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二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)


函数解题思路方法总结:
⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; ⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶 点式; ⑶ 根据图象的位置判断二次函数 ax?+bx+c=0 中 a,b,c 的符号, 或由二次函数 中 a,b,c 的符号判断图象的位置,要数形结合; ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的 点坐标,或已知与 x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式 ax?+bx+c﹙a≠0﹚本身就 是所含字母 x 的二次函数;下面以 a>0 时为例,揭示二次函数、二次三项式 和一元二次方程之间的内在联系:

动点问题题型方法归纳总结
动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好 一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形 的性质、图形的特殊位置。 ) 动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直 角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。

二、 抛物线上动点
5、 (湖北十堰市)如图①, 已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? 3 (a≠0)与 x 轴交于点 A(1,0)和 点 B (-3,0),与 y 轴交于点 C. (1) 求抛物线的解析式;

(2) 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ,问在对称轴上是否存在点 P,使△CMP 为等腰三 角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3) 如图② ,若点 E 为第二象限抛物线上一动点,连接 BE、CE,求四边形 BOCE 面积的最 大值,并求此时 E 点的坐标.

注意:第(2)问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点 P 坐标----①C 为 顶点时,以 C 为圆心 CM 为半径画弧,与对称轴交点即为所求点 P,②M 为顶点时,以 M 为 圆心 MC 为半径画弧,与对称轴交点即为所求点 P,③P 为顶点时,线段 MC 的垂直平分线与 对称轴交点即为所求点 P。 第(3)问方法一,先写出面积函数关系式,再求最大值(涉及二次函数最值) ; 方 法二,先求与 BC 平行且与抛物线相切点的坐标(涉及简单二元二次方程组) ,再求面积。

07 动点个数 两个 一个

08 两个

09

问题背景

特殊菱形两边上移动

特殊直角梯形三边 上移动

抛物线中特殊直角梯形底 边上移动

考查难点

探究相似三角形

探究三角形面积函 数关系式

探究等腰三角形

考 点

①菱形性质 ②特殊角三角函数 ③求直线、抛物线解析式 ④相似三角形 ⑤不等式

①求直线解析式 ②四边形面积的表 示 ③动三角形面积函 数④矩形性质

①求抛物线顶点坐标 ②探究平行四边形 ③探究动三角形面积是定 值 ④探究等腰三角形存在性





①菱形是含 60°的特殊菱形; △AOB 是底角为 30°的等腰三 角形。 ②一个动点速度是参数字母。 ③探究相似三角形时, 按对应角 不同分类讨论; 先画图, 再探究。 ④通过相似三角形过度, 转化相 似比得出方程。 ⑤利用 a、t 范围,运用不等式 求出 a、t 的值。

①观察图形构造特 征适当割补表示面 积 ②动点按到拐点时 间分段分类 ③画出矩形必备条 件的图形探究其存 在性

①直角梯形是特殊的(一底 角是 45°) ②点动带动线动 ③线动中的特殊性(两个交 点 D、E 是定点;动线段 PF 长度是定值,PF=OA) ④通过相似三角形过度,转 化相似比得出方程。 ⑤探究等腰三角形时,先画 图,再探究(按边相等分类 讨论)

共同点: ①特殊四边形为背景; ②点动带线动得出动三角形; ③探究动三角形问题(相似、等腰三角形、面积函数关系式) ; ④求直线、抛物线解析式; ⑤探究存在性问题时,先画出图形,再根据图形性质探究答案。

二次函数的动态问题(动点)
1.如图,已知抛物线 C1 与坐标轴的交点依次是 A(?4, 0) , B(?2, 0) , E (0, 8) . (1)求抛物线 C1 关于原点对称的抛物线 C2 的解析式; (2)设抛物线 C1 的顶点为 M ,抛物线 C2 与 x 轴分别交 于 C,D 两点(点 C 在点 D 的左侧) ,顶点为 N ,四边形

MDNA 的面积为 S .若点 A ,点 D 同时以每秒 1 个单位
的速度沿水平方向分别向右、 向左运动; 与此同时, 点M , 点 N 同时以每秒 2 个单位的速度沿坚直方向分别向下、 向 上运动,直到点 A 与点 D 重合为止.求出四边形 MDNA 的面积 S 与运动时间 t 之间的关系式, 并写出自变量 t 的取 值范围; (3)当 t 为何值时,四边形 MDNA 的面积 S 有最大值, 并求出此最大值; (4) 在运动过程中, 四边形 MDNA 能否形成矩形?若能, 求出此时 t 的值;若不能,请说明理由.

[解] (1)点 A(?4, 0) ,点 B(?2, 0) ,点 E (08) , 关于原点的对称点分别为 D(4, 0) ,C (2, 0) ,

F (0, ? 8) .
设抛物线 C2 的解析式是

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,
?16a ? 4b ? c ? 0, ? 则 ? 4a ? 2b ? c ? 0, ?c ? ?8. ? , ? a ? ?1 ? 解得 ?b ? 6, ?c ? ?8. ?
所以所求抛物线的解析式是 y ? ? x 2 ? 6 x ? 8 . (2)由(1)可计算得点 M (?3 , ? 1),N (31) ,. 过点 N 作 NH ? AD ,垂足为 H . 当运动到时刻 t 时, AD ? 2OD ? 8 ? 2t , NH ? 1 ? 2t . 根据中心对称的性质 OA ? OD,OM ? ON ,所以四边形 MDNA 是平行四边形. 所以 S ? 2S△ ADN . 所以,四边形 MDNA 的面积 S ? (8 ? 2t )(1 ? 2t ) ? ?4t ? 14t ? 8 .
2

因为运动至点 A 与点 D 重合为止,据题意可知 0 ≤ t ? 4 .
2 所以,所求关系式是 S ? ?4t ? 14t ? 8 , t 的取值范围是 0 ≤ t ? 4 .

