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任意角、弧度制及任意角的三角函数 教师版

任意角、弧度制及任意角的三角函数
【2015 年高考会这样考】 1.考查三角函数的定义及应用. 2.考查三角函数值符号的确定. 【复习指导】 从近几年的高考试题看,这部分的高考试题大多为教材例题或习题的变形与创 新,因此学习中要立足基础,抓好对部分概念的理解.

基础梳理 1.任意角

(1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为 ②按终边位置不同分为 (2)终边相同的角 终边与角α 相同的角可写成 α +k?360°(k∈Z) . 正角 象限角 、 和 负角 、 轴线角 零角 . .

象限角 象限角 象限角 ? 的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 终边相同的角 (1)所有与角 ? 终边相同的角,连同角 ? 在内,可构成一个集合 (2)终边相同的角的同一三角函数的值 ,即
sin(? ? 2k? ) ? cos(? ? 2k? ) ? tan( ? ? 2k? ) ?

, , .

【考点 1 角的概念】 命题规律: 1.终边相同的角的应用;2.判定有关角是第几象限角。

例 1 、如图,点 A 在半径为 1 且圆心在原点的圆上,且 ?AOx ? 45 ? ,点 P 从点 A 出发,依逆时针方向等速地沿单位圆周旋转。已知 P 在 1 秒钟内转过的角度为

? (0? ? ? ? 180?) ,若经过 2 秒可以到达第三象限,若经过 14 秒钟又可回到出发
点 A,求 ? 。
y P O A

x

【点拨】解答这类问题,关键在于抓住终边相同的角的一般表示,即与角 ? 终边相同的角 的一般形式为 ? ? ? ? k ? 360?(k ? Z ).另外,对于角的概念,还要注意区分几个易混淆的概 念:(1)正角、负角是以射线绕端点的旋转方向定义的,一个角是第几象限角,关键是看 这个角的终边落在第几象限;(2)“小于 90 ? 的角”“锐角”“第一象限角”的根本区别 在于其范围的不同,它们的范围分别是:“ ? ? 90? ”“ 0 ? ? ? 90? ” “ k ? 360? ? ? ? k ? 360? ? 90?(k ? Z ) ”。

? ?? ? 150? ? k ? 360?, k ? Z} , 练习 1:已知 A ? {? k ? 360 B ? {? ? 90? ? k ? 360? ?? ? 45? ? k ? 360?或90? ? k ? 360? ? ? ? 225? ? k ? 360?, k ? Z}
,求 A ? B与A ? B 。

例 2、已知 ? 是第三象限角,则

?
2

是第

象限角。

练习 2:已知? 是第三象限角,则

?
3

是第

象限角。

9π 3.下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是( 4 A.2kπ +45°(k∈Z) (k∈Z) C.k?360°-315°(k∈Z) 解析 与

). 9 B . k ? 360°+ π 4 D.kπ + 5π (k∈Z) 4

9π 9 的终边相同的角可以写成 2kπ + π ,(k∈Z),但是角度制与弧度 4 4 制不能混用,所以只有答案 C 正确. 答案 C 4.若α =k?180°+45°(k∈Z),则α 在( ). A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限 解析 当 k=2m+1(m∈Z)时,α =2m?180°+225°=m?360°+225°,故α 为第三象限角; 当 k=2m(m∈Z)时,α =m?360°+45°,故α 为第一象限角. 答案 A (3)弧度制 ①1 弧度的角: 把长度等于半径长的弧所对的圆心角 叫做 1 弧度的角. ②规定:正角的弧度数为 的弧度数为 半径. ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制,比值 与所取的 r 的大小 关 ,仅与角的大小有关. ④弧度与角度的换算:360°= 2π ⑤弧长公式: l=|α |r , 弧度;180°= π 弧度. 0 ,|α |= 正数 ,负角的弧度数为 负数 ,零角

l ,l 是以角α 作为圆心角时所对圆弧的长,r 为 r l r


扇形面积公式:S 扇形=

1 1 lr = |α |r2 . 2 2

【考点 2 弧度制】 命题规律: 1.弧度制与角度制的互化;2.求扇形的弧长或面积。 例 3、已知一个四分之一圆的扇形的弧长等于 50cm,求这个扇形的内切圆的面积。

