当前位置:首页 >> 数学 >>

河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训8-4椭圆试题


1.(文)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为 d1、2, d 焦距为 2c.若 d1,2c,

x2 y2 a b

d2 成等差数列,则椭圆的离心率为(
A. 1 2 B. 2 2 C.

) 3 2 3 D. 4

[答案] A [解析] 由椭圆的定义,d1+d2=2a,

c 1 又由题意得 d1+d2=4c,∴2a=4c,∴e= = . a 2
(理)(2011?浙江五校联考)椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,一直线过 F1 交 16 7 椭圆于 A、B 两点,则△ABF2 的周长为( A.32 [答案] B [解析] 由题设条件知△ABF2 的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16. B.16 C.8 ) D.4

x2

y2

x y 4 2.(2011?岳阳月考)椭圆 + =1 的离心率为 ,则 k 的值为( 9 4+k 5
A.-21 19 C.- 或 21 25 [答案] C B.21 D. 19 或 21 25

2

2

)

c 4 5-k 4 19 2 2 2 [解析] 若 a =9,b =4+k,则 c= 5-k,由 = 即 = ,得 k=- ;若 a a 5 3 5 25
=4+k,b =9,则 c= k-5,
2

c 4 k-5 4 由 = ,即 = ,解得 k=21. a 5 4+k 5
3.(2012?新课标,4)设 F1、F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x 3a = 上一点,△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为( 2 A. C. 1 2 3 4 B. D. 2 3 4 5 )

x2 y2 a b

[答案] C [解析] 本题考查了圆锥曲线的离心率的求法. 3a 设直线 x= 与 x 轴交于点 M,则由条件知,∠F2F1P=∠F2PF1=30°,∴∠PF2M=60°, 2 3a 在 Rt△PF2M 中,PF2=F1F2=2c,F2M= -c, 2

a-c F2M 2 1 故 cos60°= = = , PF2 2c 2 c 3 3 解得 = ,故离心率 e= . a 4 4
[点评] 求离心率时要注意数形结合的应用,在图形中设法寻求 a,c 所满足的数量关 系,从而确定离心率的值. 4.(文)(2011?抚顺六校检测)椭圆 +y =1 的焦点为 F1、F2,点 M 在椭圆上,MF1?MF2 4 =0,则 M 到 y 轴的距离为( A. C. 2 3 3 3 3 ) B. 2 6 3

3

x2


2



D. 3

[答案] B → → [分析] 条件MF1?MF2=0,说明点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆上,点 M 又在椭圆上,通 过方程组可求得点 M 的坐标,即可求出点 M 到 y 轴的距离. [解析] 解法 1:椭圆的焦点坐标是(± 3,0),点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆上,该

x 8 2 6 2 2 2 2 2 2 圆的方程是 x +y =3,即 y =3-x ,代入椭圆得 +3-x =1,解得 x = ,即|x|= , 4 3 3
此即点 M 到 y 轴的距离. → → 解法 2:由MF1?MF2=0 知,MF1⊥MF2,
?|MF1|+|MF2|=4, ? ∴? 2 2 ?|MF1| +|MF2| =4?? ?
2

2

4-1?

, 2 6 , 3

?|MF1|=2+ 2, ∴? ?|MF2|=2- 2,

由|MF1| =t?|F1F2|得 t= 3+

2 6 ∴M 到 y 轴的距离为 t- 3= . 3

解法 3:设 M(x0,y0),则 +y0=1, 4 ∴y0=1- ,① 4 → →
2 2 2 2 2

x2 0

2

x2 0

∵MF1?MF2=0,∴MF1⊥MF2, ∴|MF1| +|MF2| =|F1F2| =4c =12, 又 F1(- 3,0),F2( 3,0), ∴(x0+ 3) +y0+(x0- 3) +y0=12, 2 6 将①代入解得 x0=± , 3 2 6 ∴M 到 y 轴的距离为 . 3 → → [点评] 满足MA?MB=0(其中 A, 是平面上两个不同的定点)的动点 M 的轨迹是以线段 B
2 2 2 2