(3) S ? ?4 ? t ? 所以 t ?

? ?

7 ? 81 ( 0 ≤ t ? 4) . ?? , 4? 4

7 81 时, S 有最大值 . 4 4

提示:也可用顶点坐标公式来求. (4)在运动过程中四边形 MDNA 能形成矩形. 由(2)知四边形 MDNA 是平行四边形,对角线是 AD,MN ,所以当 AD ? MN 时四边形

MDNA 是矩形.
2 2 2 2 所以 OD ? ON .所以 OD ? ON ? OH ? NH .

2 2 所以 t ? 4t ? 2 ? 0 .解之得 t1 ? 6 ? 2 . ,t2 ? ? 6 ? 2 (舍)

所以在运动过程中四边形 MDNA 可以形成矩形,此时 t ? 6 ? 2 .

[点评]本题以二次函数为背景,结合动态问题、存在性问题、最值问题,是一道较传统的压 轴题,能力要求较高。

3 2 x ? bx ? c 与坐标轴交于 A,B,C 三点, 4 3 点 A 的横坐标为 ?1 , 过点 C (0, 点 P 是线段 BC 上 3) 的直线 y ? ? x ? 3 与 x 轴交于点 Q , 4t 的一个动点, PH ? OB 于点 H .若 PB ? 5t ,且 0 ? t ? 1 .
2. (06 福建龙岩卷)如图,已知抛物线 y ? ? (1)确定 b,c 的值: b ? _____ ,c ? _____ ; (2)写出点 B,Q,P 的坐标(其中 Q,P 用含 t 的式子表示) :

B(___ , ___),Q(___ , ___),P(___ , ___) ;
(3)依点 P 的变化,是否存在 t 的值,使 △PQB 为等腰三角形?若存在,求出所有 t 的值; 若不存在,说明理由. [解] (1) b ?

y

9 4
A

C
P

c?3
(2) B(4, 0)

O

Q

H

B x

Q(4t, 0) P(4 ? 4t, 3t )
(3)存在 t 的值,有以下三种情况 ①当 PQ ? PB 时

PH ? OB ,则 GH ? HB ? 4 ? 4t ? 4t ? 4t 1 ?t ? 3
②当 PB ? QB 时 得 4 ? 4t ? 5t

?t ?

4 9

③当 PQ ? QB 时,如图 解法一:过 Q 作 QD ? BP ,又 PQ ? QB 则 BD ?

BP 5 ? t 2 2

C

P
D

O

Q

B

又 △BDQ ∽△BOC

BD BQ ? BO BC 5 t 4 ? 4t 2 ? ? 4 5 32 ?t ? 57 Rt 解法二:作 △OBC 斜边中线 OE BC 5 ? , 则 OE ? BE,BE ? 2 2 ?
此时 △OEB ∽△PQB

C

P

?

BE OB ? BQ PB
O

E
B

5 4 ? 2 ? 4 ? 4t 5t 32 ?t ? 57

Q

解法三:在 Rt△PHQ 中有 QH 2 ? PH 2 ? PQ2 C

P

?(8t ? 4) ? (3t ) ? (4 ? 4t )
2 2

2

? 57t 2 ? 32t ? 0

O

H

?t ?

32 ,t ? 0 (舍去) 57 又 0 ? t ?1 1 4 32 ? 当 t ? 或 或 时, △PQB 为等腰三角形. 3 9 57

Q

B

解法四: 数学往往有两个思考方向:代数和几何,有时可以独立思考,有 时需要综合运用。 代数讨论:计算出△PQB 三边长度,均用 t 表示,再讨论分析 Rt△PHQ 中用勾股定理计算 PQ 长度,而 PB、BQ 长度都可以直 接直接用 t 表示,进行分组讨论即可计算。 [点评]此题综合性较强,涉及函数、相似性等代数、几何知识,1、2 小题不难,第 3 小题 是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论, 需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检 验,在本题中若求出的 t 值与题目中的 0 ? t ? 1 矛盾,应舍去 3.如图 1,已知直线 y ? ?

1 1 x 与抛物线 y ? ? x 2 ? 6 交于 A, B 两点. 2 4

(1)求 A, B 两点的坐标;

(2)求线段 AB 的垂直平分线的解析式; (3)如图 2,取与线段 AB 等长的一根橡皮筋,端点分别固定在 A, B 两处.用铅笔拉着这 根橡皮筋使笔尖 P 在直线 AB 上方的抛物线上移动,动点 P 将与 A, B 构成无数个三角形, 这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在, 求出最大面积, 并指出此时 P 点 的坐标;如果不存在,请简要说明理由.

y

y

B
B

P

O
A
图1

x

O
A

x

图2

1 ? y ? ? x2 ? 6 ? ? x1 ? 6 ? 4 [解] (1)解:依题意得 ? 解之得 ? ? y1 ? ?3 ?y ? ? 1 x ? ? 2
? A( 6 , ? 3 , ) B ?( , 4 2)