练习 3: 已知一扇形的周长为 C(C>0),当扇形的中心角为

弧度时,它有最大面积。

例 4. (1)已知扇形的周长为 10 cm,面积为 4 cm2,求扇形的弧长; (2)已知一扇形的圆心角是 72°,半径等于 20 cm,求扇形的面积. 解:(1)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0<θ<2π),弧长为 l,半径为 r, l+2r=10, ? ? 依题意有? 1 ? ? 2lr=4. ② ① ①代入②得 r2 -5r+4=0,解之得 r1 =1,r2 =4.

当 r=1 cm 时,l=8(cm),当 r=4 cm 时,l=2(cm),∴弧长为 8 cm 或 2 cm. π 2π (2)设扇形弧长为 l,∵72° =72? rad= rad, 180 5 ∴l=αR= 2π 1 1 2 ?20=8π(cm),∴S= lR= ?8π?20=80π(cm ). 5 2 2

练 4. (1)一个半径为 r 的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆 的长,那么扇形的圆心角是多少弧度?是多少度?扇形的面积是多少? (2)一扇形的周长为 20,当扇形的圆心角α 等于多少弧度时,这个扇形的面积最大? 解:(1)设扇形的圆心角是 θ rad,因为扇形的弧长是 rθ,所以扇形的周长是 2r+rθ. 依题意, 得 2r+rθ=πr, 180 ∴θ=π-2=(π-2)?( )° ≈1.142?57.30° ≈65.44° ≈65° 26′. π 1 1 ∴扇形的面积为 S= r2 θ= (π-2)r2 . 2 2 (2)设扇形的半径为 r,弧长为 l,则 l+2r=20, 即 l=20-2r(0<r<10). ①

1 1 2 2 扇形的面积 S= lr,将①代入,得 S= (20-2r)r=-r +10r=-(r-5) +25, 2 2 l 所以当且仅当 r=5 时,S 有最大值 25. 此时 l=20-2?5=10,α= =2. r 所以当 α=2 rad 时,扇形的面积取最大值.

2.任意角的三角函数定义 设α 是一个任意角,角α 的终边上任意一点 P(x,y),它与原点的距离为 r(r>

0),那么角α 的正弦、余弦、正切分别是:sin α = =

y x ,cos α = ,tan α r r
函数值 的函数.

y ,它们都是以角为 自变量 x

,以比值为

3.三角函数线 设角α 的顶点在坐标原点, 始边与 x 轴非负半轴重合, 终边与单位圆相交于点 P, 过 P 作 PM 垂直于 x 轴于 M,则点 M 是点 P 在 x 轴上的 影 α ) OM 正射

.由三角函数的定义知,点 P 的坐标为 (cos α ,sin ,即 ,sin α = MP P(cos α ,sin α ) ,其中 cos α =

,单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A,单位圆在 AT 正弦 .

A 点的切线与α 的终边或其反向延长线相交于点 T,则 tan α =
我们把有向线段 OM、MP、AT 叫做α 的 线 、 正切线 余弦线 、

三 角 函 数 线 有向线段 MP 为正弦线

有向线段

OM

为余弦线

有向线段

AT

为正切线

【考点 3 任意角的三角函数】 命题规律:1.任意角的三角函数的定义;2.求终边给定的角的某些三角函数值;3.三角函数 值 符 号 的 判 定 ; 4. 三 角 函 数 线 段 表 示 的 应 用 。

例 4、已知角? 终边经过点 P( x,? 2 )(x ? 0), 且 cos? ?

3 x, 求 sin ? , tan? 的值。 6

练习 4:若角? 的终边在直线 y=-3x 上,求10 sin ? ?

3 的值。 cos ?

例 5、(1)已知 sin

?

