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【复变函数】


复变函数与积分变换(B)
教材
《复变函数》(四版) 数学教研室 编

清华大学

2013-2014学年第一学期
1

2013年9月3日

第一章 复数与复变函数

2



象 复变函数(自变量为复数的函数)

主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系,
具体地就是复数域上的微积分

主要内容 复数与复变函数、解析函数、
复变函数的积分、级数、留数、
共形映射、傅立叶变换和拉普

拉斯变换等

3

学习方法 复变函数中许多概念、理论、和
方法是实变函数在复数域内的推 广和发展,它们之间有许多相似 之处. 但又有不同之处,在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的性质与结果

4





?十六世纪,在解代数方程时引进复数 ?为使负数开方有意义,需要扩大数系,使实数域扩 大到复数域 ?在十八世纪以前,对复数的概念及性质了解得不清 楚,用它们进行计算又得到一些矛盾.在历史上长时 期人们把复数看作不能接受的“虚数” ?直到十八世纪,J.D’Alembert(1717-1783)与 L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意 义和物理意义,澄清了复数的概念 ?应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些 问题.复数被广泛承认接受,复变函数论顺利建立和 发展.
5

?十九世纪奠定复变函数的理论基础 ?三位代表人物: ? A.L.Cauchy (1789-1866) ?K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研 究复变函数 ?G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映照 性质 ?通过他们的努力,复变函数形成了非常系统的理论, 且渗透到了数学的许多分支,同时,它在热力学, 流体力学和电学等方面也得到了很多的应用.

6

§1复数及其代数运算
?

1. 复数的概念 2. 代数运算
3. 共轭复数
7

?

?

1. 复数的概念
定义 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或z=x+yi 为复数.
?复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part) 2 2 ? 复数的模 | z |? x ? y ? 0 ? 判断复数相等

z1 ? z2 ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , 其中z1 ? x1 ? iy1 , z2 ? x2 ? iy2 z ? 0 ? Re(z ) ? Im( z ) ? 0

? 一般, 任意两个复数不能比较大小.
8

2. 代数运算
?四则运算

定义

z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为:
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z1 x1 x2 ? y1 y2 x2 y1 ? x1 y2 z? ? ?i 2 z2 | z2 | | z2 |2 ( z2 ? 0)

9

?运算规律 复数的运算满足交换律、结合律、分配律. (与实数相同)即, z1+z2=z2+z1;

z1z2=z2z1;
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3);

z1(z2z3)=(z1z2)z3;
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
10

3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称?z=x-iy 为z 的共轭复数. ?共轭复数的性质
(1) ( z1 ? z2 ) ? z1 ? z2
( z1 z2 ) ? z1 z2
(conjugate)

( 2) z ? z
(4) z ? z ? 2 Re (z ) z ? z ? 2i Im (z )

1 z ( 3) z z ? Re(z ) ? Im( z ) ? x ? y ? ? 2 z |z|
2 2 2 2
11

z1 z1 ( )? z2 z2

例1 : 设z1 ? 5 ? 5i , z2 ? ?3 ? 4i , z1 z1 求 , ( )及 它 们 的 实 部, 虚 部 . z2 z2

z1 5 ? 5i 7?i 解: ? ? z2 ? 3 ? 4i ?5
? 1? i ? 例2 : 求 ? ? ? 1? i ?
4

1? i ?i 1? i
12

§2 复数的表示方法
?
? ? ?

1. 点的表示
2. 向量表示法 3. 三角表示法

4. 指数表示法

13

1. 点的表示
易见, z ? x ? iy ? 一对有序实数 ( x, y ),
在 平 面 上 取 定 直 角 坐系 标, 则 任意点 P( x, y) ? 一 对 有 序 实 数 ( x, y) ? z ? x ? iy ? 平 面 上 的 点 P ( x, y )

? 复数z ? x ? iy可用平面上坐标为 ( x,y )的点P表示.
x轴 — 实 轴 y轴 — 虚 轴 此时, 平 面— 复 平 面 或 z平 面
点的表示:z ? x ? iy ? 复平面上的点 P( x,y )

?

数z与点z同义.

14

2. 向量表示法

? z ? x ? iy ? 点P ( x,y ) ? OP ? { x , y }
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值; 以正实轴 为始边, 以 向量OP为终边的角的 弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)
y (z)
模: | z |?| OP |? r ? 辐 角 : ? ? Argz
记作

? 可用向量OP表示z ? x ? iy .

x2 ? y2 ,

y

P(x,y)

z ?r
?

? ? z ? 0 ? OP ? 0

o

x

15

x

z ? 0时, tan(Argz ) ? y / x
辐角无穷多:Arg z=θ=θ0+2kπ, k∈Z,

把其中满足 ? ? ? ? 0 ? ?的θ0称为辐角Argz的主值, 记作θ0=argz. ? z=0时,辐角不确定. y ? x ? 0, y ? R ? arctan x ? ? 计算 ? ? ? x ? 0, y 0 ? arg z ? ? argz(z≠0) 2 ? ? ? y 的公式 ?arctan ? ? x ? 0, y 0 x ? ? ? ? x ? 0, y ? 0 ?
16

?

当z落于一,四象限时,不变.

?
?

?. 当z落于第三象限时,减 ? .
当z落于第二象限时,加

y ? ? ? arctan ? 2 x 2

?

17

18

19

20

由向量表示法知

z2 ? z1 — 点z1与z2之间的距离
由 此 得: z 2 ? z1 ? z 2 ? z1 z 2 ? z1 ? z 2 ? z1

y

(z)

z1

(三 角 不 等 式 )
o

z2

x

3. 三角表示法
? x ? r cos? 由? 得 ? y ? r sin?

4. 指数表示法
再 由Euler公 式: e i? ? cos? ? i sin?得

z ? r (cos ? ? i sin? )

z ? re i?
21

22

引进复数的几何表示,可将平面图形用复数方程 (或不等式)表示;反之,也可由给定的复数方 程(或不等式)来确定它所表示的平面图形. y (z ) 例1 用复数方程表示: (1)过两点 zj=xj+iyj
L z1 z

z2

(j=1,2)的直线;
(2)中心在点(0, -1),
半径为2的圆. o x 解 (1) z=z1+t (z2-z1) (-∞<t <+∞)
23

(2)

z ? (?i ) ? 2
y

例2 方程 Re(i z ) ? 3 表示 什么图形? 解 设 z ? x ? iy

( z)
Re (iz ) ? 3

? i z ? i ( x ? iy ) ? y ? ix ? Re (i z ) ? y ? y?3

O 2

x
(0, -1)

故 Re (i z ) ? 3图 形 为 平行于实轴的直线
24

25

注意. 复数的各种表示法可以相互转化,以适应 不同问题的需要.

例3. 求 (1) 1 ? i (2) i (3) ? 3 (4) ? 1 ? 3i 的模, 辐角及辐角主值 .

2

例4. 求 (1) e (2) 3e 的模, 辐角 .
例5. 将z ? sin ? i cos 化 为 三 角 形 式 与 指 数 式 形. 5 5
26

2i

?i

?

?

2013年9月4日

27

28

29

30

§3 复数的乘幂与方根
?
? ?

1. 复数的乘积与商
2. 复数的乘幂 3.复数的方根

31

1. 乘积与商
定理1 证明 两个复数乘积的模等于它们的模相乘, 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加. 设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2 则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] =r1r2e i(θ1+θ2) 因此 |z1z2|=r1r2,Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
32

几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2,再将其伸缩到|z2|倍. y

(z)
z1 z2
?2

z2

z1
x

o

?2

?1

?

定理1可推广到n 个复数的乘积.
33

注意: Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
由于辅角的多值性,因此,该等式两端都是无穷多个 数构成的两个数集,等式两端可能取的值的全体是相同 的, 也就是说,对于左端的任一值,右端必有一值和 它相等,并且反过来也一样。

34

例1.设z1 ? ?1, z2 ? i , 则 z1 z2 ? ?i
Argz1 ? ? ? 2m?
Argz 2 ?

m ? 0, ? 1, ? 2,?
n ? 0, ? 1, ? 2,?

?
2

? 2n?

? Arg ( z1 z2 ) ? ? ? 2k? k ? 0, ? 1, ? 2,? 2 3? ? 代入上式 ? 2?m ? n?? ? ? ? 2k? 2 2

要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.
35

定理2

两个复数的商的模等于它们的模的商, 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差. 由复数除法的定义 z=z2 /z1,即 z1z = z2 ∵|z||z1|=|z2| 及Argz1+Argz=Arg z2( z1≠0)

i?1 i?2 证明设 z1 ? re , z ? r e ,z1 ? 0, 1 2 2

? Argz=Argz2-Argz1

z2 r2 i (?2 ??1 ) 即 z? ? e z1 r1
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2.复数的乘幂
定义 n个相同的复数z 的乘积,称为z 的n次幂, 记作z n,即z n=z?z???z(共n个).

设z=re iθ,由复数的乘法定理和数学归纳法可证 明 zn=rn(cos nθ+isin nθ)=rn einθ. 特别:当|z|=1时,即:zn=cosnθ+isin nθ,则有 (cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ 定义 棣模佛(De Moivre)公式. 1 ?n z ? n . 由定义得 z ? n ? r ? ne ? in? z
37

3.复数的方根(开方)——乘方的逆运算
问题 给定复数z=re i ?,求所有的满足ωn=z 的 复数ω. 当z≠0时,有n个不同的ω值与 n z 相对应,每一

个这样的ω值都称为z 的n次方根,记? ? n z

设 ? ? ?e i? , 由? n ? z, 有 ? ne in? ? re i? ? ? n ? r , n? ? ? ? 2k? (k ? Z )

? ? ? n z ? n re n ? ? 2k? n
? r (cos n

i

? ? 2 k?

? i sin

(k ? 0,1,2,?, n ? 1) ? ? 2k?
n )
38

?

当k=0,1,…,n-1时,可得n个不同的根, 而k取其它整数时,这些根又会重复出现. y 几何上,n z 的n个值是 ?1 1? i 以原点为中心,n r 为半 径的圆周上n个等分点, 28 ?0 2 即它们是内接于该圆周 x o 的正n边形的n个顶点. ?
2

如 ?k ? 4 1 ? i

?3 ? ? ? 2k? ? 2k? ? 8 2 (cos 4 ? i sin 4 ) ( k ? 0,1,2,3( ) 见图) 4 4
39

例2 : 求

3

1

解 : ?1 ? ?cos0 ? i sin0?
3

0 ? 2k? 0 ? 2k? 1 ? cos ? i sin , ( k ? 0,1,2). 3 3

1 3 1 3 即?0 ? 1, ?1 ? ? ? i , ?2 ? ? ? i. 2 2 2 2

40

§4
? ? ?





1. 区域的概念 2. 简单曲线(或Jordan曲线) 3. 单连通域与多连通域

41

1. 区域的概念
?邻域 复平面上以 z 0为中心,任意δ> 0为半径的 圆 | z -z 0|<δ(或 0 <| z –z 0|<δ) 内部的点

的集合称为点 z 0 的δ(去心)邻域 .
记为U(z0 ,δ) (U ? ( z0 , ? )) 即, U ( z0 , ? ) ? {z z ? z0 ? ? }

?

?

z0

(U ? ( z0 , ? ) ? { z 0 ? z ? z0 ? ? }) 设G是一平面上点集 内点 对任意z0属于G,若存在U(z 0 ,δ), 使该邻 域内的所有点都属于G,则称z 0是G的内点.
42

开集 若G内的每一点都是 内点,则称G是开集.

外点

z1
?

z2
z0 内点

?区域

设 D是一个开集, 且D是连通的,称 D是一个区域.

P

D-区域

连通是指 D中任意两点均可用完全 属于D的折线连接 .

边界与边界点 已知点P不属于D,若点P的任何 邻域中都包含D中的点及不属于D的点,则称P是 D的边界点; D的所有边界点组成D的边界.
43

?闭区域

区域D与它的边界一起构成闭区域, 记为D.

有界区域与无界区域

若存在 R > 0, 对任意 z ∈D, 均有
z∈G={z | |z|<R},则D是有界区域;否则无界.

z ? z0 ? r 表 示 以z0 为 圆 点 ,以 r 为 半 径 的 圆 内 所 有 的.点

44

Re z ? ? , Im z ? ?表示分别平行于 y轴和x轴的直线 .

Re z ? 0表 示 右 半 复 平 面 , Im z ? 0表 示 下 半 复 平 面 .
r1 ? z ? z0 ? r2 表示一个圆环 ,而 且 是 有 界 的 .

它的边界由两个圆周 z ? z0 ? r2 , z ? z0 ? r1组 成, 如 果 在 其 中 去 掉 一 个几 或个 点 ,它 仍 然 是 区 域 , 只 是 边 界 增 加 了 一 个几 或个 点 .
45

2. 简单曲线(或Jardan曲线)
平 面 上 一 条 连 续 曲 线表 可示 为 : ? ? x ? x( t ) (a ? t ? b),实 变 函 数 x( t )、y( t ) ? C[a , b] ? ? ? y ? y( t )

令z(t)=x(t)+iy(t)

a ≤t ≤b ;

则曲线方程可记为:z=z(t), a≤t≤b
若x' (t )、y' ( t ) ? C[a, b]且[ x' (t )]2 ? [ y' ( t )]2 ? 0 则称该曲线为光滑的 . 有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线.
46

重点 设连续曲线C:z=z(t),a≤t≤b, 对于t1∈(a,b), t2 ∈[a, b],当t1≠t2时,若z(t1)=z(t2), 称z(t1)为曲线C的重点. 定义 称没有重点的连续曲线C为简单曲线或 Jardan曲线;若简单曲线C 满足z(a)=z(b)时,则称 此曲线C是简单闭曲线或Jordan闭曲线 .
z(a)=z(b)

z(t1)=z(t2) 不是简单闭曲线
47

简单闭曲线

简单闭曲线的性质
任一条简单闭曲线 C:z=z(t), t∈[a,b],把复 平面唯一地分成三个互不相交的部分:一个是有 界区域,称为C的内部;一个是无界区域,称为 C的外部;还有一个是它们的公共边界.

3. 单连通域与多连通域
定义 复平面上的一个区域 B , 内部 如果B内的任何简单闭曲线的 C 内部总在B内,就称 B为单连通 z(a)=z(b) 域;非单连通域称为多连通域.

外部 边界

48

单连通域 例如

多连通域

|z|<R(R>0)是单连通的; 0≤r<|z|≤R是多连通的.

单连通域

多连通域
49

作业
P31 1(2)(4), 2, 8(3)(4)(5), 14(2)(4), 21(4)(8)(9) 22(3)(4)(6)
50

51

52

53

54

§5 复变函数
? ? ?

1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射

1. 复变函数的定义—与实变函数定义相类似
定义 设G是 一 个 复 数 z ? x ? iy的 非 空 集 合 ,存在法则 f , 使 得 ?z ? G , 就 有 一 个 或 几 个 w ? u ? iv与 之 对 应 , 则称复变数 w是 复 变 数 z的 函 数 ( 简 称 复 变 函 ) 数 记 作 w ? f ( z ).

?若z ? 一个w值,称f ( z )是单值函数;
z ? 多个w值,称f ( z )是多值函数.
今后无特别声明,所讨 论的函数均为单值函数 。

G—f ( z)的定义集合,常常是平面区域(定义域)
G ? {w w ? f ( z ) , z ? G} — 函数值集合
*

? z ? x ? iy ? ( x , y ); w ? u ? iv ? ( u, v ) ? w ? f ( z ) ? f ( x ? iy ) ? u( x , y ) ? iv ( x , y )

故 u ? u( x, y ) v ? v( x, y )

w ? f ( z ) ? u ? iv ? u ? u( x , y ) v ? v( x, y )

例1 w ? z

2

令z ? x ? iy
2

w ? u ? iv
2 2

则 w ? ( u ? iv ) ? ( x ? iy ) ? x ? y ? 2 xyi

?w ? z ? u ? x ? y
2 2

2

v ? 2 xy

? ? 1 ? 1 ? 例2 若 已 知 f ( z ) ? x ? 1 ? ? ? ? ? iy 1 ? 2 2? 2 2? ? ? x ? y x ? y ? ? ? ? 将 f ( z )表示成z 的函数 .

1 1 设z ? x ? iy , 则x ? ( z ? z ), y ? ( z ? z ) 2 2i 1 f (z) ? z ? z

2. 映射的概念

——复变函数的几何意义

在几何上, w=f(z)可以看作:
? f (z) z ? G ( z平面) ?w ? ?? w ? G* (w平面)的映射 (变换).

定义域 y

函数值集合

称w为z的象点 (映象),而z称为w的原象。
(z)
w=f(z) v

(w)
G* w

z
o

G

w=f(z) x

o

u

?复变函数的几何意义是一个映射(变换)

?

在复变函数中用两个复平面上点集之间的
对应关系来表达两对变量 u,v 与 x,y

之间的对应关系,以便在研究和理解复变
函数问题时,可借助于几何直观.

? 以下不再区分函数与映射(变换).

