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浙江省杭州二中2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题


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杭州二中2014学年第一学期高一年级期中考数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A ? ?1,3,5,7,9? , B ? ?0,3,6,9,12? ,则 A (A) ?1,5,7? (B)

(?N B) ? ( )
(D) ?1, 2,3? )

?3,5,7?

(C) ?1,3,9?

2. 设 a ? 0.30.4 , b ? log 4 0.3 , c ? 40.3 ,则 a, b, c 的大小关系为( (A) a ? b ? c (B) a ? c ? b
2

(C) c ? a ? b

(D) b ? c ? a

3. 设全集 U 是实数集 R, M ? {x | x ? 4}, N ? {x | x ? 3或x ? 1} 都是 U 的子集,则图中阴 影部分所表示的集合是( (A) {x | ?2 ? x ? 1} (C) {x |1 ? x ? 2} 4. 函数 f ( x) ? (A) (??,2] ) (B) {x | ?2 ? x ? 2} (D) {x | x ? 2} ) (C) [2,??) (D) [0,2] ) (D) 2 ) (D) y ? (

? x 2 ? 2 x ? 3 的值域是 (
(B) (0,??)

5. 若 g ? x ? ? 1 ? 2 x , f ? ? g ? x ?? ? ? log 2 x ? 1 ,则 f ? ?1? ? ( (A) ?1 6. 与函数 y ? 2
log 2 ( x ? 2 )

1

(B) 0

(C) 1

表示同一个函数的是( (B) y ?

(A) y ? x ? 2 7. 函数 f ( x) ?

x2 ? 4 x?2

(C) y ?| x ? 2 |

x?2 2 ) x?2

x 的图像不可能 是( ... x ?a
2



(A )
2

8. 已知 f ? x ? ? log 1 x ? ax ? 3a 在 ? 2, ?? ? 上为减函数,则实数 a 的取值范围是(
2

?

( B)

?

(C )

(D)


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(A)

? ??, 4?

(B)

? ?4, 4?

(C)

? 0, 2 ?

(D)

? 0, 4?


9. 已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ? (A) ?

?2 x ? a , x ? 1 ,若 f (1 ? a ) ? f (1 ? a ) ,则 a 的值为( ?? x ? 2 a , x ? 1
(C) ?

3 4

(B) ?

3 2

3 3 或? 4 2

(D) ? 1

10. 定 义 域 为 R 的 函 数 f ? x ? 满 足 f ? x ? 2 ? ? 2 f ? x ? , 当 x ? ? 0, 2 ? 时 ,

? x 2 ? x, x ? ? 0,1? ? t 1 ? 3 x? f ? x? ? ? ,若 x ? ? ?4, ?2 ? 时, f ? x ? ? ? 恒成立,则实数 t 的取 2 1 ? ? 4 2t ?? ? ? , x ? ?1, 2? ? ?2? ?
值范围是( (A) ) (B)

? ?2, 0 ? ? 0,1?

? ?2, 0 ? ?1, ?? ?
? 0,1?

(C) ? ?2,1?

(D) ? ??, ?2?

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 11. lg 25 ?

2 lg 8 ? lg 5 ? lg 20 ? lg 2 2 ? 3



12. 若 f ( x) ?

ax ? 1 在区间 (?2, ??) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是___________. x?2

x 13. 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 f ( x) ? 3 ? m ( m 为 常 数 ) , 则

f (? log 3 5) 的值为_________.
14. 已 知 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ( ) x ? m , 若 对 任 意 x1 ? ? 0, 2? , 存 在 x2 ? ?1, 2? , 使 得

1 2

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则实数 m 的取值范围是



15. 已知 t 为常数,函数 y ? x 2 ? 4 x ? t 在区间 ? 0, 6? 上的最大值为 10,则 t =________. 16. 已知函数 f ( x) ? ?

?2? x ? 1 ( x ? 0) , 若方程 f ( x) ? ax ? 1 (a ? 0) 有且只有两个不相等 ? f ( x ? 1) ( x ? 0)


的实数根,则实数 a 的取值范围是

三、解答题:本大题共4小题.共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分) 已知集合 M ? {x x 2 ? 3 x ? 10} , N ? {x a ? 1 ? x ? 2a ? 1} .

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(1)若 a ? 2 ,求 M (2)若 M

( ? R N );

N ? M ,求实数 a 的取值范围.

b ? 2? x 18. (本题满分 10 分)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? ? x ?1 是奇函数. 2 ?2
(1)求 b 的值; (2)判断并证明函数 f ? x ? 的单调性; (3)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 有解,求 k 的取值范围.
2 2

19. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? log 2 (4 x ? 1) ? ax . ⑴ 若函数 f ( x) 是 R 上的偶函数,求实数 a 的值; ⑵ 若 x ? (0,1] ,不等式 f ( x) ? log 2 (4 x ? 1) ? log 2
a ? ax 恒成立,求 a 的取值范围. 4x

20. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?| 2 ?

p . | ( p 为大于 0 的常数) x

(1)求函数 f ( x) 在 [1, 4] 上的最大值(用常数 p 表示) ; (2)若 p ? 1 ,是否存在实数 m 使得函数 f ( x) 的定义域为 [a, b] ,值域为 [ma, mb] ,如 果存在求出实数 m 的取值范围,如果不存在说明理由.

