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河南省郑州市2014届高中高三年级第一次质量预测文科数学试题 扫描版含答案_图文

2014 年高中毕业年级第一次质量预测 数学(文科)
一、选择题 DDABA CACCB CB 二、填空题 13. [?1,3) ; 三、解答题 17.解(1)由题意 x ? ? 14. 3 ; 15. 8? ; 16. 987 .

参考答案

?
3

时取得最小值-4,

? A ? 4,4 sin( ?2 ?

?

3

? ? ) ? ?4 ,? sin( ?

2? ? ? ) ? ?1 , 3

又因为 0 ? ? ? ? ,? ? ?

?

, 所以 f ( x) ? 4sin(2 x ? ). 6 6 ………………… 4 分

?

(2)因为 a 2 ? f (0) , a 4 ? f ( ) ,所以 a 4 ? 4, a 2 ? 2 ,

?

6

设等差数列公差为 d ,则 d ? 1, a1 ? 1 ,? S n ?

n(n ? 1) . 2

………………………8 分

Tn ?
? 2(1 ?

1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ??? ? 2(1 ? ? ? ? ? ? ? ) S1 S 2 S n 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) 2 2 3 n n ?1
………………………………12 分

1 2n )? . n ?1 n ?1

18.解:(1)从 45 候车乘客中随机抽取 15 人,每人被抽到的概率为

1 , 3

则 45 名乘客中候车时间少于 12 分钟的人数为 27 人.……………………4 分 (2)记第四组的 3 人为 A、B、C ,第五组的 2 个人为 a、b ,则从这 5 人中随机抽取 2 人的不同结果 ( A, B ), ( A, C ), ( A, a ), ( A, b), ( B, C ), ( B, a ), ( B, b), (C , a), (C , b), ( a, b) 共 10 种,两人恰好来自两组的情况有共 6 种,………………………10 分 则抽到的 2 人恰好来自不同组的概率 p ? 19.解:(1)证明:由题意 BD ? 且 ?AOD ~ ?B1OB ,

6 3 ? .………………………………12 分 10 5

AB 2 ? AD 2 ?

6 , AB1 ? 3. 2

C
B

C1

B1
O

?

1 6 3 AO DO AD 1 , AO ? , ? ? ? , ? OD ? BD ? 3 6 3 OB1 OB BB1 2

A

D

A1

? AO 2 ? OD 2 ? AD 2 ,所以 AB1 ? BD ,……………………3 分
又 CO ? 侧面 ABB1 A1 ,? AB1 ? CO , 又 BD 与 CO 交于点 O ,所以 AB1 ? 面CBD , 又因为 BC ? 面CBD ,所以 BC ? AB1 . (2)因为 OC ? OA ? ………………………………………6 分

3 , 且 A1C1 // 平面 ABC. 3 1 1 1 3 6 . …………12 分 S ?ABA1 ? OC ? ? ? 1 ? 2 ? ? 3 3 2 3 18

?VC1 ? ABC ? V A1 ? ABB1 ? VC ? ABA1 ?

20.⑴解:由题知 | CA | ? | CB |?| CP | ? | CQ | ? | AP | ? | BQ |? 2 | CP | ? | AB |? 4 ?| AB | . 所以曲线 M 是以 A, B 为焦点,长轴长为 4 的椭圆(挖去与 x 轴的交点) ,

x2 y 2 设曲线 M : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0, y ? 0) , a b
则 a 2 ? 4, b 2 ? a 2 ? (

| AB | 2 ) ?3, 2

所以曲线 M :

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) 为所求.---------------4 分 4 3

⑵解:注意到直线 BC 的斜率不为 0 ,且过定点 B (1, 0) , 设 lBC : x ? my ? 1, C ( x1 , y1 ), D ( x2 , y2 ) , 由?

? x ? my ? 1,
2 2 ?3 x ? 4 y ? 12,

2 2 消 x 得 (3m ? 4) y ? 6my ? 9 ? 0 ,所以 y1,2 ?

?3m ? 6 m 2 ? 1 , 3m 2 ? 4

6m ? y1 ? y2 ? ? 2 , ? ? 3m ? 4 所以 ? -------------------------------------8 分 9 ?y y ? ? , ? 1 2 3m 2 ? 4 ?
因为 AC ? (my1 ? 2, y1 ), AD ? (my2 ? 2, y2 ) ,所以

????

????

???? ???? AC ? AD ? (my1 ? 2)(my2 ? 2) ? y1 y2 ? (m 2 ? 1) y1 y2 ? 2m( y1 ? y2 ) ? 4 ?? 9(m 2 ? 1) 12m 2 7 ? 9m 2 ? ? 4 ? . 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4

注意到点 A 在以 CD 为直径的圆上,所以 AC ? AD ? 0 ,即 m ? ?

???? ????