. 例3 研究w ? z 所构成的映射 解 设z ? r (cos? ? i sin? ) ? re i?
? z ? re ? i? —关于实轴对称的一个映射 ?见图1-1~1-2

例4 研究w ? e i? z (?实常数)所构成的映射 . 解 设z ? re i? ? w ? e i? z ? e i? re i? ? re i (? ?? ) w ? u ? iv ? (cos? ? i sin? )( x ? iy )

? ( x cos? ? y sin? ) ? i ( x sin? ? y sin? ) 即 ,
?u ? x cos? ? y sin? —旋转变换(映射) ?见图2 ? ? v ? x sin? ? y sin?

y

(z)

v
o 图1-1

(w) u

o y、v

x

(z)、(w)

y、v

(z)、(w)

?
o
x、 u o x、 u

图1-2

图2

例5 y

研究 w ? z 2 所构成的映射 .

(z)
?

v
w ? z2

(w)
2?

o y

x

o

u

(z)
w ? z2
? w ? z2 6

v

(w)
? 3

o

x

x2 ? y2 ? 4

w ? z2

o

u

3. 反函数或逆映射
例 设 z=w2 则称 w ? z 为z=w2的反函数或逆映射

定义

设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G*
? f (z) * z ? G ?w ??? w ? G

* 一个(或几个)z ? G ?? ? ? w ? G z ?? ( w ) 则称z=φ (w)为w=f(z)的反函数(逆映射).

显 然 有 w ? f [? ( w )] ?w ? G * 当反函数单值时 z ? ? [ f ( z )] ?z ? G (一般z ? ? [ f ( z )])

当函数 (映 射)w ? f ( z )和 其 反 函 数 (逆 映 射 ) z ? ? ( w )都 是 单 值 的 , 则 称 函 ( 数 映 射)w ? f ( z ) 是一一的。也称集合 G与 集 合 G ?是 一 一 对 应 的 。

例 已知映射w=

z3

? ,求区域 0<argz< 在平面w上的象. 3

1 例 已知映射 w ? , 判断: z平面上的曲线x 2 ? y 2 ? 1被 z 映射成 w平面上怎样的曲线 ?

2008.10.8 (第三次课)

§6 复变函数的极限与连续性
? ? ?

1. 函数的极限 2. 运算性质 3.函数的连续性

1. 函数的极限
定义 设 w ? f ( z ), z ? U ? ( z , ?), 若 存 在 数 A,?? ? 0, 0
? ?(?) , 当 0 ? z ? z 0 ? ? 时, 有 f ( z ) ? A ? ? ,
(0? ? ? ? )

则 称A为 f ( z )当z ? z0时 的 极 限 , 记 作 lim f ( z ) ? A
z ? z0

或 当z ? z0时 ,f ( z ) ? A

y

(z)
w ? f ( z)
?

v

(w)
?
A

z0

o

x

o

u

几何意义: 当变点z一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 点f(z)就落入A的 一个预先给定的 ε邻域中

?

(1) 意义中 z

? z0 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数.
(3) 若f(z)在 z0 处有极限,其极限是唯一的.

2. 运算性质
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系:
定理1

设f ( z ) ? u( x, y ) ? iv( x, y ) z ? x ? iy z0 ? x0 ? iy0
则 lim f ( z ) ? A ? u0 ? iv0 ? ( x , y )?( x0 , y0 ) z ? z0 lim v ( x , y ) ? v0
( x , y )? ( x 0 , y0 )

lim

u( x , y ) ? u0

定理2
若 l i m f (z) ? A
z ? z0 z ? z0 z ? z0

l i m g( z ) ? B, 则
z ? z0 z ? z0 z ? z0

l i m ? f ( z ) ? g ( z )? ? l i m f ( z ) ? l i m g ( z ) ? A ? B l i m f ( z ) g ( z ) ? l i m f ( z ) l i m g ( z ) ? AB
z ? z0 z ? z0

i m f (z) f (z) l A z ? z0 lim ? ( l i m g ( z ) ? 0) ? z ? z0 g ( z ) l i m g ( z ) z ? z0 B
z ? z0

?

以上定理用极限定义证!

例1 证明w ? x 2 ? y ? i ( x ? y 2 )在平面上处处有极限 .

? x 2 ? y, x ? y 2在平面上处处有极限
z ? z 在z ? 0时的极限. 求 f ( z ) ? 例2 z z

2( x ? y ) ? f (z) ? 在(0,0)处 极 限 不 存 在 . 2 2 x ?y
2 2

例3 证明 f ( z ) ? Re z

z

在z ? 0时的极限不存在.

3.函数的连续性
i m f ( z ) ? f ( z0 ), 则 称 f ( z )在z0处 连 续 ; 定义 若 l z? z
0

若在区域 D内 处 处 连 续 , 则 称 f ( z )在D内 连 续 ; 若z、z0 ? C , 且 l i m f ( z ) ? f ( z0 ), 则 称 f (z)
z ? z0

在曲线 C上 点z0处 连 续 .

定理3

设f ( z ) ? u( x , y ) ? iv( x , y ) 在 z0 ? x0 ? iy0处连续 ?
( x , y )? ( x0 , y0 ) ( x , y )? ( x0 , y0 )

lim

u( x , y ) ? u( x0 , y0 ) v ( x , y ) ? v ( x 0 , y0 )

lim

.

例4 证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续. 证明 (1) ? f ( z ) ? arg z在 原 点 没 有 定 义 ,

故不连续。
( 2)在 负 实 轴 上 ?P ( x ,0)( x ? 0) ? lim arg z ? ? ?
y?0 y?0

y z o

(z)

lim arg z ? ?? ?

?P ( x ,0)

x

? arg z在 负 实 轴 上不连续。

z

定理4 连续函数的和、差、积、商 (分母不为0) 仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数.
由以上讨论 ? P ( z ) ? a0 ? a1 z ? ? ? a n z n在 整 个 复 平 面 内 是 连 的 续; P(z) R( z ) ? 在复平面内除分母0 为 点外处处连续 . Q( z )

有界性:
设曲线 C为 闭 曲 线 或 端 点 包 括 内 在的 曲 线 段 若f ( z )在C上 连 续? ?M ? 0, 在 曲 线 上 恒 有 f (z) ? M

第二章 解析函数
?

第一节

解析函数的概念

?
?

第二节 函数解析的充要条件
第三节 初等函数

§2.1 解析函数的概念
?

1. 复变函数的导数定义

?

2. 解析函数的概念

一. 复变函数的导数
(1)导数定义
定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D,
f ( z 0 ? ?z ) ? f ( z 0 ) lim 如果极限 ? 存在,则称函数 z ?0 ?z

f (z)在点z0处可导.称此极限值为f (z)在z0的导数,
f ( z 0 ? ?z ) ? f ( z 0 ) dw ? lim 记作 f ' ( z0 ) ? dz z ? z0 ?z ?0 ?z

如果w=f(z)在区域D内处处可导,则称 f (z)在区域D内可导.

?
?

(1) Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零.
(2) z=x+iy,Δz=Δx+iΔy, Δf=f(z+Δz)-f(z)

例1 证明: f ( z ) ? Re z在平面上的任何点都不 可导 .
?f Re (z ? ?z ) ? Re (z ) 证 明: ? ?z ?z

x ? ?x ? x ? ?x ? i?y

?x ? ?x ? i?y

当?z取 实 数 趋 于 0时, ?f ?z ? 1;

? ? ? l i m ?f 不 存 在 . ? ?z ? 0 ? z ? 当?z取 纯 虚 数 趋 于 0时, ?f ?z ? 0;?

(2)求导公式与法则
----实函数中求导法则的推广 ① 常数的导数 c?=(a+ib)?=0.

② (zn)?=nzn-1 (n是自然数).
证明 对于复平面上任意一点z0,有 n z n ? z0 ??
?z ? lim
z ? z0

lim
z ? z0

z ? z0

n ?1 ( z ? z0 )(z n?1 ? z n? 2 z0 ? ? ? z0 ) n ?1 ? lim ? nz0 z ? z0 z ? z0



设函数f (z),g (z) 均可导,则
[f (z)±g (z)]? =f? (z)±g?(z), [f (z)g(z)]? = f? (z)g(z) + f (z)g?(z)

? f ( z ) ? ' f ' ( z ) g( z ) ? f ( z ) g' ( z ) , ( g( z ) ? 0) ? g( z ) ? ? 2 g (z) ? ?
由以上讨论 ? P ( z ) ? a0 ? a1 z ? ? ? a n z n在 整 个 复 平 面 上 处 处 导 可; P(z) R( z ) ? 在 复 平 面 上 ( 除 分 母0 为 点外)处 Q( z ) 处可导 .

④复合函数的导数 ( f [g(z)])? =f? (w)g?(z), 其中w=g(z).

1 ⑤ 反函数的导数 f ' ( z ) ? ,其中: w=f (z) ? '(w)

与z=?(w)互为单值的反函数,且??(w)?0.

1 例2 已 知 f ( z ) ? ( z ? 5 z ) ? , 求f ' ( z ) z ?1 1 2 解 f ?( z ) ? 2( z ? 5 z )(2 z ? 5) ? ( z ? 1)2 例3 问:函数f (z)=x+2yi是否可导?
2 2



f ( z ? ?z ) ? f ( z ) ? lim ?z ? 0 ?z x ? ?x ? 2( y ? ?y )i ? ( x ? 2 yi ) ? lim ?z ? 0 ? x ? i? y

?x ? 2?yi ?1 当?y ? 0, ?x ? 0时 ? lim ?? ? 不存在 ! ?z ?0 ?x ? ?yi ?2 当?x ? 0, ?y ? 0时 故函数f ( z ) ? x ? 2 yi处处不可导.

例4 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导.
( z ? ?z ) Re (z ? ?z ) ? z Re z 证明 l i m ?z ? 0 ?z ?z Re (z ? ?z ) ? z Re ?z ? lim ?z ? 0 ?z ?z Re ?z ? lim ?0 z ? 0时 ? ? ?z ? 0 ?z ?? ?x ? l i m(Re (z ? ?z ) ? z )不 存 在! z ? 0时 ? ? x ? i? y ? ?z ? 0

?

(1) 复变函数在一点处可导,要比实函数 在一点处可导要求高得多,也复杂得 多,这是因为Δz→0是在平面区域上 以任意方式趋于零的原故. (2) 在高等数学中要举出一个处处连续, 但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变函数中,却轻而易举.

(3)可导与连续 若 w=f (z) 在点 z0 处可导 ? ? ? w=f (z) 点 z0 处连续.
证 明: 若f ( z )在z0可 导, 则?? ? 0, ?? ? 0, f ( z 0 ? ?z ) ? f ( z 0 ) 使得当 0 ? ?z ? ? , 时, 有 ? f ?( z 0 ) ? ? , ?z f ( z 0 ? ?z ) ? f ( z 0 ) 令? ??z ? ? ? f ?( z0 ), 则 lim ? ??z ? ? 0, ?z ? 0 ?z 由此可得 f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) ? f ?( z0 )?z ? ? ??z ??z ,
?z ? 0

lim f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ), 所 以f ( z )在z0连 续

2.4 解析函数 1. 解析函数的概念
定义 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处 可导,则称f (z)在z0解析; 如果f (z)在区域D内每一点都解析,则称 f (z)在D内解析,或称f (z)是D内的解析函数 (全纯函数或正则函数). 如果f (z)在点z0不解析,就称z0是f (z)的奇点.

?

(1) w=f (z) 在 D 内解析 ? 在D内可导. (2) 函数f (z)在 z0 点可导,未必在z0解析.

例如 (1) w=z2 在整个复平面处处可导,故是整个复平面 上的解析函数; (2) w=1/z,除去z=0点外,是整个复平面上的解析 函数; (3) w=zRez 在整个复平面上处处不解析(见例4).
定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数,

则 f (z)±g(z),f (z)g(z) 及 f (z) ? g(z) (g (z)≠0时)
均是D内的解析函数.

由以上讨论 ? P ( z ) ? a0 ? a1 z ? ? ? an z n是 整 个 复 平 面 上 的 解 函 析数 ; P( z) R( z ) ? 是复平面上 (除 分 母 为 0点 外)的 解 析 函 数 . Q( z )

定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值 集合 ? G,则复合函数w=f [g(z)]在D内处处解析.

调和函数

§7 解析函数与调和函数的关系
内 容 简 介
在§6我们证明了在D内的解析函数,其导数

仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数.本节
利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间

的关系.

? ( x , y )在D内 具 有 二 阶 连 定义 若 二 元 实 变 函 数
续偏导数且满足 Laplace 方 程: ? 2? ? 2? ? 2 ?0 2 ?x ?y 即 (?? ? 0)

则 称? ( x , y )为D内 的 调 和 函 数 .
定理 若f ( z ) ? u( x , y ) ? iv( x , y )在区域D内解析

? u ? u( x , y ),v ? v ( x , y )是D内的调和函数。

证明:设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析,则

?u 由C ? R方 程 ? ?x 2 2 ? u ? v 从而有 ? 2 ?x ?y?x

?v ?u ?v ?? ?y ?y ?x 2 2 ? u ? v ?? 2 ?y ?x?y

由 解 析 函 数 高 阶 导 数理 定 ? u( x , y ), v ( x , y ) ? 2v ? 2v 具 有 任 意 阶 的 连 续 导. 数? ? ?x?y ?y?x
? 2u ? 2u ? 2v ? 2v 故在D内有 ? 2 ? 0, 同 理有 ? 2 ?0 2 2 ?x ?y ?x ?y

即u及v 在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:

?u ? 0, ?v ? 0

?2 ?2 其 中? ? 2 ? 2 ?x ?y

? u ? u( x, y),v ? v( x, y)是D内的调和函数。
, 称 使 得u ? iv 定义 设u( x , y )为D内 的 调 和 函 数 在D内 构 成 解 析 函 数 的 调 函 和 数v( x , y )为u( x , y ) 的共轭调和函数 .

上面定理说明:

D内解析函数的虚部是实 部的共轭调和函数 . 即, f ( z ) ? u( x, y ) ? iv( x, y )在D内解析? 在D内v( x, y )必为u ? u( x, y )的共轭调和函数 . 由解析的概念得:

在D内满足 C ? R方程: ux ? v y , u y ? ?v x的两个 调和函数 u, v , v必为u的共轭调和函数 . 现在研究反过来的问题: 若u, v是 任 意 选 取 的 在
区 域D内 的 两 个 调 和 函 数 , 则u ? iv在D内 就 不 一定解析 .



v ? x ? y不是u ? x ? y的共轭调和函数 .
u y ? 1 ? ?v x )

(? f ( z ) ? u ? iv ? ( x ? y ) ? i ( x ? y )在z平面上 处处不解析 ux ? 1 ? v y
要想使 u ? iv在D内 解 析 , u及v还 必 须 满 足 C?R 方程,即 v必 须 是 u的 共 轭 调 和 函 数 .由 此 ,

已 知一 个 解 析函 数 的部 实u( x , y ), 利 用C ? R方 (虚部v( x, y )) 程可求得它的虚部 v ( x , y ),从 而 构 成 解 析 函 数 u ? iv .

(实部u( x, y ))

设D一 单 连 通 区 域 , u( x , y )是 区 域 D内 的 调 和 ? 2u ? 2u 函 数, 则 2 ? 2 ? 0 ?x ?y ?u ?u 即, ? 、 在D内 有 连 续 一 阶 偏 导 数 ?y ?x
且 ? ?u ? ?u (? )? ( ) ?y ?y ?x ? x
?v ?v ?v ?u ?u dx ? dy ? ? dx ? dy ? dv( x , y ) ?x ?y ?y ?x

?u ?u v( x, y ) ? ? ? dx ? dy ? c ( x0 , y0 ) ?y ?x
( x, y)

(?)

?v ?u ? ?? ?x ?y

?v ?u ? 满 足C ? R方 程. ?y ?x

? u ? iv在D内 解 析 .

定理 设u( x , y )在单连通D内调和函数,

则(?)式所确定的v ( x , y ), 使得 f ( z ) ? u ? iv在D内解析.

?

公式不用强记!可如下推出:

已知: u( x , y ),求 其 共 轭 调 和 函 数 v( x, y ) : ?v ?v C ? R方 程 由dv ? dx ? dy ? ? u y dx ? u x dy ?x ?y 然后两端积分。
?v ?v C ? R方 程 ?v ?v 由du ? dx ? dy ? dx ? dy ?x ?y ?y ?x
类似地, 然后两端积分得,

u( x , y ) ? ?

( x, y)

( x 0 , y0 )

v y dx ? v x dy ? c

(? ?)

?

调和函数在流体力学和电磁场理论等实际

问题中都有重要应用.本节介绍了调和函数与解 析函数的关系.

例1 由下列条件求解析函数 f ( z ) ? u ? iv

u ? x 2 ? xy ? y 2
解?

f (i ) ? ?1 ? i
?v ?u ? ? ? ?2 y ? x ?x ?y

?v ?u ? ? 2x ? y ?y ?x

?v ?v ? dv ? dx ? dy ?( 2 y ? x )dx ? ( 2 x ? y )dy ?x ?y ( x, y) v( x, y ) ? ? ( 2 y ? x )dx ? ( 2 x ? y )dy ? c
( 0,0 ) x

?