3 ? 4 ? , cos ? ? , 则角 ? 所在象限为 2 5 2 5
象限角。



(2)若 sin(cos ? ) ? cos(sin? ) ? 0 ,则 ? 是第

练习 5:(1)若 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 ? 在第

象限。

(2)若 ? 为 第 一 象 限 角 , 则 sin 2? , cos 2? , sin 个。

?
2

, cos

?
2

, tan

?
2

中一定 为正值 的有

例 6、(1)若 0 ? ? ? (2)若 0 ? ? ? ? ?

?
2

,试比较 ? , sin ? , tan? 的大小;

?
2

,试比较 ? ? sin ? 与 ? ? sin ? 的大小。

练习 6:已知? ? (0, ? ) ,且 sin ? ? cos? ? m(0 ? m ? 1) ,试判断式子 sin ? ? cos ? 的符 号。

sin ? ? cos ? ? 0

7.若 sin α <0 且 tan α >0,则α 是( ). A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析 由 sin α <0 知α 是第三、四象限或 y 轴负半轴上的角,由 tan α >0 知α 是第一、三象限角.∴α 是第三象限角. 答案 C 8.已知角α 的终边过点(-1,2),则 cos α 的值为( ). A.- C.- 解析 5 5 2 5 5 由三角函数的定义可知,r= 5 ,cos α = -1 5 =- 5 . 5 B. 2 5 5 1 2

D.-

答案 A 5.(2011?江西)已知角θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 P(4, 2 5 ,则 y=________. 5 解析 根据正弦值为负数且不为-1,判断角在第三、四象限,再加上横坐标为 y 2 5 正,断定该角为第四象限角,∴y<0,sin θ = =- ? y=-8. 2 5 16+y

y)是角θ 终边上一点,且 sin θ =-

答案

-8

一条规律 三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 两个技巧 (1)在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位 圆的交点,|OP|=r 一定是正值. (2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. 三个注意 (1)注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类 角,第一类是象限角,第二类、第三类是区间角. (2)角度制与弧度制可利用 180°=π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的 度量制度必须一致,不可混用. (3)注意熟记 0°~360°间特殊角的弧度表示,以方便解题. 考向一 角的集合表示及象限角的判定 【例 1】? (1)写出终边在直线 y= 3 x 上的角的集合; 6π θ (2)若角θ 的终边与 角的终边相同,求在[0,2π )内终边与 角的终边相同的 7 3 角; α (3)已知角α 是第二象限角,试确定 2α 、 所在的象限. 2 [审题视点] 利用终边相同的角进行表示及判断. π 解 (1)在(0,π )内终边在直线 y= 3 x 上的角是 , 3 ∴终边在直线 y= 3 x 上的角的集合为 ? ? ? π ?α ?α = +kπ ,k∈Z ?. 3 ? ? ? 6π θ 2π 2kπ (2)∵θ = +2kπ (k∈Z),∴ = + (k∈Z). 7 3 7 3 2π 2kπ 3 18 依题意 0≤ + <2π ? - ≤k< ,k∈Z. 7 3 7 7 θ 2π 20π 34π ∴k=0,1,2,即在[0,2π )内终边与 相同的角为 , , . 3 7 21 21 (3)∵α 是第二象限角, ∴k?360°+90°<α <k?360°+180°,k∈Z. ∴2k?360°+180°<2α <2k?360°+360°,k∈Z. ∴2α 是第三、第四象限角或角的终边在 y 轴负半轴上.

