当前位置:首页 >> 高三数学 >>

2017步步高大一轮复习讲义数学4.3


1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 π 3π 正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),( ,1),(π,0),( ,-1),(2π, 2 2 0). π 3π 余弦函数 y=cosx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),( ,0),(π,-1),( ,0),(2π, 2 2 1). 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y=sinx y=cosx y=tanx

图象

定义域 值域

R [-1,1] π π 在[- +2kπ, + 2 2

R [-1,1] 在[-π+2kπ, 2kπ](k∈Z)上递增;在 [2kπ,π+2kπ](k∈Z)上 递减 当 x=2kπ(k∈Z)时, ymax=1;当 x=π+ 2kπ(k∈Z)时, ymin=-1

π {x|x∈R 且 x≠ +kπ, 2 k∈Z} R

单调性

2kπ](k∈Z)上递增; 在 π 3π [ +2kπ, + 2 2 2kπ](k∈Z)上递减 π 当 x= +2kπ(k∈Z) 2 时,ymax=1;当 x=

π π 在(- +kπ, + 2 2 kπ)(k∈Z)上递增

最值

π - +2kπ(k∈Z)时, 2 ymin=-1 奇偶性 对称中心 对称轴方程 周期 奇函数 (kπ,0)(k∈Z) π x= +kπ(k∈Z) 2 2π 偶函数 π ( +kπ,0)(k∈Z) 2 x=kπ(k∈Z) 2π π 奇函数 kπ ( ,0)(k∈Z) 2

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y=sinx 在第一、第四象限是增函数.( × ) (2)常数函数 f(x)=a 是周期函数,它没有最小正周期.( √ ) (3)正切函数 y=tanx 在定义域内是增函数.( × )

(4)已知 y=ksinx+1,x∈R,则 y 的最大值为 k+1.( × ) (5)y=sin|x|是偶函数.( √ (6)若 sinx> )

2 π ,则 x> .( × ) 2 4

1 1.(教材改编)函数 y= sinx,x∈[-π,π]的单调性是( 2 A.在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数

)

π π? π? ?π ? ? B.在? ?-2,2?上是增函数,在?-π,-2?和?2,π?上都是减函数 C.在[0,π]上是增函数,在[-π,0]上是减函数 π ? ? π? ? π π? D.在? ?2,π?和?-π,-2?上是增函数,在?-2,2?上是减函数 答案 B 2.函数 y=tan2x 的定义域是(
? ? π x≠kπ+ ,k∈Z ? A.?x? 4 ? ? ? ? ? π ? C.?x? ?x≠kπ+8,k∈Z ? ?

)
? ? kπ π x≠ + ,k∈Z ? B.?x? ? 2 8 ? ? ? ? kπ π ? D.?x? ?x≠ 2 +4,k∈Z ? ?

答案 D π kπ π 解析 由 2x≠kπ+ ,k∈Z,得 x≠ + ,k∈Z, 2 2 4

? ? kπ π ? ∴y=tan2x 的定义域为?x? ?x≠ 2 +4,k∈Z . ? ?

π π π 3. 若函数 f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0,]上单调递增, 在区间[ ,]上单调递减, 则 ω 等于( 3 3 2 2 A. 3 C.2 答案 B 解析 ∵f(x)=sinωx(ω>0)过原点, π π ∴当 0≤ωx≤ ,即 0≤x≤ 时, 2 2ω y=sinωx 是增函数; π 3π π 3π 当 ≤ωx≤ ,即 ≤x≤ 时, 2 2 2ω 2ω y=sinωx 是减函数. π? 由 f(x)=sinωx(ω>0)在? ?0,3?上单调递增, π π? π π 在? ?3,2?上单调递减知,2ω=3, 3 ∴ω= . 2 3 B. 2 D.3

)