?

o

? xdx ? ? ( 2 x ? y )dy ? c
0 2 2

y

x y ?? ? 2 xy ? ?c 2 2

曲线积分法

1 2 1 2 故 f ( z ) ? ( x ? y ? xy) ? i ( ? x ? 2 xy ? y ? c ) 2 2 i 1 2 2 2 ? ( x ? iy ) ? ( x ? iy ) ? ic ? (1 ? i ) z ? ic 2 2 i 2 ? f ( i ) ? ?1 ? i 代 入 上 式 得(, 1 ? )i ? ic ? ?1 ? i 2 1 i 2 i ?c ? f ( z ) ? (1 ? ) z ? 2 2 2
2 2

1 ? x ? ( z ? z ), 2

1 y ? (z ? z) 2i

又解

?v ?v ? dv ? dx ? dy ?x ?y ?( 2 y ? x )dx ? ( 2 x ? y )dy






? 2 ydx ? 2 xdy ? xdx ? ydy x y ? 2dxy ? d ( ? ? ) 2 2 2 2 x y v( x, y ) ? ? ? 2 xy ? ?c 2 2
2 2

2

2




1 2 1 2 f ( z ) ? ( x ? y ? xy) ? i ( ? x ? 2 xy ? y ? c ) 2 2

?v y2 又解 ? ? 2 x ? y ? v ? 2 xy ? ? ? ( x) ?y 2
?v ? ? 2 y ? ? '( x) ? 2 y ? x ?x x2 ? '( x) ? ? x ? ( x) ? ? ? c 2
?v ? ?x







y x ? v ( x , y ) ? 2 xy ? ? ?c 2 2
2 2

2

2

1 2 1 2 f ( z ) ? ( x ? y ? xy) ? i ( ? x ? 2 xy ? y ? c ) 2 2

又解 f ' ( z ) ? ux ? iv x ? ux ? iu y

? (2 x ? y ) ? i ( x ? 2 y )
? 2( x ? iy ) ? i ( x ? iy ) ? ( 2 ? i )( x ? iy )
? ?2 ? i ?z
2?i 2 ? f (z) ? z ? ic 2
2 2

不 定 积




1 2 1 2 f ( z ) ? ( x ? y ? xy) ? i ( ? x ? 2 xy ? y ? c ) 2 2

第八次课 11月12日

§2 函数解析的充要条件
?

1. 解析函数的充要条件

?

2. 举例

如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定义 域 D内处处可导,则函数 w = f (z) 在 D内解析. 问题 如何判断函数的解析性呢?

本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性,探求 函数w=f (z) 的可导性,从而给出判别函数解析的 一个充分必要条件,并给出解析函数的求导方法.

一. 解析函数的充要条件
设函数w ? f ( z ) ? u( x , y ) ? iv ( x , y )在点 z ? x ? iy可导, 则
f ( z ? ?z ) ? f ( z ) ? ?z

[u( x ? ?x, y ? ?y ) ? iv( x ? ?x, y ? ?y )] ? [u( x, y ) ? iv( x, y )] ? ?x ? i?y

若沿平行于实轴的方式 z ? ?z ? z(?y ? 0)
f ( z ? ?z ) ? f ( z ) f ?( z ) ? lim ?z ? 0 ?z [u( x ? ?x , y ) ? iv( x ? ?x , y )] ? [u( x , y ) ? iv( x , y )] ? lim ?x ? 0 ?x u( x ? ?x , y ) ? u( x , y ) v ( x ? ?x , y ) ? v ( x , y ) ? lim ? i lim ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ?x

?u ?v ? ?i ?x ?x

若沿平行于虚轴的方式 z ? ?z ? z(?x ? 0)
f ( z ? ?z ) ? f ( z ) f ?( z ) ? lim ?z ? 0 ?z [u( x , y ? ?y ) ? iv ( x , y ? ?y )] ? [u( x , y ) ? iv ( x , y )] ? lim ?y ? 0 i? y u( x , y ? ?y ) ? u( x , y ) v ( x , y ? ?y ) ? v ( x , y ) ? lim ? i lim ?y ? 0 ?y ? 0 i? y i? y
1 ?u ?v ?v ?u ? ? ? ?i i ?y ?y ?y ?y

? f ' ( z )存 在 ?u ?v ? ?i ? ?x ?x ?u ?v ? ? ?x ?y
定义 方程

?v ?u ?i ?y ?y ?v ?u ?? ?x ?y

?
?u ?x ?v ?x

记忆

?u ? ?y ?v ?y

?u ?v ? ?x ?y

?v ?u ?? ?x ?y

称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).

2008.10.15 第四次课

定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义, 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是

u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微,且满足
Cauchy-Riemann方程

?u ?v ? ?x ?y
上述条件满足时,有

?v ?u ?? ?x ?y

f ' ( z ) ? ux ? iv x ? ux ? iuy ? v y ? iuy ? v y ? iv x

证明 " ? " (由f (z)的可导 ? C-R方程满足上面已证!只须证 f (z)的可导 ? 函数 u(x, y)、v(x, y)可微). ∵函数 w =f (z)点 z可导,即
f ( z ? ?z ) ? f ( z ) f ' ( z ) ? lim ?z ?0 ?z f ( z ? ?z ) ? f ( z ) 设 ? ( ?z ) ? ? f '(z) ?z 则 f (z+ Δz)-f(z)=f ?(z)Δz+?(Δz)Δz (1), 且
?z ? 0

lim ? ( ?z ) ? 0

令:f (z+Δz) ? f (z)=Δu+iΔv,f ?(z)= a+ib, ?(Δz)=?1+i?2 故(1)式可写为 Δu+iΔv = (a+ib)(Δx+iΔy)+(?1+i?2)(Δx+iΔy) =(aΔx-bΔy+?1Δx??2Δy)
+i(bΔx+aΔy+?2Δx+?1Δy) 因此 Δu=aΔx?bΔy+?1Δx??2Δy , Δv=bΔx+aΔy+?2Δx??1Δy
lim ? 1 ? lim ? 2 ? 0 ? lim ? ( ?z ) ? 0 ? ? x?0 ?x ? 0
?z ? 0
?y ? 0 ?y ? 0

? 1 ?x ? ? 2 ?y ? 2 ?x ? ? 1 ?y ? lim ? 0 lim ?0 ?x ? 0 ? x ? 0 ?z ?z ?y ? 0 ?y ? 0

所以u(x, y),v(x, y)在点(x, y)处可微.

" ?"(由函数u(x,y) ,v (x,y)在点(x,y)处可微及满足
C-R方程 ? f (z)在点z=x+iy处可导)
∵u(x,y),v(x,y)在(x,y)点可微,即: ?u ?u ?u ? ?x ? ?y ? ? 1?x ? ? 2 ?y ?x ?y

?v ?v ?v ? ?x ? ?y ? ? 3 ?x ? ? 4 ?y ?x ?y
?x ? 0 ?y ? 0

其中 lim ? k ? 0, ( k ? 1, 2, 3,4 )

? f ( z ? ?z ) ? f ( z ) ? ?u ? i?v ?u ?v ?u ?v ? ( ? i )?x ? ( ? i )?y ? (? 1 ? i? 3 )?x ? (? 2 ? i? 4 )?y ?x ?x ?y ?y
由C ? R方 程

?

?u ?v ( ? i )?z ? (? 1 ? i? 3 )?x ? (? 2 ? i? 4 )?y ?x ?x

?x ? | |? 1, ?z

?y ?x | |? 1 ? (? 1 ? i? 3 ) ? 0 ?z ?z f ( z ? ?z ) ? f ( z ) ?u ?v ? f ?( z ) ? l i m ? ?i ?z ? 0 ?z ?x ?x

定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微,且 满足Cauchy-Riemann方程
?u ?v ? ?x ?y ?v ?u ?? ?x ?y

?

由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切 的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可 以求出导数来.

? 利用该定理可以判断那些函数是不可导的.

使用时: i) 判别 u(x, y),v (x, y) 偏导数的连续性, ii) 验证C-R条件. iii) 求导数:

?u ?v 1 ? u ?v f '(z) ? ?i ? ? ?x ?x i ? y ? y

?

前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼 成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两 个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.

二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导,在何处解析:
(1)w ? z; (2) f ( z ) ? e (cos y ? i sin y ); (3)w ? z
x 2

解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则
?u ?1 ?x ?v ?0 ?x ?u ?0 ?u ?v ?y ? ? ?v ?x ?y ? ?1 ?y

故 w ? z在 全 平 面 不 可 导 , 不 析 解。

解(2)∵ f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny

?u ? e x cos y ?x ?v ? e x si n y ?x

?u ? ? e x si n y ?y ? ?v ? e x cos y ?y

?u ?v ? ?x ?y ?v ?u ?? ?x ?y

故 f ( z ) ? e x (cos y ? i si n y )在 全 平 面 可 导 , 解 析 。
?u ?v f '(z) ? ?i ? e x cos y ? ie x sin y ? f ( z ) ?x ?x

解 (3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则

?u ? 2x ?x

?u ? 2y ?y

?v ?0 ?x

?v ? 0? ?y

仅在点z = 0处满足C-R条件,故

w ? z 仅在z ? 0处可导,但处处不解析。

2

x y w ? u( x , y ) ? iv ( x , y ) ? 2 ?i 2 2 x ?y x ? y2 dw 在z ? x ? iy ? 0处 解 析 , 并 求 . dz
证明 由于在z≠0处,u(x,y)及v(x,y)都是可微函数, 且满足C-R条件:
?u ?v y2 ? x2 ?u ?v ? 2 xy ? ? 2 , ?? ? 2 2 2 ?x ?y ( x ? y ) ?y ?x ( x ? y 2 )2

例2 求证函数

故函数w=f (z)在z≠0处解析,其导数为

?w ?u ?v y ?x 2 xy ? ?i ? 2 ?i 2 2 2 ?z ?x ?x ( x ? y ) ( x ? y 2 )2
2 2

( x ? iy ) 2 1 ?? 2 ?? 2 2 2 (x ? y ) z
例3 若f ' ( z ) ? 0 , z ? D ? f ( z ) ? C , z ? D

1 证明 ? f ' ( z ) ? ux ? iv x ? u y ? v y ? 0 i ? ux ? v x ? u y ? v y ? 0 ? u ? C1 v ? C 2 f ( z ) ? C1 ? iC 2 ? C (复 常 数 )

例4

如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函数, 且f ?(z)≠0,那么曲线族u(x, y)=C1, v(x, y)=C2必互相正交,这里C1 、 C2常数.

?u ?v 1 ?u ?v 0 ? ? 0 ? 与 不全为 解 ? f '(z) ? ?y ?y i ?y ?y

那么在曲线的交点处,i)uy、 vy 均不为零时, 由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y)=C1, v(x, y)=C2中任一条曲线的斜率分别为

k1 ? ?ux / uy

k2 ? ?v x / v y

利用C-R方程 ux=vy, uy=-vx 有 k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1,即:两族曲线互相正交.

ii) uy,vy中有一为零时,不妨设uy=0,则k1=∞, k2=0(由C-R方程)

即:两族曲线在交点处的切线一条是水平的,另
一条是铅直的, 它们仍互相正交. 练习:
若 f ( z ) ? x 2 ? axy ? by2 ? i (cx 2 ? dxy ? y 2 ) 问 常 数a , b, c , d 取 何 值 时 , f ( z )在 复 平 面 内 处 处 解 析 ?

a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2

§3 初等函数
? ? ? ? ?

1. 指数函数
2. 三角函数和双曲函数 3. 对数函数 4. 乘幂与幂函数 5. 反三角函数与反双曲函数

内 容 简 介
本节将实变函数的一些常用的初等函数 推广到复变函数情形,研究这些初等函数的 性质,并说明它们的解析性.

一. 指数函数
定义 对z ? x ? iy定 义 复 变 数z的 指 数 函 数e xpz如 下 :
f ( z ) ? e xpz ? e (cos y ? i sin y ) (1)
x ? e xp z ? e ? ?? ? ? Arg(e xpz ) ? y ? 2k? k ? 0, ? 1, ? 2,?

x

它与实变指数函数有类似的性质:
(1)?z e xpz ? 0 (事实上, exp z ? e x ? 0)

(2)当z为实数 x时, f ( z ) ? expz ? e x (? y ? 0)
(3) f ( z ) ? expz在复平面上处处解析, 且(expz )? ? expz .

(见§ 2的例1(2))

(4)加法定理 : expz1 expz2 ? exp(z1 ? z2 )
事实上 , 设z j ? x j ? iy j 左 边 ? e xpz1 ? e xpz2 ? e (cos y1 ? i sin y1 ) ? e (cos y2 ? i sin y2 ) ? e x1 ? x2 [cos y1 cos y2 ? sin y1 sin y2 ? i (sin y1 cos y2 ? cos y1 sin y2 )] ?e
x1 ? x2 x1 x2

( j ? 1,2)

[cos(y1 ? y2 ) ? i sin(y1 ? y2 )]

? e xp(z1 ? z2 ) ? 右边

为了方便,我们用以后 e 代替expz .

z

由加法定理可推得 f ( z ) ? e z的周期性 :
f ( z ? T ) ? f ( z ), T ? 2k?i , k ? Z

事实上 , f ( z ? 2k?i ) ? e
z

z ? 2 k?i

?e e

z 2 k?i z

? e (cos2k? ? i si n2k? ) ? e ? f ( z ) ? T ? 2k?i k为 任 意 整 数 .
0

?
?z

这个性质是实变指数函数所没有的.
z ?z

又?e e

?e

x? x

(cos(y ? y ) ? i sin(y ? y )) ? e ? 1 ? 1

1 ?e ? z e

e z1 ? z 2 ? e z1 ? z 2 e

z ( 1 ) e 仅仅是个符号 ,它的定义为 ?

e x (cos y ? i sin y ) , ? 没有幂的意义.

( 2)特别当z的实部x ? 0时, 就得到 Euler 公式 : e iy ? cos y ? i sin y
例1 求 Im(e )
例2 求 e
1 ?1? i? ? 4

zi

e ? y sin x
2 4 e ?1 ? i ? 2
1

二. 三角函数和双曲函数
由指数函数的定义 : 当x ? 0时,
iy

e iy ? cos y ? i sin y e
? iy

? cos y ? i sin y
? iy iy

, 从 而 得 到:
? iy

e ?e e ?e sin y ? cos y ? ?y ? R ( 2 ) 2i 2 推广到复变数情形 zi ? zi zi ? zi e ? e e ? e 定义 sinz ? cos z ? ( 3) 2i 2 ? ? 称 为z的 正 弦 与 余 弦 函 数

?正弦与余弦函数的性质
1) sinz及 cos z是T ? 2? 周期函数

[cos( z ? 2? ) ?

e

i ( z ? 2? )

?e 2

? i ( z ? 2? )

?

e e

iz 2?i

?e e 2

? iz ?2?i

e iz ? e ? iz ? ? cos z ] 2 2) 在 复 平 面 上 处 处 解 析 ,且 (sinz )' ? cos z (cosz )' ? ? sinz
1 iz 1 iz ? iz (sin z )' ? (e ? e )' ? (e ? e ? iz ) ? cos z 2i 2

3) sinz是奇函数 , cos z是偶函数 .

e ? iz ? e iz sin( ? z ) ? ? ? sin z; 同理 cos(? z ) ? cos z 2i 4) 由( 3)式, Eule r 公式对一切 z成 立
e iz ? cos z ? i sinz

思考题:

5) 由正弦和余弦函数定义及指数函数 的加法定理可推知一些三角公式
?cos(z1 ? z 2 ) ? cos z1 cos z 2 ? si nz1 si nz 2 ? z1 ? z 2 ) ? si nz1 cos z 2 ? cos z1 si nz 2 ?si n ( ? 2 2 ?si n z ? cos z ? 1
cos(x ? iy ) ? cos x cos iy ? sin x siniy sin(x ? iy ) ? sin x cos iy ? cos x siniy

由正弦和余弦函数的定义得

? e? y ? e y cos iy ? ? chy ? ? 2 ( 4) ? ?y y ?si niy ? e ? e ? ishy ? 2i ? ?cos(x ? iy) ? cos xchy ? i sinxshy ?? ?sin(x ? iy ) ? sinxchy ? i cos xshy
其它三角函数的定义(详见P51) sinz cos z 1 1 tan z ? cot z ? secz ? csc z ? cos z sinz cos z sinz

6) sinz的零点 ,即方程sinz ? 0的根为 z ? k? (k ? Z )

cos z的 零 点 为 z?

?
2

? k?

k?Z

定义

ez ? e?z shz ? 2

ez ? e?z chz ? 2

—称为双曲正弦和双曲余弦函数 shz 1 ( thz ? cthz ? ) chz thz

?双曲正弦和双曲余弦函数的性质
1)shz、chz都是以 2?i为周期的函数
2)chz ? ?偶函数 , shz ? ?奇函数

3) (chz)' ? shz ( shz )' ? chz shz和chz在 整 个 复 平 面 内 处 处 析 解

4) 由 定 义shiy ? i sin y chiy ? cos y ch( x ? iy ) ? chx cos y ? ishx sin y

三角函数 , 双 曲 函 数 均 是 由 复 指函 数数 定义的 ,且 是 周 期 函 数 , 故 它反 的函 数 一定是多值函数 .

