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广东省东莞市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


广东省东莞市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题各有四个选项,仅有一个正 确) 1. (5 分)设全集 U={1,2,3,4,5,6,7},集合 M={2,3,4,5},N={1,4,5,7},则 M∩(?UN)等于() A.{1,7} B.{2,3} C.{2,3,6} D.{1,6,7}

2. (5 分)若球的半径扩大到原来的 2 倍,那么体积扩大到原来的() A.64 倍 B.16 倍 C.8 倍 3. (5 分)下列函数中与函数 y=x 表示同一函数的是() A.y=( )
2

D.4 倍

B.y=
2 2 2

C.y=
2

D.y=

4. (5 分)圆(x+2) +y =4 与圆(x﹣2) +(y﹣1) =9 的位置关系为() A.内切 B.相交 C.外切

D.相离

5. (5 分)若函数 f(x) (x∈R)满足 f(x﹣2)=f(x)+1,且 f(﹣1)+f(1)=0,则 f(1) 等于() A.﹣ B .1 C. D.0

6. (5 分)设 l,m 是两条不同的直线,α,β 是不同的平面,则下列命题正确的是() A.若 l⊥m,m?α,则 l⊥α B. 若 l∥α,m?α,则 l∥m C. 若 α∥β,l?α,则 l∥β D.若 α⊥β,l?α,则 l⊥β 7. (5 分)圆锥的底面半径为 1,母线长为 3,则圆锥的表面积为() A.π B.2π C.3π 8. (5 分)已知函数 f(x)=2 ﹣2,则函数 y=|f(x)|的图象可能是()
x

D.4π

A.

B.

C.

D.

9. (5 分)把边长为 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,形成的三棱锥 A﹣BCD 的正视图 与俯视图(正视图与俯视图是全等的等腰直角三角形)如图所示,则其俯视图的面积为()

A.

B .1

C.2

D.

10. (5 分) 为了保证信息安全, 传输必须加密, 有一种加密、 解密方式, 其原理如下: 明文 密文 密文 明文,已知加密函数为 y=x ﹣1(x 为明文,y 为密文) ,如果明文“3”通过
α

加密后得到密文为“26”,再发送,接受方通过加密得到明文“3”,若接受方接到密文为“7”,则 原发的明文是() A.7 B .4 C.3 D.2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11. (5 分)过点(﹣1,3)且与直线 x﹣2y+3=0 平行的直线方程为.

12. (5 分)8

+( ) +log28=.

﹣2

13. (5 分)f(x)=

,若 f(x)=10,则 x=.

14. (5 分)已知 f(x)是 R 上的减函数,设 a=f(log23) ,b=f(log a,b,c 从小到大排列为.

3) ,c=f(3

﹣0.5

) ,则将

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (12 分)已知集合 A={x|x<0 或 x≥2},集合 B={x|﹣1<x<1},全集为实数集 R. (1)求 A∪B; (2)求(?RA)∩B.

16. (12 分)已知函数 f(x)=

(c 为常数) ,1 为函数 f(x)的零点.

(1)求 c 的值; (2)证明函数 f(x)在(﹣1,+∞)上单调递减. 17. (14 分)已知三条直线 2x﹣y﹣3=0,4x﹣3y﹣5=0 和 ax+y﹣3a+1=0 相交于同一点 P. (1)求点 P 的坐标和 a 的值; (2)求过点(﹣2,3)且与点 P 的距离为 2 的直线方程. 18. (14 分) 如图, 在四棱锥 E﹣ABCD 中, 地面 ABCD 为矩形, AD⊥平面 ABE, AE=EB=BC=2, F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE,AC 与 BD 相交于点 G. (1)求证:AE∥平面 BFD; (2)求证:AE⊥平面 BCE; (3)求三棱锥 A﹣BCE 的体积.

