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山东省武城县第二中学2014-2015学年高一上学期综合测试数学试题(一)


高一数学综合题(一)
一、选择题 1.点 P 从(1,0)点出发,沿单位圆 x 2 ? y 2 ? 1逆时针方向运动 坐标为( ) A. ( ? ,

2? 弧长到达点 Q ,则 Q 的 3

1 3 ) 2 2 1 2 3 ) 2

B. (?

3 1 ,? ) 2 2 3 1 , ) 2 2

C. (? , ?

D. (?

2.设角 ? 是第三象限角,且 | cos A.第一象限角 C.第三象限角 3.若 sin x ?

?
2

|? ? cos

?
2

,则

? 是( ) 2

B.第二象限角 D.第四象限角

k ?1 k ?1 , cos x ? ,则 cot x 的值为( ) k ?3 k ?3 3 4 3 4 A. 或 0 B. 或 0 C. ? 或 0 D. ? 或 0 4 3 4 3

4.函数 f ( x ) ? sin( x ? A. x ?

?

?
4

4

) 的图象的一条对称轴是( )

2 4 ??? ? ? ??? ? ? ? ? 5.在 ?ABC 中, BA ? a, BC ? b 且 a ? b ? 0 ,则 ?ABC 是( )
A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.等腰直角三角形

B. x ?

?

C. x ? ?

?

D. x ? ?

?
2

6.已知向量 a ? (1, k ), b ? (2, 2) ,且 a ? b 与 a 共线,那么 a ? b 的值为( ) A.1 7.已知 sin( B.2 C. 3 D.4

?

?

? ?

?

? ?

3 ? x) ? ,则 sin 2 x 的值为( ) 4 5 19 16 14 7 A. B. C. D. 25 25 25 25

?

8.已知等差数列 {an } 的通项公式 an ? 3 ? 2n ,则它的公差为( ) A.2 B.3 C.- 2 D.-3

9.若等比数列的首项为 A.3 B.4

9 1 2 ,末项为 ,公比为 ,则这个数列的项数为( ) 8 3 3
C.5 D.6

10.函数 y ?

1 x ? x ? 12
2

的定义域是( )

A. {x | x ? ?4或x ? 3} C. {x | x ? ?4或x ? 3} 二、填空题

B. {x | ?4 ? x ? 3} D. {x | ?4 ? x ? 3}

11.已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2,则这个圆心角所对的弧长是

.

??? ? ??? ? ??? ? 12.若 AB ? BC ? | AB |2 ? 0 ,则 ?ABC 为
13.

三角形.

1 3 cos15? ? sin15? ? 2 2

. . .

14.在等比数列 {an } 中,若 a3 ? 3 , a9 ? 75 ,则 a10 ?

15.不等式 (a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 的解集为 R,则实数 a 的取值范围是 三、解答题 16.已知 f ( x) ? sin(2 x ?

?

3 )? , x?R. 6 2

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调增区间. (2)函数 f ( x ) 的图象可以由函数 y ? sin 2 x( x ? R) 的图象经过怎样的变换得到?

17.已知 | a |? 2,| b |? 3 , a 与 b 的夹角为 60°, c ? 5a ? 3b, d ? 3a ? kb ,当实数 k 为何值 时: (1) c / / d ; (2) c ? d .

?

?

?

?

?

?

?? ?

?

?

?

? ?

?

? ?

18.已知函数 f ( x) ? 4 cos ? x ? sin(? x ? (1)求 ? 的值; (2)讨论 f ( x ) 在区间 [0,

?
4

)(? ? 0) 的最小正周期为 ? .

?
2

] 上的单调性.

19.在锐角 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,已知 3a ? 2c sin A . (1)求角 C 的值; (2)若 c ? 2 , ?ABC 的面积等于 3 ,求 a , b .

20.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a2 ? 3, S6 ? 36 .

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {bn } 是等比数列,且满足 b1 ? b2 ? 3 , b4 ? b5 ? 24 ,设数列 {an ? bn } 的前 n 项和 为 Tn ,求 Tn .

21.某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为 400m2 的三级污水处理池,池外圈建造单价为每 米 200 元,中间两条隔墙建造单价每米 250 元,池底建造单价为每平方米 80 元.(池壁的厚 度忽略不计,且池无盖) 试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.