三. 对数函数
(1) 对数的定义
定义 指数函数的反函数称为对数函数.即,

把满足 e w ? z( z ? 0)的函数 w ? f (z) 称为对数函数 , 记作w ? Lnz i? 令w ? u ? iv z ? re 那么

e

u ? iv

? re ? u ? ln r , v ? ? ? 2k? ( k ? Z )

i?

? w ? Lnz ? ln r ? i (? ? 2?k ) ( k ? 0,?1,?)
或 Lnz ? ln z ? iArgz ? ln z ? i (argz ? 2k? ) (k ? 0,?1,?2,?)

这说明一个复数 z( z ? 0)的 对 数 仍 为 复 数 ,它 的 实部是 z的 模 的 实 自 然 对 数 ; 的 它虚 部 是 z的 幅 角的一般值 ,即 虚 部 无 穷 多 ,其任意两个相异值 相 差2?的 一 个 整 数 倍 .

即, w ? Lnz是z的无穷多值函数
当k ? 0时, Lnz ? ln z ? i arg z ? ln z ( 2) 为Lnz的 一 单 值 函 数 , 称 为Lnz的 主 值 (主 值 支 )
记作



Lnz ? ln z ? i 2k?

(k ? Z )

例 如 当z ? a ? 0

Lnz的 主 值ln z ? lna

Lnz ? lna ? 2?ik k ? Z 当z ? ?a(a ? 0) Lnz的主值ln z ? lna ? ?i Lnz ? lna ? (2k ? 1)?i 特别 a ? 1 l n ( ?1) ? l n1 ? ?i ? ?i

Ln( ?1) ? ( 2k ? 1)?i

? 1)w ? Lnz不仅对正数有意义 ,对一切非零
复数都有意义 .(负数也有对数)

2008.10.22 第五次课

2) 指数函数的周期性导致 了对数函数的 多值性, 这与实函数不同 .

(2) 对数函数的性质
z1 1) Ln( z1 z2 ) ? Lnz1 ? Lnz2 , Ln ? Lnz1 ? Lnz2 z2 2)连续性: ln z在除去原点与负实轴外 处处连续 .

主值: ln z ? ln z ? i arg z,
其中 ln z 除原点外在其它点均连 续;
见§1-6例1

而 arg z在原点与负实轴上都不 连续.
?除原点及负实轴外 , ln z在复平面内处处连续 .

3)解析性: ln z在除去原点与负实轴的 平面内解析 . d? 1 1 1 ? ? ? ? (ln z )' ? ? ? ? ? z ? e (e )'? e ? 0 ? dz
?? ? ln z除原点及负实轴外是解 析的 .
Lnz的 每 个 分 支 除 了 原 点 负 和实 轴 外 均 是 解 析 的 , 1 且( Lnz)' ? z

1 即 (l nz )' ? z

dz

d?

e

z

例4 设e z ? 2i , 求 z.

z ? ln 2 ?

?
2

i ? 2k?i

k ? 0,?1,?

四. 乘幂
? 乘幂a

a
b

b

与幂函数 z

b

定义 设a, b为复数 , 且a ? 0, 定义乘幂 a b ? e bLna .

?

实变数情形 , a ? 0, b为实数.
—多值

? Lna ? ln a ? i 2k?

? a b ? e bLna ? e b(lna ? i 2k? ) —一般为多值

① 当b为 整 数

a ?e
b

bLna

?e

b (ln a ? i 2 k? )

?e

b ln a bi 2 k?

e

? e b lna (cos2k?b ? i sin2k?b) ? e b lna
? b为整数时, 它是单值函数 . p ② 当b ? ( p, q为 互 质 的 整 数 , 且q ? 0) q

a ?e
b

p (ln a q

? i arg a ? 2k?i )

?e

p ln a q

e

p i (arg a ? 2k? ) q

?e

p ln a q

p p [cos (arga ? 2k? ) ? i sin (arga ? 2k? )] q q

(k ? 0,1,2,3?, q ? 1)

—q支

③一般而论 , a 具有 无穷多支.

b

?

(1)当b=n(正整数)时,乘幂ab与a 的n次幂 意义一致.

a ?e
n

nLna

?e
Lna

Lna ? Lna ??? Lna

?e

Lna

e

?e

Lna

?a ?? a? ? a? ? a ? ?
n个

(2)当b=1/n(n正整数)时,乘幂ab与a 的 n次根意义一致.

a ?e ?e
?n
1 n

1 n

1 n

Lna

?e

1 (ln n

a ? i arg a ? 2 k?i )

ln a

e

? 2 k? i arg an

(k ? 0,1,2?n ? 1)

arga ? 2k? arga ? 2k? ? n a a (cos ? i sin ) n n

例5 求1 、i 和i 的值 . 解

2

i

2 3

1

2

? cos(2k? 2 ? i sin( 2k? 2 ) ( k ? 0,?1,?2?)
iLni

?e

2Ln1

?e

2 (ln 1 ? 2k?i )

?e

2k? 2i

i ?e
i

( k ? 0,?1,?2,?)

?e

i (ln i ? i ? ? 2 k?i ) 2

?e

? ( 2 k? ? ? ) 2

i ?e

2 3

2 Lni 3

?e

2 (ln 3

i ?i ? ? 2 k?i ) 2

?e

? i2 ( ? 2 k? ) 3 2

4 k? 4 k? ? cos(? ? 3 ) ? i sin(? ? 3 )

( k ? 0,1,2)

? 幂函数z

b

定义 在乘幂 a b中,取 z为复变数 , 得w ? z b ,

称为幂函数。
①当b = n (正整数) w=z n 在整个复平面上是单值解析函数 1 ② b ? ( n为 正 整 数 ) n

z ?e
n

1 n

1 Lnz n

arg z ? 2k? arg z ? 2k? ? z (cos ? i sin ) n n n n z ? w 的反函数 ? z (k ? 0,1,2?n ? 1)

?e

1 (ln n

z ? i arg z ? 2 k?i )

?e

1 ln n

z

e

i

a rgz ? 2 k? n

由于Lnz的解析性?除原点与负实轴外处处 解析.

③一般而论 , w ? z b 除去b为正整数外,多值函数,
当b为无理数或复数时,无穷多值.

w ? z b除原点与负实轴外处处 解析, 且 ( z )' ? bz
b b ?1

(?单值分支)

5. 反三角函数与反双曲函数
详见P52

?

重点:指数函数、对数函数、乘幂.

作业
P67 2, 8, 15, 18

第三章 复变函数的积分

§1 复变函数积分的概念
? ?

1. 有向曲线
2. 积分的定义

?
?

3. 积分存在的条件及其计算法
4. 积分性质

1. 有向曲线
? x ? x( t ) 设 C :? (? ? t ? ? ) ? y ? y( t ) x' ( t )、y' ( t ) ? C[? , ? ], 且[ x' ( t )]2 ? [ y' ( t )]2 ? 0

C : z(t ) ? x(t ) ? iy(t ) (? ? t ? ? ) (1)

z' (t )连续且 z' (t ) ? 0
C ? ? z平面上的一条光滑曲线 .
(因而可求长 ). 约定: C ? 光滑或分段光滑曲线

C的方向规定 :
开 曲 线: 指 定 起 点 a , 终 点b, 若a ? b为 正, 则b ? a为 负, 记 作 C ? ;

闭 曲 线: 正 方 向? ?观 察 者 顺 此 方 向 沿 C前 进 一 周, C的 内 部 一 直 在 观 察 者 左 的边 。

B(终点)
C

A(起点)

C

C

2. 积分的定义
定义 设(1)w ? f ( z ) z ? D

y
z k ?1

( 2)C为 区 域 D内 点A ? 点B 的一条光 滑有向曲线 . ⌒ z1 ( 3)将 AB 任 意 分 划 成 n个 ? 1 小 弧 段: A ? z0 , z1 ,? , zn ? B o ⌒ (4)?? k ? zk ?1 zk 作 乘 积 f (? k )?zk
(5)作 和 式 S n ? ? f (? k )?z k
k ?1 n

?k

zk
?zk

z n ?1

B

A

D x

?z k ? z k ? z k ?1 , 记 ?S k 为 z k ? 1 z k 的 长 度 , ? ? m ax { ?S k }
1? k ? n





( n ? ? ) k ?1

lim ? ?0

? f (?

n

k

)?zk ?I

?

( 2) 则 称?为f ( z )沿 曲 线

无论如何分割 C , ? i 如何取

C从( A ? B )的 积 分 , 记 作? f ( z )dz
C

i .e .,

?

C

f ( z )dz ? l i m? f (? k )?z k ? ?( 3)
n? ? k ?1

n

分割? 取乘积? 求和? 取极限

? (1)若闭曲线C

记作? f ( z )dz
C
b C a

(2)C : t ? [a, b], f ( z ) ? u(t ), 则? f ( z )dz ? ? u(t )dt

( 3)如果? f ( z )dz存在,一般不能写成? f ( z )dz.
C a

b

因为? f ( z )dz不仅与a , b有关, 还与曲线C的形状
C

和方向有关。
特例: (1) 若C表 示 连 接 点 a , b的 任 一 曲 线 ,则

? dz ? b ? a
C

b2 ? a 2 ?Czdz ? 2

( 2) 若C表 示 闭 曲 线 ,则

? dz ? 0, ? zdz ? 0
C C

3. 积分存在的条件及其计算法
定理 当f ( z ) ? u( x , y ) ? iv( x , y )在光滑曲线 C

上连续时, f ( z )必沿C可积,即? f ( z )dz存在.
C



?

C

f ( z )dz ? ? udx ? vdy ? i ? vdx ? udy (4)
C C

记忆

?

?C (u ? iv)(dx ? idy)
C

?

这个定理表明 ? f ( z )dz可通过二个二元 实变函数的 第二型曲线 积分来计算 .

证明 令zk ? xk ? iyk ?xk ? xk ? xk ?1 ?yk ? yk ? yk ?1 ? k ? ? k ? i?k u(? k ,?k ) ? uk v(? k ,?k ) ? vk
Sn ? ? f (? k )?zk ? ? ( uk ? ivk )(?xk ? i?yk )
k ?1 k ?1 n n

? ? u(? k ,? k )?xk ? ? v (? k ,? k )?yk
k ?1 k ?1 n n

n

n

当? ? 0时 , 均 是 实函数的曲线积分 .

? i[? v (? k ,? k )?xk ? ? u(? k ,? k )?yk ] (5)
k ?1
n

? limS n ? lim? f (? k )?z k ? ( ? u( x , y )dx ? ? v ( x , y )dy)
n? ? n? ? k ?1 C C

k ?1

? i ( ? v ( x , y )dx ? ? u( x , y )dy) ? ? f ( z )dz
C C C

? ? u( x , y )dx ? v( x , y )dy ? i[v( x , y )dy ? u( x , y )dy]
C

?

? f ( z )在C上连续,? u( x , y ), v ( x , y ) 在C上连续 故? u( x , y )dx、 ? v( x , y )dy、
C C

C

? v( x , y )dx、 ? u( x , y )dy都存在!
C
c

推论1:当f ( z )是连续函数, C是光滑曲线时,

? f ( z )dz一定存在。 推论2: 数的 ?c f ( z )dz可以通过两个二元实函
线积分来计算。

设光滑曲线 C : z ? z(t ) ? x(t ) ? iy(t ) t : ? ? ?
由曲线积分的计算法得

?

C

f ( z )dz ? ?

? (终 )

? i?
? ?

? (起) ? (终 ) ? (起)

{u( x(t ), y( t ))x' ( t ) ? v( x( t ), y(t )) y' ( t )}dt {v( x(t ), y( t ))x' ( t ) ? u( x(t ) y( t )) y' (t )}dt

? ? {u[ x(t ), y(t )] ? i[v[ x(t ), y(t )]]}(x' (t ) ? iy' (t ))dt

? ? f [ z( t )]z' ( t )dt
?

?

? ? f ( z )dz ?
C

??

?

f [ z ( t )]z' ( t )dt ? ?(6)

4. 积分性质
C C

由积分定义得:

1)? f ( z )dz ? ? ? ? f ( z )dz

2)? kf ( z )dz ? k ? f ( z )dz
C C

3)? [ f ( z ) ? g( z )]dz ? ? f ( z )dz ? ? g( z )dz
C C C

4) C ? C 1 ? C 2 ? ? ? C n ( 分 段 光 滑 曲 线 )

?
?

C

f ( z )dz ? ? ? ? ? ? ? ?
C1 C2

Cn

f ( z )dz

5)设C的 长 度 为 L, 函 数f ( z )在C上 满 足 f ( z ) ? M

?C f ( z )dz ? ?C

f ( z ) ds ? ML ? ?估 值 定 理 .

? x ? 3t (0 ? t ? 1) 例1 计算?Czdz OA : ? ? y ? 4t 1 解 zdz ? (3 ? 4i )t ? (3 ? 4i )dt y

?

C

1 ? ( 3 ? 4i ) ? tdt ? (3 ? 4i )2 0 2
2 1
C

?

0

A

又解

? zdz ? ?
C

( x ? iy )(dx ? idy)
o x
C

? ? xdx ? ydy ?i ? ydx ? xdy
C

容易验证 , 右边两个积分都与路径 无关,
? ?连 接OA的 曲 线 C, 其 上 积 分 :?
C

1 f ( z )dz ? ( 3 ? 4i ) 2 2

dz 例2 计 算? 这 里C表 示 以 z0为 中 心 , n ? 1 C (z ? z ) 0 r为 半 径 的 正 向 圆 周 , n为 整 数 .

解 C : z ? z0 ? re i?

0 ? ? ? 2?

y

z ? z0 ? re i?
?

i? 2? dz ire ?? ? d ? n ? 1 n ? 1 i ( n ? 1 ) ? ? C (z ? z ) 0 r e 0

z
o
z0

r

C
x

??

2?

0

i r n e in?

? i 2? d? ? 2?i n?0 ? ? 0 d? ? ? i 2? ? n ?0 (cosn? ? i sinn? )d? ? 0 n ? 0 ?r

? 2?i dz dz ?? ?? ?? ? ? 1 n n 1 ? ? C (z ? z ) z z0 r ( z ? z ) ?0 0 0

n?0 n?0

?

这个结果与半径 r及z0无关, 这个结果 以后经常用到, 应记住.

第六次课 10月29日

例3 计 算? zdz 的值
C

y

z0 ? 1 ? i
C1

1)C ? C1 ? Oz0 2)C ? C 2 ? C 3 (见 图)

C3
C2

解 1)C1 : z ? (1 ? i )t
1 C 0

0? t ?1
1 0

o

x

? zdz ? ? (t ? it )(1 ? i )dt ? ?
C C2 1 C3 1
0

2tdt ? 1

2)C2 : z ? t 0 ? t ? 1 C3 : z ? 1 ? it 0 ? t ? 1

? zdz ? ? zdz ? ? zdz 1 1 ? ? tdt ? ? (1 ? it )idt ? ? ( ? i ) ? 1 ? i 2 2
0

计 算? zdz, ? zdz的 值, 其 中
C1 C2

例4

C1 是 单 位 圆 z ? 1的 上 半 圆 周 , 顺时针方向 ; C2是 单 位 圆 z ? 1的 下 半 圆 周 , 逆 时 针 向 方.

解:1)C1 : z ? e i? ,0 ? ? ? ? .

? zdz ? ?? e
C1

0

? i?

ie d? ? i ? dt ? ??i
i?

0

?

2)C2 : z ? e ,?? ? ? ? 0.

i?

? zdz ? ? ?e
C2 ?

0

? i?

ie d? ? i ? dt ? ?i
i? ??

0

§2 Cauchy-Goursat基本定理
分析§1的积分例子:

例1中f ( z ) ? z在 全 平 面 解 析 , 它 沿 连 接 起 点 及 终 点任 的 意C的 积 分 值 相 同 , 即, ? f ( z )dz与 路 径 无 关 , 即 ? f ( z )dz=? f ( z )dz
C C A B

例2中

z ? z0 ? r

?

1 dz ? 2?i ? 0 z ? z0

? z ? z 0为 奇 点 ,即 不 解 析 的 点 , 但在除去 z ? z0的 非 单 连 通 区 域 内 处 解 处析 。

例3中f ( z ) ? z在 复 平 面 上 处 处 不 解 , 析 C有 关. ? zdz的 值 与 积 分 路 径
C

猜想:积分的值与路径无关或沿闭路的
积分值=0的条件可能与被积函数的解析性及解

析区域的单连通有关.
先将条件加强些,作初步的探讨

"设f ( z ) ? u ? iv在单连通D内处处解析, 且 f ' ( z )在D内连续"

? f ' ( z) ? ux ? iv x ? v y ? iuy
? u和v以 及 它 们 的 偏 导 数 u x , u y , v x , v y 在D内 都是连续的 ,并 满 足 C ? R方 程u x ? v y
又 , ?C ? D,

v x ? ?uy

?c f ( z )dz ? ?C udx ? vdy ?i ?C vdx ? udy
由Green公 式

? udx ? vdy ? ?? (?v
c D

x

? u y )dxdy ? 0

? vdx ? udy ? ?? (u
c D

x

? v y )dxdy ? 0

? ? f ( z )dz ? 0
c

1825 年Cauchy给 出 了 "单 连 通 区 域 D内 处处解析的 f ( z )在D内 沿 任 一 条 闭 曲 线 C的 积 分 ? f ( z )dz ? 0" —Cauchy 定理
c

当时解析的定义为 f ' ( z )存在, 且在D内连续.
1851 年Riemann给 出 了 Cauchy定 理 的 上 述 简单证明 .
1900 年Goursat给出了 Cauchy定理的新证明 ,且 将" f ' ( z )连续"这一条件去掉了 .
这就产生了著名的 Cauchy ? Goursat定理, 从此解析函数的定义修 改为:" f ' ( z )在D内存在 "

Cauchy-Goursat基本定理: —也称Cauchy定理

设f ( z )在z平 面 上 单 连 通 区 域 B内 解 析 , C为B内 任 一 条 闭 曲 线 ? ? f ( z )dz ? 0.
C

?