? x2 ? ?4 ? ? y2 ? 2

(2)作 AB 的垂直平分线交 x 轴, y 轴于 C,D 两点,交 AB 于 M (如图 1) 由(1)可知: OA ? 3 5

OB ? 2 5

y

? AB ? 5 5
? OM ? 1 5 AB ? OB ? 2 2
B C



O
D 图1

过 B 作 BE ⊥ x 轴, E 为垂足

M

A

x

OC OM 5 ? , ? OC ? , 由 △BEO ∽△OCM ,得: OB OE 4

5 5? ?5 ? ? 同理: OD ? , ?C ? , 0 ?,D ? 0, ? ? 2 2? ?4 ? ?
设 CD 的解析式为 y ? kx ? b(k ? 0)

第 26 题

5 ? 0 ? k ?b ? ? 4 ?? ?? 5 ? b ? ? 2

?k ? 2 ? ?? 5 b?? ? ? 2

5 . 2 (3)若存在点 P 使 △ APB 的面积最大,则点 P 在与直线 AB 平行且和抛物线只有一个交 1 点的直线 y ? ? x ? m 上,并设该直线与 x 轴, y 轴交于 G,H 两点(如图 2) . 2
? AB 的垂直平分线的解析式为: y ? 2 x ?

1 ? y ? ? x? m ? ? 2 ?? ? y ? ? 1 x2 ? 6 ? ? 4
1 1 ? x2 ? x ? m ? 6 ? 0 4 2
抛物线与直线只有一个交点,

1 ? 1? ?? ? ? ? 4 ? (m ? 6) ? 0 , 4 ? 2?
?m ? 25 ? 23 ? ? P ?1 , ? 4 ? 4 ?
1 25 x? 中, 2 4
y
H P B G

2

在直线 GH:y ? ?

? 25 ? ? 25 ? ?G ? , 0 ?,H ? 0, ? ? 2 ? ? 4 ?
? GH ? 25 5 4 设 O 到 GH 的距离为 d ,

1 1 ? GH d ? OG OH 2 2 1 25 5 1 25 25 ? ? d? ? ? 2 4 2 2 4 5 ?d ? 5 2 AB ∥ GH,
? P 到 AB 的距离等于 O 到 GH 的距离 d .

O
A

x

图2

另解:过 P 做 PC∥y 轴,PC 交 AB 于 C,当 PC 最大时△PBA 在 AB 边上的高 h 最大(h

与 PC 夹角固定) ,则 S△PBA 最大 → 问题转化为求 PC 最大值,设 P(x,

),C

(x,

),从而可以表示 PC 长度,进行极值求取。

最后,以 PC 为底边,分别计算 S△PBC 和 S△PAC 即可。 [点评]这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题,有一定的能力要求,第 3 小题是一个最值问题,解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。 4.如图①,正方形 ABCD 的顶点 A,B 的坐标分别为 ? 0, 10?, 4? ,顶点 C,D 在第一象 ? 8, 限.点 P 从点 A 出发,沿正方形按逆时针方向匀速运动,同时,点 Q 从点 E ? 4, 0 ? 出发,沿

x 轴正方向以相同速度运动.当点 P 到达点 C 时, P,Q 两点同时停止运动,设运动的时
间为 t 秒. (1)求正方形 ABCD 的边长. (2)当点 P 在 AB 边上运动时,△OPQ 的面积 S (平方单位)与时间 t (秒)之间的函数 图象为抛物线的一部分(如图②所示) ,求 P,Q 两点的运动速度. (3)求(2)中面积 S (平方单位)与时间 t (秒)的函数关系式及面积 S 取最大值时点 P 的坐标. (4)若点 P,Q 保持(2)中的速度不变,则点 P 沿着 AB 边运动时,∠OPQ 的大小随着 时间 t 的增大而增大;沿着 BC 边运动时,∠OPQ 的大小随着时间 t 的增大而减小.当点 P 沿着这两边运动时,使∠OPQ ? 90 的点 P 有
2

个.

? b 4ac ? b 2 ? (抛物线 y ? ax ? bx ? c ? a ? 0? 的顶点坐标是 ? ? , ?. 4a ? ? 2a

y

D

s
28 C

A

P B

20

O

Q

E
图①

x

O

10
图②

t

[解] (1)作 BF ? y 轴于 F .

A? 010 , ?,B ?8, 4? ,
? FB ? 8,FA ? 6 . ? AB ? 10 .

(2)由图②可知,点 P 从点 A 运动到点 B 用了 10 秒. 又

AB ? 10, 10 ? 10 ? 1 .

? P,Q 两点的运动速度均为每秒 1 个单位.
(3)方法一:作 PG ? y 轴于 G ,则 PG ∥ BF .

?

GA AP GA t ? ? . ,即 FA AB 6 10 3 ? GA ? t . 5 3 ? OG ? 10 ? t . 5
OQ ? 4 ? t ,

1 1 3 ? ? ? S ? ? OQ ? OG ? ? t ? 4 ? ?10 ? t ? . 2 2 5 ? ?
即S ? ?

3 2 19 t ? t ? 20 . 10 5

19 19 b 19 5 ? ?? ? ,且 0 ≤ ≤ 10 , 3 2a ? 3? 3 2?? ? ? ? 10 ?
?当 t ?
19 时, S 有最大值. 3 4 76 3 31 ,OG ? 10 ? t ? , 此时 GP ? t ? 5 15 5 5
(8 分)

? 76 31 ? ? 点 P 的坐标为 ? , ? . ? 15 5 ?
方法二:当 t ? 5 时, OG ? 7,OQ ? 9,S ?
2 设所求函数关系式为 S ? at ? bt ? 20 .

