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2014届高三4月金华十校联考数学文科试卷二模

金华十校 2014 年高考模拟考试

数学(文科)试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1. 已知集合 U={a,b,c,d,e},M={a,d},N={a,c,e},则 M∪? UN 为 A.{c,e} 2. B.{a,b,d} C.{b,d} D.{a,c,d,e}

已知复数 z1=2+i,z2=a?i,z1· z2 是实数,则实数 a= A.2 B.3 C.4 D.5

3. 设 y=f(x)是定义在 R 上的函数,则“x≠1”是“f(x)≠f(1)”成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ?? ? 4. 关于函数 y ? tan ?2 x ? ? ,下列说法正确的是 3? ? A.是奇函数
?? ? 0 ? 为图象的一个对称中心 C. ? , ?6 ? ? ?? B.在区间 ? 0, ? 上单调递减 ? 3?

D.最小正周期为?

5. 已知某空间几何体的三视图(单位:cm)如图所示, 则该几何体的体积是 A.2cm
3

1 2

2 B. cm3 3
D.6cm3

1 2 1

1 2

正视图
1

侧视图
1

C.1cm3

6. 从 5 名医生(3 男 2 女)中随机等可能地选派两名医生, 则恰选得一名男医生和一名女医生的概率为 A.
俯视图 (第 5 题图)

1 10

B.

2 5

C.

1 2

D.

3 5

7. 空间中,?,?,? 是三个互不重合的平面,l 是一条直线,则下列命题中正确的是 A.若???,l∥?,则 l?? C.若 l??,l∥?,则??? B.若???,l??,则 l∥? D.若 l∥?,l∥?,则?∥?

十校高三(文科)试卷第 1 页(共 4 页)

8. 若正实数 x, y 满足 x ? y ? 1? xy ,则 x+2 y 的最小值是 B.5 C.7 2 x y 9. 如图,已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a,b ? 0) 的左右焦点分别为 a b
2

A.3

D.8 y
A

F1F2,|F1F2|=2,P 是双曲线右支上的一点,PF1⊥PF2,F2P 与 y 轴交于点 A,△APF1 的内切圆半径为 的离心率是
2 ,则双曲线 2
P

F1 F2 O 5 A. B. 2 C. 3 D. 2 2 x 9 题图) 2 (第 10.已知函数 y=f(x),y=g(x)的图象如图所示,则函数 y=g[ | f(x) | ]的大致图像是

x

y 1O ?2 y 1 O ?2 ?1 O x ?2 ?1 ?1 O 1 y=f(x) y O 1 ?2 O x x O ?1

y O O 1 ?1 yy =g(x) O 1 ?1 2 x O y O ?2 ?1 O ?1
开始 a=3, ,i=1 i<100? 是 否

?1 O

x

x

A.

B.

C.

D.

二、填空题:本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 若两直线 x?2y+5=0 与 2x+my?5=0 互相平行,则实数 m= ▲ . 12. 已知函数 f(x)=|x+1|,若 f(a)=2a,则 a= ▲ . ▲ _. .

3 13. 已知? 为第三象限角, sin ? ? ? ,则 sin2 ? ?cos2 ? = 5
14. 某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 ▲

a ? 1?

1 a

输出 a

i= i +1

结束

15. 等差数列{an}的前 n 项的和为 Sn,若 S6 ? 27,S21 ? 189 ,则 a6 ?
?2 x ? 3 y ? 2 ≥0 , ? x =2, ? 16.对于不等式组 ?3x ? y ? 4 ≤0 ,的解(x,y),当且仅当 ? 时, y y =2 ? ? x ? 2 y ?1 ≥0 ?

▲ _.

(第 14 题图)

C

z=ax+y 取得最大值,则实数 a 的取值范围是

▲ _.