AB 为直径的圆.
(理)(2011?河北石家庄一模)已知椭圆 + =1 的焦点分别是 F1,F2,P 是椭圆上一 16 25 点,若连接 F1,F2,P 三点恰好能构成直角三角形,则点 P 到 y 轴的距离是( A. C. 16 5 16 3 B.3 D. 25 3 )

x2

y2

[答案] A [解析] F1(0,-3),F2(0,3),∵3<4, ∴∠F1F2P=90°或∠F2F1P=90°. 16 设 P(x,3),代入椭圆方程得 x=± . 5 16 即点 P 到 y 轴的距离是 . 5 5.(文)(2011?山东淄博重点中学期中)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上, 1 且长轴长为 12,离心率为 ,则椭圆方程为( 3 A. C. + =1 144 128 + =1 32 36 ) B. D. + =1 36 20 + =1 36 32

x2

y2

x2 x2

y2 y2

x2

y2

[答案] D

c 1 [解析] 2a=12,∴a=6,∵e= = , a 3
∴c=2,∴b =a -c =32,故选 D. 1 (理)(2011?长沙模拟)已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 ,且它的长轴长等于圆 C: 2
2 2 2

x2+y2-2x-15=0 的半径,则椭圆的标准方程是(
A. + =1 4 3 C. +y =1 4 [答案] A

) B. D. + =1 16 12 + =1 16 4

x2 y2 x2

x2 x2

y2

2

y2

[解析] 由 x +y -2x-15=0 得,(x-1) +y =16, ∴r=4,∴2a=4,∴a=2,

2

2

2

2

c 1 2 2 2 ∵e= = ,∴c=1,∴b =a -c =3.故选 A. a 2
5 6.(2011?银川二模)两个正数 a、b 的等差中项是 ,等比中项是 2 6,且 a>b,则椭圆

x2 y2 + =1 的离心率 e 等于( a2 b2
A. C. 3 2 5 3

) B. 13 3

D. 13

[答案] C [解析] 由题意可知?
? ?a=3, ? ?b=2, ?a+b=5, ? ? ?a?b=6,

又因为 a>b,

所以解得?

所以椭圆的半焦距为 c= 5,

所以椭圆的离心率 e= =

c a

5 ,故选 C. 3

7.(2011?南京模拟)已知 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的一点,若 → → 1 2

x2 y2 a b

PF1?PF2=0,tan∠PF1F2= ,则此椭圆的离心率为________.
[答案] 5 3





[解析] ∵PF1?PF2=0,∴PF1⊥PF2, |PF2| 1 在 Rt△PF1F2 中,tan∠PF1F2= = , |PF1| 2 设|PF2|=x,则|PF1|=2x, 2a 由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a,∴x= , 3 ∵|PF1| +|PF2| =|F1F2| ,∴x +4x =4c , ∴ 20 2 c 5 a =4c2,∴e= = . 9 a 3
2 2 2 2 2 2

8. (文)已知实数 k 使函数 y=coskx 的周期不小于 2, 则方程 + =1 表示椭圆的概率 3 k 为________. [答案] 1 2

x2 y2

2π [解析] 由条件 ≥2,∴-π ≤k≤π , |k|

x2 y2 当 0<k≤π 且 k≠3 时,方程 + =1 表示椭圆, 3 k
1 ∴概率 P= . 2 1 2 x y (理)已知 + =1(m>0, n>0),则当 mn 取得最小值时,椭圆 2 + 2 =1 的离心率是
2 2

m

n

m

n

________. [答案] 3 2

[解析] ∵m>0,n>0 1 2 ∴1= + ≥2 2

m n

mn



1 2 ∴mn≥8,当且仅当 = ,即 n=2m 时等号成立,

m n

由?

? ?n=2m, ? ?mn=8,

解得 m=2,n=4.

