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上海交通大学2004数学分析试题与解答

2004 年上海交通大学 数学分析

一(14)设

lim
n??

an

?

a

,证明

lim
n??

a1

?

2a2

?? n2

?

nan

?

a 2

二(14)证明sin(x2) 在?0,???上不一致连续.

三(14)设 f (x) 在 ?0,2a?上连续,且 f (0) = f (2a) ,证明 ? x0 ? ?0, a?,使
f (x0 ) = f (x0 ? a)

四(14)证明不等式 2 x <sin x < x , x ? ??0, ? ??

?

? 2?

? 五 (14) 设 ?? f (x)d x 收 敛 , 且 f (x) 在 ?a,??? 上 一 致 连 续 , 证 明 a
l i m f (x) = 0.
x???
证 因 f (x) 在 ?a,??? 上一致连续,故 ?? ? 0 , ?? ? 0 ,使得当

t1,t2 ??a,??? 且 t1 ? t2

? ? 时,有

f (t1) ?

f (t2 )

?? , 2

a?n?
令un ? ? f (x)d x ,则由积分第一中值定理得, a ?( n?1)?
a?n?
?xn ??a ? (n ?1)? ,a ? n? ?,使得un ? ? f (x)d x ? ? f (xn) . a ?( n?1)?

? ? 因

?? a

f (x)d x 收敛,故级数

?

un 收敛,从而un

? 0 ,即

n?1

? f (xn ) ? 0 ,也即 f (xn ) ? 0 ,故对上述的? ,存在 N ? ? ,使得

当 n ? N 时,

f (xn )

?? . 2

取 X ? a ? N? ,则当 x ? X 时,因

1

?
x ??a,?? ? ?a ? (k ?1)? ,a ? k? ?
k ?0
故存在惟一的 k ? ? ,使得 x??a ? (k ?1)? ,a ? k? ? ,易见 k ? N ,且

x ? xk ? ? ,从而

f (x) ?

f (xk ) ?

f (x) ?

f

(xk )

?

? 2

?

? 2

?

?

? 六(14)设

x2n?1

?

1 n

, x2n

?

n?1 1 d x ,n ? 1,2, nx

?
,证明级数 ? ?? ?1 n?1 xn n?1

收敛.

? 解. x2n ?

n?1 n

1 x

d

x

?

ln

x

|n?1
n

?

ln(1 ?

1 ) ,因 n

S2n?1

?

S2

n

?

1 k

,故只要证

? ? ? ? ? n
S2n ?
k ?1

?1

k ?1

xk

?

n k ?1

?1 ?? k

? ln(1?

1 k

)???

?

n k ?1

?1 ?? 2k 2

?

(

1 k2

)???

收敛即可.

七(14)设 f (x) 在 ?0,1?上连续, f (1) = 0 , gn (x) ? f (x)xn , n ? 1,2, ,

证明{gn (x)} 在?0,1?上一致收敛.分区间讨论

? 八(12)设 f (x) 在?0,1?上连续,证明 lim n 1 xn f (x)d x = f (1) . n?? 0

? ? 证 (1)(令t ? xn ,则 n 1 xn f (x)d x ?

1
t

1 n

f

(t

1 n

)dt



0

0

(2)因 f (x) 在 ?0,1?上连续,故 ?M ? 0,使得 f (x) ? M , x??0,1? ,

(3)?? ? 0 ,记 a ? ? ,不妨设 0 ? a ?1,则 3M

? ? ? a 1

1

t n f (t n )dt ?

a1
tn

1
f (t n ) dt ?

a
M

dt

?

Ma

?

?



0

0

0

3

2

? ? ? (4)

11

1

t n f (t n )dt ? f (1) ?

11

1

[t n f (t n ) ? f (1)]dt ?

11

1

t n f (t n ) ? f (1) dt

a

a

a

11

1

1

1

?? t n f (t n ) ? t n f (1) ? t n f (1) ? f (1) dt a

1

1

11

? ? ? f (t n ) ? f (1) dt ? f (1) t n ?1 dt

a

a

(5)因 f (x) 在?0,1?上连续,故 f (x) 在?0,1?上一致连续,故对上述的正

数? , ?? ? 0 ,当 x1, x2 ??0,1?且 x1 ? x2 ? ? 时,有

? f (x1) ? f (x2) ? 3(1? a)

1
(6)因 lim a n ?1 ,记? ? ? min{ ?,

? } ,则存在正整数 N ,使得

n??