(1)若C为B的边界, f ( z )在B ? C ? B上 解析, 定理仍成立.

B C

( 2)若C为B的边界, f ( z )在B内解析, f ( z )在B ? C ? B上连续, 定理仍成立.

(3)定理中曲线C不必是简单的!如下图.
B C1 C1 C B

z0
C2

z1
C2

z1 推论

C

z0

设f (z)在单连通区域B内解析,则对任意

两点z0, z1∈B, 积分?c f (z)dz不依赖于连接起点 z0与终点z1的曲线,即积分与路径无关.
见上图

?

C1

f ( z )dz ? ? f ( z )dz ? ? f ( z )dz
C2 z0

z1

§3 基本定理推广—复合闭路定理
复合闭路定理:

设①B是由? ? C ? C ? C ? ? ? C 所围成的 有界多连通区域 .且B ? D, ②f ( z )在D内解析, 则

? 1

? 2

? n

?


?

f ( z )dz ? 0 (1)
n ci

其 中: 闭C ? D, C1 , C 2 , ?C n是 在C的 内 部 的 简 单 闭曲线 (互 不 包 含 也 不 相 交 ), 每 一 条 曲 线 C及 C i 是逆时针 , C i? ? 顺 时 针 .

? f ( z )dz ? ? ?
c i ?1

f ( z )dz ( 2)

证明 设? ? C ? C ? ? C ? 1 2

? ? f ( z )dz ? ?
?

? ? ? c ? c1 ? c2 ? L1 ? L? 1 ? L2 ? L2

f ( z )dz

H

F’

D ?? f ( z )dz AGF ' FE ' EA ' A C
B
??
AA ' EE ' FF ' HA

L3
E’

f ( z )dz

c2

F

?0

A

LA’ 1

c1

L E 2 G

如:对任意 C包 含z0 在 内的正向简单闭曲线 1 有: ?C z ? z0 dz ? 2?i

说明

(1) ?, C , C k 三 者 之 间 的 关 系 : ? ? ? ? ? C ? C1 ? C 2 ? ? ? C k ( 2) C , C k的 特 点 与 曲 线 的 正 向 : C按 逆 时 针 方 向 , Ck 按 顺 时 针 方 向 .
?
? ? ? c ? c1 ? c2 ??? ck

( 3) 0 ? ? f ( z )dz ? ?
c c1

f ( z )dz
ck

? ? f ( z )dz ? ? ? f ( z )dz ? ? ? ? ? f ( z )dz
?

? f ( z )dz ? ?
c

c1

f ( z )dz ? ? ? ? f ( z )dz
ck

?
此式说明一个解析函

? f ( z )dz ? ?
c

c1

f ( z )dz

数沿闭曲线的积分,
不因闭曲线在区域内 作连续变形而改变它 的积分值,只要在变 形过程中曲线不经过 f(z)的不解析点. —闭路变形原理
CC 11
C1

D

C

2z ? 1 例 计算 ? 2 dz ? : 包含圆周z ? 1在内的 ? z ? z 任意正向简单闭曲线 .

1 1 解 原 式? ( ?? z ? 1 ? z )dz 1 1 ?? dz ? ? dz C1 ? C 2 z ? 1 C1 ? C 2 z

y
?

1 1 ?? dz ? ? dz C2 z ? 1 C1 z ? 2?i ? 2?i ? 4?i
(? ?
C1

C1 o 1

C2
x

1 1 dz ? 0, ? dz ? 0) C2 z z ?1

1 练习 计算 ? 2 dz ? : 包含圆周z ? 1在内的 ? z ? z 任意正向简单闭曲线 .

解 原 式 ? ( 1 ? 1 )dz ?? z ? 1 z 1 1 ?? dz ? ? dz C1 ? C 2 z ? 1 C1 ? C 2 z

y
?

1 1 ?? dz ? ? dz C2 z ? 1 C1 z ? 2?i ? 2?i ? 0
(? ?
C1

C1 o 1

C2
x

1 1 dz ? 0, ? dz ? 0) C2 z z ?1

作业
? P99 1,2,5,7(1)(2)

§4 原函数与不定积分
? ?

1. 原函数与不定积分的概念

2. 积分计算公式

1. 原函数与不定积分的概念
由§2基本定理的推论知:设f (z)在单连通区 域B内解析,则对B中任意曲线C, 积分?c fdz与路 径无关,只与起点和终点有关. 当起点固定在z0, 终点z在B内变动,?c f (z)dz 在B内就定义了一个变上限的单值函数,记作

F ( z ) ? ? f (? )d?
z0

z

(1)

定理 设f (z)在单连通区域B内解析,则F(z)在 B内解析,且F ' ( z ) ? f ( z )

定义 若函数? (z) 在区域B内的导数等于f (z) ,即
? ' ( z ) ? f ( z ) ,称? (z)为f (z)在B内的原函数.
z

上面定理表明 F ( z ) ? ? f (? )d? 是f (z)的一个 z0 原函数.

设H (z)与G(z)是f (z)的任何两个原函数,

?[G( z ) ? H ( z )]'? G' ( z ) ? H ' ( z ) ? f ( z ) ? f ( z ) ? 0 ? G( z ) ? H ( z ) ? c, (c为 任 意 常 数 )
(见第二章§2例3) 这表明:f (z)的任何两个原函数相差一个常数.

定义 设F(z)是f (z)的一个原函数,称F(z)+c(c为 任意常数)为f (z)的不定积分,记作

? f ( z )dz ? F ( z ) ? c
2. 积分计算公式
定理 设f (z)在单连通区域B内解析, F(z)是f (z) 的一个原函数,则

?
? ?

z1

z0

f ( z )dz ? F ( z1 ) ? F ( z0 ) (?z0 , z1 ? B)

此公式类似于微积分学中的牛顿-莱布尼兹公式. 但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强

例1 计算下列积分: 1 1) ? 2 dz C z 其中C为半圆周: z ? 3, Re z ? 0,

起点为? 3i , 终点为3i; 1 ? 2 在 Re z ? 0,z ? 0上 解 析 , 解1) z 1 1 2i ? 2 ?1 3 i 故 ? 2 dz ? z |? 3 i ? C z ? 2?1 3

1 3ie 1 2 i 2i 2 解2: ? 2 dz ? ? ? 2i? d? ? ? ? i? d? ? C z ? 9e 3 ?2 e 3 2

?

i?

?

1 2) ? dz C z 其中C为单连通区域 D: ? ? ? arg z ? ?内 起点为 1, 终点为z的任意曲线 .
解)

1 1 ? 在D内 解 析 , 又 ln z是 的 一 个 原 函 数 , z z 1 故 ? dz ? ln z ? ln1 ? ln z ( z ? D ). C z

例3 计算下列积分:

?

?i

?i
?

z i 2i z dz ? |? i ? ? 3 3
2
n

3

??

1 1 n?1 ? n?1 n?1 z dz ? z |? ? ? ?? n?1 n?1
i 0

?

?

?

i

0

z sinzdz ? ?sinz ? z cos z ? | ? sini ? i cos i

小结
c n? ?

求积分的方法
n k ?1

(1) ? f ( z )dz ? lim? f (? k )?xk
( 2) ? f ( z )dz ?
c

? udx ? vdy ? i ? vdx ? udy
? ?

(3) ? f ( z )dz ? ? f [ z(t )]z?(t )dt
c

(4)若f ( z )解 析, B单 连 通 , C ? B, 则? f ( z )dz ? 0
c

(5)若f ( z )在B内解析 , B单连通 ,则

?

z1

z0

f ( z )dz ? F ( z ) z , F ' ( z ) ? f ( z )
0

z1

第七次课 11月5日

§5 Cauchy积分公式
利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上的推 广,即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解析函

数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析函数
的一个积分表达式,从而成为研究解析函数的有

力工具,而且提供了计算某些复变函数沿闭路积
分的方法.

分析

设D ? 单 连 通 , f ( z )在D内 解 析 , z0 ? B, C是D内 围 绕 z0的 一 条 闭 曲 线 ,则 f (z) f (z) 一般 在z0不 解 析 .? ? dz ? 0 C z?z z ? z0 0

由复合闭路定理得 , 任意包含 z0 在 内 部 的 曲 线C1 ? C的 内 部
f (z) f (z) ?C z ? z0 dz ? ?C1 z ? z0 dz
C1 D C

z0

特别取

C1 ? { z z ? z0 ? ? (? ? 0可充分小)}

? f ( z )的连 续性 , 在C上的 函数值 f (z) 当? ? 0时, f ( z ) ? f ( z0 )
∴猜想积分
z0 C D

?

C

f (z) f ( z ) ? ?0 dz ? ? dz ? C1 z ? z z ? z0 0

C1

1 ? f ( z0 )? dz ? 2?if ( z0 ) C1 z ? z 0 这个猜想是对的 , 这就是下面的定理 .

定理(Cauchy 积分公式) 1)设f ( z )在D内 处 处 解 析 ,

2)C是D内 任 意 一 条 正 向 简 单 曲 闭 线, 它的内部完全含于 D,
1 3) z0为C内 任 意 一 点 ? f ( z0 ) ? 2?i

?

C

f (z) dz z ? z0

证明 设?K ? { z z ? z0 ? R} ? C的 内 部 .
??
C

f (z) f (z) dz ? ? dz与K的 半 径 R无 关, K z ? z0 z ? z0
R?0 K

?只 须 证 明 : l i m?

f (z) dz ? 2?if ( z0 ). z ? z0

即 要 证: ?? ? 0, ?? ? 0 , ? z ? z0 ? R ? ?

?

K

f (z) dz ? 2?if ( z0 ) ? ? z ? z0

f (z) ?? dz ? 2?if ( z0 ) ? k z?z 0
?

f (z) 1 ?k z ? z0 dz ? f ( z0 )?k z ? z0 dz

?

k

f ( z ) ? f ( z0 ) f ( z ) ? f ( z0 ) ? dz ? ? ds ? ? ds ? 2?? K z ? z0 z ? z0 R K

? lim f ( z ) ? f ( z0 ) ?
z ? z0

?? ? 0, ?? ? 0 ? z ? z0 ? R ? ?

f ( z ) ? f ( z0 ) ? ?

? l i m?
R ?0

K

f (z) 1 f (z) dz ? 2?if ( z0 ) ? f ( z0 ) ? dz ? z ? z0 2?i C z ? z0

? (1)若定理条件改为 f ( z )在C所围区域B
内解析, 及在C ? B ? B上连续, Cauchy 积分公式仍成立.

(2) Cauchy积分公式表明函数在C内部任一点 的值可以用它在边界的 值来表示. 即若f(z) 在区域边界上的值一经 确定, 则它在区域 内部任一处的值也就确 定了.

i? ( 3 ) 若 C : z ? z ? Re 则 0 ?

1 f ( z0 ) ? 2?i

?

C

f (z) dz z ? z0

1 ? 2?i

?
0

2?

0

f ( z0 ? Rei? ) i? Rie d? i? Re

1 ? 2?

?

2?

f ( z0 ? Re )d?

i?

一个解析函数在圆心处的值等于它在 圆周上的平均值.

例1

1 求: 1) 2?i

sin z 1 2 dz 2) ?( ? )dz ? z z ?1 z ? 3 z ?4 z ?4

1 解 1) 2?i

si nz dz ? si nz z ? 0 ? 0 ? z z ?4
dz ? ? z ?1 z ?4 2 dz ? z?3 z ?4

1 2 2) ? ( ? )dz ? z ?1 z ? 3 z ?4
f ( z ) ?1 及 2

?

2?i ? 1 ? 2?i ? 2 ? 6?i

2z ? 1 dz 例2 求 ?C 2 z ?z C为包含 z ? 1在内的任意简单正向曲 线.



2z ? 1 2z ? 1 2z ? 1 ?C z 2 ? z dz ? ?C1 z 2 ? z dz ? ?C2 z 2 ? z dz 2z ? 1 2z ? 1 z ? 1 z C ?? dz ? ? dz C1 C2 z ? 1 z
y
C1

C2 x

由C积分 公式

?

2z ? 1 2z ? 1 2?i ? 2?i z ? 1 z ?0 z z ?1

o

1

? 4?i

§6 解析函数的高阶导数
本节研究解析函数的无穷次可导性,并导出高 阶导数计算公式. 研究表明:一个解析函数不仅 有一阶导数,而且有各阶导数,它的值也可用 函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点与实

变函数有本质区别.

形式上, 1 对积分公式 f ( z0 ) ? 2?i

?

C

f (z) dz( z0 ? D) z ? z0

两边在积分号下对 z0求 导 得 1 f (z) f ' ( z0 ) ? dz 2 ? 2?i C ( z ? z0 )

2! f (z) f " ( z0 ) ? dz ?? 3 ? 2?i C ( z ? z0 ) n! f (z) ( n) f ( z0 ) ? (n ? 1,2,?) n?1 dz ? 2?i C ( z ? z0 )

以下将对这些公式的正确性加以证明.

定理 解析函数f ( z )的导数仍为解析函数 ,

它的n阶导数为 f
( n)

n! ( z0 ) ? 2?i

?C ( z ? z

f (z)
0)
n?1

dz

( n ? 1,2,?)

其中C为在f ( z )的解析区域D内围绕z0的 任意正向简单闭曲线 , 而且它的内部? D.
证明 用数学归纳法和导数定义. 先 证n ? 1的 情 形 .

?z0 ? D

f ( z 0 ? ?z ) ? f ( z 0 ) f ' ( z0 ) ? l i m ?z ? 0 ?z

1 f (z) 由柯西积分公式 f ( z0 ) ? dz ? 2?i C z ? z0 1 f (z) f ( z0 ? ?z ) ? dz ? 2?i C z ? z0 ? ?z
f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) 1 ? f (z) f (z) ? ? dz ? ? dz? ? ?C C z ? z ?z 2?i?z ? z ? z0 ? ?z 0 ? 1 f (z) ? dz ? 2?i C ( z ? z0 ? ?z )(z ? z0 ) 令为I 1 f (z) 1 ?zf ( z ) ? dz ? dz 2 2 ? ? 2?i C ( z ? z0 ) 2?i C ( z ? z0 ? ?z )(z ? z0 )

1 I ? 2?

?zf ( z ) ?C ( z ? z0 ? ?z )(z ? z0 )2 dz 1 ? 2?

?

?z f ( z ) z ? z 0 ? ?z z ? z 0
2

C

ds

? f ( z )在C上 解 析 , ? f ( z )在C上 连 续 则?M , ? f ( z ) ? M , d ? minz ? z0
z?C

1 取 ?z ? d , 则 有 2

1 1 z ? z0 ? d , ? z ? z0 d d z ? z 0 ? ?z ? z ? z 0 ? ?z ? , 2 2 ? z ? z 0 ? ?z d 1

ML ? I ? ?z ( L — C的 长 度 ) 3 ?d 显然, l i m I ? 0, 从 而 有
?z ? 0

f ( z0 ? ?z ) ? f ( z0 ) 1 f (z) f ' ( z0 ) ? lim ? dz (*) 2 ? ?z ?0 ?z 2?i C ( z ? z0 )

再利用 (?)式及推导 (?)的方法可证 n ? 2的情形 .
f ' ( z 0 ? ?z ) ? f ' ( z 0 ) f ' ' ( z0 ) ? l i m ?z ? 0 ?z 2! f (z) ? dz 依次类推,用数学归纳法可得 3 ? 2?i C ( z ? z0 )

f

( n)

n! f (z) ( z0 ) ? dz n ? 1 ? 2?i C ( z ? z0 )

定理表明 f ( z )在z平 面 上 D内 解 析? f ( z )在D内 具有各阶导数 ,即 在D内 解 析? ?无 穷 次 可 导 .
一个解析函数的导数仍为解析函数.

f (z) 2?i ( n ) 用 途 : 可计算积分 ? dz ? f ( z0 ) n ? 1 C (z ? z ) n! 0

例1 求 下 列 积 分 值 C : z ? r ? 1

cos?z 1)? dz 5 C ( z ? 1)


e 2) ? dz 2 2 C (1 ? z )

z

1) ? cos?z在 全 平 面 处 处 解 析 cos?z 2?i (4) (cos?z ) ?C ( z ? 1)5 dz ?(5 ? 1) !
5 2?i ? ? ( ?? 4 ) ? ? i 4! 12 z ?1

e 2) ? 2 在 z ? ? i处 不 解 析 .取C1 : z ? i ? ? 1 2 (z ? i) C 2 : z ? i ? ? 2 C 1 , C 2不 相 交 且 在 C的 内 部
ez ez ez ?? dz ? ? dz ? ? dz 2 2 2 2 2 2 C (1 ? z ) C1 ( i ? z ) C2 (i ? z )

z

??