即当 m=2,n=4 时,mn 取得最小值 8, ∴离心率 e=

n2-m2 3 = . n 2 x2
2

9.(2011?湖南长沙一中月考)直线 l:x-y=0 与椭圆 +y =1 相交 A、B 两点,点 C 2

是椭圆上的动点,则△ABC 面积的最大值为________. [答案] 2

[解析] 设与 l 平行的直线方程为 x-y+a=0,当此直线与椭圆的切点为 C 时,△ABC 的面积最大,将 y=x+a 代入 +y =1 中整理得,3x +4ax+2(a -1)=0,由 Δ =16a - 2 24(a -1)=0 得,a=± 3,两平行直线 x-y=0 与 x-y+ 3=0 的距离 d=
2

x2

2

2

2

2

6 ,将 y=x 2

x 6 6 2 代入 +y =1 中得,x1=- ,x2= , 2 3 3
∴|AB|= 1+1| 6 6 4 3 -(- )|= , 3 3 3

2

1 1 4 3 6 ∴S△ABC= |AB|?d= ? ? = 2. 2 2 3 2 10. (2011?北京文, 19)已知椭圆 G: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为

x2 y2 a b

6 , 右焦点为(2 2, 3

0),斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(- 3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积. [解析] (1)由已知得,c=2 2, = 解得 a=2 3, 又 b =a -c =4, 所以椭圆 G 的方程为 + =1. 12 4 (2)设直线 l 的方程为 y=x+m,
2 2 2

c a

6 , 3

x2

y2

?y=x+m, ? 由? x2 y2 ?12+ 4 =1, ?

得 4x +6mx+3m -12=0.①

2

2

设 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB 中点为 E(x0,y0),则

x1+x2 3m x0= =- ,
2 4

m y0=x0+m= .
4 因为 AB 是等腰△PAB 的底边,所以 PE⊥AB,

2- 4 所以 PE 的斜率 k= =-1. 3m -3+ 4 解得 m=2, 此时方程①为 4x +12x=0, 解得 x1=-3,x2=0, 所以 y1=-1,y2=2,所以|AB|=3 2, |-3-2+2| 3 2 此时,点 P(-3,2)到直线 AB:x-y+2=0 的距离 d= = , 2 2 1 9 所以△PAB 的面积 S= |AB|?d= . 2 2 能力拓展提升 11.(2011?河北唐山市二模)P 为椭圆 + =1 上一点,F1、F2 为该椭圆的两个焦点, 4 3 → → ) B. 3 D.2 若∠F1PF2=60°,则PF1?PF2等于( A.3 C.2 3 [答案] D [解析] 由题意可得|F1F2|=2,|PF1|+|PF2|=4, |F1F2| =|PF1| +|PF2| -2|PF1||PF2|?cos60° =(|PF1|+|PF2|) -3|PF1||PF2|, 所以 4=4 -3|PF1||PF2|,|PF1||PF2|=4, → → → →
2 2 2 2 2 2

m

x2 y2

PF1?PF2=|PF1||PF2|?cos60°=4? =2,故选 D.
12.(文)(2011?福建文,11)设圆锥曲线 Γ 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 Γ 上存 在点 P 满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|=4:3:2,则曲线 Γ 的离心率等于( 1 3 A. 或 2 2 1 C. 或 2 2 [答案] A [解析] 设|PF1|=4t,|F1F2|=3t,|PF2|=2t(t>0), 3t 1 若 Γ 为椭圆,则离心率为 e= = , 6t 2 2 B. 或 2 3 2 3 D. 或 3 2 )

1 2

若 Γ 为双曲线,则离心率为

3t 3 = . 2t 2

(理)(2011?许昌月考)已知双曲线 2- 2=1 与椭圆 2+ 2=1 的离心率互为倒数,其中

x2 y2 a1 b

x2 y2 a2 b
)

a1>0,a2>b>0,那么以 a1、a2、b 为边长的三角形是(
A.锐角三角形 C.钝角三角形 [答案] B [解析] 1 =e1e2= 2? 2=
2 2 2