7 ,-----11 分 3

所以直线 BC 的方程 3 x ? 7 y ? 3 ? 0 或 3 x ? 7 y ? 3 ? 0 为所求.------12 分 21.⑴解:注意到函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,

k ( x ? 1) ( x ? 0) , x 1 e x?e 当 k ? e 时, h?( x) ? ? 2 ? 2 ,-------------------2 分 x x x h( x) ? ln x ?
若 0 ? x ? e ,则 h?( x) ? 0 ;若 x ? e ,则 h?( x) ? 0 . 所以 h( x) 是 (0, e) 上的减函数,是 (e, ??) 上的增函数, 故 h( x) min ? h(e) ? 2 ? e , 故函数 h( x) 的减区间为 (0, e) ,增区间为 (e, ??) ,极小值为 2 ? e ,无极大值.---5 分 ⑵解:由⑴知 h?( x) ?

1 k x?k ? 2 ? 2 , x x x

当 k ? 0 时, h?( x) ? 0 对 x ? 0 恒成立,所以 h( x) 是 (0, ??) 上的增函数, 注意到 h(1) ? 0 ,所以 0 ? x ? 1 时, h( x) ? 0 不合题意.-------7 分 当 k ? 0 时,若 0 ? x ? k , h?( x) ? 0 ;若 x ? k , h?( x) ? 0 . 所以 h( x) 是 (0, k ) 上的减函数,是 (k , ??) 上的增函数, 故只需 h( x) min ? h(k ) ? ln k ? k ? 1 ? 0 . 令 u ( x) ? ln x ? x ? 1( x ? 0) , --------9 分

u ?( x) ?

1 1? x , ?1 ? x x

当 0 ? x ? 1 时, u ?( x) ? 0 ; 当 x ? 1 时, u ?( x) ? 0 . 所以 u ( x) 是 (0,1) 上的增函数,是 (1, ??) 上的减函数. 故 u ( x) ? u (1) ? 0 当且仅当 x ? 1 时等号成立.

所以当且仅当 k ? 1 时, h( x) ? 0 成立,即 k ? 1 为所求. 22.解:⑴? A, B, C , D 四点共圆,

--------12 分

? ?EDC ? ?EBF ,又 ?AEB 为公共角,
∴ ?ECD ∽ ?EAB, ∴
2

DC EC ED ? ? . AB EA EB

EC ED EC ED 1 1 1 ? DC ? ∴? . ? . ? . ? . ? ? EA EB EB EA 4 2 8 ? AB ?
∴ DC ? 2 . . ……………………………………………………………… 6 分 AB 4 ⑵? EF ? FA ? FB ,
2

又? ?EFA ? ?BFE , ? ?FEA ? ?EBF , 又? A, B, C , D 四点共圆,? ?EDC ? ?EBF ,? ?FEA ? ?EDC ,

EF FB , ? FA FE ? ?FAE ∽ ?FEB ,
?

? EF / / CD. .…………………………………………………… 10 分

x2 y 2 23.解:⑴ C1 : ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1, C2 : ? ? 1. 16 9
2 2

曲线 C1 为圆心是 (?2,1) ,半径是 1 的圆. 曲线 C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长轴长是 8,短轴长是 6 的椭圆. ……4 分

? 2 s, ? x ? ?4 ? ? 2 ⑵曲线 C2 的左顶点为 (?4, 0) ,则直线 l 的参数方程为 ? ( s 为参数) 2 ?y ? s, ? ? 2
将其代入曲线 C1 整理可得: s ? 3 2 s ? 4 ? 0 ,设 A, B 对应参数分别为 s1 , s2 ,
2

则 s1 ? s2 ? 3 2, s1s2 ? 4. 所以 | AB |?| s1 ? s2 |?

( s1 ? s2 ) 2 ? 4 s1s2 ? 2 . ……………………………10 分

24.解:⑴因为 x ? 4 ? x ? a ? ( x ? 4) ? ( x ? a ) ? a ? 4 , 因为 a ? 4 ,所以当且仅当 a ? x ? 4 时等号成立,故

a ? 4 ? 3,? a ? 1 为所求.……………………4 分
⑵不等式 f ( x) ? 3 ? x 即不等式 x ? 4 ? x ? a ? 3 ? x (a ? 4) ,

①当 x ? a 时,原不等式可化为 4 ? x ? a ? x ? 3 ? x, 即 x ? a ? 1. 所以,当 x ? a 时,原不等式成立. ②当 a ? x ? 4 时,原不等式可化为 4 ? x ? x ? a ? 3 ? x. 即 x ? a ? 1. 所以,当 a ? x ? 4 时,原不等式成立. ③当 x ? 4 时,原不等式可化为 x ? 4 ? x ? a ? 3 ? x.

a?7 a?7 , 由于 a ? 4 时 4 ? . 3 3 所以,当 x ? 4 时,原不等式成立.
即x? 综合①②③可知: 不等式 f ( x) ? 3 ? x 的解集为 R. ……………………10 分


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