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湖北省八校2011届高三第一次联考理科数学试题及试题参考答案


2011 届湖北八校第一次联考 数学(理科)试题参考答案
题号 答案

1
D

2
A

3

4
A

5

6

7

8

9

10

B

C

A

D

C

C

B

11 .

3 3

12 . ? 3
?

13.
12 7

?9

14 .

1 ? ( n ? 1)2

n

15 .

13 9

?? ? 16 . (Ⅰ)? p // q
2

cos 2 A ? (1 ? sin A ) ? 2 sin A ,

? 6(1 ? 2 sin A ) ? 7 sin A (1 ? sin A ) , 5 sin 2 A ? 7 sin A ? 6 ? 0 ,
? sin A ? 3 5 . (sin A ? ? 2 舍 ) 1 2 bc sin A ? 3, b ? 2 ,得 c ? 5 ,
2

6分

(Ⅱ)由 S ? ABC ?

又 cos A ? ? 1 ? sin A ? ?
2 2 2

4 5



? a ? b ? c ? 2bc cos A ? 4 ? 25 ? 2 ? 2 ? 5 cos A ? 29 ? 20 cos A ,

当 cos A ?

4 5

时, a ? 13, a ? 13 ;
2

10 分 12 分

当 cos A ? ?

4 5

时, a ? 45, a ? 3 5 .
2

17 .(Ⅰ)? f ( x ) 是偶函数, ? f ( ? x ) ? f ( x ) ,
? log 2 (1 ? x ) ?
4

1 ? mx
2

1? x ? mx ? 0 ,? m ? 0 .
4

? log 2 (1 ? x ) ?
4

mx ? 1 1? x
2

, 2分

? f ( x ) ? log 2 (1 ? x ) ?

1 1? x
2

, f ( x ) 的递增区间为 [0, ?? ) ,递减区间为 ( ?? , 0] . 4分

(Ⅱ)? f ( x ) 是偶函数 ,? f ( x ? k ) ? f ( x ? k ) , 不等式即 f ( x ? k ) ? f ( 3 x ? 1 ) ,由于 f ( x ) 在 [0, ?? ) 上是增函数,
? x ? k ? 3 x ? 1 , ? x 2 ? 2 kx ? k 2 ? 9 x 2 ? 6 x ? 1 ,

即 8 x ? (6 ? 2 k ) x ? (1 ? k ) ? 0 ,? ( x ?
2 2

k ?1 2

)( x ?

k ?1 4

)?0,

7分

?

k ?1 2

? (?

k ?1 4

)?

3k ? 1 4

,

?k ?

1 3

时,不等式解集为 ? ;

k ?1 k ?1 , ); 3 4 2 1 k ?1 k ?1 k ? 时,不等式解集为 ( ,? ). 3 2 4 k ? 1

时,不等式解集为 ( ?

12 分

18 . (Ⅰ)? C , D 关于直线 l 对称? C 点坐标为 (2 ? 34 ? 44, 16) 即 (24, 16) ,
? ? 22 ? a sin ? ? b ? ? ? ?19 ? a sin( ? ? ) ? b 6 ? ? ? ?16 ? a sin( 3 ? ? ) ? b ?

① ② ③

把 A 、 B 、 C 的坐标代入解析式,得

② ? ①,得 ③ ? ①,得

a [sin( a [sin(

?
6

? ? ) ? sin ? ] ? ? 3 , ? ? ) ? sin ? ] ? ? 6 ,

?
3

? 2 sin(

?
6

? ? ) ? 2 sin ? ? sin(

?
3

? ? ) ? sin ? ,? cos ? ?

3 s in ? ?

3 2

cos ? ?

3 2

sin ? ,

? (1 ?

3 2

) cos ? ? (

3 2

?

3 ) sin ? ?

3(

3 2

? 1) sin ? ,

? tan ? ? ?

3 3

,? 0 ? ? ? ?

