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7.1 不等关系与不等式练习题


§7.1 不等关系与不等式
一、选择题 1.已知 a ? log 2 3.6, b ? log 4 3.2, c ? log 4 3.6, 则( A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. b ? a ? c ) D. c ? a ? b

解析 因为 a ? 1 , b, c 都小于 1 且大于 0,故排除 C,D;又因为 b, c 都是以 4 为底的对 数,真数大,函数值也大,所以 b ? c ,故选 B. 答案 B 2.设 0<b<a<1,则下列不等式成立的是( A.ab<b2<1 C.2b<2a<2 1 1 解析:取 a= ,b= 验证可得. 2 3 答案:C 3.下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是( A.a>b+1 B.a>b-1 C.a2>b2 ). D.a3>b3 ) B. log 1 b< log 1 a<0
2 2

D.a2<ab<1

解析 A 项:若 a>b+1,则必有 a>b,反之,当 a=2,b=1 时,满足 a>b, 但不能推出 a>b+1,故 a>b+1 是 a>b 成立的充分而不必要条件;B 项:当 a =b=1 时,满足 a>b-1,反之,由 a>b-1 不能推出 a>b;C 项:当 a=-2,

b=1 时,满足 a2>b2,但 a>b 不成立;D 项:a>b 是 a3>b3 的充要条件,综上
知选 A. 答案 A 4.设 a>2,A= a+1+ a,B= a+2+ a-2,则 A、B 的大小关系是( A.A>B B.A<B C.A≥B D.A≤B 2 2 2 2 解析 A =2a+1+2 a +a,B =2a+2 a -4,显然 A2>B2,选 A. 答案 A 1 5.若 a>0,b>0,则不等式-b< <a 等价于( )

x

).

1 1 A.- <x<0 或 0<x<

b

a

1 1 B.- <x<

a

b

1 1 C.x<- 或 x>

a

b

1 1 D.x<- 或 x>

b

a

解析 由题意知 a>0,b>0,x≠0, 1 1 (1)当 x>0 时,-b< <a?x> ;

x x

a

1 1 (2)当 x<0 时,-b< <a?x<- .

b

1 1 1 综上所述,不等式-b< <a?x<- 或 x> .

x

b

a

答案 D 6.已知 ab≠0,那么 >1 是 <1 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 解析

a b

b a

). B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

a a-b b >1 即 >0,所以 a>b>0,或 a<b<0,此时 <1 成立; b b a a-b >0,即 a>b,a>0 或 a<0,a<b, a

反之 <1,所以

b a

此时不能得出 >1. 答案 A 7.若 a、b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( A.a2+b2>2ab 1 1 2 C. + > B.a+b≥2 D. + ≥2 ).

a b

ab

a b

ab

b a a b

解析 对 A:当 a=b=1 时满足 ab>0,但 a2+b2=2ab,所以 A 错;对 B、C:当

a=b=-1 时满足 ab>0,但 a+b<0, + <0,而 2 ab>0, >0,显然 B、 a b ab
C 不对;对 D:当 ab>0 时,由均值定理 + =2 答案 D 二、填空题 8.若 a1<a2,b1<b2,则 a1b1+a2b2 与 a1b2+a2b1 的大小关系是________.

1

1

2

b a a b

b a · =2. a b

解析 (a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=(a1-a2)(b1-b2)>0. 答案 a1b1+a2b2>a1b2+a2b1 9.若 x>y,a>b,则在①a-x>b-y,②a+x>b+y,③ax>by,④x-b>y -a,⑤ > 这五个式子中,恒成立的所有不等式的序号是________. 解析 令 x=-2,y=-3,a=3,b=2, 符合题设条件 x>y,a>b, ∵a-x=3-(-2)=5,b-y=2-(-3)=5, ∴a-x=b-y.因此①不成立. 又∵ax=-6,by=-6,∴ax=by.因此③也不正确. 又∵ =

a b y x

a 3 b 2 a b =-1, = =-1,∴ = .因此⑤不正确. y -3 x -2 y x

由不等式的性质可推出②④成立. 答案 ②④ 10. 已知-1≤x+y≤4, 2≤x-y≤3, z=2x-3y 的取值范围是________(用 且 则 区间表示). 1 5 解析 ∵z=- (x+y)+ (x-y), 2 2 1 5 ∴3≤- (x+y)+ (x-y)≤8, 2 2 ∴z∈[3,8]. 答案 [3,8] 11.若角 α ,β 满足- 解析 ∵- ∴- ∴- π π <α <β < ,则 2α -β 的取值范围是________. 2 2

π π π π <α <β < ,∴-π <2α <π ,- <-β < , 2 2 2 2

3π 3π π <2α -β < ,又∵2α -β =α +(α -β )<α < , 2 2 2 3π π <2α -β < . 2 2

? 3π π ? , ? 答案 ?- 2 2? ? 12. 设 a>b>1, c ? 0 ,给出下列三个结论:



c c > a b

;② a c < b c ; ③ logb (a ? c) ? log a (b ? c) , .

其中所有的正确结论的序号是

答案 ①②③ 三、解答题 13.已知 a>0,b>0,试比较 M= a+ b与 N= a+b的大小. 解析 ∵M -N =( a+ b) -( a+b) =a+b+2 ab-a-b=2 ab>0, ∴M>N. 14.已知 f(x)=ax2-c 且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求 f(3)的取值范围. ?a-c=f? 1? , 解析 由题意,得? ?4a-c=f? 2? ,
2 2 2 2

?a=1[f? ? 3 解得? 4 ?c=-3f? ?

2? 1?

-f? 1 + f? 3

1? 2?

], .

5 8 所以 f(3)=9a-c=- f(1)+ f(2). 3 3 5 5 20 因为-4≤f(1)≤-1,所以 ≤- f(1)≤ , 3 3 3 8 8 40 因为-1≤f(2)≤5,所以- ≤ f(2)≤ . 3 3 3 两式相加,得-1≤f(3)≤20, 故 f(3)的取值范围是[-1,20]. 15.已知 a∈R,试比较 1 与 1+a 的大小. 1-a

1 a2 解析 -(1+a)= . 1-a 1-a ①当 a=0 时,

a2
1-a

=0,∴

1 =1+a. 1-a

②当 a<1 且 a≠0 时, ③当 a>1 时,

a2
1-a

>0,∴

1 >1+a. 1-a

a2
1-a

<0,∴

1 <1+a. 1-a

综上所述,当 a=0 时, 当 a<1 且 a≠0 时, 当 a>1 时,

1 =1+a; 1-a

1 >1+a; 1-a

1 <1+a. 1-a 1

16. (1)设 x≥1,y≥1,证明 x+y+

xy x y

1 1 ≤ + +xy;

(2)设 1<a≤b≤c,证明 logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac. 解析 (1)由于 x≥1,y≥1,所以

x+y+ ≤ + +xy?xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2. xy x y
将上式中的右式减左式,得 [y + x +(xy)2]-[xy(x + y)+1]=[(xy)2 -1]-[xy(x + y)-(x + y)]=(xy + 1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)(y-1). 既然 x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,从而所要证明的不等式成立. (2)设 logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得 logca= 1

1

1

1

xy

1 1 ,logba= ,logcb= ,logac=xy.

x

y

于是,所要证明的不等式即为

x+y+ ≤ + +xy xy x y
其中 x=logab≥1,y=logbc≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立.

1

1

1


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