α ∵k?180°+45°< <k?180°+90°,k∈Z , 2 α 当 k=2m(m∈Z)时,m?360°+45°< <m?360°+90°; 2 当 k=2m+1(m∈Z)时, α m?360°+225°< <m?360°+270°; 2 α ∴ 为第一或第三象限角. 2 方法总结:(1)相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定相等,终边相 同的角有无数个,它们之间相差 360°的整数倍. (2)角的集合的表示形式不是唯一的,如:终边在 y 轴负半轴上的角的集合可以 ? ? ? ? ? ? π 3π 表示为?x?x=2kπ - ,k∈Z?,也可以表示为?x?x=2kπ + ,k∈Z ?. 2 2 ? ? ? ? ? ? 【训练 1】 角α 与角β 的终边互为反向延长线,则( ). A.α =-β B.α =180°+β C.α =k?360°+β (k∈Z) D.α =k?360°±180°+β (k∈Z) 解析 对于角α 与角β 的终边互为反向延长线,则α - β =k?360°±180°(k ∈Z). ∴α =k?360°±180°+β (k∈Z). 答案 D 考向二 三角函数的定义 2 m,试判断 4

【例 2】? 已知角θ 的终边经过点 P(- 3 ,m)(m≠0)且 sin θ = 角θ 所在的象限,并求 cos θ 和 tan θ 的值. [审题视点] 根据三角函数定义求 m,再求 cos θ 和 tan θ . m 2 解 由题意得,r= 3+m2 ,∴ = m,∵m≠0, 2 4 3+m ∴m=± 5 , 故角θ 是第二或第三象限角.

当 m= 5 时,r=2 2 ,点 P 的坐标为(- 3 , 5),角θ 是第二象限角, x - 3 6 ∴cos θ = = =- , r 2 2 4 y 5 15 tan θ = = =- . x - 3 3 当 m=- 5 时,r=2 2 ,点 P 的坐标为(- 3 ,- 5),角θ 是第三象限角. x - 3 6 y - 5 15 ∴cos θ = = =- ,tan= = = . r 2 2 4 x - 3 3 方法总结:在利用三角函数的定义求角α 的三角函数值时,若角α 的终边上点的

坐标是以参数的形式给出的, 则要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类 讨论.任意角的三角函数值仅与角α 的终边位置有关,而与角α 终边上点 P 的位 置无关.若角α 已经给出,则无论点 P 选择在α 终边上的什么位置,角α 的三角 函数值都是确定的. 【训练 2】 (2011?课标全国)已知角θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半 轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ =( ). 4 3 3 4 A.- B.- C. D. 5 5 5 5 解析 取终边上一点(a,2a),a≠0,根据任意角的三角函数定义,可得 cos θ 5 3 2 ,故 cos 2θ =2cos θ -1=- . 5 5 答案 B 考向三 弧度制的应用 【例 3】? 已知半径为 10 的圆 O 中,弦 AB 的长为 10. (1)求弦 AB 所对的圆心角α 的大小; (2)求α 所在的扇形的弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S. [审题视点] (1)由已知条件可得△AOB 是等边三角形,可得圆心角α 的值; (2)利用弧长公式可求得弧长,再利用扇形面积公式可得扇形面积,从而可求弓 形的面积. 解 (1)由⊙O 的半径 r=10=AB,知△AOB 是等边三角形, π ∴α =∠AOB=60°= . 3 π (2)由(1)可知α = ,r=10, 3 π 10π ∴弧长 l=α ?r= ?10= , 3 3 1 1 10π 50π ∴S 扇形= lr= ? ?10= , 2 2 3 3 =± 1 10 3 1 10 3 50 3 而 S△AOB= ?AB? = ?10? = , 2 2 2 2 2 ? ? ∴S=S 扇形-S△AOB=50?π - 3?. ?3 2 ? 方法总结:弧度制下的扇形的弧长与面积公式,比角度制下的扇形的弧长与面积 公式要简洁得多,用起来也方便得多.因此,我们要熟练地掌握弧度制下扇形的 弧长与面积公式. 【训练 3】 已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积 最大? 解 设圆心角是θ ,半径是 r,则 2r+rθ =40, 1 1 ?20? S= lr= r(40-2r)=r(20-r)≤? ?2=100. 2 2 ?2? 当且仅当 r=20-r,即 r=10 时,Smax=100.