C1

ez ez ( z ? i )2 ( z ? i )2 dz ? ? dz 2 2 C2 ( z ? i ) (z ? i)
z

? ? 2?i ? e ? ? ? 2? ( 2 ? 1)! ? ( z ? i ) ? ?

z?i

? ? 2?i ? e ? ? ? 2? ( 2 ? 1)! ? ( z ? i ) ? ?
z

z?? i

? ?

?
2

(1 ? i )(e ? ie )
i

?i

?
2

(1 ? i ) (cos1 ? si n1) ? ?i 2 si n ( 1?
2

?
4

)

ez 3)求 下 列 积 分 值 , C : z ? r ? 1, ? n dz C z 2?i n ? 1, 原 式 ? 2?i; n ? 1, 原 式 ? ( n ? 1)!

作业
? P100 7(3)(5)(7)(9) 8(1)(2) 9(3)(5)

解析函数与调和函数的关系

§7 解析函数与调和函数的关系
内 容 简 介
在§6我们证明了在D内的解析函数,其导数

仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数.本节
利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间

的关系.

? ( x , y )在D内 具 有 二 阶 连 定义 若 二 元 实 变 函 数
续偏导数且满足 Laplace 方 程: ? 2? ? 2? ? 2 ?0 2 ?x ?y 即 (?? ? 0)

则 称? ( x , y )为D内 的 调 和 函 数 .
定理 若f ( z ) ? u( x , y ) ? iv( x , y )在区域D内解析

? u ? u( x , y ),v ? v ( x , y )是D内的调和函数。

证明:设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析,则

?u 由C ? R方 程 ? ?x 2 2 ? u ? v 从而有 ? 2 ?x ?y?x

?v ?u ?v ?? ?y ?y ?x 2 2 ? u ? v ?? 2 ?y ?x?y

由 解 析 函 数 高 阶 导 数理 定 ? u( x , y ), v ( x , y ) ? 2v ? 2v 具 有 任 意 阶 的 连 续 导. 数? ? ?x?y ?y?x
? 2u ? 2u ? 2v ? 2v 故在D内有 ? 2 ? 0, 同 理有 ? 2 ?0 2 2 ?x ?y ?x ?y

即u及v 在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:

?u ? 0, ?v ? 0

?2 ?2 其 中? ? 2 ? 2 ?x ?y

? u ? u( x, y),v ? v( x, y)是D内的调和函数。
, 称 使 得u ? iv 定义 设u( x , y )为D内 的 调 和 函 数 在D内 构 成 解 析 函 数 的 调 函 和 数v( x , y )为u( x , y ) 的共轭调和函数 .

上面定理说明:

D内解析函数的虚部是实 部的共轭调和函数 . 即, f ( z ) ? u( x, y ) ? iv( x, y )在D内解析? 在D内v( x, y )必为u ? u( x, y )的共轭调和函数 . 由解析的概念得:

在D内满足 C ? R方程: ux ? v y , u y ? ?v x的两个 调和函数 u, v , v必为u的共轭调和函数 . 现在研究反过来的问题: 若u, v是 任 意 选 取 的 在
区 域D内 的 两 个 调 和 函 数 , 则u ? iv在D内 就 不 一定解析 .



v ? x ? y不是u ? x ? y的共轭调和函数 .
u y ? 1 ? ?v x )

(? f ( z ) ? u ? iv ? ( x ? y ) ? i ( x ? y )在z平面上 处处不解析 ux ? 1 ? v y
要想使 u ? iv在D内 解 析 , u及v还 必 须 满 足 C?R 方程,即 v必 须 是 u的 共 轭 调 和 函 数 .由 此 ,

已 知一 个 解 析函 数 的部 实u( x , y ), 利 用C ? R方 (虚部v( x, y )) 程可求得它的虚部 v ( x , y ),从 而 构 成 解 析 函 数 u ? iv .

(实部u( x, y ))

设D一 单 连 通 区 域 , u( x , y )是 区 域 D内 的 调 和 ? 2u ? 2u 函 数, 则 2 ? 2 ? 0 ?x ?y ?u ?u 即, ? 、 在D内 有 连 续 一 阶 偏 导 数 ?y ?x
且 ? ?u ? ?u (? )? ( ) ?y ?y ?x ? x
?v ?v ?v ?u ?u dx ? dy ? ? dx ? dy ? dv( x , y ) ?x ?y ?y ?x

?u ?u v( x, y ) ? ? ? dx ? dy ? c ( x0 , y0 ) ?y ?x
( x, y)

(?)

?v ?u ? ?? ?x ?y

?v ?u ? 满 足C ? R方 程. ?y ?x

? u ? iv在D内 解 析 .

定理 设u( x , y )在单连通D内调和函数,

则(?)式所确定的v ( x , y ), 使得 f ( z ) ? u ? iv在D内解析.

?

公式不用强记!可如下推出:

已知: u( x , y ),求 其 共 轭 调 和 函 数 v( x, y ) : ?v ?v C ? R方 程 由dv ? dx ? dy ? ? u y dx ? u x dy ?x ?y 然后两端积分。
?v ?v C ? R方 程 ?v ?v 由du ? dx ? dy ? dx ? dy ?x ?y ?y ?x
类似地, 然后两端积分得,

u( x , y ) ? ?

( x, y)

( x 0 , y0 )

v y dx ? v x dy ? c

(? ?)

?

调和函数在流体力学和电磁场理论等实际

问题中都有重要应用.本节介绍了调和函数与解 析函数的关系.

例1 由下列条件求解析函数 f ( z ) ? u ? iv

u ? x 2 ? xy ? y 2
解?

f (i ) ? ?1 ? i
?v ?u ? ? ? ?2 y ? x ?x ?y

?v ?u ? ? 2x ? y ?y ?x

?v ?v ? dv ? dx ? dy ?( 2 y ? x )dx ? ( 2 x ? y )dy ?x ?y ( x, y) v( x, y ) ? ? ( 2 y ? x )dx ? ( 2 x ? y )dy ? c
( 0,0 ) x

?

?

o

? xdx ? ? ( 2 x ? y )dy ? c
0 2 2

y

x y ?? ? 2 xy ? ?c 2 2

曲线积分法

1 2 1 2 故 f ( z ) ? ( x ? y ? xy) ? i ( ? x ? 2 xy ? y ? c ) 2 2 i 1 2 2 2 ? ( x ? iy ) ? ( x ? iy ) ? ic ? (1 ? i ) z ? ic 2 2 i 2 ? f ( i ) ? ?1 ? i 代 入 上 式 得(, 1 ? )i ? ic ? ?1 ? i 2 1 i 2 i ?c ? f ( z ) ? (1 ? ) z ? 2 2 2
2 2

1 ? x ? ( z ? z ), 2

1 y ? (z ? z) 2i

又解

?v ?v ? dv ? dx ? dy ?x ?y ?( 2 y ? x )dx ? ( 2 x ? y )dy






? 2 ydx ? 2 xdy ? xdx ? ydy x y ? 2dxy ? d ( ? ? ) 2 2 2 2 x y v( x, y ) ? ? ? 2 xy ? ?c 2 2
2 2

2

2




1 2 1 2 f ( z ) ? ( x ? y ? xy) ? i ( ? x ? 2 xy ? y ? c ) 2 2

?v y2 又解 ? ? 2 x ? y ? v ? 2 xy ? ? ? ( x) ?y 2
?v ? ? 2 y ? ? '( x) ? 2 y ? x ?x x2 ? '( x) ? ? x ? ( x) ? ? ? c 2
?v ? ?x







y x ? v ( x , y ) ? 2 xy ? ? ?c 2 2
2 2

2

2

1 2 1 2 f ( z ) ? ( x ? y ? xy) ? i ( ? x ? 2 xy ? y ? c ) 2 2

又解 f ' ( z ) ? ux ? iv x ? ux ? iu y

? (2 x ? y ) ? i ( x ? 2 y )
? 2( x ? iy ) ? i ( x ? iy ) ? ( 2 ? i )( x ? iy )
? ?2 ? i ?z
2?i 2 ? f (z) ? z ? ic 2
2 2

不 定 积




1 2 1 2 f ( z ) ? ( x ? y ? xy) ? i ( ? x ? 2 xy ? y ? c ) 2 2

第八次课 11月12日

第 四 章

级 数

§1 复数项级数
? ?

1. 复数列的极限 2. 级数的概念

1. 复数列的极限
定义 设复数列: {? n }(n ? 1,2,?),其中? n=an ? ibn , 又设复常数: ? ? a ? ib,

若 ?? ? 0, ?N ? 0, ? n ? N , 恒 有? n ? ? ? ?, 那 么?称 为 复 数 列 {? n }当n ? ?时 的 极 限 , 记 作lim? n ? ? , 或 当n ? ?时 ,? n ? ? ,
n? ?

此时,也称复数列 {? n }收 敛 于 ?.
? n ? ? ? lim a n ? a , lim bn ? b. 定理1 lim n? ? n? ? n? ? 证明 “?” 已 知lim? n ? ? 即 ,
n? ?

?? ? 0, ?N ? 0, ? n ? N , 恒 有? n ? ? ? ?

又 ? n ? ? ? (a n ? a ) ? i (bn ? b ) ? (a n ? a ) 2 ? (bn ? b ) 2 ? an ? a ? ? n ? ? ? ? 故  lima n ? a ,   limbn ? b.
n? ? n? ?

bn ? b ? ? n ? ? ? ?

“?” 已 知  l i ma n ? a ,   l i mbn ? b 即 ,
n? ? n? ?

? ? ? 0, ? N ? 0, ? n ? N , 恒 有 a n ? a ? , bn ? b ? 2 2 又 ? n ? ? ? (a n ? a ) ? i (bn ? b )      ? a n ? a ? bn ? b ? ? 故 l i m? n ? ? .
n? ?

?

?

2. 级数概念
定义 ?设复数列: {? n } ? {an ? ibn }(n ? 1,2,?, ),

??
n ?1

?

n

? ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? n ? ? ---无穷级数
n

?级数的前n项的和

sn ? ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? n ? ? ? i ---级数的部分和

?收 敛- 级 数 ? n称 为 收 敛 ? n ?1 ? ? ? lim sn ? s称为级数的和 若部分和数列 { sn }? n? ? ? ? ? n称 为 发 散 不收敛 - 级 数 ? ? ? n ?1

i ?1

?

3i 例1 判别? n的敛散性。 n ?1 2 n 3 i 1 解 ? sn ? ? j ? 3i (1 ? n ), 又 lim sn ? 3i n? ? 2 j ?1 2 ?级数收敛 , 且和为3i .
定理2 级 数? ? n收 敛 ? ? an和? bn都 收 敛 。
? ? ? n ?1 n n ?1 n ?1

?

证明 ? s ? ? ? (a ? ib ) ? a ? i b ? ? ? i? ? k ? k k ? k ?k n n n
k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

n

n

n

由定理1, lim sn ? a ? ib ? lim ? n ? a , lim ? n ? b
n? ? ? n? ? n? ?

? ? an和? bn都收敛。
n ?1 n ?1

?

?

由定理2,复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题.
? n ?1

: lim ? n ? 0. 性质 级 数? ? n收 敛 的 必 要 条 件 n? ?
定理3 若? ? n 收敛 ? ?? n收敛,且 ?? n ? ? ? n .
n ?1 n ?1 n ?1 n ?1
2 2 证明 ? ? n ? an ? ibn ? an ? bn 2 2 ? an ? an ? bn , 2 2 bn ? an ? bn
n n ?

?

?

?

?

由比较判定法
? ? n ?1 n n ?1 n

? a 和? b 均 绝 对 收 敛 ,
由定理 2得? ? n收 敛 。
?

?

? ?? k ? ? ? k ,??? n ? ? ? n
k ?1 k ?1 n?1 n ?1

n ?1

2 2 由定理3的证明过程,及不等式 an ? bn ? an ? bn 有 :

定理4 级 数? ? n 收 敛 ? ? an 和? bn 都 收 敛 。
n ?1 n ?1 n ?1

?

?

?

?

若?
n ?1
?

?

? 收敛? ?
n

?
?

( ?1)n i ? n 收敛.(例 如: ? ) n n ?1 n ?1
?

?

定义 若? ? n 收 敛 , 则 称 ? ? n为 绝 对 收 敛 ;
n ?1 ? n ?1

?

若? ? n 发 散 , 而 ? ? n收 敛 , 则 称 ? ? n为
n ?1 n ?1 n ?1

?

条件收敛 .

否绝对收敛? 例2:P108 下列级数是否收敛?是
? 1 i (8i )n (1)? (1 ? ) (2)? n n ?1 n n ? 0 n!
?

?

(?1)n i (3)? ( ? n) n 2 n ?1
?

? ? 1 1 1 i 解 (1) ? ? 发 散 , 收敛, ? ? (1 ? )发 散. ? 2 n n ?1 n n ?1 n n ?1 n

? ? 8i 8n ( 8i ) n ( 2) ? ? ? ? 收敛, ?? 绝对收敛。 n ? 0 n! n ? 0 n! n ? 0 n! ? ? ? (?1)n 1 (?1)n i (3) ? ? 收敛, 收敛, ??( ? n )收敛. ? n n n 2 n ?1 n ?1 2 n ?1 ? ( ?1)n 又? ? 条件 收 敛, ? 原 级数 非 绝对 收 敛 . n n ?1

?

n

zn 例3 讨论? 的敛散性。 n ? 0 n! n n ? ? z r 解 令 z ? r, ? ?? ? er n ? 0 n! n ? 0 n!
zn ? ? 在复平面上处处绝对收 敛。 n ? 0 n!
? i 1 ? ? n 练习(P108,例1):讨论? ? 1 ? ? e 的敛散性。 n? n? 0 ?
?
?

?

n ?n e ? e cos in 讨论? n 的敛散性。 cos in ? 2 2 n? 0

?

§2 幂级数
? ?

1. 幂级数概念
2. 收敛定理

?
? ?

3. 收敛圆与收敛半径
4. 收敛半径的求法 5. 幂级数的运算和性质

1. 幂级数的概念
定义 ?设复变函数列: { f n ( z )} z ? D, n ? 1,2,?

?f
n ?1

?

n

( z ) ? f1 ( z ) ? f 2 ( z ) ? ? ? f n ( z ) ? ? (1)

称为复变函数项级数

?级数的最前面n项的和

sn ( z ) ? f 1 ( z ) ? f 2 ( z ) ? ? ? f n ( z ) ? ? f k ( z )
k ?1

n

级数的部分和 ? ?若?z0 ? D lim sn ( z0 ) ? s( z0 ), 称 级数 (1)在z0收 敛,
n? ?

其 和为 s( z0 ),   lim sn ( z0 )不 存在 , 称 级数 (1)发 散,
n? ?

若级数(1)在D内处处收敛,其和为z的函数
s( z ) ? f1 ( z ) ? f 2 ( z ) ? ?? f n ( z )+? ---级数(1)的和函数

特殊情况,在级数(1)中 f n ( z) ? cn ( z ? z0 )n 得
n c ( z ? z ) ? n 0 ( 2) n? 0 ??

当z0 ? 0 ? ? cn z n
n?0

??

( 3)

称为幂级数

? 在( 2)中 令z ? z0 ? ?

( 2) ? ? cn? k
k ?0

??

?研究 级数 ( 3)并 不 失 一 般 性 。

2. 收敛定理
同实变函数一样,复变幂级数也有所谓的收敛定理: 定理1 阿贝尔(Able)定理
??

⑴若级数 ? cn z 在z ? z0 (? 0)收 敛, 则 对 满 足
n n? 0

   z ? z0 的z , 级 数 必 绝 对 收 敛 .

⑵若级数在 z ? z0发散, 则对满足z ? z0 的z ,  级数必发散  .

讨论P142:5

n n 收 敛, 则 limcn z0 ? 0, 即 证明 (1) ? ? cn z0 n? 0 n??
n ?? ? 0,?N ? 0, ? n ? N,恒有 cn z0 ??
2 N 取M ? max ? , c0 , c1 z0 , c2 z0 , ?, c N z 0

??

?

?

n 故 cn z0 ? M , n ? 0,1,2,? n z z n 若 z ? z0 , 则 ? q ? 1 cn z n ? cn z0 ? Mqn , z0 z0
n 由 于? Mqn收 敛, 由 比 较 判 别 法 得 ? cn z 收 敛,
n? 0 ??

??

? ? cn z n绝对收敛。
n? 0

??

n?0

n 设?z1 , ? z1 ? z0 , 有? cn z1 收敛, (2)用反证法,

??

由(1)知? c z 收 敛 与 假 设 矛 盾 , 得 ! 证
n? 0 n n 0

??

n? 0

3. 收敛圆与收敛半径
由Able定理,幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况:
(i) 若对所有正实数都收敛,级数(3)在复平面上 处处收敛. (ii )除z=0外,对所有的正实数都是发散的,这时, 级数(3)在复平面上除z=0外处处发散.

( iii )?? ? 0, 使 得? cn? n收 敛,

??