19. (14 分)已知圆 C: (x+2) +(y﹣b) =3(b>0)过点(﹣2+ ,0) ,直线 l:y=x+m (m∈R) . (1)求 b 的值; (2)若直线 l 与圆 C 相切,求 m 的值; (3)若直线 l 与圆 C 相交于 M,N 两点,且 OM⊥ON(O 为坐标原点) ,求实数 m 的值. 20. (14 分)对于函数 f(x) ,我们把使得 f(x)=x 成立的 x 称为函数 f(x)的“不动点”;把 使得 f(f(x) )=x 成立的 x 称为函数 f(x)的“稳定点”,函数 f(x)的“不动点”和“稳定点” 构成的集合分别记为 A 和 B,即 A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x) )=x}. (1)求证:A?B; (2)若 f(x)=2x﹣1,求集合 B; 2 (3)若 f(x)=x ﹣a,且 A=B≠?,求实数 a 的取值范围.

2

2

广东省东莞市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题各有四个选项,仅有一个正 确) 1. (5 分)设全集 U={1,2,3,4,5,6,7},集合 M={2,3,4,5},N={1,4,5,7},则 M∩(?UN)等于() A.{1,7} B.{2,3} C.{2,3,6} D.{1,6,7} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算进行求解即可. 解答: 解:∵M={2,3,4,5},N={1,4,5,7}, ∴?UN═{2,3,6}, 则 M∩(?UN)={2,3}, 故选:B 点评: 本题主要考查集合的基本运算,要求熟练掌握集合的交并补运算,比较基础. 2. (5 分)若球的半径扩大到原来的 2 倍,那么体积扩大到原来的() A.64 倍 B.16 倍 C. 8 倍 D.4 倍 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 设出球的半径,求出扩展后的球的体积,即可得到结论. 解答: 解:设球的半径为 r,球的体积为: πr ,扩展后球的体积为: π(2r) =8× πr , 所以一个球的半径扩大到原来的 2 倍,则它的体积扩大到原来的 8 倍, 故选 C. 点评: 本题考查球的体积的计算问题,是基础题. 3. (5 分)下列函数中与函数 y=x 表示同一函数的是() A.y=( )
2 3 3 3

B.y=

C.y=

D.y=

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 确定函数的三要素是:定义域、对应法则和值域,据此可判断出答案. 解答: 解:C.∵ =x,与已知函数 y=x 的定义域和对应法则完全一样,∴二者是同

一函数. 故选 C. 点评: 本题考查了函数的定义,利用确定函数的三要素即可判断出. 4. (5 分)圆(x+2) +y =4 与圆(x﹣2) +(y﹣1) =9 的位置关系为() A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 考点: 圆与圆的位置关系及其判定.
2 2 2 2

专题: 直线与圆. 分析: 求出两圆的圆心和半径,计算两圆的圆心距,将圆心距和两圆的半径之和或半径之 差作对比,判断两圆的位置关系. 2 2 解答: 解:圆(x+2) +y =4 的圆心 C1(﹣2,0) ,半径 r=2. 2 2 圆(x﹣2) +(y﹣1) =9 的圆心 C2(2,1) ,半径 R=3, 两圆的圆心距 d= = ,

R+r=5,R﹣r=1, R+r>d>R﹣r, 所以两圆相交, 故选 B. 点评: 本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法,关键是求圆心距和两圆的半径. 5. (5 分)若函数 f(x) (x∈R)满足 f(x﹣2)=f(x)+1,且 f(﹣1)+f(1)=0,则 f(1) 等于() A.﹣ B. 1 C. D.0

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 x=1,得到 f(﹣1)=f(1)+1,利用方程组进行求解即可. 解答: 解:令 x=1,则 f(1﹣2)=f(1)+1, 即 f(﹣1)=f(1)+1, ∵f(﹣1)+f(1)=0, ∴f(1)+f(1)+1=0, 即 f(1)= ,

故选:A 点评: 本题主要考查函数值的计算,根据条件建立方程组是解决本题的关键. 6. (5 分)设 l,m 是两条不同的直线,α,β 是不同的平面,则下列命题正确的是() A.若 l⊥m,m?α,则 l⊥α B. 若 l∥α,m?α,则 l∥m C. 若 α∥β,l?α,则 l∥β D.若 α⊥β,l?α,则 l⊥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用线面垂直、线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别 分析选择. 解答: 解:对于 A,若 l⊥m,m?α,则 l 可能在 α;故 A 错误; 对于 B,若 l∥α,m?α,则 l 与 m 的位置关系是平行或者异面;故 B 错误; 对于 C,若 α∥β,l?α,根据面面平行的性质可得 l∥β;故 C 正确; 对于 D,若 α⊥β,l?α,则 l 与 β 可能平行或者相交;故 D 错误; 故选 C.