4.(2015· 安徽)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 均为正的常数)的最小正周期为 π,当 x 2π = 时,函数 f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( 3 A.f(2)<f(-2)<f(0) C.f(-2)<f(0)<f(2) 答案 A 解析 由于 f(x)的最小正周期为 π, ∴ω=2,即 f(x)=Asin(2x+φ), 2π 4π π 又当 x= 时,2x+φ= +φ=2kπ- (k∈Z), 3 3 2 11π ∴φ=2kπ- (k∈Z), 6 π 又 φ>0,∴φmin= , 6 π π 故 f(x)=Asin(2x+ ).于是 f(0)=Asin , 6 6 π 4+ ? f(2)=Asin? ? 6? B.f(0)<f(2)<f(-2) D.f(2)<f(0)<f(-2) )

? π?? ?5π ? =Asin? ?π-?4+6??=Asin? 6 -4?,
π? ?13π ? f(-2)=Asin? ?-4+6?=Asin? 6 -4?

?13π ?? ? 7π? =Asin? ?π-? 6 -4??=Asin?4- 6 ?.
π 5π 7π π π 又∵- < -4<4- < < , 2 6 6 6 2 π π? 又 f(x)在? ?-2,2?上单调递增, ∴f(2)<f(-2)<f(0),故选 A. π? 5.函数 y=3-2cos? ?x+4?的最大值为________,此时 x=________. 答案 5 3π +2kπ(k∈Z) 4

π? 解析 函数 y=3-2cos? ?x+4?的最大值为 3+2=5, π 3π 此时 x+ =π+2kπ(k∈Z),即 x= +2kπ(k∈Z). 4 4

题型一
例1 π 5π? A.? ?6, 6 ?

三角函数的定义域和值域
)

(1)函数 y= 2sinx-1的定义域为(

π 5π? B.? ?2kπ+6,2kπ+ 6 ?(k∈Z) π 5π? C.? ?2kπ+6,2kπ+ 6 ?(k∈Z) π 5π? D.? ?kπ+6,kπ+ 6 ?(k∈Z) π? π (2)函数 f(x)=3sin? ?2x-6?在区间[0,2]上的值域为( 3 3? A.? ?-2,2? 3 3 3 3? C.?- ? 2 , 2 ? 3 ? B.? ?-2,3? 3 3 ? D.?- ? 2 ,3? )

π (3)函数 y=cos2x+sinx(|x|≤ )的最小值为____________________________________. 4

1- 2 答案 (1)B (2)B (3) 2 1 解析 (1)由 2sinx-1≥0,得 sinx≥ , 2 π 5π 所以 2kπ+ ≤x≤2kπ+ (k∈Z). 6 6 故选 B. π? (2)当 x∈? ?0,2?时, π 5π π - , ?, 2x- ∈? 6 ? 6 6? π? ? 1 ? sin? ?2x-6?∈?-2,1?, π? ? 3 ? 故 3sin? ?2x-6?∈?-2,3?, 3 ? 即此时函数 f(x)的值域是? ?-2,3?. π (3)令 t=sinx,∵|x|≤ , 4 ∴t∈?-

?

2 2? . , 2 2?

1?2 5 ∴y=-t2+t+1=-? ?t-2? +4, ∴t=- 1- 2 2 时,ymin= . 2 2

思维升华 (1)三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象 来求解. (2)三角函数值域的不同求法 ①利用 sin x 和 cos x 的值域直接求; ②把所给的三角函数式变换成 y=Asin(ωx+φ)的形式求值域; ③通过换元,转换成二次函数求值域. (1)函数 y=lg(sinx)+ (2) 函 数 y = sinx 1 cosx- 的定义域为__________________________. 2 - cosx + sinxcosx 的 值 域 为

_________________________________________________________. π ? ? 答案 (1)?x|2kπ<x≤3+2kπ,k∈Z?
? ?

1 ? (2)? ?-2- 2,1?

sinx>0, ? ? 解析 (1)要使函数有意义必须有? 1 ? ?cosx-2≥0, sinx>0, 2kπ<x<π+2kπ?k∈Z?, ? ? ? ? 即? 解得? π 1 π cosx≥ , ? ? 2 ? ?-3+2kπ≤x≤3+2kπ?k∈Z?, π ∴2kπ<x≤ +2kπ(k∈Z), 3 π ? ? ∴函数的定义域为?x|2kπ<x≤3+2kπ,k∈Z?.
? ?