1 63 OG OQ ? . 2 2

抛物线过点 ?10, 28 ?, ? 5, ? ,

? ?

63 ? 2?

?100a ? 10b ? 20 ? 28, ? ?? 63 25a ? 5b ? 20 ? . ? ? 2

3 ? a?? , ? ? 10 ?? ?b ? 19 . ? 5 ?
?S ? ? 3 2 19 t ? t ? 20 . 10 5

b ? ?? 2a

19 19 19 5 ? ,且 0 ≤ ≤ 10 , 3 ? 3? 3 2?? ? ? ? 10 ?

?当 t ?

19 时, S 有最大值. 3 76 31 ,OG ? , 此时 GP ? 15 5

? 76 31 ? ? 点 P 的坐标为 ? , ? . ? 15 5 ?
(4) 2 . [点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识, 是近年来较为流行的试题, 解题的关 键在于结合题目的要求动中取静,相信解决这种问题不会非常难。 . 5. 如图①, Rt△ ABC 中, ?B ? 90 , ?CAB ? 30 .它的顶点 A 的坐标为 (10, 0) ,顶点

B 的坐标为 (5, 5 3) , AB ? 10 ,点 P 从点 A 出发,沿 A ? B ? C 的方向匀速运动,同
时点 Q 从点 D(0, 2) 出发,沿 y 轴正方向以相同速度运动,当点 P 到达点 C 时,两点同时停 止运动,设运动的时间为 t 秒. (1)求 ?BAO 的度数. (2)当点 P 在 AB 上运动时,△OPQ 的面积 S (平方单位)与时间 t (秒)之间的函数图 象为抛物线的一部分, (如图②) ,求点 P 的运动速度. (3)求(2)中面积 S 与时间 t 之间的函数关系式及面积 S 取最大值时点 P 的坐标. (4)如果点 P,Q 保持(2)中的速度不变,那么点 P 沿 AB 边运动时, ?OPQ 的大小随 着时间 t 的增大而增大;沿着 BC 边运动时, ?OPQ 的大小随着时间 t 的增大而减小,当点

P 沿这两边运动时,使 ?OPQ ? 90 的点 P 有几个?请说明理由.

y C B Q D x O A (第 29 题图①) 解: (1)∠BAO ? 60 . (2)点 P 的运动速度为 2 个单位/秒. (3) P(10 ? t,3t ) ( 0 ≤ t ≤ 5 ) P 10 t O 5 (第 29 题图②) S 30

S?

1 (2t ? 2)(10 ? t ) 2
2

? 9 ? 121 . ? ??t ? ? ? 4 ? 2?
?当 t ?
此时 P ?

9 121 时, S 有最大值为 , 2 4

? 11 9 3 ? ? 2 ,2 ? ?. ? ?

(4)当点 P 沿这两边运动时, ∠OPQ ? 90 的点 P 有 2 个. ①当点 P 与点 A 重合时,∠OPQ ? 90 , 当点 P 运动到与点 B 重合时, OQ 的长是 12 单位长度, 作 ∠OPM ? 90 交 y 轴于点 M ,作 PH ? y 轴于点 H , 由 △OPH ∽△OPM 得: OM ?

20 3 ? 11.5 , 3

所以 OQ ? OM ,从而∠OPQ ? 90 . 所以当点 P 在 AB 边上运动时,∠OPQ ? 90 的点 P 有 1 个. ②同理当点 P 在 BC 边上运动时,可算得 OQ ? 12 ?

y

10 3 ? 17.8 . 3

Q
M
H
D

B

C
( P)

O

A
第 29 题图①

x

而构成直角时交 y 轴于 ? 0,

? ? ?

35 3 ? 35 3 ? 20.2 ? 17.8 , ?, 3 ? 3 ?

所以∠OCQ ? 90 ,从而∠OPQ ? 90 的点 P 也有 1 个. 所以当点 P 沿这两边运动时, ∠OPQ ? 90 的点 P 有 2 个.

6. (本题满分 14 分)如图 12 ,直线 y ? ?

4 x ? 4 与 x 轴交于点 A ,与 y 轴交于点 C ,已 3

知二次函数的图象经过点 A 、 C 和点 B? ? 1 , 0 ? . (1)求该二次函数的关系式; (2)设该二次函数的图象的顶点为 M ,求四边形 AOCM 的面积; (3)有两动点 D 、 E 同时从点 O 出发,其中点 D 以每秒

3 个单位长度的速度沿折线 OAC 2

按 O → A → C 的路线运动,点 E 以每秒 4 个单位长度的速度沿折线 OCA 按 O → C → 当 D 、E 两点相遇时, 它们都停止运动.设 D 、E 同时从点 O 出发 t 秒 A 的路线运动, 时, ?ODE 的面积为 S . ①请问 D 、 E 两点在运动过程中,是否存在 DE ∥ OC ,若存在,请求出此时 t 的值; 若不存在,请说明理由; ②请求出 S 关于 t 的函数关系式,并写出自变量 t 的取值范围; ③设 S 0 是②中函数 S 的最大值,那么 S 0 = .

解: (1)令 x ? 0 ,则 y ? 4 ; 令 y ? 0 则 x ? 3 .∴ A ? 3, 0? . C ? 0 , 4? ∵二次函数的图象过点 C ? 0 , 4? , ∴可设二次函数的关系式为

y ? ax2 ? bx ? 4

又∵该函数图象过点 A ? 3 , 0? . B ? ?1, 0? ∴?

