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第4章 第5讲 数系的扩充与复数的引入


第四章
一、选择题

第五讲

A 组 基础巩固

1.(2015· 长春调研)复数 z=1-i 的虚部是 导学号 25401141 ( A.1 C.i [答案] B B.-1 D.-i

)

[解析] 由复数 a+bi(a∈R,b∈R)的虚部为 b,得 z=1-i 的虚部为-1,故选 B. 2.(2015· 北京)复数 i(2-i)= 导学号 25401142 ( A.1+2i C.-1+2i [答案] A [解析] i(2-i)=2i-i2=1+2i.选 A. 3.(2015· 湖北)i 为虚数单位,i607 的共轭复数为 导学号 25401143 ( A.i C.1 [答案] A [解析] i607=i4
×151

)

B.1-2i D.-1-2i

)

B.-i D.-1

· i3=-i,又-i 的共轭复数为 i,选 A. )

2+ai 4.(2015· 新课标全国Ⅱ)若 a 为实数,且 =3+i,则 a= 导学号 25401144 ( 1+i A.-4 C.3 [答案] D 2+ai [解析] ∵ =3+i,∴2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,又 a∈R,∴a=4. 1+i 1+z 5.(2015· 新课标全国Ⅰ)设复数 z 满足 =i,则|z|= 导学号 25401145 ( 1-z A.1 C. 3 [答案] A i-1 ?i-1?2 [解析] 由题意知 1+z=i-zi,所以 z= = =i,所以|z|=1. i+1 ?i+1??i-1? B. 2 D.2 ) B.-3 D.4

5i 6. (2015· 河南郑州市高三质量预测)在复平面内与复数 z= 所对应的点关于虚轴对称 1+2i

的点为 A,则 A 对应的复数为 导学号 25401146 ( A.1+2i C.-2+i [答案] C [解析] 依题意得,复数 z=

)

B.1-2i D.2+i

5i?1-2i? =i(1-2i)=2+i,其对应的点的坐标是(2,1), ?1+2i??1-2i?

因此点 A(-2,1)对应的复数为-2+i,选 C. → → → 7.在复平面内,向量AB对应的复数是 2+i,向量CB对应的复数是-1-3i,则向量CA对 应的复数是 导学号 25401147 ( A.1-2i C.3+4i [答案] D → → → [解析] 因为CA=CB+BA=-1-3i+(-2-i)=-3-4i. z 8.(2015· 吉林普通高中期末联考)设复数 z=a+bi(a,b∈R),若 =2-i 成立,则点 1+i P(a,b)在 导学号 25401148 ( A.第一象限 C.第三象限 [答案] A [解析] z=(2-i)(1+i)=3+i,对应的点在第一象限. 2-bi 9.若复数 (b∈R)的实部与虚部互为相反数,则 b 等于 导学号 25401149 ( 1+2i A. 2 2 C.- 3 [答案] C [解析] 2-bi ?2-bi??1-2i? 2-2b-?4+b?i = = , 5 1+2i ?1+2i??1-2i? 2 B. 3 D.2 ) ) B.第二象限 D.第四象限 ) B.-1+2i D.-3-4i

2-2b 4+b 2 由题意得 - =0,得 b=- . 5 5 3 1 3 1 3 10.(2015· 河北邢台市高三摸底考试)已知复数 z1=- + i,z2=- - i,则下列命 2 2 2 2 题中错误的是 导学号 25401150 ( A.z2 1=z2 ) B.|z1|=|z2|

3 C.z3 1-z2=1

D.z1,z2 互为共轭复数

[答案] C 1 3 2 1- 3 3 1 3 [解析] 依题意, 注意到 z2 i) = - i=- - i=z2, 因此选项 A 正确; 1=(- + 2 2 4 2 2 2 1 3 注意到|z1|=1=|z2|,因此选项 B 正确;注意到 z 1=- - i=z2,因此选项 D 正确;注意到 2 2 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 3 z3 z1=(- + i)2· (- + i)=(- - i)(- + i)=1,同理 z2 =1,因此 z3 1=z1· 1-z2=0, 2 2 2 2 2 2 2 2 选项 C 错误.综上所述,选 C. 二、填空题 11 . 复 数 (3 + i)m - (2 + i) 对 应 的 点 在 第 三 象 限 内 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 ________. 导学号 25401151 2 [答案] m< 3 [解析] z=(3m-2)+(m-1)i,其对应点(3m-2,m-1)在第三象限内,故 3m-2<0 且 2 m-1<0,∴m< . 3 3+bi 12.若 =a+bi(a,b 为实数,i 为虚数单位),则 a+b=________. 导学号 25401152 1-i [答案] 3 [解析] 3+bi ?3+bi??1+i? 1 3-b 3+b = = [(3-b)+(3+b)i]= + i. 2 2 2 2 1-i
?a=0, ? 解得? ∴a+b=3. ? ?b=3.

b , ?a=3- 2 ∴? 3+b ? 2 =b,

13.(2015· 福建厦门质检)若复数 z 满足(1+2i)z=|3+4i|(i 为虚数单位),则复数 z 等于 ________. 导学号 25401153 [答案] 1-2i [解析] ∵(1+2i)z=|3+4i|=5, 5?1-2i? 5 ∴z= = =1-2i. 1+2i ?1+2i??1-2i? 2 2 014 1+i 6 14.i 是虚数单位,( ) +( ) =________. 导学号 25401154 1-i 1-i [答案] -1-i [解析] 2 21 原式=[( )] 1-i
007