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杭州二中2014学年第一学期高一年级期中考数学答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四项中,只有一项 是符合题目要求的. 题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 D 5 A 6 D 7 D 8 B 9 A 10 D

二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.

11.

3

12.

a?

1 2

13.

?4

14.

m?

1 4

15.

2 或6

16.

2 [ , 2) 3

三、解答题:本大题共4小题.共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分) 解:(1) 因为 a=2,所以 N={x|3≤x≤5},?R N={x|x<3 或 x>5}. 又 M={x|-2≤x≤5}, 所以 M∩ (?RN)={x|x<3 或 x>5}∩{x|-2≤x≤5}={x|-2≤x<3}. (2)若 M≠ ? ,由 M

N ? M ,得 N?M,所以

a+1≥-2 ? ? ?2a+1≤5 .解得 0≤a≤2; ? ?2a+1≥a+1 当 N= ? ,即 2a+1<a+1 时,a<0,此时有 N?M, 所以 a<0 为所求. 综上,实数 a 的取值范围是(-∞,2]. 18.(本题满分 12 分) 解: (1)∵ f ( x) 为奇函数,∴ f (0) ? 0 , f (0) ? (2)函数 f ( x) 为增函数。 证明:任取 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,

b ?1 ? 0, b ? 1 4

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f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2 ? x2 ? 2 ? x1 1 ? 2 ? x1 1 ? 2 ? x2 4 = ? (2 ? x1 ?1 ? 2)(2 ? x2 ?1 ? 2) 2 ? x1 ?1 ? 2 2 ? x2 ?1 ? 2
? x2

∵ x1 ? x2 , ∴ ? x2 ? ? x1 , 2 又

? 2 ? x1 , ∴ 2 ? x2 ? 2 ? x1 ? 0, 、
,∴

(2 ? x1 ?1 ? 2)(2 ? x2 ?1 ? 2) ? 0

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

∴函数 f ( x) 为增函数。 (3)∵ f ( x) 为奇函数,由 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 得 f (t ? 2t ) ? ? f (2t ? k ) ,
2 2 2 2

f (t 2 ? 2t ) ? f (k ? 2t 2 )
又∵ f ( x) 为增函数, t ? 2t ? k ? 2t , 3t ? 2t ? k
2 2 2

当t ? ?

1 1 1 2 时, 3t ? 2t 有最小值 ? ,∴ k ? ? 3 3 3

19. (本题满分 10 分) 解 : (1) a ? ?1 (2) a ? 3 ? 2 2 20. (本题满分 14 分)

p ?p ? 2, x ? ? ?2 2 解:函数 f ( x) ? ? ?2 ? p , x ? p ? x 2 ?
p ? 4 时,即 p ? 8 , f ( x) 的最大值为 f (1) ? p ? 2 2 p p 当 1 ? ? 4 时,即 2 ? p ? 8 , f (1) ? p ? 2 , f (4) ? 2 ? 2 4 16 若p? , f (1) ? f (4) , f ( x) 即的最大值为 f (1) ? p ? 2 5 16 p 若p? , f (1) ? f (4) , f ( x) 即的最大值为 f (4) ? 2 ? 5 4 p p 当 ? 1 时,即 p ? 2 , f ( x) 的最大值为 f (4) ? 2 ? 2 4 16 综上所述:当 p ? , f ( x) 即的最大值为 p ? 2 5 16 p 当p? , , f ( x) 即的最大值为 2 ? 5 4 1 (2)若 p ? 1 函数 f ( x) ?| 2 ? | x


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由 a ? b, ma ? mb 知 m( a ? b) ? 0, m ? 0 又 ma ? 0, 所以 a ? 0

?1 ? 2 ? mb ? 1 ?a 当 0?a?b? 时,由题意得 ? 2 ? 1 ? 2 ? ma ? ?b
1 1 ? 2 ? , a 无解。 a a 1 当 a ? ? b 时, ma ? 0 与 m ? 0, a ? 0 矛盾 2



1 1 1 ? ? m(a ? b), ? mb 带 入 得 a b a

? 1 2 ? ? ma ? 1 ? a 当 ? a ? b 时,由题意得 ? 2 ?2 ? 1 ? mb ? ? b
1 1 ? mx ( x ? )有两个不同的实数解 x 2 1 2 1 方法一: m ? ? 2 ? ,令 t ? , t ? (0,2] x x x
即2? 则 m ? ?t ? 2t 有两个解,得 m ? (0,1)
2

方法二:由 2 ?

1 ? mx 可化为 mx 2 ? 2 x ? 1 ? 0 x
2

要使得方程有两个不等的实根,令 g ( x) ? mx ? 2 x ? 1

? ?? ? 0 ? ? 1 则函数应满足 ? g ( ) ? 0 得 m ? (0,1) ? 2 ?1 1 ? ? ?m 2


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