点评: 本题考查了线面垂直、线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理和判定定理,熟 练掌握相关的定理是解答的关键. 7. (5 分)圆锥的底面半径为 1,母线长为 3,则圆锥的表面积为() A.π B.2π C . 3π D.4π 考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据已知中圆锥的底面半径和母线长,代入圆锥的表面积公式,可得答案. 解答: 解:∵圆锥的底面半径 r=1,母线长 l=3, ∴圆锥的表面积 S=πr(r+l)=4π, 故选:D. 点评: 本题考查的知识点是旋转体,熟练掌握圆锥的几何特征是解答的关键. 8. (5 分)已知函数 f(x)=2 ﹣2,则函数 y=|f(x)|的图象可能是()
x

A.

B.

C. 考点: 指数函数的图像变换. 专题: 数形结合. 分析: 因为 y=|f(x)|=

D.

,故只需作出 y=f(x)的图象,将 x

轴下方的部分做关于 x 轴的对称图象即可. x 解答: 解:先做出 y=2 的图象,在向下平移两个单位,得到 y=f(x)的图象, 再将 x 轴下方的部分做关于 x 轴的对称图象即得 y=|f(x)|的图象. 故选 B 点评: 本题考查含有绝对值的函数的图象问题,先作出 y=f(x)的图象,再将 x 轴下方的 部分做关于 x 轴的对称图象即得 y=|f(x)|的图象. 9. (5 分)把边长为 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,形成的三棱锥 A﹣BCD 的正视图 与俯视图(正视图与俯视图是全等的等腰直角三角形)如图所示,则其俯视图的面积为()

A.

B. 1

C. 2

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 结合直观图,根据正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形,可得平面 BCD⊥平 面 ABD,分别求得△ BDC 和△ ABD 的高,即为侧视图直角三角形的两直角边长,代入面积 公式计算. 解答: 解:如图:∵正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形, ∴平面 BCD⊥平面 ABD, 又 O 为 BD 的中点,∴CO⊥平面 ABD,OA⊥平面 BCD, ∴侧视图为直角三角形,且三角形的两直角边长为 1, ∴侧视图的面积 S= 故选:A. = .

点评: 本题考查了由正视图、俯视图求几何体的侧视图的面积,判断几何体的特征及相关 几何量的数据是关键.

10. (5 分) 为了保证信息安全, 传输必须加密, 有一种加密、 解密方式, 其原理如下: 明文 密文 密文 明文,已知加密函数为 y=x ﹣1(x 为明文,y 为密文) ,如果明文“3”通过
α

加密后得到密文为“26”,再发送,接受方通过加密得到明文“3”,若接受方接到密文为“7”,则 原发的明文是() A.7 B. 4 C. 3 D.2 考点: 进行简单的合情推理. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 明文“3”,即 x 的值,得到密文为“26”,即 y 的值,求得 α=3,密码对应关系为:y=x ﹣1,按此规则可求出原发的明文. 解答: 解:依题意可知明文“3”,即 x=3,得到密文为“26”,即 y=26,求得 α=3,密码对应 3 关系为:y=x ﹣1, 接受方接到密文为“7”,即 y=7,则原发的明文是 x=2. 故选:D. 点评: 本题考查求指数函数解析式,仔细分析题意,是解好题目的关键,是基础题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11. (5 分)过点(﹣1,3)且与直线 x﹣2y+3=0 平行的直线方程为 x﹣2y+7=0.