B.直角三角形 D.等腰三角形

c2 c2 a2+b2 a2-b2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 ? 2 , a1a2=a1a2+(a2-a1)b -b , 则 所以 a2-a1= 2 a1 a2 a1 a2

b2,则以 a1、a2、b 为边长的三角形是以 a2 为斜边的直角三角形,故选 B.
13. 过椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点作圆 x +y =b 的两条切线, 切点分别为 A,

x2 y2 a b

2

2

2

B,若∠AOB=90°(O 为坐标原点),则椭圆 C 的离心率为________.
[答案] 2 2

[解析] 因为∠AOB=90°,所以∠AOF=45°,所以 =

b a

2 c a -b 2 ,所以 e = 2= 2 =1- 2 a a

2

2

2

b2 1 2 = ,即 e= . a2 2 2
14.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),A(2,0)为长轴的一个端点,弦 BC 过椭圆的中心 O,且 → → → → → →

x2 y2 a b

AC?BC=0,|OC-OB|=2|BC-BA|,则其焦距为________.
[答案] 4 6 3 → →

→ 1 [解析] 由题意可知|OC|=|OB|= |BC|,且 a=2, 2 → → → → → → → → → → → → 又∵|OC-OB|=2|BC-BA|, ∴|BC|=2|AC|.∴|OC|=|AC|. → → 又∵AC?BC=0,∴AC⊥BC.∴|OC|=|AC|= 2.

如图,在 Rt△AOC 中, 易求得 C(1,-1), 1 ? -1? 代入椭圆方程得 + 4 b2 4 8 2 2 2 ∴c =a -b =4- = . 3 3 2 6 4 6 ∴c= ,2c= . 3 3 15. (文)(2012?广东文, 20)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0) 的左焦点为 F1(-1,0),且点 P(0,1)在 C1 上. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2:y =4x 相切,求直线 l 的方程. [解析] (1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1(-1,0), 所以 c=1,
2 2 2

4 2 =1? b = , 3

x2 y2 a b

x y 1 将点 P(0,1)代入椭圆方程 2+ 2=1,得 2=1, a b b
即 b =1,所以 a =b +c =2, 所以椭圆 C1 的方程为 +y =1. 2 (2)直线 l 的斜率显然存在,设直线 l 的方程为 y=kx+m,
2 2 2 2

2

2

x2

2

?x2 2 ? +y =1, 由? 2 ?y=kx+m, ?

消去 y 并整理得,(1+2k )x +4kmx+2m -2=0

2

2

2

因为直线 l 与椭圆 C1 相切, 所以 Δ 1=16k m -4(1+2k )(2m -2)=0 整理得 2k -m +1=0,① 由?
? ?y =4x, ?y=kx+m, ?
2 2 2 2 2 2 2

消去 y 并整理得,

k2x2+(2km-4)x+m2=0,
因为直线 l 与抛物线 C2 相切, 所以 Δ 2=(2km-4) -4k m =0, 整理得 km=1,② 2 ? ?k= , 2 综合①②,解得? ?m= 2, ? 所以直线 l 的方程为 y= 2 ? ?k=- , 2 或? ?m=- 2. ?
2 2 2

2 2 x+ 2或 y=- x- 2. 2 2

(理)(2012?山西四校联考)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+ 2=0 相切. (1)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 a b

2 ,以原点为圆 2

→ → (2)设过点 M(2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A,B,设 P 为椭圆上一点,且满足OA+OB 2 5 =tOP(O 为坐标原点),当|PA-PB|< 时,求实数 t 的取值范围. 3 [解析] (1)由题意知:e= =
2







c a

2 , 2

c2 a2-b2 1 2 2 ∴e = 2= 2 = ,∴a =2b . a a 2
又∵圆 x +y =b 与直线 x-y+ 2=0 相切, ∴b=1,∴a =2, 故所求椭圆 C 的方程为 +y =1. 2 (2)由题意知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的斜率为 k,则其方程为:y=k(x-2).
2 2 2 2

x2

2

?y=k? x-2? , ? 由?x2 2 ? 2 +y =1, ?