(2)设 t=sinx-cosx, 则 t2=sin2x+cos2x-2sinxcosx, 1-t2 sinxcosx= , 2 且- 2≤t≤ 2. t2 1 1 ∴y=- +t+ =- (t-1)2+1. 2 2 2 当 t=1 时,ymax=1; 1 当 t=- 2时,ymin=- - 2. 2 1 ? ∴函数的值域为? ?-2- 2,1?.

题型二
例2

三角函数的单调性
)

π? (1)函数 f(x)=tan? ?2x-3?的单调递增区间是(

kπ π kπ 5π? A.? ? 2 -12, 2 +12?(k∈Z) kπ π kπ 5π? B.? ? 2 -12, 2 +12?(k∈Z) π 2π? C.? ?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z) π 5π? D.? ?kπ-12,kπ+12?(k∈Z) π? ?π ? (2)已知 ω>0,函数 f(x)=sin? ?ωx+4?在?2,π?上单调递减,则 ω 的取值范围是________. 1 5? 答案 (1)B (2)? ?2,4? π π π 解析 (1)由 kπ- <2x- <kπ+ (k∈Z)得, 2 3 2 kπ π kπ 5π - <x< + (k∈Z), 2 12 2 12

π? ?kπ π kπ 5π? 所以函数 f(x)=tan? ?2x-3?的单调递增区间为? 2 -12, 2 +12?(k∈Z),故选 B. π (2)由 <x<π,ω>0 得, 2 ωπ π π π + <ωx+ <ωπ+ , 2 4 4 4 π 3π? 又 y=sinx 在? ?2, 2 ?上递减,

? 2 +4≥2, 所以? π 3π ?ωπ+4≤ 2 ,
1 5 解得 ≤ω≤ . 2 4 思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间:①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将 解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”;②求形如 y=Asin(ωx+φ)或 y= Acos(ωx+φ)(其中 ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但 如果 ω<0,那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数,防止把单调性弄错. (2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解. π? (1)函数 f(x)=sin? ?-2x+3?的单调减区间为________. π? ?π ? (2)已知 ω>0,函数 f(x)=cos? ?ωx+4?在?2,π?上单调递增,则 ω 的取值范围是( 1 5? A.? ?2,4? 3 9? C.? ?4,4? 1 7? B.? ?2,4? 3 7? D.? ?2,4? )

ωπ π π

π 5 ? 答案 (1)? ?kπ-12,kπ+12π?,k∈Z (2)D π? 解析 (1)由已知函数为 y=-sin? ?2x-3?, π? 欲求函数的单调减区间,只需求 y=sin? ?2x-3?的单调增区间. π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12 π 5π? 故所给函数的单调减区间为? ?kπ-12,kπ+12?(k∈Z). (2)函数 y=cosx 的单调递增区间为[-π+2kπ,2kπ],k∈Z,

? 2 +4≥-π+2kπ, 则? π ?ωπ+4≤2kπ,
解得

ωπ π

k∈Z,

5 1 4k- ≤ω≤2k- ,k∈Z, 2 4

1 5 1 2k- ?≤0,k∈Z 且 2k- >0,k∈Z, 又由 4k- -? 4? 2 ? 4 3 7? 得 k=1,所以 ω∈? ?2,4?.