∴当 r=10,θ =2 时,扇形面积最大,即半径为 10,圆心角为 2 时,扇形面积 最大. 考向四 三角函数线及其应用 【例 4】? 在单位圆中画出适合下列条件的角α 的终边的范围.并由此写出角α 的集合: (1)sin α ≥ 3 ; 2 1 (2)cos α ≤- . 2 3 1 ,cos α =- 的角的终边,然后根据已知条 2 2

[审题视点] 作出满足 sin α = 件确定角α 终边的范围.

3 交单位圆于 A、B 两点,连接 OA、OB,则 OA 与 OB 围成的 2 区域 ( 图 中阴影部 分 ) 即 为角 α 的终边 的范围 ,故满足 条件的 角 α 的 集合为 ? ? ? π 2 ?α ?2kπ + ≤α ≤2kπ + π ,k∈Z ?. 3 3 ? ? ? 解 (1)作直线 y=

1 (2)作直线 x=- 交单位圆于 C、 D 两点, 连接 OC、 OD , 则 OC 与 OD 围成的区域(图 2 中阴影部分)即为角α 终边的范围,故满足条件的角α 的集合为 ? ? ? 2 4 ?α ?2kπ + π ≤α ≤2kπ + π ,k∈Z?. 3 3 ? ? ?

方法总结:利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是:

(1)用边界值定出角的终边位置; (2)根据不等式(组)定出角的范围; (3)求交集,找单位圆中公共的部分; (4)写出角的表达式. 【训练 4】 求下列函数的定义域: (1)y= 2cos x-1 ; (2)y=lg(3-4sin2x). 1 解 (1)∵2cos x-1≥0,∴cos x≥ . 2 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影所示). ? π π? ∴定义域为?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z). 3 3? ? 2 (2)∵3-4sin x>0, 3 ∴sin2x< , 4 3 3 <sin x< . 2 2 利用三角函数线画出 x 满足条件 的终边范围(如图阴影部分所示), ? π π? ∴定义域为?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 3 3? ? ∴-

规范解答 7——如何利用三角函数的定义求三角函数值 【问题研究】 三角函数的定义:设α 是任意角,其终边上任一点 P(不与原点重 合)的坐标为(x,y),它到原点的距离是 r(r= x +y >0),则 sin α = 、cos α = 、tan α = 分别是α 的正弦、余弦、正切,它们都是以角为自变量,以比 值为函数值的函数,这样的函数称为三角函数,这里 x,y 的符号由α 终边所在 象限确定, r 的符号始终为正, 应用定义法解题时, 要注意符号, 防止出现错误. 三 角函数的定义在解决问题中应用广泛,并且有时可以简化解题过程. 【解决方案】 利用三角函数的定义求三角函数值时,首先要根据定义正确地求 得 x,y,r 的值;然后对于含参数问题要注意分类讨论.
2 2

y r

x r

y x

【示例】 ? (本题满分 12 分)(2011? 龙岩月考)已知角α 终边经过点 P(x, - 2)(x 3 x,求 sin α 、tan α 的值. 6 只要确定了 r 的值即可确定角α 经过的点 P 的坐标,即确定角α 所在 的象限,并可以根据三角函数的定义求出所要求的值. [解答示范] ∵P(x,- 2)(x≠0), ≠0),且 cos α = ∴P 到原点的距离 r= x +2 , 3 又 cos α = x, 6 x 3 ∴cos α = 2 = x, x +2 6 ∵x≠0,∴x=± 10 ,∴r=2 3. 分) 当 x= 10 时,P 点坐标为( 10 ,- 2), 6 5 ,tan α =- ; 6 5 当 x=- 10 时,P 点坐标为(- 10 ,- 2), 由三角函数定义,有 sin α =- 6 5 ,tan α = . 6 5 (12 分) ∵x≠0,∴x=± 10 ,∴r=2 3. 分) ∴sin α =- 当 x= 10 时,P 点坐标为( 10 ,- 2), 6 5 ,tan α =- ; 6 5 当 x=- 10 时,P 点坐标为(- 10 ,- 2), 由三角函数定义,有 sin α =- ∴sin α =- (9 分) (9 分)
2

(2 分)