B

17. 如图,等腰 Rt△ABC 直角边的两端点 A,B 分别在 x 轴、 O
十校高三(文科)试卷第 2 页(共 4 页)

A
(第 17 题图)

x

y 轴的正半轴上移动,若|AB|=2,则 OB ? OC 的最大值是

▲ _.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 tan A ? tan B ? (Ⅰ)求角 B 的大小;

2sin C . cos A

a c (Ⅱ)已知 ? ? 3 ,求 sin Asin C 的值. c a

19. (本小题满分 14 分) 已知数列{an}的首项 a1=2,前 n 项和为 Sn,且?a2,Sn,2an+1 成等差. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)记 bn ?
an ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. (an ? 1)(an ?1 ? 1)

20.(本题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P?ABC 中,AB⊥ AC,PA=PB=PC=3,AB= 2 3 ,AC=2. (Ⅰ)求证:平面 PBC⊥ 平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 A?PB?C 的正切值.
A C P

B 十校高三(文科)试卷第 3 页(共 4 页)

(第 20 题图)

21.(本题满分15分) 已知函数 f (x) ? 2 x 3 ?2tx ?t (t∈ R) . (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线与直线 y=x 平行,求实数 t 的值;
5 成立,求实数 t 的取值范围. (Ⅱ)若对任意的 x ∈[0,1] ,都有 | f ( x)| ≤

22.(本小题满分 15 分) 已知抛物线 Q : y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点与椭圆 (Ⅰ)求抛物线 Q 的方程; (Ⅱ)如图所示,设 A、B、C 是抛物线 Q 上任意不同的三点,且点 A 位于 x 轴上方,B、C 位 于 x 轴下方. 直线 AB、AC 与 x 轴分别交于点 E、F,BF 与直线 OC、EC 分别交于点 M、N. 记 △OBM、△ENF、△MNC 的面积依次为 S1、S2、S3,求证:S1+S2=S3.
y A

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点相同. 4 3

E O B M N

F x

C (第 22 题图)

十校高三(文科)试卷第 4 页(共 4 页)

金华十校 2014 年高考模拟考试

数学(文科)卷参考答案
一.选择题:每小题 5 分,共 50 分 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 C 5 A 6 D 7 C 8 C 9 B 10 D

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.?4 15.6 三.解答题: 18.解:(Ⅰ) tan A ? tan B ? 12.1
? 2 ? +? ? 16. ? ? , ? 3 ?

13.

31 24

14.3

17.2

sin( A ? B) sin C , ????????????????????? ? cos A cos B cos A cos B 2sin C sin C 2sin C ∵ tan A ? tan B ? ,∴ , ? cos A cos A cos B cos A 1 ? ∴ cos B ? ,∵ 0 ? B ? ? ,∴B= .?????????????????? 3 2 a c a c a2 ? c2 b2 ? 2ac cos B (Ⅱ) ? ? , ∵ ? ? 3, ? c a c a ac ac ? 2 b ? 2ac cos 2 b2 ? 2ac cos B 3 ? 3 ,∴ b ? 2 ,????????? ∴ ? 3 ,即 ac ac ca 2 ? sin b2 sin 2 B 3 3 3 ? ? 而 ? ,∴ sin Asin C ? .????? ca sin A sin C sin A sin C 4sin A sin C 8 ?
2Sn ?1 ? ?a2 ? 2an , ?????? 19. 解:(Ⅰ)∵ 2Sn ? ?a2 ? 2an ?1 ,∴当 n ≥ 2时,

sin A sin B sin A cos B ? cos A sin B ? ? cos A cos B cos A cos B

3分

7分

10 分

14 分 2分 4分

两式相减得 2an ? 2an?1 ? 2an , 故an?1 ? 2an ? n ≥ 2? ,所以

a n ?1 ? 2 . ????? an

十校高三(文科)试卷第 5 页(共 4 页)

a2 ? 2a1 ,所以 n ? 1时 也满足 又当 n=1 时, 2a1 ? ?a2 ? 2a2 , 得

a n ?1 ?2 an

∴{an}是首项 a1=2,公比为 2 的等比数列,∴an=2n. ??????????? (Ⅱ)∵ bn ?
2n 1 1 , ??????????? ? n ? n ?1 n ?1 2 ? 1 2 ?1 ? 2 ? 1? ? ? 2 ? 1?
n

6分 8分

∴ Tn ? b1 ? b2 ?

1 ? ? 1 1 ? ? 1 ? bn ? ? 1 ? 2 ? 3 ??? 2 ?? ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ?1 2 ?1?

1 ? ? 1 ?? n ? n ?1 ? ? 2 ?1 2 ?1 ?

?1?

1 2
n ?1

?1

, ??????????????????????????