题型三

三角函数的周期性、对称性

命题点 1 周期性 π? π? ? 例 3 在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos? ?2x+6?,④y=tan?2x-4?中,最小正周期 为 π 的所有函数为( A.①②③ C.②④ 答案 A 解析 ①y=cos|2x|=cos2x,最小正周期为 π; ②由图象知 y=|cosx|的最小正周期为 π; π? 2π ③y=cos? ?2x+6?的最小正周期 T= 2 =π; π π 2x- ?的最小正周期 T= ,因此选 A. ④y=tan? 4 ? ? 2 命题点 2 求对称轴、对称中心 例4 π? (1)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)? ?ω>0,|φ|<2?的最小正周期是 π,若将 f(x)的图象向右平 ) ) B.①③④ D.①③

π 移 个单位后得到的图象关于原点对称,则函数 f(x)的图象( 3 π A.关于直线 x= 对称 12 π ? C.关于点? ?12,0?对称 5π B.关于直线 x= 对称 12 5π ? D.关于点? ?12,0?对称

π? ? π ? (2)已知函数 y=2sin? ?2x+3?的图象关于点 P(x0,0)对称,若 x0∈?-2,0?,则 x0=________. π 答案 (1)B (2)- 6 2π 解析 (1)由题意知 =π,∴ω=2; ω

π? 2 ? π ? 又由 f(x)的图象向右平移 个单位后得到 y=sin[2? ?x-3?+φ]=sin?2x+φ-3π?,此时关于原点 3 对称, 2π ∴- +φ=kπ,k∈Z, 3 2π π ∴φ= +kπ,k∈Z,又|φ|< , 3 2 2π ? π ∴? ? 3 +kπ?<2, π ∴k=-1,φ=- , 3 π? ∴f(x)=sin? ?2x-3?. π 当 x= 时, 12 π π 2x- =- , 3 6 ∴A、C 错误; 5π 当 x= 时, 12 π π 2x- = , 3 2 ∴B 正确,D 错误. π (2)由题意可知 2x0+ =kπ,k∈Z, 3 kπ π 故 x0= - ,k∈Z, 2 6 π ? 又 x0∈? ?-2,0?, π ∴k=0 时,x0=- . 6 命题点 3 由对称性求参数 π π ωx+ ?(ω∈N*)图象的一个对称中心是? ,0?,则 ω 的最小值为( 例 5 若函数 y=cos? 6 ? ? ?6 ? A.1 C.4 答案 B πω π π 解析 由题意知 + =kπ+ (k∈Z)?ω=6k+2(k∈Z),又 ω∈N*,∴ωmin=2,故选 B. 6 6 2 思维升华 (1)对于函数 y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中 心一定是函数的零点,因此在判断直线 x=x0 或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时, B.2 D.8 )

可通过检验 f(x0)的值进行判断. (2)求三角函数周期的方法: ①利用周期函数的定义. 2π ②利用公式:y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 ,y=tan(ωx+φ)的最小正 |ω| π 周期为 . |ω| π ? ?π ? ?π? (1)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ),对于任意 x 都有 f? ?6+x?=f?6-x?,则 f?6?的值 为________. 5π (2)已知函数 f(x)=sinx+acosx 的图象关于直线 x= 对称,则实数 a 的值为( 3 A.- 3 C. 2 答案 (1)2 或-2 (2)B π ? ?π ? 解析 (1)∵f? ?6+x?=f?6-x?, π ∴x= 是函数 f(x)=2sin(ωx+φ)的一条对称轴. 6 π? ∴f? 2. ?6?=± 5π (2)由 x= 是 f(x)图象的对称轴, 3 10π? 可得 f(0)=f? ? 3 ?, 解得 a=- 3 . 3 B.- D. 2 2 3 3 )

4.三角函数的对称性、周期性、单调性

典例 (1)(2015· 四川)下列函数中,最小正周期为 π 且图象关于原点对称的函数是( π? A.y=cos? ?2x+2? π? B.y=sin? ?2x+2? C.y=sin2x+cos2x D.y=sinx+cosx

)

(2)(2015· 课标全国Ⅰ)函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 f(x)的单调递减区间为 ( )

