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【2019年整理】1常数项级数的概念与性质_图文

一、问题的提出
1. 计算圆的面积
正六边形的面积 a1

R

正十二边形的面积 a1 ? a2
n 正 3 ? 2 形的面积 a1 ? a2 ? ? ? an

即 A ? a1 ? a2 ? ? ? an 1 3 3 3 3 2. ? ? ? ? ?? n ? ? 3 10 100 1000 10

二、级数的概念
1. 级数的定义:
?

一般项 (常数项)无穷级数

un ? u1 ? u2 ? u3 ? ? ? un ? ? ? n?1
级数的部分和

sn ? u1 ? u2 ? ? ? un ? ? ui
部分和数列
i ?1

n

s1 ? u1 , s2 ? u1 ? u2 , s3 ? u1 ? u2 ? u3 ,?, sn ? u1 ? u2 ? ? ? un ,?

2. 级数的收敛与发散:
当n 无限增大时 , 如果级数? un 的部分和
n ?1 ?

数列sn 有极限 s , 即 lim sn ? s 则称无穷级数
n? ?

?u
n ?1

?

n

收敛 , 这时极限 s 叫做级数

?u
n ?1

?

n

的和. 并

写成 s ? u1 ? u2 ? ? ? u3 ? ?
如果sn 没有极限,则称无穷级数

?u
n ?1

?

n 发散.

即 常数项级数收敛(发散)? lim sn 存在(不存在)
n? ?

余项 rn ? s ? sn ? un?1 ? un? 2 ? ? ?


sn ? s

误差为 rn

( lim rn ? 0)
n? ?

un? i ? i ?1

?

无穷级数收敛性举例:Koch雪花. 做法:先给定一个正三角形,然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形.如此 类推在每条凸边上都做类似的操作,我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”.

观察雪花分形过程

设三角形 周长为 P1 ? 3, 3 面积为 A1 ? ; 4 第一次分叉:
4 周长为 P2 ? P1 , 3 1 面积为 A2 ? A1 ? 3 ? ? A1 ; 9

播放

依次类推

第 n 次分叉: 周长为 Pn ? ( 4 )n?1 P1 n ? 1,2,? 3 面积为 n ? 2 1 n ?1 An ? An?1 ? 3{4 [( ) A1 ]} 9 1 1 2 1 n ?1 n? 2 ? A1 ? 3 ? A1 ? 3 ? 4 ? ( ) A1 ? ? ? 3 ? 4 ? ( ) A1 9 9 9 1 1 4 1 4 2 1 4 n? 2 ? A1 {1 ? [ ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ]} 3 3 9 3 9 3 9

n ? 2,3,?

于是有
1 3 2 3 3 lim An ? A1 (1 ? ) ? A1 (1 ? ) ? . n? ? 4 5 5 1? 9 雪花的面积存在极限(收敛).
n? ?

lim Pn ? ?

结论:雪花的周长是无界的,而面积有界.

例 1 讨论等比级数(几何级数)
n 2 n aq ? a ? aq ? aq ? ? ? aq ? ? ( a ? 0) ? n? 0 ?

的收敛性.

解 如果q ? 1时

sn ? a ? aq ? aq 2 ? ? ? aq n?1

a ? aq a aqn ? ? , ? 1? q 1? q 1? q
n

a sn ? 当q ? 1时, ? lim q ? 0 ? lim n? ? 1 ? q 收敛 n? ?
n n ? lim q ? ? ? lim sn ? ? 当q ? 1时, n? ? n? ?

发散

如果 q ? 1时
当q ? 1时,
sn ? na ? ?

发散

当q ? ?1时, 级数变为a ? a ? a ? a ? ?
? lim sn不存在
n? ?

发散

?当q ? 1时, 收敛 综上 ? aq ? n? 0 ?当q ? 1时, 发散
? n

例2

判别无穷级数 ? 22 n 31? n 的收敛性.
n ?1

?



? un ? 22 n 31? n

? 4? ? 4?? ? ? 3?

n ?1

,

4 已知级数为等比级数,公比 q ? , 3
?| q |? 1,

? 原级数发散.

例3

判别无穷级数

1 1 1 ? ??? ? ? 的收敛性. 1? 3 3 ? 5 ( 2n ? 1) ? ( 2n ? 1)
1 1 1 1 ? ( ? ), 解 ? un ? ( 2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 ? sn ? ? ? ?? 1? 3 3 ? 5 ( 2n ? 1) ? ( 2n ? 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 3 2 3 5 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 ? (1 ? ), 2 2n ? 1

1 1 ? lim sn ? lim (1 ? ) n?? n?? 2 2n ? 1
1 ? , 2

1 ? 级数收敛, 和为 . 2

例4


试把循环小数2.317 ? 2.3171717?表示成
17 17 17 2.317 ? 2.3 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? 10 10 10 n 等比级数 ? 17 ? 1 ? ? 2.3 ? 3 ? ? ? 10 n?0 ? 100 ? 公比 q ? 1 100 17 1 1147 ? 2.3 ? 3 ? ? . 10 1 ? 1 495 100

分数的形式.

三、基本性质
性质 1 如果级数

?u
n ?1

?

n

收敛,则? kun 亦收敛.
n ?1

?

结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
性质 2 设两收敛级数s ?
? ? ?

un ,? ? ? v n , ? n ?1 n ?1

则级数

( un ? v n ) 收敛,其和为s ? ? . ? n ?1

结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.

例5


5 1? ? ? n ? 的和. 求级数 ? ? 2 ? n ?1 ? n( n ? 1)
? 5 1? ? ? 5 1 ? n? ?? ?? n ? ? 2 ? n?1 n( n ? 1) n?1 2 n?1 ? n( n ? 1) ? 5 1 ? ?1 ?? ? 5? ? ? ? n ? 1? n?1 n( n ? 1) n ?1 ? n ?