?? ? ? ?

?
6

?

5? 6

, 代入②,得 b ? 19 , . 7分

再由①,得 a ? 6 ,

? a ? 6, b ? 19 , ? ?

5? 6

于是, ABC 段的解析式为 y ? 6 sin(

?
72

x?

5? 6

) ? 19 , (68 ? x ) ? 5? 6 ] ? 19 ,

由对称性得, DEF 段的解析式为 y ? 6 sin[
?

?
72

, 解得 x F ? 92 , 72 6 2 ? 当 x ? 92 时,股价见顶. (68 ? x F ) ? ?

?

5?

?

10 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, y F ? 6 ? 19 ? 25 ,故这次操作老张能赚 5000 ? (25 ? 16) ? 45 000

元.

12 分

19 . (Ⅰ)? l 与圆相切,? 1 ?

m 1? k
2

? m ? 1? k
2

2

………… ①

? y ? kx ? m 2 2 2 由? 2 , 得 (1 ? k ) x ? 2 mkx ? ( m ? 1) ? 0 , 2 ?x ? y ? 1

? 2 ? 1? k ? 0 ? ? 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? 4 m k ? 4(1 ? k ) ( m ? 1) ? 4( m ? 1 ? k ) ? 8 ? 0 , ? 2 m ?1 ? x1 ? x 2 ? ?0 2 ? k ?1 ?

? k ? 1, ? ? 1 ? k ? 1 ,故 k 的取值范围为 ( ? 1,1) .
2

由于 x1 ? x 2 ?
?0 ? k ?1
2

2mk 1? k
2

? x 2 ? x1 ?

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

2 2 1? k
2

?

2 2 1? k
2



2 ? 当 k ? 0 时, x 2 ? x1 取最小值 2 2 .

6分

(Ⅱ)由已知可得 A1 , A2 的坐标分别为 ( ? 1, 0), (1, 0) ,
? k1 ? y1 x1 ? 1 , k2 ? y2 x2 ? 1

, ? k1 ? k 2 ?

y1 y 2 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)

?

( kx1 ? m )( kx 2 ? m ) ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)
2

?

k x1 x 2 ? m k ( x1 ? x 2 ) ? m
2

2

k ?
2

m ?1
2 2

x1 x 2 ? ( x 2 ? x1 ) ? 1

?

k ?1 2 m ?1

k ?1 2 2 ? 2 ?1 2 k ?1 k ?1
2

? mk ?

2 mk

?m

?

m k ? k ? 2m k ? m k ? m
2 2 2 2 2 2 2

2

m ?1? 2 2 ? k ?1
2 2

?

k ?m
2 2 2

2

m ?k ?2?2 2
?1 3?2 2



由①,得

m ? k ? 1,
2 2

? k1 ? k 2 ?

? ? (3 ? 2 2 ) 为定值.

12 分

20 . (Ⅰ)? a n ?1 ? f ( n ? 1) ? 3[ a n ? f ( n )]
所以只需 f ( n ? 1) ? 3 f ( n ) ? 2
n ?1

? a n ?1 ? 3 a n ? f ( n ? 1) ? 3 f ( n ) ,

? 8n ,

? f ( n ? 1) ? 3 f ( n ) ? ? A ? 2

n ?1

? 2 Bn ? ( B ? 2 C ) ,? ? A ? 1, ? 2 B ? ? 8, B ? 2 C ? 0 ,

? A ? ? 1, B ? 4, C ? 2 .故李四设想的 f ( n ) 存在, f ( n ) ? ? 2

n ?1

? 4n ? 2 .

? an ? f (n ) ? 3 ? an ? 2 ? 3
n ?1

n ?1

[ a1 ? f (1)] ? 3
n ?1

n ?1

(7 ? 5) ? 2 ? 3
n ?1

n ?1

, 5分

? f (n) ? 2 ? 3

?2

? 2(2 n ? 1).