1 3? A.? ?kπ-4,kπ+4?,k∈Z 1 3? B.? ?2kπ-4,2kπ+4?,k∈Z 1 3? C.? ?k-4,k+4?,k∈Z 1 3? D.? ?2k-4,2k+4?,k∈Z π π (3)已知函数 f(x)=2cos(ωx+φ)+b 对任意实数 x 有 f(x+ )=f(-x)成立,且 f( )=1,则实数 b 4 8 的值为( A.-1 C.-1 或 3 ) B.3 D.-3

思维点拨 (1)逐个验证所给函数是否满足条件;(2)根据图象先确定函数的周期性,然后先在 π 一个周期内确定 f(x)的减区间;(3)由 f(x+ )=f(-x)可得函数的对称轴,应用函数在对称轴处 4 的性质求解即可. π? 解析 (1)选项 A 中,y=cos? ?2x+2?=-sin2x,符合题意. 5 1? (2)由图象知,周期 T=2×? ?4-4?=2, 2π ∴ =2,∴ω=π. ω 1 π π 由 π× +φ= +2kπ,k∈Z,不妨取 φ= , 4 2 4 π? ∴f(x)=cos? ?πx+4?. π 1 3 由 2kπ<πx + <2kπ + π , k∈Z , 得 2k - <x<2k + , k∈Z , ∴f(x) 的 单 调 递 减 区 间 为 4 4 4

?2k-1,2k+3?,k∈Z.故选 D. 4 4? ?
π π (3)由 f(x+ )=f(-x)可知函数 f(x)=2cos(ωx+φ)+b 关于直线 x= 对称,又函数 f(x)在对称轴 4 8 处取得最值,故± 2+b=1,∴b=-1 或 b=3.

答案 (1)A (2)D

(3)C

温馨提醒 (1)研究三角函数的性质时一定要做到心中有图,充分利用数形结合思想;(2)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与对称轴的交点是最值点.

[方法与技巧] 1.讨论三角函数性质,应先把函数式化成 y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式. 2π 2. 函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 , y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 |ω| π . |ω| 3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令 t=ωx +φ,将其转化为研究 y=sint 的性质. 4.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数 ω 的范围的问题:首先,明确已知的单调 区间应为函数的单调区间的子集;其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的 关系可求解. [失误与防范] 1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参数的最值问题,要讨 论参数对最值的影响. 2.要注意求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时 ω 的符号,若 ω<0,那么一定先借助诱导公 式将 ω 化为正数. 3. 三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得, 直接将两个端点处的函数值作为最值 是错误的.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟) π? 1.对于函数 f(x)=sin? ?πx+2?,下列说法正确的是( A.f(x)的周期为 π,且在[0,1]上单调递增 B.f(x)的周期为 2,且在[0,1]上单调递减 C.f(x)的周期为 π,且在[-1,0]上单调递增 D.f(x)的周期为 2,且在[-1,0]上单调递减 答案 B )

π? 解析 因为 f(x)=sin? ?πx+2?=cosπx,则周期 T=2,在[0,1]上单调递减,故选 B. πx π? 2.函数 y=2sin? ? 6 -3?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( A.2- 3 C.-1 答案 A 解析 利用三角函数的性质先求出函数的最值. π π π 7π ∵0≤x≤9,∴- ≤ x- ≤ , 3 6 3 6 π π? ? 3 ? ∴sin? ?6x-3?∈?- 2 ,1?. ∴y∈[- 3,2],∴ymax+ymin=2- 3. 3π ? π 3.将函数 f(x)=sinωx(其中 ω>0)的图象向右平移 个单位长度,所得图象经过点? ? 4 ,0?,则 4 ω 的最小值是( 1 A. 3 5 C. 3 答案 D 解析 根据题意平移后函数的解析式为 π x- ?, y=sinω? ? 4? 3π ? ωπ 将? ? 4 ,0?代入得 sin 2 =0,则 ω=2k,k∈Z,且 ω>0, 故 ω 的最小值为 2. π? 4.关于函数 y=tan? ?2x-3?,下列说法正确的是( A.是奇函数 π? B.在区间? ?0,3?上单调递减 π ? C.? ?6,0?为其图象的一个对称中心 D.最小正周期为 π 答案 C π? 解析 函数 y=tan? ?2x-3?是非奇非偶函数,A 错误; π? 在区间? ?0,3?上单调递增,B 错误; ) ) B.1 D.2 B.0 D.-1- 3 )

