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(赣豫陕)2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步4.2空间图形的公理二学案北师大版必修2

拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。如果 你希望 成功, 以恒心 为良友 ,以经 验为参 谋,以 小心为 兄弟, 以希望 为哨兵 。 4.2 学习目标 空间图形的公理(二) 1.掌握公理 4 及等角定理.2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概 念,能求出一些较特殊的异面直线所成的角. 知识点一 平行公理(公理 4) 思考 在平面内,直线 a,b,c,若 a∥b,b∥c,则 a∥c.该结论在空间中是否成立? 答案 成立. 梳理 平行公理 (1)文字表述:平行于同一条直线的两条直线平行. (2)符号表示: a∥b? ? ? b∥c? ?? a∥c. 知识点二 空间两直线的位置关系 思考 在同一平面内,两条直线有几种位置关系? 观察下面两个图形,你能找出既不平行又不相交的两条直线吗? 答案 平行与相交. 教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线;六角螺母中直线 AB 与 CD. 梳理 异面直线的概念 (1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线. (2)异面直线的画法(衬托平面法) 如图(1)(2)所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托. (3)判断两直线为异面直线的方法 ①定义法; ②两直线既不平行也不相交. 1 (4)空间两条直线的三种位置关系 ①从是否有公共点的角度来分: ?平行 ?没有公共点? ? ?异面 ? ? ?有且仅有一个公共点——相交 ②从是否共面的角度来分: ?平行 ?在同一平面内? ? ?相交 ? ? ?不同在任何一个平面内——异面 知识点三 等角定理 思考 观察图,在平行六面体 ABCD—A′B′C′D′中,∠ADC 与∠A′D′C′,∠ADC 与 ∠D′A′B′的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何? 答案 从图中可以看出,∠ADC=∠A′D′C′,∠ADC+∠D′A′B′=180°. 梳理 等角定理空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,则这两个角相等或互补. 知识点四 异面直线所成的角 思考 在平行六面体 A1B1C1D1—ABCD 中,BC1∥AD1,则“直线 BC1 与直线 BC 所成的角”与“直 线 AD1 与直线 BC 所成的角”是否相等? 答案 相等. 梳理 异面直线所成角的定义 前提 定义 作法 结论 范围 特殊 情况 两条异面直线 a,b 经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b 我们把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) 记异面直线 a 与 b 所成的角为 θ ,则 0°<θ ≤90°. 当 θ =90°时,a 与 b 互相垂直,记作:a⊥b. 2 1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线.( × ) 2.两直线若不是异面直线,则必相交或平行.( √ ) 3.若 AB∥A′B′,AC∥A′C′,则∠BAC=∠B′A′C′.( × ) 类型一 公理 4 及等角定理的应用 例 1 在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,E,F,E′,F′分别是 AB,BC,A′B′,B′C′的 中点,求证:EE′∥FF′. 考点 平行公理 题点 判断、证明线线平行 证明 因为 E,E′分别是 AB,A′B′的中点, 所以 BE∥B′E′,且 BE=B′E′. 所以四边形 EBB′E′是平行四边形, 所以 EE′∥BB′,同理可证 FF′∥BB′. 所以 EE′∥FF′. 反思与感悟 (1)空间两条直线平行的证明: ①定义法: 即证明两条直线在同一平面内且两直 线没有公共点.②利用公理 4 找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行. (2)“等角”定理的结论是相等或互补,在实际应用时,一般是借助于图形判断是相等,还是 互补,还是两种情况都有可能. 跟踪训练 1 如图,已知在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 CD,AD 的中 点. 求证:(1)四边形 MNA1C1 是梯形; (2)∠DNM=∠D1A1C1. 考点 空间等角定理 题点 判断、证明角的关系 证明 (1)如图 ,连接 AC, 3 在△ACD 中, ∵M,N 分别是 CD,AD 的中点, ∴MN 是△ACD 的中位线, 1 ∴MN∥AC,MN= AC. 2 由正方体的性质得 AC∥A1C1,AC=A1C1. 1 ∴MN∥A1C1,且 MN= A1C1, 2 即 MN≠A1C1, ∴四边形 MNA1C1 是梯形. (2)由(1)可知 MN∥A1C1. 又∵ND∥A1D1,∴∠DNM 与∠D1A1C1 相等或互补. 而∠DNM 与∠D1A1C1 均为锐角, ∴∠DNM=∠D1A1C1. 类型二 异面直线 命题角度 1 异面直线的判定 例 2 (1)若 a,b 是异面直线,b,c 是异面直线,则 a,c 的位置关系是( A.异面 C.平行或异面 考点 异面直线的判定 题点 异面直线的判定 答案 D 解析 异面直线不具有传递性,可以以长方体为载体加以说明 a,b 异面,直线 c 的位置可如 图所示. B.相交或平行 D.相交、平行或异面 ) (2)如图,已知正方体 ABCD—A′B′C′D′.哪些棱所在直线与直线 BA′是异面直线? 4 考点 异面直线的判定 题点 异面直线的判定 解 由异面直线的定义可知,棱 AD,DC,CC′,DD′,D′C′,B′C′所在直线分别与直线 BA′是异面直线. 反思与感悟 判断两直线是否为异面直线,只需判断它们是否相交、平行.只要既不相交, 也不平行,就是异面直线. 跟踪训练 2 (1)在四棱锥 P-ABCD 中,各棱所在的直线互相异面的有________对. 考点 异面直线的判定 题点 异面直线的判定 答案 8 解析 与 AB 异面的有侧棱 PD 和 PC,同理,与底面的各条边异面的都有两条侧棱,故共有异 面直线 4×2=8(对). (2)如图是一个正方体的展开图,如果将