(Ⅱ) S n ? 2(1 ? 3 ? 3 ? ? ? 3
2

n ?1

) ? (1 ? 2 ? ? ? 2
2

n ?1

)
2 n n

? 2[3 ? 5 ? ? ? (2 n ? 1)] ? 3 ? 2 ? 2 n ? 4 n.
n n

? Sn ? 2n ? 3 ? 2 ? 4n ,
2 ? 4n
n

7分

由 S n ? 2 n ? p ? 3 ,得
2 n

p?

3 ? 2 ? 4n
n n

3

n

? 1?

3

n

.

设 bn ?

3 ? 2 ? 4n
n n

3

n

,则

b n ? 1 ? bn ? 1 ?

2

n ?1

? 4( n ? 1) 3
n ?1

?1?

2 ? 4n
n

3
1

n

?

2 ? 8n ? 4
n

3

n ?1

?

2 ? 4(2 n ? 1)
n

3
n?2

n ?1

,

当 n ? 6 时, 2

n?2

? (1 ? 1)

n?2

? 1 ? Cn?2 ? Cn?2 ? ? ? Cn?2 ? Cn?2
2

n ?3

? 2(1 ? n ? 2) ?

( n ? 2)( n ? 3) 2

? 2 n ? 2 ? 2( n ? 3) ? 4 n ? 8 ? 2 n ? 1 , 用数学归纳法证也行) ( 689 729

? n ? 6 时, bn ?1 ? bn .

容易验证 , 1 ? n ? 5 时, bn |? 1 ? bn , ? p ? ( bn ) min ? b6 ?
689 729 ).

,

? p 的取值范围为 ( ?? ,

13 分

1

21 . f ?( x ) ?

2 1 2 ?

a 1 2 ? 2x ? a ? ax

2 ax ( x ?

a ?2
2

2a 1 ? ax

)

.

2 1 a ?2 2 ? 0 ,? a ? a ? 2 ? 0 ,? a ? 0 ,? a ? 2 . (Ⅰ)由已知,得 f ?( ) ? 0 且 2a 2

2分 (Ⅱ)当 0 ? a ? 2 时,?
a ?2
2

2a

?

1 2

?

a ?a?2
2

2a

?

( a ? 2)( a ? 1) 2a

? 0 ,?

1 2

?

a ?2
2

,

2a

?当x ?

1 2

时, x ?

a ?2
2

2a

? 0 .又

1 ? 0 ,? f ?( x ) ? 0 ,故 f ( x ) 在 [ , ? ? ) 上是 1 ? ax 2

2 ax

增函数.

5分

1 1 1 (Ⅲ)a ? (1, 2) 时,由(Ⅱ)知, f ( x ) 在 [ ,1] 上的最大值为 f (1) ? ln( ? a ) ? 1 ? a , 2 2 2 1 1 2 于是问题等价于: 对任意的 a ? (1, 2) , 不等式 ln( ? a ) ? 1 ? a ? m ( a ? 1) ? 0 恒成立. 2 2 1 1 2 记 g ( a ) ? ln( ? a ) ? 1 ? a ? m ( a ? 1) , 1 ? a ? 2 ) ( 2 2 1 a ? 1 ? 2 ma ? [2 ma ? (1 ? 2 m )] , 则 g ?( a ) ? 1? a 1? a ?a ? 0 , ? g ( a ) 在区间 (1, 2) 上递减,此时, g ( a ) ? g (1) ? 0 , 当 m ? 0 时, g ?( a ) ? 1? a

由于 a ? 1 ? 0 ,? m ? 0 时不可能使 g ( a ) ? 0 恒成立,故必有 m ? 0 ,
2

? g ?( a ) ?

2 ma 1? a

[a ? (

1 2m

? 1)] . 1 2m ? 1}) 上递减,在此区间上,有



1 2m

? 1 ? 1 ,可知 g ( a ) 在区间 (1, min{2,


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