3M(1 ? a)

1
当 n ? N 时,有 an ?1 ? ? ? ,

1

1

1

(7)当 t ? (a ,1)时,有 t n ?1 ?1 ?t n ?1 ?an ,从而当 n ? N 时,有

? ? 1

1

f (t n ) ? f (1) dt ?

f (1)

11
tn

?1 dt

?

?

?

?

a

a

33

(8)由(3)和(7)知,当 n ? N 时,有

? ? ? 1 1

1

t n f (t n )dt ? f (1) ?

a1

1

t n f (t n )dt ?

11
tn

f

1
(t n )dt

?

f

(1)

?

?

?

2?

??

0

0

a

33

九(12)设

a1

>0,

a n?1



a

n



1 an

,证明 lim n??

an =1 stolz 公式 2n

证 (1)要证 lim an =1 ,只要证 lim an2 ?1,

n?? 2n

n?? 2n

即只要证 lim n??

a2 n?1

?

an2

(2n ? 2) ? 2n

? 1,即证 lni?m?(an2?1

?

an2 )

?

2

3

(2)因

a

n

?1



a

n



1 an

,故 an?1

? an

?

1 an

? 0 , an?1 an

?1?

1 an2

a2 n?1

? an2

? (an?1

? an )(an?1 ? an )

?

an?1 ? an an

?1?

1 an2

?1? 2?

1 an2

因此只要证 lim n??

1 an2

?

0

,即只要证

lim
n??

an

??

(3)由 an?1

? an

?

1 an

? 0 知,{an} 单调增加,假如

有上界,则

必有极限 ,由 = + 知, a = a + 1 , a

因此 1 ? 0 ,矛盾. a

这表明{an}

单调增加、没有上界,因此

lim
n??

an

?

?

.

(证完)

十(28)计算下述积分:

?? 1.

y ? x2 d x d y ,其中 D 是矩形区域 x ?1, 0 ? y ? 2

D

解 记 D1 ?{(x, y) | x ?1,0 ? y ? 2, y ? x2 ? 0}

D2 ? {(x, y) | x ?1,0 ? y ? 2,0 ? y ? x2},

?? ?? ?? y ? x2 d xd y ?

x2 ? y d xd y ?

y ? x2 d xd y

D

D1

D2

4

1

x2

1

1

2

1

? ? ? ? ? d x (x2 ? y) 2 d y ? d x ( y ? x2) 2 d y

?1 0

?1 x2

? ? ?

2

1

3
(x2 ) 2

d

x

?

2

1

(2

?

3
x2 ) 2

d

x

3 ?1

3 ?1

? ? ?

4

1

3
(x2 ) 2

d

x

?

4

1

(2

?

3
x2 ) 2

d

x

30

30

π

? ? ? 4 1 x3 d x ? 16 4 cos4 t dt (这里x ? 2 sint)

30

30

π

? ?

1 3

?

16 3

4 0

? ??

1

?

cos 2

2t

2
? ??

d

t

π

? ?

1 3

?

4 3

4 0

???1

?

2 cos

2t

?

1

?

cos 2

4t

? ??

d

t

π

?

1 3

?

4 3

? ??

3 2

t

?

sin

2t

?

sin 4t 8

?4 ?? 0

?

1 3

?

4 3

? ??

3π 8

?

1???

?

π 2

?

5 3

?? 2 . yz d y d z ? (x2 ? z2) y d z d x ? xy d x d y , 其 中 S 是 曲 面 S

4 ? y ? x2 ? z 2 上 y ? 0 的那部分正侧.

解 记 ? ?{(x, y, z) | x2 ? z2 ? 4, y ? 0}(取下侧),

V ?{(x, y, z) | 0 ? y ? 4 ? x2 ? z2},则 ?V ? S ? ?,由高斯公式知,

?? ?? yz d y d z ? (x2 ? z2) y d z d x ? xy d xd y ?

S

S ??

? ???

? ??? (x2 ? z2)d xd y d z ? 0

V

??? ? ?? ? 4
? (x2 ? z2)d xd yd z ? d y

(x2

?

z2)d

x

d

z

?

4


1

(4

?

y)2

d

y

V

0

x2 ?z2 ? 4? y

04

5

?

?

π 6

??(4

?

y)3

4
?? 0

?

32π 3

6


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