?0 ? 9a ? 3b ? 4 , ?0 ? a ? b ? 4.
4 8 ,b ? . 3 3

解之,得 a ? ?

∴所求二次函数的关系式为 y ? ?

4 2 8 x ? x?4 3 3

4 2 8 x ? x?4 3 3 4 16 2 = ? ? x ? 1? ? 3 3
(2)∵ y ? ? ∴顶点 M 的坐标为 ?1, ?

y

M

? 16 ? ? 3?

C

E

过点 M 作 MF ? x 轴于 F ∴ S四边形AOCM ? S△AFM ? S梯形FOCM =

1 16 1 ? 16 ? ? ?3 ? 1? ? ? ? ? 4 ? ? ? 1 ? 10 2 3 2 ? 3?

B O F D

A x

∴四边形 AOCM 的面积为 10 (3)①不存在 DE∥OC

AC ? 5 . ∵若 DE∥OC, 则点 D, E 应分别在线段 OA, CA 上, 此时 1 ? t ? 2 , 在 Rt△ AOC 中,
设点 E 的坐标为 ? x1 , y1 ? ∴ ∴

x1 3

?

12t ? 12 4t ? 4 ,∴ x1 ? 5 5

∵ DE ∥ OC ,

8 12t ? 12 3 ? t ∴t ? 3 5 2 8 ∵ t ? >2,不满足 1 ? t ? 2 . 3 ∴不存在 DE ∥ OC .
②根据题意得 D,E 两点相遇的时间为

3 ? 4 ? 5 24 (秒) ? 3 11 ?4 2
现分情况讨论如下: ⅰ)当 0 ? t ≤ 1 时, S ?

1 3 ? t 4t ? 3t 2 ; 2 2

ⅱ)当 1 ? t ≤ 2 时,设点 E 的坐标为 ? x2, y2 ?



y2 4

?

36 ? 16t 5 ? ?4t ? 4? ,∴ y 2 ? 5 5

1 3 36 ? 16t 12 27 ? t? ? ? t2 ? t 2 2 5 5 5 24 36 ? 16t ⅲ)当 2 < t < 时,设点 E 的坐标为 ? x3 , y3 ? ,类似ⅱ可得 y 3 ? 11 5
∴S ? 设点 D 的坐标为 ?x4 , y 4 ?
y M

3 t ?3 ∴ , ? 2 4 5 6t ? 12 ∴ y4 ? 5 y4
∴ S ? S△AOE ? S△AOD
B

C E D A O x

1 36 ? 16t 1 6t ? 12 ? 3? ? ? 3? 2 5 2 5 33 72 t? =? 5 5 243 ③ S0 ? 80 ?
7.关于 x 的二次函数 y ? ? x2 ? (k 2 ? 4) x ? 2k ? 2 以 y 轴为对称轴,且与 y 轴的交点在 x 轴 上方. (1)求此抛物线的解析式,并在下面的直角坐标系中画出函数的草图; (2)设 A 是 y 轴右侧抛物线上的一个动点,过点 A 作 AB 垂直于 x 轴于点 B ,再过点 A 作

x 轴的平行线交抛物线于点 D ,过点 D 作 DC 垂直于 x 轴于点 C ,得到矩形 ABCD .设矩 形 ABCD 的周长为 l ,点 A 的横坐标为 x ,试求 l 关于 x 的函数关系式;
(3)当点 A 在 y 轴右侧的抛物线上运动时,矩形 ABCD 能否成为正方形.若能,请求出 此时正方形的周长;若不能,请说明理由. 参考资料:抛物线 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的顶点坐标是 ? ?

?

b 4ac ? b 2 ? , ? ,对称轴是直线 4a ? ? 2a

x??

b . 2a

2 解: (1)据题意得: k ? 4 ? 0 ,

? k ? ?2 . 当 k ? 2 时, 2k ? 2 ? 2 ? 0 . 当 k ? ?2 时, 2k ? 2 ? ?6 ? 0 .
又抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,? k ? 2 .

? 抛物线的解析式为: y ? ? x2 ? 2 .

函数的草图如图所示. (只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可) (2)解:令 ? x2 ? 2 ? 0 ,得 x ? ? 2 . 不0 ? x ?

2 时, A1D1 ? 2 x , A1B1 ? ? x2 ? 2 ,

?l ? 2( A1B1 ? A1D1 ) ? ?2x2 ? 4x ? 4 .
y
当x?

2 时, A2 D2 ? 2 x ,
D1 C2 C1 ? 4 ?3 ? 2 ?1

4 3 2 1

A2 B2 ? ?(? x2 ? 2) ? x2 ? 2 . ?l ? 2( A2 D2 ? A2 B2 ) ? 2x2 ? 4x ? 4 .

A1
1 2

? l 关于 x 的函数关系是:
当0 ? x ? 当x?

B1

B2

3 4

x

2 时, l ? ?2 x2 ? 4 x ? 4 ;
2

?1
?2

2 时, l ? 2 x ? 4 x ? 4 .

?3

(3)解法一:当 0 ? x ? 得 x2 ? 2 x ? 2 ? 0 .

2 时,令 A1B1 ? A1D1 ,

D2

?4

A2

?5

?6
?7
(第 26 题)

解得 x ? ?1 ? 3 (舍) ,或 x ? ?1 ? 3 .
2 将 x ? ?1 ? 3 代入 l ? ?2 x ? 4 x ? 4 ,

得 l ? 8 3 ?8. 当x?

2 时,令 A2 B2 ? A2 D2 ,得 x2 ? 2 x ? 2 ? 0 .