3

考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 计算题. 分析: 设过点(﹣1,3)且与直线 x﹣2y+3=0 平行的直线方程为 x﹣2y+m=0,把点(﹣1, 3)代入直线方程,求出 m 值即得直线 l 的方程. 解答: 解:设过点(﹣1,3)且与直线 x﹣2y+3=0 平行的直线方程为 x﹣2y+m=0,把点(﹣ 1,3)代入直线方程得 ﹣1﹣2×3+m=0,m=7,故所求的直线方程为 x﹣2y+7=0, 故答案为:x﹣2y+7=0. 点评: 本题考查用待定系数法求直线方程的方法,设过点(﹣1,3)且与直线 x﹣2y+3=0 平行的直线方程为 x﹣2y+m=0 是解题的关键.

12. (5 分)8

+( ) +log28=11.

﹣2

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数幂的运算性质和对数的运算性质计算即可 解答: 解:8 +( ) +log28=
﹣2

+2 +3=4+4+3=11

2

故答案为:11. 点评: 本题考查了指数幂的运算性质和对数的运算性质,属于基础题

13. (5 分)f(x)=

,若 f(x)=10,则 x=﹣3.

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值. 专题: 分类讨论. 2 分析: 分 x≤0 和 x>0 两种情况.x≤0 时,f(x)=x +1=10,x>0 时,f(x)=﹣2x=10 分别 解方程并分析并集即可. 2 解答: 解:x≤0 时,f(x)=x +1=10,x=﹣3

x>0 时,f(x)=﹣2x=10,x=﹣5(舍去) 故答案为:﹣3 点评: 本题考查分段函数求值问题,解决分段函数问题的关键是自变量在不同的范围内解 析式不同. 14. (5 分)已知 f(x)是 R 上的减函数,设 a=f(log23) ,b=f(log a,b,c 从小到大排列为 a<c<b. 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 log23>1, 是 R 上的减函数,即可得出. 解答: 解:∵log23>1, ∴log23>3
﹣0.5

3) ,c=f(3

﹣0.5

) ,则将

<0,0<3

﹣0.5

<1,可得 log23>3

﹣0.5



,再利用 f(x)

<0,0<3

﹣0.5

<1,



, 3) ,c=f(3
﹣0.5

∵f(x)是 R 上的减函数,a=f(log23) ,b=f(log ∴a<c<b. 故答案为:a<c<b. 点评: 本题考查了函数的单调性,属于基础题.

) ,

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (12 分)已知集合 A={x|x<0 或 x≥2},集合 B={x|﹣1<x<1},全集为实数集 R. (1)求 A∪B; (2)求(?RA)∩B. 考点: 交、并、补集的混合运算;并集及其运算. 专题: 集合. 分析: (1)根据并集的运算即可求 A∪B; (2)根据补集和交集的定义进行运算即可求(?RA)∩B. 解答: 解: (1)因为 A={x|x<0 或 x≥2},集合 B={x|﹣1<x<1}, 所以 A∪B={x|x≥2 或 x<1}. (2)因为 A={x|x<0 或 x≥2}, 所以?RA={x|0≤x<2}, 又 B={x|﹣1<x<1}, 所以(?RA)∩B={x|0≤x<1}. 点评: 本题主要考查集合的基本运算.要求熟练掌握集合的交并补运算,比较基础.

16. (12 分)已知函数 f(x)= (1)求 c 的值;

(c 为常数) ,1 为函数 f(x)的零点.

(2)证明函数 f(x)在(﹣1,+∞)上单调递减. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据零点的定义,f(1)= (2)先得到 f(x)= 即可. 解答: 解: (1)1 为 f(x)的一个零点,∴f(1)= ∴c=1; (2)由(1)可知 f(x)= 证明:设任意 x2>x1>﹣1,则: = ∵x2>x1>﹣1; ∴x2﹣x1>0,x1+1>0,x2+1>0; ∴ ; ; ; ; =0,从而可求出 c=1;

,根据单调性的定义设 x2>x1>﹣1,作差证明 f(x2)>f(x1)

