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宁夏银川一中2011—2012学年度下学期期末考试高二数学文


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宁夏银川一中 2011—2012 学年度下学期期末考试

高二数学文试题
命题人:费雪英、尹秀香、尹雪燕
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.设集合 A ? x | x ? 3 ? 0 A. ? B. (3,4) 2. 下列各组函数中,表示同一函数的是( A. y ? 1 , y ? x 0 C. y ? B.

?

?,

B ? {x | x 2 ? 5x ? 4 ? 0} ,则 A ? B ? ( C. (-2,1) D. (4,+ ? )




y ? x , y ? 3 x3
D. y ? x , y ? ( x ) 2 )

x ?1 ? x ?1 , y ? x2 ?1

3. 为了得到函数 y ? x ? 1 的图象,只需把函数 y ? x 的图象( A.向上平移一个单位 B.向下平移一个单位 C.向左平移一个单位 D.向右平移一个单位 4. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A. y ? x ? 1 5. 已知 a ? 2
1. 2

B. y ? ? x 3

C. y ?

1 x

D. y ? x x )

,b ? ( )

B. c ? a ? b C. b ? a ? c D. b ? c ? a 3 6.函数 y ? f (x) 在定义域(- ,3)内可导,其图象如图所示,记 y ? f (x) 的导函数为 y ? ? f ?(x) ,则不等式 2 f ?( x) ? 0 的解集为( ) 1 1 4 8 A.[- ,1]∪[2,3) B.[-1, ]∪[ , ] 3 2 3 3 3 1 3 1 1 4 C.[- , ]∪[1,2] D.[- ,- ]∪[ , ] 2 2 2 3 2 3 7. 已知函数 f ( x) ? ? A. 32 B. 16

A. c ? b ? a

1 2

?0 . 8

, c ? 2 log5 2 ,则 a , b , c 的大小关系为(

?2 x

( x ? 0) ,则 f (5) ? ( ? f ( x ? 3) ( x ? 0)
C.



1 32 8. 函数 f ( x) ? ln x ? x 在区间 (0 , e] 的最大值为( ) A. 1 ? e B. -1 C. - e D. 0 3 9. 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? ax 在 [1 , ? ?) 上是单调增函数,则 a 的最大值是(
D. A.0 B.1 C.2 D.3 10. 设函数 f ( x ) 定义在实数集上,它的图像关于直线 x ? 1 对称,且当 x ? 1 时,

1 2



f ( x) ? ln x ? x ,则有( ) 1 3 2 2 3 1 A. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) B. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 3 2 3 3 2 3 2 1 3 3 2 1 C. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) D. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 3 3 2 2 3 3 3 2 11. a 为实数, 设 函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 2) x 的导函数是 f ?(x) , f ?(x) 是偶函数, 且 则曲线 y ? f (x) 在
原点处的切线方程为( ) A.y=-2x B.y=3x C.y=-3x D.y=4x

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12. 已知函数 f ( x) ? ?

?2 ? x ? 1 ( x ? 0) ,若方程 f ( x) ? x ? a 有且只有两个不相等的实数根, 则实数 a 的取值 ? f ( x ? 1) ( x ? 0)
D. [0 , ? ?)

范围是( ) A. (?? , 0] B. [0 , 1] C. (?? , 1) 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13. 函数 y ?

x ?1 的定义域为 . x 14. 若 函 数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 2) x ? 3 是 定 义 在 区 间 [2a ? 1 , 2 ? a] 上 的 偶 函 数 , 则 此 函 数 的 值 域
是 . . . 15.若函数 f ( x) ? 2x ? a 的单调递增区间是 [3 , ? ?) ,则 a =

16.已知定义在 R 上的函数 f ( x)满足f ( x) ? f ( x ? 2) ? 13 , 若f(? 1 ? 2 ,则 f (2013) ? ) 三、解答题: (本大题共 6 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? 5 . (1)画出函数 y ? f (x) 在闭区间 [?5,5] 上的大致图像; (2)若直线 y ? a 与 y ? f (x) 的图像有 2 个不同的交点,求实数 a 的取值范围。

18.(12 分)若函数 y ? f (x) 是定义在区间 [?3,3] 上的奇函数,且在 [?3,0] 上单调递增,若实数 a 满足:

f (2a ? 1) ? f (a 2 ) ,求 a 的取值范围.

19. (12 分)设函数 f ( x) ? 2x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值. (1)求 a、b 的值; (2)若对于任意的 x ? [0, ,都有 f ( x) ? c2 成立,求 c 的取值范围. 3]

20.(12 分)函数 f ( x) ? x 2 - 2x ? 2 在区间 [t , t ? 1] (t ? R) 上的最小值记为 g (t ) (1)试写出 g (t ) 的函数表达式; (2)作出 g (t ) 的图像并写出 g (t ) 的最小值.

? 21. (12 分)已知函数 f ( x)

1 3 x ? mx 2 ? 3m 2 x ? 1 (m ? 0) . 3 (1)若 m ? 1 ,求曲线 y ? f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)若函数 f (x) 在区间 (2m ? 1, m ? 1) 上单调递增,求实数 m 的取值范围.
2

22. (12 分)设函数 f ( x) ? x ? 2x ? a ln x . (1)若函数 f ( x ) 是定义域上的单调函数,求实数 a 的取值范围; (2)求函数 f ( x ) 的极值点.