解得 x ? 1 ? 3 (舍) ,或 x ? 1 ? 3 .
2 将 x ? 1 ? 3 代入 l ? 2 x ? 4 x ? 4 ,得 l ? 8 3 ? 8 .

综上, 矩形 ABCD 能成为正方形, 且当 x ? 3 ? 1时正方形的周长为 8 3 ? 8 ; 当 x ? 3 ?1 时,正方形的周长为 8 3 ? 8 . 解法二:当 0 ? x ?

2 时,同“解法一”可得 x ? ?1 ? 3 .

? 正方形的周长 l ? 4 A1D1 ? 8x ? 8 3 ? 8 .
当x?

2 时,同“解法一”可得 x ? 1 ? 3 .

? 正方形的周长 l ? 4 A2 D2 ? 8x ? 8 3 ? 8 .
综上, 矩形 ABCD 能成为正方形, 且当 x ? 3 ? 1时正方形的周长为 8 3 ? 8 ; 当 x ? 3 ?1 时,正方形的周长为 8 3 ? 8 . 解法三: 点 A 在 y 轴右侧的抛物线上,

? x ? 0 ,且点 A 的坐标为 ( x, ? x2 ? 2) .
令 AB ? AD ,则 ? x 2 ? 2 ? 2 x .

? ? x2 ? 2 ? 2 x ,

①或 ? x 2 ? 2 ? ?2 x



由①解得 x ? ?1 ? 3 (舍) ,或 x ? ?1 ? 3 ; 由②解得 x ? 1 ? 3 (舍) ,或 x ? 1 ? 3 . 又 l ? 8x ,

? 当 x ? ?1 ? 3 时 l ? 8 3 ? 8 ;
当 x ? 1? 3 时 l ? 8 3 ? 8. 综上, 矩形 ABCD 能成为正方形, 且当 x ? 3 ? 1时正方形的周长为 8 3 ? 8 ; 当 x ? 3 ?1 时,正方形的周长为 8 3 ? 8 . 8.已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,其中点 B 在 x 轴的 正半轴上,点 C 在 y 轴的正半轴上,线段 OB、OC 的长(OB<OC)是方程 x2-10x+16=0 的两个根,且抛物线的对称轴是直线 x=-2. (1)求 A、B、C 三点的坐标; (2)求此抛物线的表达式; (3)连接 AC、BC,若点 E 是线段 AB 上的一个动点(与点 A、点 B 不重合) ,过点 E 作 EF∥AC 交 BC 于点 F,连接 CE,设 AE 的长为 m,△CEF 的面积为 S,求 S 与 m 之间的 函数关系式,并写出自变量 m 的取值范围; (4)在(3)的基础上试说明 S 是否存在最大值,若存在,请求出 S 的最大值,并求出 此时点 E 的坐标,判断此时△BCE 的形状;若不存在,请说明理由.

第 26 题图

解: (1)解方程 x2-10x+16=0 得 x1=2,x2=8 ∵点 B 在 x 轴的正半轴上,点 C 在 y 轴的正半轴上,且 OB<OC ∴点 B 的坐标为(2,0) ,点 C 的坐标为(0,8) 又∵抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=-2 ∴由抛物线的对称性可得点 A 的坐标为(-6,0) (2)∵点 C(0,8)在抛物线 y=ax2+bx+c 的图象上 ∴c=8,将 A(-6,0) 、B(2,0)代入表达式,得

第 26 题图(批卷教师用图)

? ?0=36a-6b+8 ? ?0=4a+2b+8 ?

?a=-3 解得? 8 ?b=-3

2

2 8 ∴所求抛物线的表达式为 y=- x2- x+8 3 3 (3)依题意,AE=m,则 BE=8-m, ∵OA=6,OC=8,∴AC=10 ∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC ∴ EF BE = AC AB EF 8-m 即 = 10 8

40-5m ∴EF= 4 4 过点 F 作 FG⊥AB,垂足为 G,则 sin∠FEG=sin∠CAB= 5 ∴ FG 4 4 40-5m = ∴FG= · =8-m EF 5 5 4

1 1 ∴S=S△BCE-S△BFE= (8-m)× 8- (8-m) (8-m) 2 2 1 1 1 = (8-m) (8-8+m)= (8-m)m=- m2+4m 2 2 2 自变量 m 的取值范围是 0<m<8 (4)存在. 1 1 理由:∵S=- m2+4m=- (m-4)2+8 2 2 ∴当 m=4 时,S 有最大值,S 最大值=8 ∵m=4,∴点 E 的坐标为(-2,0) ∴△BCE 为等腰三角形. 9.(14 分)如图:抛物线经过 A(-3,0) 、B(0,4) 、C(4,0)三点. (1) 求抛物线的解析式. (2)已知 AD = AB(D 在线段 AC 上) ,有一动点 P 从点 A 沿线段 AC 以每秒 1 个 单位长度的速度移动; 同时另一个动点 Q 以某一速度从点 B 沿线段 BC 移动, 经过 t 秒 的移动,线段 PQ 被 BD 垂直平分,求 t 的值; (3)在(2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点 M,使 MQ+MC 的值最小? 若存在,请求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由。 (注:抛物线 y ? ax ? bx ? c 的对称轴为 x ? ?
2

1 且- <0, 2

b ) 2a

(1)解法一:设抛物线的解析式为 y = a (x +3 )(x - 4) 因为 B(0,4)在抛物线上,所以 4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得 a= -1/3 所以抛物线解析式为 y ? ? ( x ? 3)( x ? 4) ? ?