消去 y 得,(1+2k )x -8k x+8k -2=0,

2

2

2

2

4 2 2 2 1 Δ =64k -4(2k +1)(8k -2)>0,∴k < . 2

设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y), 8k 8k -2 ∴x1+x2= 2,x1x2= 2. 1+2k 1+2k
2 2

→ →



∵OA+OB=tOP,∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y),x= [k(x1+x2)-4k]= -4k . t? 1+2k2? ?
2 2

2 x1+x2 8k y1+y2 1 = ,y= = 2 t t? 1+2k ? t t

8k ? ∵点 P 在椭圆上,∴ 2 t ? 1+2k2? ∴16k =t (1+2t ).
2 2 2

-4k? 2+2 2 t ? 1+2k2? ?

2 2

=2,

2 5 2 5 2 ∵|PA-PB|< ,∴ 1+k |x1-x2|< , 3 3 ∴(1+k )[(x1+x2) -4x1x2]< 64k 2 即(1+k )[ 2 ? 1+2k ?
4 2 2





20 , 9
2

2

8k -2 20 -4? , 2]< 1+2k 9

2 2 2 1 ∴(4k -1)(14k +13)>0,解得:k > , 4

1 2 1 ∴ <k < . 4 2 又 16k =t (1+2k ),∴t =
2 2 2 2

16k 8 2=8- 2, 1+2k 1+2k

2

8 2 2 6 2 6 ∴ <t <4,∴-2<t<- 或 <t<2. 3 3 3 2 6 2 6 故实数 t 的取值范围是(-2,- )∪( ,2). 3 3 16.(文)已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O,一个长轴端点为(0,2),短轴端点和焦点所 → 组成的四边形为正方形,直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m),与椭圆 C 交于相异两点 A、B,且AP → =2PB. (1)求椭圆方程; (2)求 m 的取值范围. [解析] (1)由题意知椭圆的焦点在 y 轴上,设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), 由题意知 a=2,b=c, 又 a =b +c ,则 b= 2,所以椭圆方程为 + =1. 4 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,直线 l 的斜率存在, 设其方程为 y=kx+m,与椭圆方程联立
2 2 2

y2 x2 a b

y2 x2

? ?y +2x =4 即? ? ?y=kx+m
2 2

2

2

,消去 y 得,
2

(2+k )x +2mkx+m -4=0, Δ =(2mk) -4(2+k )(m -4)>0 2mk ?x +x =-2+k , ? 由韦达定理知? m -4 ?x ?x =2+k . ?
1 2 2 2 1 2 2 2 2 2





又AP=2PB,即有(-x1,m-y1)=2(x2,y2-m), ∴-x1=2x2,∴?
? ?x1+x2=-x2, ? ?x1x2=-2x2,
2



m2-4 ? 2mk 2?2, ? 2=-2? 2+k ?2+k ?
2 2 2

整理得(9m -4)k =8-2m , 8-2m 又 9m -4=0 时不成立,所以 k = 2 >0, 9m -4
2 2 2

4 2 得 <m <4,此时 Δ >0, 9 2? ?2 ? ? 所以 m 的取值范围为?-2,- ?∪? ,2?. 3? ?3 ? ? 1 (理)椭圆 E 经过点 A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率 e= . 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)求∠F1AF2 的角平分线所在直线的方程. [解析] (1)由题意可设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), 1 c 1 ∵e= ,即 = ,∴a=2c, 2 a 2

x2 y2 a b

又 b =a -c =3c ,∴椭圆方程为 2+ 2=1. 4c 3c 4 9 又∵椭圆过点 A(2,3),∴ 2+ 2=1, 4c 3c 解得 c =4,∴椭圆方程为 + =1. 16 12 (2)法一:由(1)知 F1(-2,0),F2(2,0), 3 ∴直线 AF1 的方程 y= (x+2),即 3x-4y+6=0, 4 直线 AF2 的方程为 x=2. 设 P(x,y)为角平分线上任意一点,则点 P 到两直线的距离相等. 即 |3x-4y+6| =|x-2|, 5
2