小,在c 外部都是蓝色, n? 0 红、蓝色不会交错.故 ??   ?? ? 0, 使 得? cn ? n发 散. 一定? c R: z ? R , 为红、 n? 0 由Able定 理 , 在 圆 周 c? : 蓝两色的分界线。 z ? ?内 , 级 数 ( 3)收 敛 ; ? 在圆周 c ? : z ? ?外 , 级 数( 3)发 散. 显然,?< ?
?

否则,级数(3)将在?处发散. 将收敛部分染成红色,发散 部分染成蓝色,?逐渐变大, 在c 内部都是红色,?逐渐变
?

?

播放

R
cR

定义 红蓝两色的分界圆周c 叫做幂级数的 收敛圆;圆的半径R叫做幂级数的收敛半径.
R

?

(i)幂级数在收敛圆内部收敛,在收敛圆外 部发散,在圆周上可能收敛可能发散,具体问题 要具体分析. (ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心,半径为R 的圆域;幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径 为R的圆域.

4. 收敛半径的求法
? cn?1 定理2 ?1 / ? 0 ? ? ? ?? 若 lim ? ?,则 R ? ? ? ? ? ?0 (比值法) n?? cn ? ? ? ?? ?0 cn ? 1 z n ? 1 cn ?1 证明 ( i )? ? 0,? lim ? lim z ??z n n? ? n? ? c cn z n ? 1 当? z ? 1时,即 z ? 时, ? cn z n绝 对 收 敛 ;
n 关于幂级数 c z ?n n? 0 ?

( 3)的 收 敛 半 径 求 法 , 有

?

n? 0

当? z ? 1时 , 即z ?

1

?

时, ? c n z n 发 散 ,
n? 0

?

以 下 证: 当 z ?

1

?

n 时, c z ? n 也 发 散.

??

? n? 0 1 再取一点 z1 , 满 足 ? z1 ? z0 , 由Able定 理 得: ? ?? ?? n n ? c z c z 收 敛 , 矛 盾 ! ? n 0 发 散,即 ? n 1
n? 0

用反证法 , 设 在z ?

1

n? 0

n 外有一点 z0, c z ? n 0 收,

??

当z ?
??

1

? ? ?? n? 0 n ( ii )若? ? 0时 , 对 ?z都 有? cn z 收 敛
n? 0
n? 0

时, ? cn z 发 散, 故R ?
n

??

n? 0

1

.

? ? cn z n在 复 平 面 上 处 处 收 敛 故 ,R ? ??;

( iii )当? ? ? ?时 , 除 z ? 0外 , 对 一 切 z, 有
n n c z 发 散 , 从 而 , c z ? n ? n 也 发 散. n? 0 n? 0 ?? ??

否则,如果有一点 z0 ? 0 , ? ? cn z0 收 敛, 则
n n? 0

??

?z1 , 满 足 z0 ? z1 ? 0, ! 故R ? 0. ? cn z1 收 敛 , 矛 盾
n n? 0

??

? cn?1 定理2 ?1 / ? 若 lim ? ?,则 R ? ? ? ? (比值法) n?? cn ? ?0
?1 / ? ? cn ? ?,则 R ? ?? ? ?0 ?

0 ? ? ? ?? ? ?0 ? ? ??

定理3 若 lim n n?? (根值法)

0 ? ? ? ??

? ?0 ? ? ??

第九次课 11月19日

例1:P111 求幂级数? z n ? 1 ? z ? z 2 ? ? ? z n ? ?
n? 0

?

的收敛范围及和函数。
cn?1 解 ? lim ?1 ?R ?1 n? ? c n
n 1 ? z 又sn ? 1 ? z ? z 2 ? ?? z n?1 ? 1? z 1 n ?当 z ? 1时 , limz ? 0,? limsn ? . n? ? n? ? 1? z ?当 z ? 1时, lim z n ? 0,? 级数发散.

1 ? 收敛, 且和函数为 当 z ? 1时; ? n 综上 ? z ? 1? z n? 0 ?发散         当 z ? 1时. ?
?

n? ?

例2 求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:
? ? i z n zn n ) . (1) ? p ( p ? 0); ( 2) ? (ch )( z ? 1) ; ( 3) ? ( n n ?1 n ?1 ln in n ?1 n
?

cn?1 解 (1) ? ? ? lim n? ? c n

n p ? lim( ) ? 1 ?R ? 1 n? ? n ? 1 ? 1 p=1 当z ? 1时, 级 数 为 , 该级数发散 ? n ?1 n ? ( ?1)n 该级数收敛 当z ? ?1时, 级 数 为 , ? n n ?1 ? ? zn 1 p=2 在圆周 z ? 1上, ? ? 2 ? ? 2 是 收 敛 的 , n ?1 n n ?1 n

?该级数在收敛圆上是处处收敛的.

i 1 ( 2) ? cn ? ch ? (e ? e ) n 2 1? 1 1 1 1? 1 ? ?cos ? i sin ? cos ? i sin ? ? cos 2? n n n n? n

i n

i ? n

i ( 2) ? (ch )( z ? 1) n ; n n ?1

?

1 1 cn?1 ? limcos cos ? 1 ? R ? 1 ? ? ? lim n?? n? ? c n?1 n n ? ? i 1 in? n 在圆周z ? 1 ? 1上, ? (ch )(z ? 1) ? ? (cos )e n n n ?1 n ?1 ? 1 in? i ? lim (cos )e ? 0,? ? (ch )(z ? 1)n 发 散 。 n? ? n n n ?1
该级数收敛, 综上 当 z ? 1 ? 1时,

当 z ? 1 ? 1时, 该级数发散.

( 3) ? l n (in) ? l n in ? i arg(in) ? l n n ?  其中: l n in ?
? 1 ? ? cn ? ?? n ln in ? ?

?
2

i
?

ln n ? ? ? ?2?
2

?? ?
n ?2

2

z n ( 3) ? ( ) . n ?1 ln in

1

? ? 2? 2 ln n ? ( ) ? 2 ?

? R ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 n 故 l i m cn ? l i mn ? ? ? lim ? ? ?0 n? ? n? ? n ? ? ? ? ? ln2 n ? ( ) 2 ? ? l n2 n ? ( ) 2 ? 2 ? ? 2 ? ?

n 2

1 2

故该级数在复平面上是处处收敛的.

5. 幂级数的运算和性质
?
?

代数运算
n?0 ? n b z ? n ? g( z ) n?0 ?

设? an z n ? f ( z ) R ? r1
? ? n? 0 n? 0 n? 0

R ? r2
z?R

? ? an z n ? ? bn z n ? ? (an ? bn ) z n ? f ( z ) ? g( z )

---幂级数的加、减运算
(? an z n ) ? (? bn z n ) ? ? (a0bn ? a1bn?1 ? a2bn? 2 ? ? ? an b0 ) z n
n? 0 n? 0 n? 0 ? ? ?

? f ( z ) g( z ), z ? R

其中: R ? min( r1 , r2 )

---幂级数的乘法运算

设f ( z ) ? ? an z n
n?0
?

?

z ? r,

g( z )在 z ? R内 解 析 , 且 g( z ) ? r
? f [ g( z )] ? ? an [ g( z )]n
n? 0

?

z ?R

---幂级数的代换(复合)运算 ? 1 n 表成形如 cn ( z ? a ) 的 幂 级 数 , 例3:P116 把 ? z?b n? 0 这里,复常数 b ? a.
1 1 1 1 1 ? 1 ? 解 ? ?? ? ?? ? z ? a 1 ? g( z ) ? b ? a ? b?a z ? b ( z ? a ) ? (b ? a ) 1? 代换 b?a

幂级 数的代换运 算在函数展 成幂级数中 很有用.

1 1 1 解 z ? b ? ( z ? a ) ? (b ? a ) ? ? b ? a
展开

1 1 ? 1 ? ? ?? ? z ? a 1 ? g( z ) ? b ? a ? 1? 代换 b?a

1 ? ? 1 ? g( z ) ? [ g( z )]2 ? ? ? [ g( z )]n ? ? , g( z ) ? 1 1 ? g( z ) z?a ?z?a? ?z?a? ? 1? ?? ??? ? ?? , z ? a ? b ? a ? R ? ? b ? a ?b ? a ? ?b ? a ?
2 n

还原

1 1 1 1 1 ? ?? ?? ? (z ? a) 2 z?b b ? a 1 ? g( z ) b ? a (b ? a ) 1 1 2 n ? ( z ? a ) ? ? ( z ? a ) ?? 3 n ?1 (b ? a ) (b ? a ) z?a ? R

? 分析运算
定理4 设? cn z n ? f ( z )
?

z ?R
?

? (i )
( ii )

f ( z )在 z ? R内解析.
f ' ( z ) ? (? cn z n )' ? ? (cn z n )' ? ? ncn z n?1
n? 0 n? 0 n ?1 ? ?

n?0

z?R

---幂级数的逐项求导运算

( iii)

? f ( z )dz ? ? ? c z
c
z

?

n

cn z n ?1 z ? R, C ? z ? a ? R 或 ? f (? )d? ? ? 0 n? 0 n ? 1 ---幂级数的逐项积分运算

c n? 0 ?

n

dz ? ? cn ? z d z
n n? 0 c

?

作业
? P103 30(1)(2),31 ? P141 1(2)(4),3(3)(4),6(2)(3)(4),11(1)(3)

§3 泰勒(Taylor)级数
? ? ?

1. 泰勒展开定理

2. 展开式的唯一性
3. 简单初等函数的泰勒展开式

1. 泰勒(Taylor)展开定理
由§2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在 它的收敛圆内部是一个解析函数. 现在研究与此相反的问题: 一个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函 数在解析点能否用幂级数表示?) 以下定理给出了肯定回答: 任何解析函数都一定能用幂级数表示.

定理(泰勒展开定理) 设f ( z )在 区 域 D内 解 析 , z 0 ? D , R为z0到D的 边 界
上各点的最短距离 ? 当 z ? z 0 ? R时 , f ( z ) ? ? cn ( z ? z0 ) n
n? 0 ?

(1)

f ( z )在z0处 的Taylor级数

1 ( n) 其 中: c n ? f ( z0 ) n!

n ? 0,1,2, ?
D

1 (n) 1 f (? ) d? 分析 cn ? f ( z0 ) ? n ? 1 ? n! 2?i k ?? ? z0 ?

?
z0
k



k : ? ? z0 ? r

代入(1)得

n c ( z ? z ) ? n 0 ?? n?0 n?0 ?

?

??

f ( n ) ( z0 ) ( z ? z0 ) n n!
D

? 1 ? f (? ) n ? ? ?? d ? ( z ? z ) 0 ? 2?i ?k (? ? z )n?1 ? n?0 ? 0 ? 1 ? f (? ) n? ? ? ( z ? z0 ) ? d? ? n ? 1 ? ? ? k 2?i ? n?0 (? ? z0 ) ?
?

?
z0
z k

1)

1 f (? ) 又f ( z ) ? d? ? k 2?i ? ? z

2)

? f (? ) f (? ) n 比 较1),2)有 , ?? ( z ? z ) (*) 0 n ?1 ? ? z n? 0 (? ? z0 )

z ? z0 ? ? q ? 1, ? ? z0
1 1 1 注意到 ? ? ? ? z ? ? z0 ? ( z ? z0 ) ? ? z0 1 , z ? z0 1? ? ? z0

? z ? z0 n 1 1 ? z ? z0 z ? z0 2 ? ? ?( ) ? ?? ( ) ? ??(2) ?1 ? ? ? z ? ? z0 ? ? ? z0 ? ? z0 ? ? z0 ?
? f (? ) f (? ) ( z ? z0 )n 故 ?? ? ? z n?0 ? ? z0 (? ? z0 )n

f (? ) n ---(*)得证! ?? ( z ? z ) 0 n?1 n ? 0 (? ? z0 )
?

证明 设k : ? ? z0 ? r , {? ? ? z0 ? r } ? D , (不讲)

z 为 k内 任 一 点 ,由Cauchy积 分 公 式: z ? z0 1 f (? ) ? q ? 1, f (z) ? d? ? ? ? ? z0 2?i k ? ? z
1 z ? z0 1? ? ? z0

1 1 1 ? ? ? ? ? z ? ? z0 ? ( z ? z0 ) ? ? z0

z ? z0 z ? z0 2 1 ? [1 ? ?( ) ?? ? ? z0 ? ? z0 ? ? z0 z ? z0 n ?( ) ? ?] ( 3) ? ? z0

(不讲) 两 端 乘 以f (? ) , 沿 着k逐 项 积 分 得 , 2?i 1 f (? ) 1 f (? ) f (z) ? d? ? d? ? ? 2?i k ? ? z 2?i k ? ? z0

z ? z0 ? 2?i

f (? ) ?k (? ? z0 )2 d? ? ? f (? ) ?k (? ? z0 )n?1 d? ? ?

( z ? z0 ) n ? 2?i

f ( n ) ( z0 ) ? f ( z0 ) ? f ' ( z0 ) ? ? ? ( z ? z 0 ) n ? ? ( 4) n! ? ?函 数f ( z )在z0处 的Talor级 数

级 数(4)的 收 敛 范 围 是 以 z0为 中 心 , r为 半 径 的 圆 域? ? z0 ? r ,圆k的 半 径 r可 以 任 意 增 大 , 只要圆 k及 其 内 部 包 含 在 D内 即 可 ,? f ( z )在 解析点 z0处 的Taylor 级数收敛半径至少等于 从z0到D的 边 界 上 各 点 的 最 短 离 距.证 毕!
证明 (不讲)

?(1)

若f ( z )有奇点, 那么f ( z )在解析点

z0的Talor展开式的收敛半径 R等于从z0到 f ( z )的最近的一个奇点 ?之间的距离, 即, R ? z0 ? ?

( 2) ?在收敛圆上, 这是因为f ( z )在收敛 圆内解析, 所以奇点?不可能在收敛圆内. 又 ? 奇点?不可能在收敛圆外, 不然的话, 收敛半径还可以扩 大, 因此, 奇点?只能在 收敛圆周上.

2. 展开式的唯一性
利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数,这样 的展开式是否唯一? 解析函数展开成幂级数是唯一的,就是它 的Taylor级数. 事实上,设f (z)用另外的方法展开为幂级数:
f ( z ) ? a0 ? a1 ( z ? z0 ) ? a2 ( z ? z0 )2 ? ?? an ( z ? z0 )n ? ?

结论

则 f ( z0 ) ? a0,再由幂级数的逐项求 导性质得,
f ' ( z) ? a1 ? 2a2 ( z ? z0 ) ? ?? nan ( z ? z0 )n?1 ? ? ? f ' ( z0 ) ? a1 1 ( n) ?, 依 此 类 推 得 , an ? f ( z0 ) n ? 0,1,2, ? n!

由此可见,任何解析函数展开成幂级数就是Talor 级数,因而是唯一的.

当z0 ? 0时, Taylor 级数为: f ' ' ( 0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( z ) ? f ( 0) ? f ' ( 0) z ? z ?? z ?? 2! n!
函数展开成Taylor级数的方法: ? 代公式 ---直接法 ? 由展开式的唯一性,运用级数的代数运算、分 析运算和 已知函数的展开式来展开 ---间接法

3. 简单初等函数的泰勒展开式
例1 求f ( z ) ? e , sinz , cos z在z ? 0的Talor
z

展开式 . (P120)
解 ? ( e z )( n )
z ?0

? ez

z ?0

? 1 ( n ? 0,1,2, ?)

2 3 n z z z z ?e ? 1? z ? ? ? ?? ?? 2! 3! n! ? e z在 复 平 面 上 解 析

?该 级 数 的 收 敛 半 径 R ? ? ?.

e zi ? e ? zi 1 ? ?? ( zi )n ?? ( ? zi )n ? ? sinz ? ? ?? ?? ? 2i 2i ? n? 0 n! n! ? n? 0
1 ?? 2i 2 k ?1 z 2 k ?1 ?? (?1)k ?1 z 2 k ?1 ? ? ?? 2i k ?1 (2k ? 1)!! k ?1 (2k ? 1)!!
?? z3 z5 z7 (?1)k ?1 z 2k ?1 ? sinz ? z ? ? ? ? ? ? ? 3! 5! 7! k ?1 ( 2k ? 1)!!

又 cos z ? (si nz )' z z n z ? 1? ? ? ? ? ( ?1) ?? 2! 4! ( 2n)!
?sinz, cos z在全平面上解析, ?它们的半径 R??
2 4 2n

?

上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法.

例2 把下列函数展开成 z 的幂级数:

1 1 (1) f ( z ) ? ( 2) f ( z ) ? ( 3) f ( z ) ? ln( 1 ? z ) 2 1? z (1 ? z )

1 2 n 解 (1) ? ? 1 ? z ? z ? ?? z ? ? 1? z
1 1 ? ? ? 1 ? z ? ? ? (?1)n z n ? ? 1 ? z 1 ? (? z )

z ?1
z ?1

(2)由幂级数逐项求导性质得:

1 d ? 1 ? d 2 n ?1 n ? ? ? ? 1 ? z ? z ? ? ? ( ? 1 ) z ?? 2 ? ? (1 ? z ) dz ? 1 ? z ? dz ? 1 ? 2 z ? 3 z 2 ? ? ? ( ?1)n?1 nz n?1 ? ? z ? 1

?