(6

(6

6 5 ,tan α = . 6 5 (12 分) 当角的终边经过的点不固定时,需要进行分类讨论,特别是当角的终 边在过坐标原点的一条直线上时,在根据三角函数定义求解三角函数值时,就要 把这条直线看做两条射线,分别求解,实际上这时求的是两个角的三角函数值, 这两个角相差 2kπ +π (k∈Z),当求出了一种情况后也可以根据诱导公式求另 一种情况. 4 【试一试】已知角α 的终边在直线 3x+4y=0 上, 求 sin α +cos α + tan α . 5 [尝试解答] 取直线 3x+4y=0 上的点 P1(4,-3),则|OP1|=5,则 sin α =- 3 4 3 ,cos α = ,tan α =- , 5 5 4

4 3 4 4 ? 3? 故 sin α +cos α + tan α =- + + ??- ? 5 5 5 5 ? 4? 2 =- ; 5 取直线 3x+4y=0 上的点 P2(-4,3), 3 4 3 则 sin α = ,cos α =- ,tan α =- . 5 5 4 4 3 4 4 ? 3? 4 故 sin α +cos α + tan α = - + ??- ?=- . 5 5 5 5 ? 4? 5 4 2 4 综上,sin α +cos α + tan α 的值为- 或- . 5 5 5
一、选择题 1.若 α=45° +k· 180° (k ∈Z),则 α 的终边所在的象限为( ) A.第一或第三象限 B.第二或第三象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四 象限 解析:选 A. 当 k 为奇数时,α 为第三象限角,当 k 为偶数时,α 为第一象限角. 2.时钟的分针在 1 点到 3 点 20 分这段时间里转过的弧度数为( ) 14 14 7 7 A. π B.- π C. π D.- π 3 3 18 18 1 解析:选 B. 显然分针在 1 点到 3 点 20 分这段时间里,顺时针转过了两周又一周的 , 3 1 14 用弧度制表示就是-4π- ?2π=- π. 故选 B. 此题一定要记住分针顺时针旋转形成负角. 3 3 3.将-1485° 化成 α+2k π(0≤α<2π,k ∈Z)的形式是( ) π 7 π 7 A.- -8π B. π-8π C. -10π D. π-10π 4 4 4 4 解析:选 D. ∵-1485° =-5?360° +315° , 7π 又 2π rad=360° ,315° = rad, 4 7 故-1485° 化成 α+2k π(0≤α<2π,k ∈Z)的形式是 π-10π. 4 4.若角 α 与 β 的终边互相垂直,则 α 与 β 的关系是( ) A. β=α+90° B. β=α± 90° C. β=α+k· 360° +90° (k ∈Z) D. β=k · 360° +α± 90° (k ∈Z) 解析:选 D. 如图(1),角 α 与 β 终边互相垂直,β=α+90° . 如图(2),角 α 与 β 终边互相垂直,α=β+90° .

由终边相同角的表示方法知:角 α 与 β 终边互相垂直则有 β=k · 360° +α± 90° (k ∈Z). 5. 若角 α 的终边在直线 y=2x 上,则 sinα 的值为( ) 1 5 2 5 1 A.± B.± C.± D.± 5 5 5 2 y 2 2 5 解析: 选 C. 在 α 的终边上任取一点 P(1,2), 则 r= 1+4= 5, 所以 sinα= = = ; r 5 5 y -2 2 5 或者取 P (-1,-2),则 r= 1+4= 5,所以 sinα= = =- . r 5 5

6.已知角 α 的终边经过点(3a-9,a+2),且 cos α≤0,sinα>0,则 a 的取值范围是( A.(-2,3) B.[-2,3) C.(-2,3] D.[-2,3] ?3a-9≤0, ?a≤3, ? ? 解析:选 C. 由题意可知,? 解得? ? ? ?a+2>0, ?a>-2. 即-2<a≤3. 7.如果 cos α=cos β,则角 α 与 β 的终边除可能重合外,还有可能( ) A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于直线 y=x 对称 对称 解析:选 A. 利用单位圆中的余弦线即得. 5π 2π 2π 8.设 a=sin ,b=cos ,c=tan ,则( ) 7 7 7 A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c 解析:选 D.