2

2

2

2

x2

y2

x2

y2

∴3x-4y+6=5(x-2)或 3x-4y+6=5(2-x), 即 x+2y-8=0 或 2x-y-1=0. 由图形知,角平分线的斜率为正数,故所求∠F1AF2 的平分线所在直线方程为 2x-y-1 =0. 法二:设 AM 平分∠F1AF2,则直线 AF1 与直线 AF2 关于直线 AM 对称. 由题意知直线 AM 的斜率存在且不为 0,设为 k. 则直线 AM 方程 y-3=k(x-2). 由(1)知 F1(-2,0),F2(2,0), 3 ∴直线 AF1 方程为 y= (x+2),即 3x-4y+6=0. 4 设点 F2(2,0)关于直线 AM 的对称点 F2′(x0,y0),

?x y =-1, ? -2 k 则? y x +2 ? 2 -3=k? 2 -2? ?
0 0 0 0 2



-6k+2k +2 6 解之得 F2′( , 2 2). 1+k 1+k ∵直线 AF1 与直线 AF2 关于直线 AM 对称, ∴点 F2′在直线 AF1 上. -6k+2k +2 6 即 3? -4? 2 2+6=0. 1+k 1+k 1 解得 k=- 或 k=2. 2 由图形知,角平分线所在直线方程斜率为正,
2

1 ∴k=- (舍去). 2 故∠F1AF2 的角平分线所在直线方程为 2x-y-1=0. 法三:∵A(2,3),F1(-2,0),F2(2,0), → → ∴ → + → ∴AF1=(-4,-3),AF2=(0,-3),

AF1


AF2

1 1 = (-4,-3)+ (0,-3) → 5 3

|AF1| |AF2| 4 =- (1,2), 5 ∴kl=2,∴l:y-3=2(x-2),即 2x-y-1=0. → → → → [点评] 因为 l 为∠F1AF2 的平分线, AF1与AF2的单位向量的和与 l 共线. ∴ 从而可由AF1、

AF2的单位向量求得直线 l 的一个方向向量,进而求出其斜率.

1.已知圆(x+2) +y =36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点,N(2,0),线段 AN 的垂直平 分线交 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是( A.圆 C.双曲线 [答案] B [解析] 点 P 在线段 AN 的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,又 AM 是圆的半径, ∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由椭圆定义知,P 的轨迹是椭圆. 2.若直线 mx+ny=4 和圆 x +y =4 没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆 + =1 9 4 的交点个数为( A.至多一个 C.1 个 [答案] B [解析] ∵直线与圆无交点,∴ 4 ) B.2 个 D.0 个
2 2

2

2

) B.椭圆 D.抛物线

x2 y2

m +n2

2

>2,∴m +n <4,∴点(m,n)在圆内,又圆在椭

2

2

圆内,∴点(m,n)在椭圆内,故过点(m,n)的直线与椭圆有两个交点. 3.(2012?沈阳市二模)已知 F1、F2 分别为椭圆 C: + =1 的左、右焦点,点 P 为椭 4 3 圆 C 上的动点,则△PF1F2 的重心 G 的轨迹方程为( )

x2 y2

A. C.

+ =1(y≠0) 36 27 9x 2 +3y =1(y≠0) 4
2

x2

y2

B.

4x 2 +y =1(y≠0) 9
2

2

4y 2 D.x + =1(y≠0) 3

[答案] C [解析] 椭圆 C: + =1 中,a =4,b =3, 4 3 ∴c =a -b =1,∴焦点 F1(-1,0),F2(1,0),
2 2 2

x2 y2

2

2

?x=-1+1+x ? 3 设 G(x,y),P(x ,y ),则? y ?y= 3 ?
1 1 1

1

,∴?