π 最小正周期为 ,D 错误. 2 π π? π ∵当 x= 时,tan? ?2×6-3?=0, 6 π ? ∴? ?6,0?为其图象的一个对称中心,故选 C. 5.函数 y=cos2x+sin2x,x∈R 的值域是( 1 A.[0,1]B.[ ,1] C.[-1,2]D.[0,2] 2 答案 A 1-cos2x 解析 y=cos2x+sin2x=cos2x+ 2 = 1+cos2x . 2 )

∵cos2x∈[-1,1],∴y∈[0,1]. 6.函数 f(x)=sin(-2x)的单调增区间是________. π 3π? 答案 ? ?kπ+4,kπ+ 4 ?(k∈Z) 解析 由 f(x)=sin(-2x)=-sin2x, π 3π 2kπ+ ≤2x≤2kπ+ (k∈Z)得 2 2 π 3π kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z). 4 4 π? 7.函数 y=tan? ?2x+4?的图象与 x 轴交点的坐标是________. kπ π ? 答案 ? ? 2 -8,0?(k∈Z) π 解析 由 2x+ =kπ(k∈Z)得, 4 kπ π x= - (k∈Z). 2 8 π? ? kπ π ? ∴函数 y=tan? ?2x+4?的图象与 x 轴交点的坐标是? 2 -8,0?(k∈Z). π π 8. 设函数 f(x)=3sin( x+ ), 若存在这样的实数 x1, x2, 对任意的 x∈R, 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2) 2 4 成立,则|x1-x2|的最小值为________. 答案 2 π π 2 解析 f(x)=3sin( x+ )的周期 T=2π× =4, 2 4 π f(x1),f(x2)应分别为函数 f(x)的最小值和最大值,

T 故|x1-x2|的最小值为 =2. 2 1 9.已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx)- . 2 π 2 (1)若 0<α< ,且 sinα= ,求 f(α)的值; 2 2 (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. π 2 解 (1)因为 0<α< ,sinα= , 2 2 所以 cosα= 所以 f(α)= 2 . 2

2 ? 2 2? 1 1 × - = . 2 ?2+2? 2 2 1 2

(2)因为 f(x)=sinxcosx+cos2x- 1+cos2x 1 1 = sin2x+ - 2 2 2 1 1 = sin2x+ cos2x 2 2 = π 2 ? sin?2x+4? ?, 2

2π 所以最小正周期 T= =π. 2 π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 8 8 3π π? 所以 f(x)的单调递增区间为? ?kπ- 8 ,kπ+8?,k∈Z. π? 10. (2015· 湖北)某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ)? ?ω>0,|φ|<2?在某一个周期内的 图象时,列表并填入了部分数据,如下表: ωx+φ x Asin(ωx+φ) 0 0 π 2 π 3 5 π 3π 2 5π 6 -5 0 2π

(1) 请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数 f(x)的解析式; (2) 将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动 θ(θ>0)个单位长度,得到 y=g(x)的图象.若 y=g(x) 5π ? 图象的一个对称中心为? ?12,0?,求 θ 的最小值.