1 3

1 2 1 x ? x?4 3 3

解法二:设抛物线的解析式为 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) ,

依题意得:c=4 且 ?

?9a ? 3b ? 4 ? 0 ?16a ? 4b ? 4 ? 0

1 ? a?? ? ? 3 解得 ? ?b ? 1 ? 3 ?
1 2 1 x ? x?4 3 3

所以 所求的抛物线的解析式为 y ? ?

(2)连接 DQ,在 Rt△AOB 中, AB ?

AO 2 ? BO 2 ? 32 ? 42 ? 5

所以 AD=AB= 5,AC=AD+CD=3 + 4 = 7,CD = AC - AD = 7 – 5 = 2 因为 BD 垂直平分 PQ,所以 PD=QD,PQ⊥BD,所以∠PDB=∠QDB 因为 AD=AB,所以∠ABD=∠ADB,∠ABD=∠QDB,所以 DQ∥AB 所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB,所以△CDQ∽ △CAB

DQ 2 10 ? , DQ ? 5 7 7 10 25 25 25 ?1 ? 所以 AP=AD – DP = AD – DQ=5 – = ,t ? 7 7 7 7 25 所以 t 的值是 7
即 (3)答对称轴上存在一点 M,使 MQ+MC 的值最小 理由:因为抛物线的对称轴为 x ? ?

DQ CD ? AB CA

b 1 ? 2a 2 1 对称 2

所以 A(- 3,0) ,C(4,0)两点关于直线 x ? 连接 AQ 交直线 x ?

1 于点 M,则 MQ+MC 的值最小 2

过点 Q 作 QE⊥x 轴,于 E,所以∠QED=∠BOA=900 DQ∥AB,∠ BAO=∠QDE, △DQE ∽△ABO

QE DQ DE ? ? BO AB AO

QE 即 ? 4

10 7 ? DE 5 3

所以 QE=

20 8 8 6 6 20 ,DE= ,所以 OE = OD + DE=2+ = ,所以 Q( , ) 7 7 7 7 7 7

设直线 AQ 的解析式为 y ? kx ? m (k ? 0)

8 ? 20 ? k ?m? 则? 7 7 ? ??3k ? m ? 0

8 ? k? ? ? 41 由此得 ? ? m ? 24 ? ? 41 1 ? x? ? ? 2 联立 ? ? y ? 8 x ? 24 ? ? 41 41

所以直线 AQ 的解析式为 y ?

8 24 x? 41 41

1 ? x? ? ? 2 由此得 ? ? y ? 8 x ? 24 ? ? 41 41

所以 M (

1 28 , ) 2 41

则:在对称轴上存在点 M (

1 28 , ) ,使 MQ+MC 的值最小。 2 41

10. 如图 9,在平面直角坐标系中,二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象的顶点为 D 点, 与 y 轴交于 C 点,与 x 轴交于 A、B 两点, A 点在原点的左侧,B 点的坐标为(3,0) , OB=OC ,tan∠ACO=

1 . 3

(1)求这个二次函数的表达式. (2)经过 C、D 两点的直线,与 x 轴交于点 E,在该抛物线上是否存在这样的点 F,使 以点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点 F 的坐标;若不存 在,请说明理由. (3)若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于 M、N 两点,且以 MN 为直径的圆与 x 轴相切, 求该圆半径的长度. (4)如图 10,若点 G(2,y)是该抛物线上一点,点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一动 点,当点 P 运动到什么位置时,△APG 的面积最大?求出此时 P 点的坐标和△APG 的最 大面积. y y

E

A

O

B

x

A

O

B

x

C D 图9

C D 图 10

G

(1)方法一:由已知得:C(0,-3) ,A(-1,0) ?1 分

?a ? b ? c ? 0 ? 将 A、B、C 三点的坐标代入得 ?9 a ? 3b ? c ? 0 ?c ? ? 3 ? ?a ? 1 ? 解得: ?b ? ?2 ?c ? ?3 ?
所以这个二次函数的表达式为: y ? x 2 ? 2 x ? 3 方法二:由已知得:C(0,-3) ,A(-1,0) 设该表达式为: y ? a( x ? 1)(x ? 3) 将 C 点的坐标代入得: a ? 1 所以这个二次函数的表达式为: y ? x 2 ? 2 x ? 3

????????2 分

????????3 分

????????3 分 ?????????1 分 ????????2 分 ????????3 分 ????????3 分

(注:表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分) (2)方法一:存在,F 点的坐标为(2,-3) ????????4 分 理由:易得 D(1,-4) ,所以直线 CD 的解析式为: y ? ? x ? 3 ∴E 点的坐标为(-3,0) 由 A、C、E、F 四点的坐标得:AE=CF=2,AE∥CF ∴以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形 ∴存在点 F,坐标为(2,-3) ????????4 分

????????5 分

方法二:易得 D(1,-4) ,所以直线 CD 的解析式为: y ? ? x ? 3 ∴E 点的坐标为(-3,0) ?????????4 分 ∵以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形 ∴F 点的坐标为(2,-3)或(―2,―3)或(-4,3) 代入抛物线的表达式检验,只有(2,-3)符合 ∴存在点 F,坐标为(2,-3) ?????????5 分 (3)如图,①当直线 MN 在 x 轴上方时,设圆的半径为 R(R>0) ,则 N(R+1,R) , 代入抛物线的表达式,解得 R ?