?x1=3x ? ? ?y1=3y



? 3x? ∵P 在椭圆 C 上,∴ 4

2

? 3y? + 3

2

9x 2 =1,∴ +3y =1. 4

2

当 y=0 时,点 G 在 x 轴上,三点 P、F1、F2 构不成三角形, 9x 2 ∴y≠0,∴点 G 的轨迹方程为 +3y =1.(y≠0). 4 4.(2012?河南商丘二模)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),M,N 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上任意一点,且直线 PM、PN 的斜率分别为 k1,k2(k1k2≠0),若|k1|+|k2|的最小值为 1,则椭圆的离心率为( A. 1 2 3 2 ) B. 2 2 3 3
2

x2 y2 a b

C.

D.

[答案] C [解析] M(-a,0),N(a,0),设 P(x0,y0),则 k1=

y0

x0+a

,k2=

y0

x0-a

,∴k1k2=

y2 0
2 0

x -a2



x2 y2 a2y2 2 2 b2 b2 0 0 0 由 P 在椭圆上知, 2+ 2=1,∴ 2 =a -x0,∴k1k2=- 2,|k1k2|= 2为定值,∴|k1|+ a b b a a
|k2|≥2 |k1k2|= 2b

a

2b ,∴ =1,∴a=2b,

a

3 3 2 2 2 2 2 ∴a =4b =4(a -c ),∴e = ,∴e= . 4 2

x y 1 2 2 5.(2011?江西理,14)若椭圆 2+ 2=1 的焦点在 x 轴上,过点(1, )作圆 x +y =1 a b 2
的切线, 切点分别为 A, , B 直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点, 则椭圆方程是________.

2

2

[答案]

x2 y2
5

+ =1 4

1 ? 1? [解析] 点?1, ?在圆外,过点(1, )与圆相切的一条直线方程为 x=1,一个切点为 2? 2 ? (1,0), 1 设另一条切线的方程为 y=m(x-1)+ , 2 1 |-m+ | 2
2



3 3 5 =1 得 m=- ,故另一条切线的方程为 y=- x+ 代入圆的方程联立解得 4 4 4 1+m

?3 4? 切点为? , ?,则直线 AB 的方程为 y=-2x+2,故椭圆的上顶点坐标为(0,2).因此 c=1, ?5 5?
x2 y2 b=2,a= 5,所求椭圆方程为 + =1.
5 4 3 4 [点评] 直接设另一条切线的切点为(m,n),解得切点坐标( , )更简便. 5 5

x2 y2 6. (2012?新疆维吾尔自治区模拟)已知椭圆 G 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), 它与 x 轴交 a b
→ → (1)求椭圆 G 的方程; (2)过点 D 的直线 l 交椭圆 G 于 M,N 两点,若∠NMO=90°,求|MN|的长. → 于 A、B 两点,与 y 轴正半轴交于 C 点,点 D(0,4),若AC?BC=-3,|BD|=2 5.

[解析] (1)∵A(-a,0)、B(a,0)、D(0,4)、C(0,b), → → →

AC?BC=-3,|BD|=2 5,

?? a,b? ?? -a,b? =-3 ∴? 2 ? a +42=2 5
∴a =4,b =1, ∴椭圆 G 的方程为 +y =1. 4
2 2



x2

2

?x1+4y1=4, ? (2)设 M(x1,y1),则有?y1-4 y1 ? x1 ?x1=-1. ?
2 5 2 ? x1=± ,y1= , 3 3 ∴直线 l 的斜率 k=± 5 则直线 l 的方程为 y=± 5x+4, 由?

2

2

?y=± 5x+4 ?x2+4y2=4

? 21x ±32 5x+60=0,

2

32 5 60 ∴x1+x2=± ,x1x2= . 21 21 ∴|MN|= 1+k
2

?

x1+x2?

2

-4x1x2=

4 30 . 21


相关文章:
更多相关标签: