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21从位移、速度、力到向量


第二章 平面向量

课堂广角

向量及向量符号的由来
? 向量最初被应用于物理学,被称为矢 量.很多物理量,如力、速度、位移、电 场强度、磁场强度等都是向量。 ? 大约公元前350年,古希腊著名学 者亚里士多德就知道了力可以表示为向 量.向量一词来自力学、解析几何中的有 向线段。 ? 最先使用有向线段表示向量的是英国 大科学家牛顿。

第二章 平面向量

§1 从位移、速度、力到向量
一、向量的概念 二、向量的表示方法 三、向量的相关概念

C

A

B

思考?
嘻嘻!大笨 猫!

老鼠由A向东北逃窜,猫在 B处向东追去。猫能否追到 老鼠?

A A B

唉, 哪儿去了?

B 不能,因为方向错了。

一、向量的概念
请举出物理中的标量和矢量的实例,并进行比较。
标量:距离、身高、质量、时间、路程、密度等; 矢量:位移、力、速度、加速度、动量、力矩等。 物理中的标量和矢量在数学中分别叫做数量和向量.

向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量
数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、 比较大小;

向量有方向,大小,双重性,不能比较大小。
本书中我们研究平面向量,在立体几何中我们将研究空间向量

二、向量的表示方法 1.几何表示法:
用有向线段表示向量,长度表示向量的大小,箭 头所指的方向表示向量的方向。

B A 上面的向量记为AB, A为向量的起点, B为向量的终点;
也可记为a
有向线段的三要素:起点、方向、长度 向线段的起点和终点字母表示,如 AB .
特别注意:把有向线段(即向量)任意 平移,向量不变,即看作同一向量,因 为向量的大小和方向没有改变。

a

? ? ? c 等小写字母表示;或用表示有 2.字母表示法: 用 a、 b、

三、向量的相关概念

()向量 1 AB大小称为向量的长度(也叫模),记为 AB

(2)长度为0的向量叫零向量,记为0 ,它的方向是任意的。

? 0与 0 相等吗? 思考:

(3)长度为 1的向量叫单位向量。
思考:把所有单位向量的起 点集中于一点O,问它们终点 的轨迹是什么? 答:如图:轨迹是以O为圆心,半径为1的圆。

(4)如图,方向相同或相 反的非零向量叫平行向量 (也叫共线向量)。

a
b

规定零向量与任何向量平行

c
d
C

思考:如图

AB// BC

吗?

B A

(5)相等向量:长度相等,方向相同的两个向量。

b

a

a?b

思考:
? 1、若两个向量相等,则它们的起点和终点 分别重合吗? ? 2、向量 AB 与 CD 是共线向量,则A、B、 C、D四点必在一直线上吗? ? 3、平行于同一个向量的两个向量平行吗? ? 4、若四边形ABCD是平行四边形,则有 A AB = DC 吗? B
D C

判断下列命题真假或给出问题的答案: (1)平行向量的方向一定相同. ×
(2)不相等的向量一定不平行.

×
零向量 零向量

(3)与零向量相等的向量是什么向量? (4)存在与任何向量都平行的向量吗? 么向量? 平行向量(共线向量)

(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什

(6)共线向量一定在同一直线上.

×

1.判断下列命题是否正确,若不正确,请 简述理由. ①向量 AB与 CD是共线向量,则A、B、C、D 四点必在一直线上; (× ) ②单位向量都相等;

(× )

③任一向量与它的相反向量(长度相同,方向相 反的向量)不相等; (× ) ④共线的向量,若起点不同,则终点一定不同。

(× )

2.下面几个命题:
(1)若a = b,b = c,则a = c。

(2)若|a|=0,则a = 0
(3)若|a|=|b|,则a = b (4)两个向量a、b相等的充要条件是 |a|=|b| a ∥b (5)若A、B、C、D是不共线的四点,则AB=DC是

四边形ABCD是平形四边形的充要条件。
其中正确的个数是( A.0 B. 1 C. 2
D C

)
C

D. 3

D

变:若 a ∥ b, b ∥ c, 则a ∥c
A B B

当b ≠ 0时成立。
A

四、例题
例1:判断下列各命题是否正确? () 1 a ? b , 则a ? b; (2)若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; (3)若 AB ? CD, 则四边形ABCD是平行四边形; (4)若a ? b, b ? c, 则a ? c; (5)若a // c, b // c, 则a // b

(1)错 (4)对

(2)错 (5)错

(3)错

例2:已知O为正六边形ABCDEF的中心,在图中 所标出的向量中:

( 1 )试找出与FE共线的向量;

(2)确定与FE相等的向量;

(3) OA与BC相等吗?
解:( 1 ) OA, BC (2) BC (3)因为方向相反,所以不 相等。

E

D

F A

O
B

C

例3:在4 ? 5达到方格中有一个向量 AB,以图中 的格点为起点和终点作 向量,其中与AB相等的

向量有多少个?与 AB长度相等的共线向量有 多少个?

B
相等的有 7个

A

长度相等 的有15个

例4:思考下列问题,并回答
下列命题正确的是 (1)共线向量都相等 (2)单位向量都相等 (3)平行向量不一定是共线向量 (4)零向量与任一向量平行

小结:

1.向量的概念: 既有大小又有方向的量 2.向量的表示: 1.几何表示 2.字母表示 3.零向量: 长度为零的向量 4.单位向量: 长度为1个单位的向量 1.方向相同或相反的非零向量 5.平行向量: 2.零向量与任一向量平行 6.相等向量: 长度相等且方向相同的向量 7.共线向量: 平行向量就是共线向量

1.向量的概念: 2.向量的表示: 3.零向量: 仅对向量的大小明确规定,而 没有对向量的方向明确规定 4.单位向量: 5.平行向量: 仅对向量的方向明确规定,而 没有对向量的大小明确规定 6.共线向量: 7. 相等向量: 对向量的大小和方向都明确规定

练习: (1)下列各量中是向量的是( A ) A.加速度 B.路程 C.质量 D.长度
F (2)等腰梯形 ABCD中,对角线 AC 与 BD相交于点 P,点 E 、
BC上, EF过点 P且 EF // AB ,则下列等式正 分别在两腰 AD 、 确的是( D ) A. AD ? BC B.AC ? BD

C. PE ? PF

D.EP ? PF

相等 (3)物理学中的作用力和反作用力是模__________ 相反 且方向_________ 的共线向量

(4).下列说法正确的是 ( A ) A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是 0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量.

(5).已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反; ④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量. 其中是向量a与b平行的充分不必要条件是①③④ _____.

(6).某人从A点出发向西走了200m到达B点,然后 改变方向向西偏北60°走了450m到达C点,最 后又改变方向,向东走了200m到达D点. (1)作出向量 AB 、 BC 、 CD 的模 (2)求 DA
C D

B

A


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