高一数学综合题(一)答案
一、选择题 1-5:ABBCC 二、填空题 11. 6-10:DDCBA

2 sin1

12. 直角

13.

2 2

14. ?75 3 5

15. a ? (?2, 2]

三、解答题 16.解 (1) T ?

k? ?

?
3

? x ? k? ?

?

2? ? ? ? ? ? ,由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z 知 2 2 6 2 (k ? Z ) .

6

所以所求的单调递增区间为 [k? ?

?

(2)变换情况如下: y ? sin 2 x

, k? ? ](k ? Z ) . 3 6 ? 向左平移 个单位 12

?

y ? sin[2( x ?

?
12

)]

将图象上各点 向上平移

3 个单位 2

? 3 y ? sin(2 x ? ) ? . 6 2 ? ? ? ? 1 17.解 由题意得 a ? b ?| a | | b | cos 60? ? 2 ? 3 ? ? 3 . 2 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? (1)当 c / / d , c ? ? d ,则 5a ? 3b ? ? (3a ? kb) .
∴ 3? ? 5 ,且 k ? ? 3 ,∴ k ?

9 . 5

(2)当 c ? d 时, c ? d ? 0 ,则 (5a ? 3b) ? (3a ? kb) ? 0 . ∴ 15a ? 3kb ? (9 ? 5k )a ? b ? 0 ,∴ k ? ?

?

? ?

? ? ?

?

?

?

?

?2

?2

? ?

29 . 14

18.解 (1) f ( x) ? 2 2 cos ? x(sin ? x ? cos ? x) ? 2(sin 2? x ? cos 2? x ? 1) = 2sin(2? x ? 因

?
4

)? 2 ,

2? ? ? ? ? ? ? 1 ,所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 2, ? ? 1 . 2? 4

(2)当 x ? [0,

?

] 时, (2 x ? ) ? [ , ? ? ] ,令 2 x ? ? 解得 x ? ; 2 8 4 4 4 4 2

?

?

?

?

?

?

所以 y ? f ( x) 在 [0,

?

] 上单调递增;在 [ , ] 上单调递减. 8 8 2

? ?

19.解 (1)由已知及正弦定理得 3 sin A ? 2sin C sin A , ∵ sin A ? 0 ,∴ sin C ?

? 3 ,由锐角 ?ABC ,得 C ? . 3 2
2 2

(2)由(1)及余弦定理得, a ? b ? ab ? 4 ,又因为 ?ABC 的面积等于 3 , 所以

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . 2

联立方程组 ?

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ?ab ? 4,

解得 a ? 2, b ? 2 .

?a2 ? a1 ? d ? 3 ?a1 ? 1 ? 20.解 (1)设 {an } 的公差为 d ,则 ? ,? 6?5 S6 ? 6a1 ? ? d ? 36 ?d ? 2 ? ? 2
∴ an ? a1 ? (n ?1) ? d ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1 . (2)设 {bn } 的公比为 q ,则 b4 ? b5 ? (b1 ? b2 ) ? q3 ? 3 ? q3 ? 24 , ∴ q ? 8 ,∴ q ? 2 ,∴ b1 ? 2 ? b1 ? 3 ,∴ b1 ? 1 ,∴ bn ? 2n?1 .
3

令 cn ? an ? bn ? (2n ?1) ? 2n?1

Tn ? 1? 2? ? 3? 2? ? 5 ? 22 ???? ? (2n ?1) ? 2n?1
2Tn ? 1? 2? ? 3? 22 ???? ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n

?Tn ? 1? 2? ? 2 ? 2? ???? ? 2 ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n
? 1? 4 ? 2n ?1 ? (2n ? 1) ? 2n 1? 2

? ?3 ? (3 ? 2n) ? 2n
∴ Tn ? (2n ? 3) ? 2 ? 3
n

21.解 设污水池的长为 x m,则宽为

400 m,总造价为 y 元,则 x

y ? (2 x ? 2 ?

400 400 ) ? 200 ? 2 ? 250 ? ? 80 ? 400 x x

? 400( x ?

900 900 ) ? 32000 ? 400 ? 2 x ? ? 32000 ? 56000 . x x

900 ,即 x ? 30 时取等号. x 40 所以,污水池的长为 30m,宽为 m 时,总造价最低,最低总造价为 56000 元. 3
当且仅当 x ?


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