1 ? 17 2

????6 分
y
1 M R R N

②当直线 MN 在 x 轴下方时,设圆的半径为 r(r>0) , 则 N(r+1,-r) , 代入抛物线的表达式,解得 r ?

? 1 ? 17 2

???7 分
A
M

O
1

r r N

B

x

∴圆的半径为

1 ? 17 ? 1 ? 17 或 . 2 2

?????7 分

(4)过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q, 易得 G(2,-3) ,直线 AG 为 y ? ? x ? 1 .?????8 分 设 P(x, x 2 ? 2 x ? 3 ) ,则 Q(x,-x-1) ,PQ ? ? x 2 ? x ? 2 .

S ?APG ? S ?APQ ? S ?GPQ ?
当x ?

1 (? x 2 ? x ? 2) ? 3 2

????????9 分

1 时,△APG 的面积最大 2

此时 P 点的坐标为 ? ,?

?1 ?2

27 15 ? . ? , S ?APG的最大值为 8 4?

????????10 分

11. (本小题 12 分)解: (1)解方程 x2-10x+16=0 得 x1=2,x2=8 ∵点 B 在 x 轴的正半轴上,点 C 在 y 轴的正半轴上,且 OB<OC ∴点 B 的坐标为(2,0) ,点 C 的坐标为(0,8) 又∵抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=-2 ∴由抛物线的对称性可得点 A 的坐标为(-6,0) ∴A、B、C 三点的坐标分别是 A(-6,0) 、B(2,0) 、C(0,8) (2)∵点 C(0,8)在抛物线 y=ax2+bx+c 的图象上 ∴c=8,将 A(-6,0) 、B(2,0)代入表达式 y=ax2+bx+8,得
? ?0=36a-6b+8 ? ?0=4a+2b+8 ?

?a=-3 解得? 8 ?b=-3

2

2 8 ∴所求抛物线的表达式为 y=- x2- x+8 3 3 (3)∵AB=8,OC=8 1 ∴S△ABC = × 8× 8=32 2 (4)依题意,AE=m,则 BE=8-m, ∵OA=6,OC=8, ∵EF∥AC ∴ EF BE = AC AB ∴AC=10

∴△BEF∽△BAC EF 8-m 即 = 10 8 40-5m ∴EF= 4

4 过点 F 作 FG⊥AB,垂足为 G,则 sin∠FEG=sin∠CAB= 5 ∴ FG 4 = EF 5 4 40-5m ∴FG= · =8-m 5 4

1 1 ∴S=S△BCE-S△BFE= (8-m)× 8- (8-m) (8-m) 2 2 1 1 1 = (8-m) (8-8+m)= (8-m)m=- m2+4m 2 2 2 自变量 m 的取值范围是 0<m<8 (5)存在. 理由: 1 1 ∵S=- m2+4m=- (m-4)2+8 2 2 ∴当 m=4 时,S 有最大值,S 最大值=8 ∵m=4,∴点 E 的坐标为(-2,0) ∴△BCE 为等腰三角形. 1 且- <0, 2

12. (12 分) 已知: 如图 14, 抛物线 y ? ? 相交于点 B ,点 C ,直线 y ? ?

3 2 3 x ? 3 与 x 轴交于点 A , 点B , 与直线 y ? ? x ? b 4 4

3 x ? b 与 y 轴交于点 E . 4

(1)写出直线 BC 的解析式. (2)求 △ ABC 的面积. (3) 若点 M 在线段 AB 上以每秒 1 个单位长度的速度从 A 向 B 运动 (不与 A,B 重合) , 同时,点 N 在射线 BC 上以每秒 2 个单位长度的速度从 B 向 C 运动.设运动时间为 t 秒, 请写出 △MNB 的面积 S 与 t 的函数关系式, 并求出点 M 运动多少时间时,△MNB 的面积 最大,最大面积是多少? 解: (1)在 y ? ?

3 2 x ? 3 中,令 y ? 0 4
C E

y

3 ?? x 2 ? 3 ? 0 4

? x1 ? 2 , x2 ? ?2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 ? A(?2, 0) , B(2, 0) · A

N

MD O

P

B

x



点B 在 y ? ?

3 x?b上 4

3 ?0 ? ? ? b 2 3 b? 2 3 3 ? BC 的解析式为 y ? ? x ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 4 2

3 2 ? y ? ? x ?3 ? x1 ? ?1 ? ? ? 4 (2)由 ? ,得 ? 9 3 3 y1 ? ?y ? ? x ? ? ? 4 ? ? 4 2
9? ? 0) ? C ? ?1, ? , B(2, 4? ?

? x2 ? 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? ? y2 ? 0

9 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 4 1 9 9 ? S△ ABC ? ? 4 ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 2 4 2 (3)过点 N 作 NP ? MB 于点 P EO ? MB ? NP ∥ EO ?△BNP ∽△BEO · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 BN NP ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 BE EO
? AB ? 4 , CD ?
由直线 y ? ?

3 3 ? 3? x ? 可得: E ? 0, ? 4 2 ? 2?
5 3 ,则 BE ? 2 2

? 在 △BEO 中, BO ? 2 , EO ?

?

6 2t NP ,? NP ? t · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? 5 3 5 2 2 1 6 ?S ? t (4 ? t ) 2 5 3 12 S ? ? t 2 ? t (0 ? t ? 4) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 5 5 3 12 S ? ? (t ? 2) 2 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 5 5 12 此抛物线开口向下,? 当 t ? 2 时, S最大 ? 5 12 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? 当点 M 运动 2 秒时, △MNB 的面积达到最大,最大为 . · 5


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