∴f(x2)>f(x1) ; 所以函数 f(x)在(﹣1,+∞)上单调递增. 点评: 考查函数零点的定义,以及函数的单调性定义,根据单调性定义证明函数单调性的 方法与过程. 17. (14 分)已知三条直线 2x﹣y﹣3=0,4x﹣3y﹣5=0 和 ax+y﹣3a+1=0 相交于同一点 P. (1)求点 P 的坐标和 a 的值; (2)求过点(﹣2,3)且与点 P 的距离为 2 的直线方程. 考点: 点到直线的距离公式;两条直线的交点坐标. 专题: 直线与圆. 分析: (1)联立 ,解得点 P(2,1) .将 P 的坐标(2,1)代入直线 ax+y

﹣3a+1=0 中,解得 a 即可. (2)设所求直线为 l,当直线 l 的斜率不存在时,则 l 的方程为 x=﹣2;不合题意.当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y﹣3=k(x+2) ,利用点到直线的距离公式 即可得出. 解答: 解: (1)联立 ,解得 ,

∴点 P(2,1) . 将 P 的坐标(2,1)代入直线 ax+y﹣3a+1=0 中,可得 2a+1﹣3a+1=0,解得 a=2. (2)设所求直线为 l,当直线 l 的斜率不存在时,则 l 的方程为 x=﹣2, 此时点 P 与直线 l 的距离为 4,不合题意. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的斜率为 k, 则 l 的方程为 y﹣3=k(x+2) ,即 kx﹣y+2k+3=0, 因此点 P 到直线 l 的距离 d= =2 ,

解方程可得 k=2. 所以直线 l 的方程为 2x﹣y+7=0. 点评: 本题考查了直线的交点、点到直线的距离公式、点斜式,考查了分类讨论思想方法, 属于基础题. 18. (14 分) 如图, 在四棱锥 E﹣ABCD 中, 地面 ABCD 为矩形, AD⊥平面 ABE, AE=EB=BC=2, F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE,AC 与 BD 相交于点 G. (1)求证:AE∥平面 BFD; (2)求证:AE⊥平面 BCE; (3)求三棱锥 A﹣BCE 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)由四边形 ABCD 是正方形可得:G 是 AC 的中点,利用 BF⊥平面 ACE,可得 CE⊥BF,又 BC=BE,可得 F 是 EC 中点,于是 FG∥AE,利用线面平行的判定定理即可证明: AE∥平面 BFD; (2)由 AD⊥平面 ABE,AD∥BC,可得 BC⊥平面 ABE,BC⊥AE,可得 AE⊥BF,即可证 明 AE⊥平面 BCE. (3)由(2)知 AE 为三棱锥 A﹣BCE 的高,利用三棱锥 A﹣BCE 的体积 V= 可得出. 解答: (1)证明:由四边形 ABCD 是正方形, ∴G 是 AC 的中点, ∵BF⊥平面 ACE,CE?平面 ACE, 则 CE⊥BF,而 BC=BE, ∴F 是 EC 中点, 即

在△ AEC 中,连接 FG,则 FG∥AE, 又 AE?平面 BFD,FG?平面 BFD, ∴AE∥平面 BFD; (2)证明:∵AD⊥平面 ABE,AD∥BC, ∴BC⊥平面 ABE,AE?平面 ABE,则 BC⊥AE, 又∵BF⊥平面 ACE,AE?平面 ACE, 则 AE⊥BF, 且 BC∩BF=B,BC?平面 BCE, ∴BF?平面 BCE. ∴AE⊥平面 BCE. (3)解:由(2)知 AE 为三棱锥 A﹣BCE 的高, ∵BC⊥平面 ABE,BE?平面 ABE, ∴BC⊥BE,AE=EB=BC=2, ∴S△ BCE= = =2, = = .