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参考答案
一、选择题 1—5 BBDDA 二、填空题 13、 [?1 , 0) ? (0 , ? ?) 三、解答题 17.解: (1)图略 (2) (?? , 5) ? {9} 18.解:因为 y ? f (x) 是奇函数,且在 [?3,0] 上递增,所以函数 y ? f (x) 是定义域上的增函数。 6—10 ACBDA 14、[-6,3] 15、-6 11—12 A C 16、

13 2

?? 3 ? 2 a ? 1 ? 3 ? 2 所以, f (2a ? 1) ? f (a ) 等价于不等式, ?a ? 3 ,解得 a ? [?1 , 1) ? (1 , 3] ?2 a ? 1 ? a 2 ?
2

19.解(1) f ?( x) ? 6 x2 ? 6ax ? 3b , 因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 . 即?

?6 ? 6a ? 3b ? 0, ?24 ? 12a ? 3b ? 0.

解得 a ? ?3 , b ? 4 .

(2)由(Ⅰ )可知, f ( x) ? 2x3 ? 9x2 ? 12x ? 8c ,

f ?( x) ? 6x2 ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2) . 当 x ? (0, 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1 2) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (2, 时, f ?( x) ? 0 . 1) , 3) 所以,当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c .
则当 x ??0, 时, f ( x ) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c . 3? 因为对于任意的 x ? 0, ,有 f ( x) ? c2 恒成立,所以 3 因此 c 的取值范围为 (??, 1) ? (9, ?) . ? ?

? ?

9 ? 8c ? c 2 ,解得

c ? ?1 或 c ? 9 ,

?t 2 ? 1 t?0 ? 0 ? t ?1 20.(1) g (t ) ? ?1 ?t 2 ? 2t ? 2 t ? 1 ? (2)图略 g (t ) 的最小值为 1 1 3 8 5 2 ? ? ? 4 ? 6 ?1 ? . 21.解: (1)当 m ? 1 时, f ( x) x ? x ? 3x ? 1 , f (2) 3 3 3 2 ? f ' ( x) x ? 2x ? 3 , f ' (2) 4 ? 4 ? 3 ? 5 . ? 5 所以所求切线方程为 y ? ? 5( x ? 2) 即 15x ? 3 y ? 25 ? 0 . 3 2 2 ? (2) f ' ( x) x ? 2mx ? 3m . 令 f ' ( x) 0 ,得 x ? ?3m或x ? m .………7 分 ? 由于 m ? 0 , f ?(x) , f (x) 的变化情况如下表: x m ? 3m (??,?3m) (?3m, m) (m,??) + 0 — 0 + f ' ( x) 单调增 极大值 单调减 极小值 单调增 f (x) 所以函数 f (x) 的单调递增区间是 (??, ?3m) 和 (m, ??) . 要使 f (x) 在区间 (2m ? 1, m ? 1) 上单调递增,应有 m ? 1 ≤ ? 3m 或 2m ? 1 ≥ m , 1 解得 m ≤ ? 或 m ≥ 1 .……11 分 又 m ? 0 且 m ? 1 ? 2m ? 1 , 4 所以 1 ≤ m ? 2 . 即实数 m 的取值范围 ? 1 ? m ? 2?. m
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22.解: (1) f '( x) ? 2 x ? 2 ?

a 2x ? 2x ? a ? ,若函数 f ( x ) 是定义域上的单调函数,则只能 f '( x) ? 0 在 x x (0, ??) 上恒成立,即 2 x 2 ? 2 x ? a ? 0 在 (0, ??) 上恒成立., a ? ?2 x 2 ? 2 x ,令 g ( x) ? ?2 x 2 ? 2 x ,则 1 1 a ? ( g ( x))max ,可得 ( g ( x)) max ? ,即只要 a ? 。 2 2 1 (或令 g ( x) ? 2x 2 ? 2x ? a ,则函数 g ( x) 图象的对称轴方程是 x ? ,故只要 ? ? 4 ? 8a ? 0 恒成立, ) 2 1 (2)有(1)知当 a ? 时, f '( x) ? 0 的点是导数不变号的点, 2 1 故 a ? 时,函数无极值点; 2 1 1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a 当 a ? 时, f '( x) ? 0 的根是 x1 ? , , x2 ? 2 2 2 若 a ? 0 , 1 ? 2a ? 1,此时 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,且在 (0, x2 ) 上 f '( x) ? 0 ,
2

在 ( x2 , ??) 上 f '( x) ? 0 ,故函数 f ( x ) 有唯一的极小值点 x2 ? 当0 ? a ?

1 ? 1 ? 2a ; 2

1 时, 0 ? 1 ? 2a ? 1 ,此时 x1 ? 0, x2 ? 0 , 2 f ' ( x) 在 ? 0, x1 ? , ? x2 , ??? 都大于 0 , f ' ( x) 在 ( x1 , x2 ) 上小于 0 ,

1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a 和一个极小值点 x2 ? . 2 2 1 ? 1 ? 2a 综上可知, a ? 0 时, f ( x ) 在 ? 0,??? 上有唯一的极小值点 x2 ? ; 2 1 1 1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a 0 ? a ? 时, f ( x) 有一个极大值点 x1 ? 和一个极小值点 x2 ? ; a ? 时,函数 2 2 2 2 f ( x) 在 ? 0,??? 上无极值点。
此时 f ( x ) 有一个极大值点 x1 ?

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