11 分

1 2 ∵ 2n?1 ≥ 4, ∴Tn ≥1 ? ? , 3 3 又 1 2
n ?1

2 ? 0, ∴Tn ? 1, ∴ ≤ Tn ? 1. ????????????????? ?1 3
P

14 分

20. 解: (Ⅰ)设 D 为 BC 的中点,连结 AD,DP. 因为 AD⊥ AC,所以 DA=DB=DC. ????? 2 分 因为 PA=PB=PC,所以△PAD≌△PBD≌△PCD, 所以∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°, 即 PD⊥ 平面 ABC 因为 PD ? 平面 PBC, 所以平面 PBC⊥ 平面 ABC. ????? 7 分
B G A E D (第 20 题图) C

????? 5 分

(Ⅱ)证明:过 A 作 AE⊥ BC 于 E,过 E 作 EG⊥ PB 于 G,连结 AG. 由(Ⅰ) 平面 PBC⊥ 平面 ABC,且平面 PBC∩平面 ABC=BC, 所以 AE⊥ 平面 PBC,∴ AE⊥ PB, 又 EG⊥ PB,且 AE,EG ? 平面 AEG ,AE∩EG=E, 所以 PB⊥ 平面 AEG, 又 AG ? 平面 AEG,所以 PB⊥ AG; 所以∠AGE 即为二面角 A?PB?C 的平面角. ????? 11 分 ????? 9分

在 Rt△ABC 中, AB= 2 3 , AC=2, 可得∠ABC=30°, AD=2, 所以 AE= 3 , BE=3, PD= 5 , 在等腰△PBC 中,PB=3,AC=2,可得 sin∠PBC= 所以,在 Rt△AEG 中,tan∠AGE= 即二面角 A?PB?C 的正切值为
AE 15 ? , EG 5
5 ,所以 EG= 5 , 3

15 .??????????????????? 14 分 5

十校高三(文科)试卷第 6 页(共 4 页)

21.解:(Ⅰ ) 由题 g ?(x) ? 6 x 2 ?2t ,且 g ?(1) ?1 ,解得 t ? (Ⅱ )由(Ⅰ ) g ?( x) ? 6 x2 ? 2t ,

5 ;?????????? 2

5分

5 ? g (1) ?2 ? t ≤ (1)当 t ≤ 0 时,函数 g ( x) 在 (0,1] 上单调递增,此时 ? , g (0) ? t ≥ ? 5 ? 解得 ?3 ≤ t ≤ 0 ; ????????????????????????? 5 ? g (1) ?2 ? t ≥ ? (2)当 t ≥ 3 时,函数 g ( x) 在 (0,1] 上单调递减,此时 ? , ? g (0) ? t ≤5

8分

解得 3 ≤ t ≤ 5 ; ?????????????????????????? ? ? t ? t? (3)当 0 ? t ? 3 时,函数 g ( x) 在 ? ? 0, 3 ? 上递减及 ? ? 3 ,1? 上递增,此时 ? ? ? ?
? g (1) ? 2 ? t ≤ 5 恒成立, g (x) ? 2x 3 ?2tx ?t ? 0 ? 2t ?t ? ?t ? ? 5 . ???? ? g (0) ? t ≤ 5 ?

11 分

14 分

综上,当实数 t 的取值范围为 ?3 ≤ t ≤ 5 时,对任意的 x ∈[0,1] ,都有 | g( x)| ≤5 成立. ?????????????????????????????????? 22.解:(Ⅰ )∵椭圆 15 分

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为(1,0), 4 3 x2 y 2 ? ? 1 的右焦点相同, 4 3
5分

由于抛物线 Q : y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点与椭圆 ∴

p =1,即 p=2,故抛物线 Q 的方程为 y2=4x; ???????????? 2

(Ⅱ ) 设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) , E ( x4 , y4 ) , F ( x5 , y5 ) 由题,要证 S1+S2=S3,即证 S?OBF ? S? OEC ,??????????????? 即证 x5 y2 ? x4 y3 ,?????????????????????????? 设直线 AB 的方程为 x ? ty ?x 4 ,代入 y2=4x 得
y 2 ? 4ty ? 4 x4 ? 0 ,

8分 10 分

由韦达定理得, y1y2 ? ?4x4 ,① 同理可得 y1y3 ? ?4x5 ② ???????????????????? 14 分

①× y 3 得 y1 y2 y3 ? ?4 x4 y3 , ②× y2 得 y1 y2 y3 ? ?4 x5 y2 ,
十校高三(文科)试卷第 7 页(共 4 页)

∴ x5 y2 ? x4 y3 ,证毕.????????????????????????

15 分

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