)

D.关于原点

5 2 2 如图,在单位圆 O 中分别作出角 π、 π、 π 的正弦线 M1 P1 ,余弦线 OM2 、正切线 AT. 7 7 7 5 2 π 2 π 由 π=π- π 知 M1P 1 =M2 P2 ,又 < π< ,易知 AT>M2P 2 >OM2 , 7 7 4 7 2 2 5π 2π ∴cos π<sin <tan ,故 b<a<c. 7 7 7 二、填空题 9. 若角 α 满足 180° <α<360° , 角 5α 与 α 有相同的始边, 且又有相同的终边, 则角 α=________. 解析:因为 5α 与 α 始边、终边分别相同, 所以 5α=α+k · 360° ,k ∈Z, 所以 α=k · 90° . 又因为 180° <α<360° ,∴α=270° . 答案:270° 10 .已知扇形的半径为 r ,若它的周长等于弧所在圆的半圆周的长,则扇形的圆心角为 ________弧度,扇形的面积为________. 解析:设扇形的圆心角为 θ,则 2r+rθ=πr, 12 12 所以 θ=π-2,S 扇 = r θ= r (π-2). 2 2 12 答案:π-2 r (π-2) 2 11. 若角 α 的终边与直线 y=3x 重合, 且 sinα<0, 又 P (m, n)是角 α 终边上一点, 且|OP |= 10, 则 m-n 等于________. 解析:由题意 P (m,n)是角 α 终边上一点, y n sinα= = <0,∴n<0. 2 2 r m +n 又角 α 的终边与 y=3x 重合, 故 n=3m<0,∴m<0. 由|OP |= 10,则 m2 +n2 =10, 10m2 =10,m2 =1,∴m=-1. 由 n=3m,∴n=-3. ∴m-n=-1-(-3)=2. 答案:2

3π 12.若 θ∈( ,π),则下列各式错误的是________. 4 ①sinθ+cos θ<0;②sinθ-cosθ>0;③|sinθ|<|cosθ|;④sinθ+cos θ>0. 3π 解析:若 θ∈( ,π)则 sinθ>0,cos θ<0,sinθ<|cosθ|, 4 所以 sinθ+cos θ<0. 答案:④ 三、解答题 13. 如图所示,分别写出适合下列条件的角的集合: (1)终边落在射线 OM 上; (2)终边落在直线 OM 上; (3)终边落在阴影区域内(含边界). 解析:(1)终边落在射线 OM 上的角的集合 A ={α|α=45° +k · 360° ,k ∈Z}. (2)终边落在射线 OM 上的角的集合为 A ={α|α=45° +k · 360° , k ∈Z}, 终边落在射线 OM 反向延长线上的角的集合为 B ={α|α=225° +k · 360° ,k ∈Z}, 所以终边落在直线 OM 上的角的集合为: A ∪B ={α|α=45° +k · 360° , k ∈Z}∪{α|α=225° +k · 360° , k ∈Z}={α|α=45° +2k · 180° , k ∈Z}∪{α|α=45° +(2k +1)· 180° , k ∈Z}={α|α=45° +n· 180° ,n∈Z}. (3)同理可得终边落在直线 ON 上的角的集合为{β|β=60° +n· 180° ,n∈Z},所以终边落 在阴影区域内(含边界)的角的集合为:{α|45° +n· 180° ≤α≤60° +n· 180° ,n∈Z}. 14.扇形 AOB 的周长为 8 cm. 2 (1)若这个扇形的面积为 3 cm ,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB . 解:设该扇形 AOB 的半径为 r,圆心角为 θ,面积为 S,弧长为 l. l+2r=8 ? ? ? ? ?r=1 ?r=3 (1)由题意得?1 解得? 或? . r=3 ? l=6 ? l=2 ? ? ? 2l · ? l 6 l 2 2 ∴圆心角 θ= = =6 或 θ= = ,∴圆心角的大小为 或 6. r 1 r 3 3 8-2r 8 - 2 r 1 2 (2)θ= ,∴S= · r· =4r-r2 =-(r-2)2 +4, r 2 r 8-4 ∴当 r=2 即 θ= =2 时,Smax=4(cm2 ).此时弦长 AB =2?2sin 1=4sin 1(cm) . 2 ∴扇形面积最大时,圆心角等于 2 弧度,弧长 AB 为 4sin 1 cm. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1,1 ? tan2 ? ? sec2 ? ,1? cot 2 ? ? csc2 ? (2)倒数关系:tan ? cot ? =1, (3)商数关系: tan ? ?