π 解 (1)根据表中已知数据,解得 A=5,ω=2,φ=- .数据补全如下表: 6 ωx+φ x Asin(ωx+φ) π? 且函数解析式为 f(x)=5sin? ?2x-6?. π? (2)由(1)知 f(x)=5sin? ?2x-6?, π? 得 g(x)=5sin? ?2x+2θ-6?. 因为函数 y=sinx 图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z. π kπ π 令 2x+2θ- =kπ,解得 x= + -θ,k∈Z. 6 2 12 5π ? 由于函数 y=g(x)的图象关于点? ?12,0?成中心对称, kπ π 5π kπ π 所以令 + -θ= ,解得 θ= - ,k∈Z. 2 12 12 2 3 π 由 θ>0 可知,当 k=1 时,θ 取得最小值 . 6 B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) π 11.已知函数 f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π),若 f( )=-2,则 f(x)的一个单调递减区间是( 8 π 3π A.[- , ] 8 8 3π π C.[- , ] 8 8 答案 C π 解析 由 f( )=-2 得 8 π π π f( )=-2sin(2× +φ)=-2sin( +φ)=-2, 8 8 4 π 所以 sin( +φ)=1. 4 π 因为|φ|<π,所以 φ= . 4 π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 4 2 π 9π B.[ , ] 8 8 π 5π D.[ , ] 8 8 ) 0 π 12 0 π 2 π 3 5 π 7π 12 0 3π 2 5π 6 -5 2π 13 π 12 0

3π π 解得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 8 8 3π π 当 k=0 时,- ≤x≤ ,故选 C. 8 8 π π? 12. 已知函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在区间? 则 ω 的最小值等于( ?-3,4?上的最小值是-2, 2 A. 3 C.2 答案 B π π 解析 ∵ω>0,- ≤x≤ , 3 4 ωπ ωπ ∴- ≤ωx≤ . 3 4 ωπ π 由已知条件知- ≤- , 3 2 3 ∴ω≥ . 2 π π? 13.(2014· 北京)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0).若 f(x)在区间? ?6,2? π? ?2π? ?π? 上具有单调性,且 f? ?2?=f? 3 ?=-f?6?,则 f(x)的最小正周期为________. 答案 π π π? 解析 ∵f(x)在? ?6,2?上具有单调性, T π π ∴ ≥ - , 2 2 6 2π ∴T≥ . 3 π? ?2π? ∵f? ?2?=f? 3 ?, π 2π + 2 3 7π ∴f(x)的一条对称轴为 x= = . 2 12 π? ?π? 又∵f? ?2?=-f?6?, π π + 2 6 π ∴f(x)的一个对称中心的横坐标为 = . 2 3 1 7π π π ∴ T= - = ,∴T=π. 4 12 3 4 π 14.已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|< ),y=f(x)的部分图象如图, 2 3 B. 2 D.3 )

π 则 f( )=________. 24 答案 3

3π π π π 解析 由题中图象可知,此正切函数的半周期等于 - = ,即最小正周期为 , 8 8 4 2 所以 ω=2. 3π 由题意可知,图象过定点( ,0), 8 3π 所以 0=Atan(2× +φ), 8 3π 即 +φ=kπ(k∈Z), 4 3π 所以 φ=kπ- (k∈Z), 4 π π 又|φ|< ,所以 φ= . 2 4 又图象过定点(0,1),所以 A=1. π 综上可知,f(x)=tan(2x+ ), 4 π π π π 故有 f( )=tan(2× + )=tan = 3. 24 24 4 3 π π 2x+ ?+2a+b,当 x∈?0, ?时,-5≤f(x)≤1. 15.已知 a>0,函数 f(x)=-2asin? 6 ? ? ? 2? (1)求常数 a,b 的值; π x+ ?且 lgg(x)>0,求 g(x)的单调区间. (2)设 g(x)=f? ? 2? π π π 7π 0, ?,∴2x+ ∈? , ?. 解 (1)∵x∈? ? 2? 6 ?6 6 ? π 1 2x+ ?∈?- ,1?, ∴sin? 6? ? 2 ? ? π? ∴-2asin? ?2x+6?∈[-2a,a]. ∴f(x)∈[b,3a+b],又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1,因此 a=2,b=-5. π? (2)由(1)得,f(x)=-4sin? ?2x+6?-1, π? 7π? ? g(x)=f? ?x+2?=-4sin?2x+ 6 ?-1 π? =4sin? ?2x+6?-1, 又由 lgg(x)>0,得 g(x)>1,

