 2000 份录取通知书,应选择甲厂,费用是 3300 元

过关测试
一、选择题: 1.下列不等式中,是一元一次不等式的是( A.2x-1>0 2.不等式 B.-1<2 的解集是( ) D.y +3>5
2

C.3x-2y<-1 )

A.x≤

B.x ≥

C.x≤

D.x ≥

3.一元一次不等式组 A.-2<x<3

的解集是 ( B.-3<x<2 C.x<-3

) D.x<2 )

4.如图 1,在数轴上所表示的是哪一个不等式的解集(

A.

B.

C.x+1≥-1

D.-2x>4

5.如果两个不等式的解集相同,那么这两个不等式叫做同解不等式。下列两个不等式是同 解不等式的是 A. ) 与 B. 与

C.

与 )

D.



6.解下列不等式组,结果正确的是(

A.不等式组

的解集是 x>3

B.不等式组

的解集是-3<x<-2

C.不等式组

的解集是 x<-1 D.不等式组

的解集是-4<x<2

7.若

,则 a 只能是( A.a≤-1 B.a<0

) C.a≥-1 D.a≤0 )

8.关于 x 的方程 A.a>3

的解是非负数,那么 a 满足的条件是( B.a≤3 C.a<3 D.a≥3

9.如果最简二次根式 3 a ? 8 与 17 ? 2 a 是同类根式,那么使 4 a ? 2 x 有意义的 x 的取 值范围是 A.x≤10 10.不等式组 ? A.0 11.不等式组 ( ) B.x≥10
?3 x ? 3 ? 1 ?x ? 4 ? 8 ? 2x

C.x<1O D.x>10 的最小整数解是 ( C.2 ) (C) -1,0 ) (D) 0,1 ) D.-1

B.1
?x ? 1 ? 0 的整数是( ? ?x ? 2 ? 3

(A) -1,0,1

(B) -1,1

12.函数 y= x ? 2 中,自变量 x 的取值范围是( A.x≠2 二、填空题 B.x≥2 C.x≤2D.x>2

1.不等式组 2.不等式 3.

的解集是__________________。 的正整数解是_______________________。 的最大值是 b,则

的最小值是 a,

4.生产某种产品,原需 a 小时,现在由于提高了工效,可以节约时间 8%至 15%,若现在所 需要的时间为 b 小时,则____________< b <_____________。 5.编出解集为 的一元一次不等式为______________________。

6.若不等式组 三、解答题

的解集是空集,则 a、b 的大小关系是_______________。

1.已知关于 x、y 的方程组 (1)求这个方程组的解;



(2)当 m 取何值时,这个方程组的解中,x 大于 1,y 不小于-1。

2.已知方程组

的解为负数,求 k 的取值范围.

3.某种植物适宜生长在温度为 18℃~20℃的山区,已知山区海拔每升高 100 米,气温下降 0。5℃,现在测出山脚下的平均气温为 22℃,问该植物种在山的哪一部分为宜?(假设山 脚海拔为 0 米)

4.某园林的门票每张 10 元,一次使用,考虑到人们的不同需求,也为了吸引更多的游客, 该园林除保留原来的售票方法外,还推出了一种“购买个人年票”的售票方法(个人年票从 购买日起,可供持票者使用一年)。年票分 A、B、C 三类:A 类年票每张 120 元,持票者进 入园林时,无需再用门票;B 类年票每张 60 元,持票者进入该园林时,需再购买门票,每 次 2 元;C 类年票每张 40 元,持票者进入该园林时,需再购买门票,每次 3 元。

(1)如果你只选择一种购买门票的方式,并且你计划在一年中用 80 元花在该园林的门票上, 试通过计算,找出可进入该园林的次数最多的购票方式。

(2)求一年中进入该园林至少超过多少次时,购买 A 类年票比较合算。

5. 王女士看中的商品甲乙两商场均有售且标价相同,但两商场采用的促销方式不同, 甲商场:一次性购物超过 100 元,超过的部分八折优惠; 乙商场:一次性购物超过 50 元,超过的部分九折优惠; 那么她在甲商场购物超过多少元就可比乙商场购物优惠? 6. 将一箱苹果分给若干小朋友,若每位小朋友分 5 个苹果,则还剩 12 个苹果;若每位小朋 友分 8 个苹果,则有一个小朋友分不到 8 个苹果,求这箱苹果的个数与小朋友的人数。

参考答案
一、 ABCCADBDAACB

二、1.-2≤x<1;2.1,2,3;3.-4;4.a-8%a<b<a-15%a;5.x-1≥1;6.a<b;

三、1.当 m 取值在 1<m≤5 时;2.k<

;3.800 米;

4.提示:通过列三种票的函数关系,再通过不等式解答。

5. 解:设购买价格为 x 元的商品,甲商场优惠 由题意,得 100 ? ( x ? 100 ) ? 0 . 8 ? 50 ? ( x ? 50 ) ? 0 . 9 解之得: x ? 150 答:王女士在甲商场购买至少 150 元的商品就可比乙商场购物优惠。 6. 解:设共有 x 个小朋友,则苹果共有 ( 5 x ? 12 ) 个,依题意得: 0 ? 8 x ? ( 5 x ? 12 ) ? 8 解这个不等式组,得: 4 ? x ?
20 3

∵x 只能为正整数,∴x 只能取 5,6 当 x=5 时,苹果有 5 x ? 12 ? 5 ? 5 ? 12 ? 37 (个) 当 x=6 时,苹果有 5 x ? 12 ? 5 ? 6 ? 12 ? 42 (个) 答:当有 5 个小朋友时,苹果有 37 个;当有 6 个小朋友时,苹果有 42 个。


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