sin ? cos ? , cot ? ? cos ? sin ?

同角三角函数的基本关系式的基本作用是:已知一个角的三角函数值,求此角的其它三 角函数值。 例如: (1) 若 0 ? 2 x ? 2? ,则使 1 ? sin 2x ? cos2x 成立的 x 的取值范围是____
2

(答: [0,

?

4

]

3 [ ? , ? ] ); 4

(2)已知 sin ? ?

m?3 4 ? 2m ? , cos ? ? ( ? ? ? ? ) ,则 tan ? =____ m?5 m?5 2
(答: ?

5 ); 12

tan ? sin ? ? 3 cos ? =___; sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 =____ ? ?1 ,则 tan ? ? 1 sin ? ? cos ? 5 13 (答: ? ; ); 3 5 (4)已知 sin 200? ? a ,则 tan160? 等于
(3)已知 A、 ?

a 1? a2

B、

a 1? a2

C、 ?

1? a2 a

D、

1? a2 a
(答:B);

课堂练习:

1. 设? 分别是第二、三、四象限角,则点 P(sin? , cos? ) 分别在第___、___、___象限. 已知 sin x ? cos x ? m, ( m ?

2.

2 , 且 m ? 1) , 求 sin x ? cos x
sin ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? = cos?

3.若角α 的终边在直线 y=-x 上,则
1 有意义的 x 的集合为 sin x

.

4.使 tanx-

.

α 4 α 5.已知α 是第二象限的角,且 cos =- ,则 是第 2 5 2

象限的角.

课后练习:
一、选择题

1. 设 ? 角属于第二象限,且 cos
A. 第一象限 B.

?
2

? ? cos
C.

?
2

,则

?
2

角属于( D.



第二象限

第三象限

第四象限

sin
2. 给出下列各函数值: ① sin(?10000 ) ; ② cos ( ?2200 0 ) ;③ tan(?10) ;④ ) C. ③ ) D. ④

7? cos? 10 . 17? tan 9

其中符号为负的有( A. 3. ① B. ②

sin 2 1200 等于(
A.

?

3 2

B.

3 2

C.

?

3 2

D.

1 2


4.

已知 sin ? ? A.

?

4 3

4 ,并且 ? 是第二象限的角,那么 tan ? 的值等于( 5 3 3 4 B. ? C. D. 4 3 4

5.若θ ∈(

5π 3π , ),则 1-2sinθ cos θ 等于 4 2 A.cos θ -sinθ B.sinθ +cos θ C.sinθ -cos θ D. -cos θ -sinθ 1 ,则 cos2 θ +sinθ cos θ 的值是 3 B. - 4 5 C. 4 5 D. 6 5

6.若 tanθ = A. - 6 5

三、解答题
1. 已知 tan ? ,

1 7 2 2 是关于 x 的方程 x ? kx ? k ? 3 ? 0 的两个实根,且 3? ? ? ? ? , 2 tan ?

求 cos ? ? sin? 的值.

2.

m-n 设 cos θ = (m>n>0),求θ 的其他三角函数值. m+n

3.证明(1)

1+2sinθcos θ 1+tanθ = 2 2 cos θ-sin θ 1-tanθ 2 2 2 (2)tan θ -sin θ =tan θ sin2 θ


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