∴三棱锥 A﹣BCE 的体积 V=

点评: 本题主要考查了线面面面垂直与平行的判定性质定理、正方形的性质与三棱锥的体 积计算公式、三角形中位线定理等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能 力、化归与转化能力,属于中档题. 19. (14 分)已知圆 C: (x+2) +(y﹣b) =3(b>0)过点(﹣2+ ,0) ,直线 l:y=x+m (m∈R) . (1)求 b 的值; (2)若直线 l 与圆 C 相切,求 m 的值; (3)若直线 l 与圆 C 相交于 M,N 两点,且 OM⊥ON(O 为坐标原点) ,求实数 m 的值. 考点: 圆的切线方程;直线与圆的位置关系. 专题: 综合题;直线与圆. 2 2 分析: (1)由题,圆 C: (x+2) +(y﹣b) =3(b>0)过点(﹣2+ ,0) ,代入求 b 的 值; (2)若直线 l 与圆 C 相切,圆心 C(﹣2,1)到直线 l 的距离等于圆 C 的半径 ,即可求 m 的值;
2 2

(3)先把直线与圆的方程联立消去 y,因为 OM⊥ON 得到 x1x2+y1y2=0,然后利用根于系数 的关系求出 m 即可. 解答: 解: (1)由题,圆 C: (x+2) +(y﹣b) =3(b>0)过点(﹣2+ 2 2 (﹣2+ +2) +(0﹣b) =3(b>0) ,…(2 分) 解得:b=1 …(4 分) (2)因为直线 l 与圆 C 相切, 所以圆心 C(﹣2,1)到直线 l 的距离等于圆 C 的半径 即: = …(6 分)
2 2

,0) ,则

解得:m=3± …(7 分) (3)设 M(x1,y1) 、N(x2,y2) , 2 2 由直线代入圆的方程,消去 y 得:2x +2(m+1)x+m ﹣2m+2=0,…(8 分) 所以 x1+x2=﹣(m+1) ,x1x2= ,

因为 OM⊥ON,所以 x1x2+y1y2=0, 2 所以 2x1x2+m(x1+x2)+m =0 2 所以 m ﹣3m+2=0, 解得:m=1,或 m=2 …(13 分) 检验可知:它们满足△ >0, 故所求 m 的值为 1 或 2…(14 分) 点评: 此题是一道直线与圆的方程的综合题,主要考查学生对圆标准方程的认识,会利用 根与系数的关系解决数学问题. 20. (14 分)对于函数 f(x) ,我们把使得 f(x)=x 成立的 x 称为函数 f(x)的“不动点”;把 使得 f(f(x) )=x 成立的 x 称为函数 f(x)的“稳定点”,函数 f(x)的“不动点”和“稳定点” 构成的集合分别记为 A 和 B,即 A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x) )=x}. (1)求证:A?B; (2)若 f(x)=2x﹣1,求集合 B; 2 (3)若 f(x)=x ﹣a,且 A=B≠?,求实数 a 的取值范围. 考点: 二次函数的性质;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)分类求解若 A=?,则 A?B 显然成立; 若 A≠?, (2)得出 f(f(t) )=2(2x﹣1)﹣1=4x﹣3=x,求解即可. (3)分类①△ <0,a 时,C=??A 成立②△ =0,A= 时,C={﹣ },A={ , },C?A

成立③△ >0,总结即可. 解答: 解: (1)若 A=?,则 A?B 显然成立; 若 A≠?, 设 t∈A,则 f(t)=t,f(f(t) )=f(t)=t ∴t∈B, 故 A?B (2)∵f(x)=2x﹣1,

∴f(f(t) )=2(2x﹣1)﹣1=4x﹣3=x, ∴x=1 ∴B={1} (3)∵A≠?有实根,∴a 方程 f(f(t) )=(x ﹣a) ﹣a=x,可化为(x ﹣x﹣a) (x +x﹣a+1)=0 2 设方程 x +x﹣a+1=0 的解集为 C,方程 f(f(x) )=x 的解集 B═A∪C ∵A=B,∴C?A 2 方程 x +x﹣a+1=0 的判别式△ =4a﹣3 ①△ <0,a 时,C=??A 成立 , },C?A 成立
2 2 2 2

②△ =0,A= 时,C={﹣ },A={ ③△ >0,a 由①②③得 a 综上所述 a∈[ , ] 时,不合题意

点评: 本题考查了集合,函数的性质,方程等问题,属于中档题,计算较麻烦,分类清晰, 讨论详细.


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