+(

1+i 6 2 1 ) =( ) 1-i -2i

007

+i6=i1

007

+i6=i4

×251+3

+i4 2=i3+i2=


-1-i. 三、解答题 15.复数 z1= 3 2 +(10-a2)i,z2= +(2a-5)i,若 z 1+z2 是实数,求实数 a 的 a+5 1-a

值. 导学号 25401155 [答案] 3 [解析] =( = 3 2 z 1+z2= +(a2-10)i+ +(2a-5)i a+5 1-a

3 2 + )+[(a2-10)+(2a-5)]i a+5 1-a

a-13 +(a2+2a-15)i. ?a+5??a-1?

∵ z 1+z2 是实数, ∴a2+2a-15=0,解得 a=-5 或 a=3. 又(a+5)(a-1)≠0,∴a≠-5 且 a≠1,故 a=3. B 组 能力提升 5 1.(2015~2016 学年河南省许昌市长葛一中高三月考试题)复数 1+ (i 是虚数单位)的 2-i 模等于 导学号 25401156 ( A. 10 C. 5 ) B.10 D.5

[答案] A [分析] 首先将复数化简为 a+bi 的形式,然后求模. 5?2+i? 5?2+i? 5 [解析] 1+ = 1+ =1+ =3+i,故模为 32+12= 10;故选:A. 5 2-i ?2-i??2+i? [点拨] 本题考查了复数的混合运算以及复数模的求法;属于基础题. 2 .若复数 z = 导学号 25401157 ( A.-2 C.-1 [答案] B ?a+2i??1+i? a-2+?a+2?i [解析] z= = ,复数 z 在复平面内对应的点在虚轴上,则 a- 2 ?1-i??1+i? a+2i (i 为虚数单位 ) 在复平面内对应的点在虚轴上,则实数 a 的值为 1- i ) B.2 D.0

2=0,即 a=2,故选 B. ?1+i?2 3.对于复数 z= ,若命题 p:“复数 z 在复平面内对应的点位于第一象限”,命 1-i 题 q : “ 设 复 数 z 的 共 轭 复 数 为 z , 则 z = - 1 - i” , 则 下 列 命 题 为 真 命 题 的 是 导学号 25401158 ( A.p∨(? q) C.(? p)∧q [答案] C ?1+i?2 2i?1+i? [解析] 因为 z= = =i(1+i)=-1+i, 所以在复平面对应的点在第二象 1-i ?1-i??1+i? 限,命题 p 假,因为 z =-1-i,所以命题 q 为真,所以 C 正确. 4.复数 z1,z2 满足 z1=m+(4-m2)i,z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(m,λ,θ∈R),并且 z1=z2, 则 λ 的取值范围是 导学号 25401159 ( A.[-1,1] 9 C.[- ,7] 16 [答案] C
? ?m=2cosθ, [解析] 由复数相等的充要条件可得? 化简得 4-4cos2θ=λ+3sinθ, 2 ?4-m =λ+3sinθ, ?

) B.p∧q D.p∧(? q)

) 9 B.[- ,1] 16 9 D.[ ,7] 16

由此可得 λ=-4cos2θ-3sinθ+4=-4(1-sin2θ)-3sinθ+4=4sin2θ-3sinθ,因为 sinθ∈[- 1,1],所以 4sin2θ-3sinθ∈[- 9 ,7]. 16

?-1+i??2+i? 5.计算:(1) ; i3 ?1+2i?2+3?1-i? (2) ; 2+i 1-i 1+i (3) ; 2+ ?1+i? ?1-i?2 1- 3i (4) . 导学号 25401160 ? 3+i?2 1 2 [答案] (1)-1-3i (2) + i (3)-1 5 5 1 3 (4)- - i 4 4 ?-1+i??2+i? -3+i [解析] (1) = =-1-3i. i3 -i

?1+2i?2+3?1-i? -3+4i+3-3i i?2-i? 1 2 i (2) = = = = + i. 5 5 5 2+i 2+i 2+i 1-i 1+i 1-i 1+i 1+i -1+i (3) + = + = + =-1. 2 ?1+i?2 ?1-i?2 2i -2i -2 1- 3i ? 3+i??-i? (4) = ? 3+i?2 ? 3+i?2 = -i ?-i?? 3-i? = 4 3+i

1 3 =- - i. 4 4 z 6.已知 z 是复数,z+2i、 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z+ai)2 在复平面内对应 2-i 的点在第一象限,求实数 a 的取值范围. 导学号 25401161 [答案] 2<a<6 [解析] 设 z=x+yi(x、y∈R), ∴z+2i=x+(y+2)i,由题意得 y=-2. ∵ x-2i 1 z 1 1 = = (x-2i)(2+i)= (2x+2)+ (x-4)i, 5 5 2-i 2-i 5

由题意得 x=4.∴z=4-2i. ∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,
?12+4a-a2>0 ? ∴? , ? ?a-2>0

解得 2<a<6,所以实数 a 的取值范围是 2<a<6.


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