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高中数学第二章函数概念与基本初等函数I2.1函数的概念2.1.1函数的概念名师导航学案苏教版必修1

2.1 函数的概念和图象 2.1.1 函数的概念 名师导航 知识梳理 1.函数的概念 设 A,B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个 x, 在集合 B 中都有__________的数 f(x)和它对应, 那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的函 数,记作 y=f(x),x∈A. 其中 x 叫__________, x 的取值范围 A 叫做函数 y=f(x)的__________; 与 x 的值相对应 的 y 的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}( ? B)叫做函数 y=f(x)的__________. 函数符号 y=f(x)表示“y 是 x 的函数” ,有时简记作函数__________. (1)函数实际上就是集合 A 到集合 B 的一个特殊对应 f:A→B, 这里 A,B 为__________的数集. (2)A:定义域; {f(x)|x∈A}:值域,其中{f(x)|x∈A}__________B; f:对应法则,x∈A,y∈B. (3)函数符号:y=f(x) ? y 是 x 的函数,简记 f(x). 2.已学函数的定义域和值域 (1)一次函数 f(x)=ax+b(a≠0):定义域为__________,值域为__________; (2)反比例函数 f(x)= 2 k (k≠0):定义域为__________,值域为__________; x (3)二次函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0):定义域为__________, 值域:当 a>0 时,为__________;当 a<0 时,为__________. 3.函数的值:关于函数值 f(a) 2 例:f(x)=x +3x+1,则 f(2)= __________. 4.函数的三要素: 对应法则 f、定义域 A 和值域{f(x)|x∈A}. 只有当这三要素__________时,两个函数才能称为同一函数. 疑难突破 有关函数概念的理解 剖析:(1)如果一个函数需要几条限制时,那么定义域为各限制所得 x 的范围的交集. (2)求定义域的基本步骤为:根据所给函数按照基本要求列出不等式组,解不等式组即可. (3)定义域是一个集合, 要用集合作答.也可写成区间的形式, 定义域用区间表示有时显得非 常简捷. (4)随着今后的学习,自变量 x 的取值范围还可能受到一些新的限制,如对数函数,三角函 数等. (5)两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时,才是同一函数. (6)注意:我们可以定义一个函数 f:A→B,该函数的值域 C 并不一定等于集合 B,但 C 一定 是 B 的一个子集. (7)理解函数符号“y=f(x)”的含义.符号“y=f(x)”用语言通俗解释为“y 是 x 的函数” , 它仅仅是抽象的、简洁的函数符号,每一部分都有其特定的含义. 问题探究 问题 1 高中阶段学习的函数的概念和初中阶段学习的函数的概念有什么异同? 探究思路:初中阶段的概念是这样的:设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y,如果对于 x 1 的每一个值,y 都有唯一的值与它对应,那么就说 x 是自变量,y 是 x 的函数. 将自变量 x 取值的集合叫做函数的定义域,和自变量 x 的值对应的 y 的值叫做函数值, 函数值的集合叫做函数的值域. 高中阶段的概念是这样的:设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f, 使对于集合 A 中的任意一个数 x, 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应, 那么就称 f: A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y=f(x),x∈A.其中,x 叫自变量,x 的取值范 围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫 做函数的值域. 两种函数概念有以下的相同点: (1)两种表示的定义域和值域完全相同; (2)对应关系本质上也是一样的; (3)都是描述变量之间的依赖关系. 两种函数概念有以下的不同点: (1)用集合的观点说明变量; (2)用对应关系表示变化过程; (3)表示法的不同:初中里的表示法比较单一,在高中更全面. 2 问题 2 对于函数 f(x)=x +2x-3,试画出它的图象.你能根据它的图象画出下列各函数的图 象吗?你从中能总结出什么结论? (1)y=-f(x);(2)y=f(-x); (3)y=-f(-x);(4)y=f(|x|); (5)y=|f(x)|;(6)y=f(x+1); (7)y=f(x)+1. 探究思路:已知函数 y=f(x),求作其图象有两种思路. 思路一:列表描点法. 思路二:利用函数图象的变换去画图,题(1)—(5)可通过对称变换,(6)(7)可用平移变换. 如下图所示. 2 典题精讲 例 1 下列各题中的两个函数表示同一个函数的是( A.f(x)=x,g(x)= 2n x 2n C.f(x)=x-2,g(t)=t-2 ) B.f(n)=2n+1(n∈Z),g(n)=2n-1(n∈Z) D.f(x)= 1? x2 ,g(x)=1+x 1? x 思路解析 两个函数相同必须有相同的定义域、值域和对应法则.A 中两函数的值域不同;B 中虽然定义域和值域都相同,但对应法则不同;C 中尽管表示自变量的两个字母不同,但两 个函数的三个要素是一致的,因此它们是同一函数;D 中两函数的定义域不同. 答案:C 例 2 求下列函数的定义域: (1)y=2+ 3 ; x?2 (2)y= 3 ? x · x ? 1 ; 0 (3)y=(x-1) + 2 . x ?1 思路解析 给定函数时,要指明函数的定义域.对于用函数解析式表示的函数,如果没有给 出定义域,那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合.因为函数的定 义域是同时使函数解析式各部分有意义的 x 值的集合,所以应取各部分的交集. 解答:(1)要使函数有意义,当且仅当 x-2≠0,

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