?

( 3)在 收 敛 圆 z ? 1内 任 意 取 一 条 从 0 ? z( z ? 1) 的路径 c , 将(1)的 展 开 式 两 边 沿 c逐 项 积 分 得 :
z z z dz n n ?0 1 ? z ? ?0 dz ? ?0 zdz ? ? ? ?0 (?1) z dz ? ? 2 n?1 z 1 3 n z ln( 1 ? z ) ? z ? ? z ? ? ? ( ?1) ?? z ? 1 2 3 n?1 z

?

(1)另一方面,因ln(1+z)在从z=-1向左沿负 实轴剪开的平面内解析, ln(1+z)离原点最近的一 个奇点是-1,?它的展开式的收敛范围为?z?<1.

( 2)在实数域中 1 2 4 n 2n ? 1 ? x ? x ? ? ? ( ? 1 ) x ?? 2 1? x 为什么它的收敛半径 R ? 1, 在实数域中的不容易 1 看清楚, 在复数域中容易看出 ? 有两个奇点 2 1? z z ? ? i ,? R ? 1

定理
(1) 函 数f ( z )在 点z0 解 析 ? f ( z )在z0的 某 一 邻 域 内 可 展 成 幂数 级? c n ( z ? z0 ) .
n n? 0 ?

( 2) 函 数f ( z )在 区 域 D内 解 析? f ( z )在 D内 可 展 成幂 级 数 .

小结:f ( z )在点z0 解析
(1) f ( z )在 点z0的 某 一 邻 域 内 可 导 。 ( 2) f ( z )的 实 部 和 虚 部 在 点 z0的 某 一 邻 域 内 有 连 续导 偏数 且满足 C ? R方 程 。 ( 3) f ( z )在 点z0的 某 一 邻 域 内 连 续 且 邻 沿域 内 的 任 一 条 正 向 封 闭 路 线 的 积 分0 为 。 (4) f ( z )在 点z0的 某 一 邻 域 内 可 展 成 级 幂数 。

第十次课 11月26日

R
cR

?

§4 罗朗(Laurent)级数
? ? ?

1. 预备知识 2. 双边幂级数 3. 函数展开成双边幂级数

?

4. 展开式的唯一性

由§3 知, f (z) 在 z 解析,则 f (z)总可以在z 的某一个圆域 ?z - z ?<R 内展开成 z - z 的幂级数. 若 f (z) 在 z 点不解析,在 z 的邻域中就不可能展开成 z - z 的幂级数,但如果在圆环域 R1<?z - z ?<R2 内解析, 那么,f (z)能否用级数表示呢? 1 在z ? 0, z ? 1都不解析 , 但在 例如,P127 f ( z ) ? z(1 ? z )
0 0 0 0 0 0 0 0

圆环域: 0 ? z ? 1及0 ? z ? 1 ? 1内处处解析 . 当0 ? z ? 1时, 1 1 1 ?z ? 1 1 2 n f (z) ? ? ? ? ? 1 ? z ? z ? ? ? z ?? z(1 ? z ) z 1 ? z z

当0 ? z ? 1 ? 1时, ? 1 1 ? 1 f (z) ? ? ? z (1 ? z ) 1 ? z ? 1 ? ( 1 ? z ) ? ?
? z ?1 ?1

1 ? 1 ? (1 ? z ) ? (1 ? z ) 2 ? ? ? (1 ? z ) n ? ? 1? z 1 ? ? 1 ? (1 ? z ) ? ? ? (1 ? z ) n ?1 ? ? 1? z
0

?

?

由此推想,若f (z) 在R 1<?z - z ?<R2 内解析, f (z) 可 以展开成级数,只是这个级数含有负幂次项,即

f ( z ) ? ? ? c ? n ( z ? z 0 ) ? n ? ? ? c ? 1 ( z ? z 0 ) ?1 ? c 0 ? c1 ( z ? z0 ) ? ? ? cn ( z ? z0 ) n ? ?

本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析
的函数的级数表示法.它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 和计算留数的基础.

1. 预备知识
Cauchy 积分公式的推广到复连通域

---见第三章第18题P101
设f ( z )在D : R1 ? z ? z0 ? R2内 解 析 .作 圆 周 : k1 : z ? z 0 ? r , k 2 : z ? z 0 ? R, 且r ? R, k1、k 2 ? D , D1:r ? z ? z0 ? R,
R2 R r
D

R1
z0

z

k1

D1

k2

对?z ? D1有,
1 f (z) ? 2?i f (? ) 1 ?k2 ? ? z d? ? 2?i f (? ) ?k1 ? ? z d?

2. 双边幂级数
定义 形如
n? ? ? ??

---含有正负幂项的级数

n ?n ?1 c ( z ? z ) ? ? ? c ( z ? z ) ? ? ? c ( z ? z ) ? n 0 ?n 0 ?1 0 n

      ?  c0 ? c1 ( z ? z0 ) ? ? ? cn ( z ? z0 ) ? ?(1)
?

其中z0及cn (n ? 0,?1,?2,?)都是常数 ---双边幂级数 正幂项(包括常数项)部分:
n n c ( z ? z ) ? c ? c ( z ? z ) ? ? ? c ( z ? z ) ? ?(2) ?n 0 0 1 0 n 0 n? 0

负幂项部分:
?n ?1 ?n c ( z ? z ) ? c ( z ? z ) ? ? ? c ( z ? z ) ? ?(3) ? ?n 0 ?1 0 ?n 0 n ?1 ?

级数(2)是一幂级数,设收敛半径为R2 , 则级数在 ?z - z ?=R2 内收敛,且和为s(z)+; 在?z - z ?=R 2外发散.
0 0

1 对于级数 ( 3), 若 令? ? ,则 z ? z0 ? ? ?n n 2 n c ( z ? z ) ? c ? ? c ? ? c ? ? ? ? c ? ? ?(4) ? ?n 0 ? ?n ?1 ?2 ?n
n ?1 n ?1

对变数 ?级 数(4)为 幂 级 数 ,设 其 收 敛 半 径 为 R, 则 当? ? R级 数 收 敛 , ? ? R级 数 发 散 。
令 1 1 1 将? ? 代回得 , ? R? ,则 级 数 ( 4) z ? z0 z ? z0 R1

当 z ? z0 ? R1收敛, 且和为 s( z)-;当 z ? z0 ? R1发散.

当且仅当 R1 ? R2时 , 级 数 ( 2)及( 3)有 公 共 收 敛 区域即圆环域: R1 ? z ? z0 ? R2, 此 时 , 称 ? cn ( z ? z0 ) n收 敛, 且 和s( z ) ? s( z ) ? ? s( z ) ?。
n ? ?? ??

R2

R1

R1
z0

R2
z0

R1 ? R2 有公共收敛域

R1 ? R2 无公共收敛域

?
??

(1)当R1 ? R2时,称 ? cn ( z ? z0 )n 处处发散。
n ? ??

??

(2)在圆环域的边界?z - z ?=R1, ?z - z ?=R2上,
0 0

n ? ??

n c ( z ? z ) 可能有些点收敛,有些点发散 。 ? n 0
可以

( 3) R1 ? 0
?

R2 ? ?,此时,
n

可以

收敛域为: 0 ? z ? z0 ? ?
(4)级数 ? cn ( z ? z0 ) 在R1 ? z ? z0 ? R2内的
n ? ??

和函数是解析的而且可 以逐项求积和逐项求导 .

3. 函数展开成双边幂级数
定理
设f ( z )在D : R1 ? z ? z0 ? R2内解析, 则 f (z) ?
n ? ?? n c ( z ? z ) ? n 0 ??

( 5)

称为 f ( z)在D : R1 ? z ? z0 ? R2内的 Laurent级数 称为f ( z)在D : R1 ? z ? z0 ? R2内的Laurent展开式 1 f (z) 其中 : cn ? dz ( n ? 0,?1,?2, ?) (5' ) n ? 1 ? 2?i c ( z ? z0 )

c是D内绕z0的任何一条简单闭曲线 .

证明 由复连通域上的Cauchy 积分公式: 1 f (? ) 1 f (? ) f (z) ? d? ? d? (*) ? ? k k 2?i ? ? z 2?i ? ? z
2 1

R2
R r R1
z0

D

z

记为I1

记为I2

z ? z0 ?当? ? k 2时 , ? 1, ? ? z0

k1

D1

k2

重复§3的推导得:
? 1 f (? ) n n I1 ? ? ( d ? )( z ? z ) ? c ( z ? z ) (*1) ? 0 n 0 n ? 1 ? k n? 0 2?i 2 (? ? z0 ) n? 0 ?

?当? ? k1时 , ? q ? 1, z ? z0

? ? z0

记为

1 1 1 ? ? z ?? z ? z0 ? (? ? z0 ) z ? z0

1 1?

? ? z0

f (? ) 两边乘以 , 并 沿k1逐 项 积 分 得 : 2?i

z ? z0 ? ? z0 (? ? z0 )n?1 1 ? ? ? ?? ?? 2 n z ? z0 ( z ? z0 ) ( z ? z0 )

( z ? z 0 ) ?1 1 f (? ) ? I2 ? ? d? ? f (? )d? ? ? k1 2?i k1 ? ? z 2?i ( z ? z0 ) ? 2 ? 2?i ( z ? z0 ) ? n f (? ) ?k1 (? ? z0 )?1 d? ? ? ? 2?i f (? ) ?k1 (? ? z0 )? n?1 d? (*2)

? ? ? c ?1 ( z ? z 0 ) ?1 ? c ? 2 ( z ? z 0 ) ? 2 ? ? ? c ? n ( z ? z 0 ) ? n ? ?

式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2, k1上进 行的,在D内取绕z0的简单闭曲线c,由复合闭路 定理可将cn写成统一式子:

1 f (? ) cn ? d? (n ? 0,?1,?2,?) n ? 1 ? 2?i k (? ? z0 )
f (z) ?
n ? ?? n c ( z ? z ) ?n 0 ??

证毕!

级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛朗级数的解析部分和主要部分.

?

(1)当n ? 0时, 系数cn 形式上与高阶导数公式 f ( n ) ( z0 ) 相同, 但cn ? ,? f ( z )在c内不是处处 n! 解析的.
(2)在许多实际应用中,经常遇到f (z)在奇点 z0的邻域内解析,需要把f (z)展成级数,那么 就利用洛朗( Laurent )级数来展开.

4. 展开式的唯一性
结论 一个在某一圆环域内解析的函数展开为含 有正、负幂项的级数是唯一的,这个级数就是f (z) 的洛朗级数.

设f ( z )在D : R1 ? z ? z0 ? R2内 解 析 , 事实上, f (z)
可 表 示 为 ??

?

n ? ??

?a

n

( z ? z0 )

n

R2

D

( 6)
R1
z0

设c为D内任何一条绕 z0 的简单闭曲线, ?? ? c
f (? ) ?
n ? ?? n a ( ? ? z ) ? n 0 ??

c

f (? ) ?

1 将上式两边乘以 (? ? z0 ) P ?1 ( P为 任 一 整 数 ),

n ? ??

? a (? ? z )
n 0

??

n

R2

D

R1
z0

c

并 沿c的 正 向 积 分 得 : ? f (? ) 1 an ? d? ? 2?ia p p ? 1 ? n ?c (? ? z0 ) p?1 d? ? n? c (? ? z ) ? ?? 0 1 f (? ) 解得: ap ? d? p ? 1 ? 2?i c (? ? z0 ) 由此可知 ,在 圆 环 域 内 解 析 的 函展 数开 成 级 数

就 是Laurent级 数.

?

由唯一性,将函数展开成Laurent级数,可 用间接法.在大多数情况,均采用这一简便的方 法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式,只有 在个别情况下,才直接采用公式(5')求Laurent系 数的方法.

sin z 在0 ? z ? +?展开成洛朗级数。 例1 求 z n 2 n?1 ? si n z 1 ( ? 1 ) z 解 0 ? z ? ?? ? ? z z n? 0 ( 2n ? 1)!

? 1? z3 z5 z2 z4   ? ? z? ? ? ?? ? 1? ? ?? ? ? z? 3! 5! 3! 5! ?

ez 例2 将 3 在0 ? z ? +?内展开成Laurent级数. z ez 1 ? zn 1 z2 zn 解 ? 3 ? ? 3 (1 ? z ? ? ? ? ? ?) 3 z z n?0 n! z 2! n! 1 1 1 1 z zn   ? 3? 2? ? ? ? ?? ? ? z z 2! z 3! 4! n!
例3 将e 在0 ? z ? ??内展成Laurent级数. 1 2 1 n t 解 ?在 复 平 面 上 , e ? 1 ? t ? t ? ?? t ? ? 2! n! 1 1 1 1 1 z 令t ? , e ? 1 ? ? ? ?? ?? 2 n z z 2! z n! z (0 ? z ? ??)
1 z

1 在以下圆环域 例4 将 f ( z ) ? ( z ? 1)( z ? 2) (i ) 0 ? z ? 1; ( ii ) 1 ? z ? 2; ( iii) 2 ? z ? ?? 内展开成z0 ? 0的Laurent级数。
y y y

P132

o

1

2

x

o

1

2

x

o

1

2

x

(i ) 0 ? z ? 1

(ii ) 1 ? z ? 2

(iii ) 2 ? z ? ??

1 1 ? 解: f ( z ) ? 1? z 2? z

z (i ) 0 ? z ? 1 ? z ? 1 ? ? 1 2
故 1 1 1 f (z) ? ? z 1? z 2 1? 2

2 1 z z ? (1 ? z ? z 2 ? ? z n ? ?) ? (1 ? ? ? ?) 2 2 4

?? 1 3 7 2 1 n ? ? z ? z ? ? ? ? (1 ? n?1 )z 2 4 8 2 n? 0

没 有 奇 点

1 z (ii )1 ? z ? 2 ? z ? 1 ? ? 1 又 ? z ? 2 ? ? 1 z 2
1 1 1 f (z) ? ? ?? 1? z 2? z z 1 1 ? 1 2 z 1? 1? z 2 1

1 1 1 1 z ? ? (1 ? ? 2 ? ?) ? (1 ? ? z z z 2 2 1 1 1 1 z ? ? ? n ? n ?1 ? ? ? ? ? ? z z z 2 4 ? ? 1 zn ? ? ? n ? ? n?1 n ?1 z n? 0 2

z2 ? ?) 4 z2 ?? 8

2 ( iii )2 ? z ? ? ? ?? z ? 2 ? ? 1 z 1 1 1 1 1 1 f (z) ? ? ?? ? 1? z 2? z z 1 z 2 1? 1? z z 1? 1 1 ? 1? 2 4 ? ? ? ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? 1 ? ? 2 ? ?? z? z z ? z? z z ?

1 3 7 ? 2 ? 3 ? 4 ?? z z z
? n ? n

注意首项

? 1 ? 1? 1 ? 2? 2 n ?1 ? 1 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? n z n? 0 ? z ? z n? 0 ? z ? z n? 2

小结:把f (z)展成洛朗( Laurent )级数的方法 : ( 1)对于无理函数及其他初 等函数的洛朗
展开式,可以利用已知 基本初等函数的 泰勒展开式,经过代换 、逐次求导、逐 次积分等计算来获得。

(2)对于有理函数的洛朗展开式,首先把有理 函数分解成多项式与若干个最简分式之和, 然后利用已知的几何级数,经计算展成需要的

形式.

例5

1 将f ( z ) ? ( z ? 1)( z ? 2)
o

y
x

在以点z ? 1, z ? 2的去心邻 域内展开成Laurent级数。


1

2

(1) 在(最大的)去心邻域 0 ? z ? 1 ? 1 1 1 1 1 f (z) ? ? ?? ? 1? z 2? z z ? 1 1 ? ( z ? 1) ? 1 ?? ? ? ( z ? 1) n z ? 1 n? 0 1 ?? ? 1 ? ( z ? 1) ? ( z ? 2) 2 ? ? z ?1

(2) 在(最大的)去心邻域

0? z?2 ?1 1 1 1 1 f (z) ? ? ? ? 1 ? z 2 ? z z ? 2 1 ? ( z ? 2) o
? 1 ? ? ? ( ?1) n ( z ? 2) n z ? 2 n? 0 1 ? ? 1 ? ( z ? 2) ? ( z ? 2) 2 ? ? z?2

1

2

x

1 z 练习: 将f ( z ) ? e 在 区 域 (1) z ? 1, 1? z ( 2) 0 ? z ? 1 ? ? ?内 展 开 成 幂 级 数 。

(1)由此可以看出同一个函 数由许多种不同的 ? 这与唯一性并不矛盾。

级数展式,这是因为在 不同的区域上的展式,

(2)根据区域判别级数方式:
在圆域内需要把 f (z) 展成泰勒(Taylor)级数, 在环域内需要把f (z)展成洛朗( Laurent )级数.

?
(3) Laurent级数与Taylor 级数的不同点:

?
?

Taylor级数先展开求R, 找出收敛域.
Laurent级数先求 f(z) 的奇点,然后以 z0

为中心,奇点为分隔点,找出z0到无穷远
点的所有使 f(z) 解析的环,在环域上展成 级数.

计算沿封闭路线积分中的应用 P135

作业
? P143 12(1)(3),16(2)(3)


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