?

?

1 ? 1 ?1 令 g n ? 5? ? ? ), ? ? 5(1 ? k ? 1? n?1 k ?1 ? k

n

1 ? lim gn ? 5 lim(1 ? ) ? 5, n? ? n? ? n?1
1 1 1 ? ? n是等比级数, 公比q ? ? 1, 首项是 , 2 2 n ?1 2
?

1 ? 1 ? ? n ? lim hn ? 2 ? 1, n? ? 1 n ?1 2 1? 2
5 1? ? 故? ? ? n ? ? 5 ? 1 ? 6. 2 ? n?1 ? n( n ? 1)
?

性质 3

若级数

?u
n ?1

?

n

收敛,则

n? k ?1

?u

?

n 也收敛

( k ? 1) .且其逆亦真.
证明

uk ?1 ? uk ? 2 ? ? ? uk ? n ? ? ? n ? uk ?1 ? uk ? 2 ? ? ? uk ? n ? sn? k ? sk , 则 lim? n ? lim sn? k ? lim sk ? s ? sk . n? ? n? ? n? ?

类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性.

性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.

证明

(u1 ? u2 ) ? (u3 ? u4 ? u5 ) ? ? ? 1 ? s2 , ? 2 ? s5 , ? 3 ? s9 , ?, ? m ? sn , ?
则 lim ? m ? lim sn ? s. m ?? n??

注意
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.

例如 (1 ? 1) ? (1 ? 1) ? ?
1?1?1?1??

收敛 发散

推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级 数也发散.

四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件:

当n无限增大时, 它的一般项un趋于零, 即
级数收敛 ? lim un ? 0.
证明
? s ? ? un
n ?1 ?

n? ?

则 un ? sn ? sn?1 ,

? lim un ? lim sn ? lim sn?1 ? s ? s ? 0. n? ? n? ? n? ?

注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
1 2 3 n n?1 例如 ? ? ? ? ? ( ?1) ? ? 发散 2 3 4 n?1

2.必要条件不充分.

1 1 1 例如调和级数 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 3 n
有 lim un ? 0, 但级数是否收敛?
n? ?

讨论
n 1 1 1 1 ? ? , ? s2 n ? sn ? ? ? ?? n?1 n? 2 2n 2 n 2

假设调和级数收敛 , 其和为s.
于是 lim( s2 n ? sn ) ? s ? s ? 0,
n? ?

1 便有 0 ? (n ? ?) 2

这是不可能的.

? 级数发散 .

2项

2项

4项

8项

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ? ) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 1 1 1 ??? ( m ? m ? ? ? m ?1 ) ? ? 2 ?1 2 ? 2 2
1 每项均大于 2
2 m项

1 即前m ? 1项大于( m ? 1) ? 级数发散 . 2
由性质4推论,调和级数发散.

五、小结
常数项级数的基本概念
基本审敛法
1.由定义,若sn ? s ,则级数收敛;

2.当lim un ? 0 ,则级数发散;
n? ?

3.按基本性质.

思考题
设? bn 与? cn 都收敛,且bn ? a n ? c n
n?1 n ?1 ? ?

( n ? 1,2,?),能否推出? a n 收敛?
n ?1

?

思考题解答
能.由柯西审敛原理即知.

练习题
一、填空题: 5 1 ? 3 ? ( 2n ? 1) 1 、若a n ? ,则? a n =____________; 2 ? 4 ? 2n n ?1 5 n! 2 、若a n ? n ,则? a n =______________________; n n ?1 x x x x ? ? ? ? 则a n ? _______; 3 、若级数为 2 2?4 2?4?6 a2 a3 a4 a5 ? ? ? ? 则a n ? ________; 4 、若级数为 ? 3 5 7 9 1 1 1 n ? _____ 5 、若级数为 1 ? ? 3 ? ? 5 ? ? ? 则当 2 4 6 n ? ______时a n ? ________; 时a n ? _____;当 6 、等比级数? aq ,当_____时收敛;当____时发散 .
n n? 0 ?

三、由定义判别级数 1 1 1 1 ? ? ??? ? ?的收敛性. 1? 3 3? 5 5? 7 ( 2n ? 1)( 2n ? 1) 四、判别下列级数的收敛性: 1 1 1 1 ? ?; 1、 ? ? ? ? ? 3 6 9 3n 1 1 1 1 1 1 1 1 2 、( ? ) ? ( 2 ? 2 ) ? ( 3 ? 3 ) ? ? ? ( n ? n ) ? ? ; 2 3 2 3 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 ??? n ? ?? . 3、 ? ? ? 2 10 4 20 10n 2 五、利用柯西收敛原理判别级数 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 的敛散性 . 2 3 4 5 6

练习题答案
1 1? 2 1? 3 ? 5 1? 3 ? 5 ? 7 1? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? ? ? 一、1、 ? ; 2 2 ? 4 2 ? 4 ? 6 2 ? 4 ? 6 ? 8 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 10 1! 2! 3! 4! 5! 2、 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ; 1 2 3 4 5
n?1 a x n ?1 3、 ; 4、( ?1) ; 2n ? 1 2 ? 4 ? 6 ? ? ? ( 2n ) 1 5、 2k ? 1.2k ? 1,2k , ; 6、 q ? 1, q ? 1 . 2k 三、收敛. 四、1、发散; 2、收敛; n 1 1 ) ]. 3、发散、[s2 n ? ? ( k ? 10k k ?1 2 p ? 2n 五、发散.[取 ]

n 2