π? π? 1 ? ∴4sin? ?2x+6?-1>1,∴sin?2x+6?>2, π π 5π ∴2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z, 6 6 6 π π π 其中当 2kπ+ <2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z 时, 6 6 2 π g(x)单调递增,即 kπ<x≤kπ+ ,k∈Z, 6 π? ∴g(x)的单调增区间为? ?kπ,kπ+6?,k∈Z. π π 5π 又∵当 2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z 时, 2 6 6 π π g(x)单调递减,即 kπ+ <x<kπ+ ,k∈Z. 6 3 π π? ∴g(x)的单调减区间为? ?kπ+6,kπ+3?,k∈Z.


相关文章:
2017步步高大一轮复习讲义数学4.3.doc
2017步步高大一轮复习讲义数学4.3_高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2017步步高大一轮复习讲义数学4.3_高三数学_数学_高中教育_...
2017步步高大一轮复习讲义数学4.5.doc
2017步步高大一轮复习讲义数学4.5_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1.
2017步步高大一轮复习讲义数学4.2.doc
2017步步高大一轮复习讲义数学4.2_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1.
2017步步高大一轮复习讲义数学4.4.doc
2017步步高大一轮复习讲义数学4.4_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1.
2017步步高大一轮复习讲义数学5.4.doc
2017步步高大一轮复习讲义数学5.4 - 1.向量在平面几何中的应用 (1)用
2017步步高大一轮复习讲义数学4.1.doc
2017步步高大一轮复习讲义数学4.1_高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2017步步高大一轮复习讲义数学4.1_高三数学_数学_高中教育_...
2017步步高大一轮复习讲义数学5.1.doc
2017步步高大一轮复习讲义数学5.1_高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2017步步高大一轮复习讲义数学5.1_高三数学_数学_高中教育...
2017步步高大一轮复习讲义数学2.5.doc
2017步步高大一轮复习讲义数学2.5_高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2017步步高大一轮复习讲义数学2.5_高三数学_数学_高中教育_...
2017步步高大一轮复习讲义数学4.6.doc
2017步步高大一轮复习讲义数学4.6_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1.
2017步步高大一轮复习讲义数学3.2.1.doc
2017步步高大一轮复习讲义数学3.2.1_高三数学_数学_高中教育_教育专区。
2017步步高大一轮复习讲义数学1.3.doc
2017步步高大一轮复习讲义数学1.3_数学_高中教育_教育专区。1.命题 p∧
2017步步高大一轮复习讲义数学2.4.doc
2017步步高大一轮复习讲义数学2.4_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1.
2017步步高高考数学(江苏,理)大一轮复习讲义课件1.3简....ppt
2017步步高高考数学(江苏,理)大一轮复习讲义课件1.3简单的逻辑用词_高考_高中教育_教育专区。2017版步步高高考数学(江苏专用,理)大一轮复习讲义与练出高分配套课件...
2017步步高大一轮复习讲义数学2.3.doc
2017步步高大一轮复习讲义数学2.3_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1.
2017步步高大一轮复习讲义数学2.8.doc
2017步步高大一轮复习讲义数学2.8_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1.
2017步步高大一轮复习讲义数学3.1.doc
2017步步高大一轮复习讲义数学3.1_高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2017步步高大一轮复习讲义数学3.1_高三数学_数学_高中教育_...
2017版新步步高大一轮复习讲义高考数学(文)人教A版配套....ppt
2017版新步步高大一轮复习讲义高考数学(文)人教A版配套课件第一章 集合与常用
2017步步高大一轮复习讲义数学3.2.2.doc
2017步步高大一轮复习讲义数学3.2.2_高三数学_数学_高中教育_教育专区。
2017步步高大一轮复习讲义数学3.2.3.doc
2017步步高大一轮复习讲义数学3.2.3_高三数学_数学_高中教育_教育专区。
2017步步高大一轮复习讲义数学1.2.doc
2017步步高大一轮复习讲义数学1.2_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1.
更多相关标签: