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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2 复数代数形式的加、减运算及其几何意义


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3.2.1

3.2.1

复数代数形式的加、减运算及其几 何意义

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【学习要求】 1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则. 2.理解复数加减法的几何意义,能够利用“数形结合”的 思想解题. 【学法指导】 复数的代数形式的加减法运算可以类比多项式的加减法 运算,利用向量的加法来理解复数加法的几何意义,数 形结合.

填一填· 知识要点、记下疑难点

3.2.1

1.复数加法与减法的运算法则
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(1)设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,则z1+z2= (a-c)+(b-d)i (a+c)+(b+d)i ________________,z1-z2=________________.

z2+z1 (2)对任意z1,z2,z3∈C,有z1+z2=________, z1+(z2+z3) (z1+z2)+z3=__________.

填一填· 知识要点、记下疑难点

3.2.1

2.复数加减法的几何意义 → → 如图:设复数z1,z2对应向量分别为 OZ 1, OZ 2,四边形 → OZ1ZZ2为平行四边形,则与z1+z2对应的向量是______, OZ → Z2Z1 与z1-z2对应的向量是______.

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3.2.1

探究点一
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复数加减法的运算

我们规定,复数的加法法则如下: 设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,那么(a+bi)+(c +di)=(a+c)+(b+d)i. 提出问题: 问题1 两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗?
答 仍然是个复数,且是一个确定的复数;

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问题2 当b=0,d=0时,与实数加法法则一致吗?
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答 一致.

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问题3 它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法?
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答 实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于 实数运算中的合并同类项.

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问题4 实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这 些运算律吗?并试着证明.
答 满足,对任意的z1,z2,z3∈C,
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有交换律:z1+z2=z2+z1.

结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
证明:设z1=a+bi,z2=c+di,z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z2 +z1=(c+a)+(d+b)i, 显然,z1+z2=z2+z1,同理可得(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

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问题5 类比于复数的加法法则,试着给出复数的减法法
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则.
答 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

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例1

计算:

(1)(1+2i)+(-2+i)+(-2-i)+(1-2i); (2)1+(i+i2)+(-1+2i)+(-1-2i).
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解 (1)原式=(1-2-2+1)+(2+1-1-2)i=-2. (2)原式=1+(i-1)+(-1+2i)+(-1-2i) =(1-1-1-1)+(1+2-2)i=-2+i.

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小结 复数的加减法运算,就是实部与实部相加减做实部, 虚部与虚部相加减作虚部,同时也把i看作字母,类比多项 式加减中的合并同类项.

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跟踪训练1

(1)计算2i-[(3+2i)+3(-1+3i)];

(2)计算(a+2bi)-(3a-4bi)-5i(a,b∈R);

解 (1)原式=2i-(3+2i-3+9i)=2i-11i=-9i.
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(2)原式=-2a+6bi-5i=-2a+(6b-5)i.

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探究点二

复数加减法的几何意义

问题1 复数与复平面内的向量一一对应,你能从向量加法 的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗? → → 答 如图,设 OZ1 , OZ2 分别与复数a+ → → bi,c+di对应,则有 OZ =(a,b), OZ
1 2

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→ =(c,d),由向量加法的几何意义 OZ1 + → OZ2=(a+c,b+d),

→ → 所以 OZ1 + OZ2 与复数(a+c)+(b+d)i对应复数的加法可 以按照向量的加法来进行.

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问题2 怎样作出与复数z1-z2对应的向量?
答 z1-z2可以看作z1+(-z2).因为复数的
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加法可以按照向量的加法来进行. 所以可以按照平行四边形法则或三角形法 则作出与z1-z2对应的向量(如图). → → 图中OZ1对应复数z1,OZ2对应复数z2, 则Z→ 对应复数z -z . Z
2 1 1 2

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例2

如图所示,平行四边形OABC的顶点O,

A,C分别表示0,3+2i,-2+4i.求: → (1)AO表示的复数;
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→ (2)对角线CA表示的复数; → (3)对角线OB表示的复数. → → → 解 (1)因为AO=-OA,所以AO表示的复数为-3-2i.
→ → → → (2)因为CA =OA -OC ,所以对角线CA 表示的复数为(3+2i) -(-2+4i)=5-2i. → → → → (3)因为对角线OB =OA +OC ,所以对角线OB 表示的复数为
(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.

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小结 复数的加减法可以转化为向量的加减法,体现了数 形结合思想在复数中的运用.

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跟踪训练2 复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们 在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点,求这个正 方形的第四个顶点对应的复数. 解 设复数z1,z2,z3在复平面内所对应的点
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分别为A,B,C,正方形的第四个顶点D对应 的复数为x+yi(x,y∈R),如图.

→ → → 则AD=OD-OA=(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i, → → → BC=OC-OB=(-1-2i)-(-2+i)=1-3i.
→ → ∵AD=BC,∴(x-1)+(y-2)i=1-3i.
?x-1=1 ? ∴? ?y-2=-3 ? ?x=2 ? ,解得? ?y=-1 ?



故点D对应的复数为2-i.

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探究点三

复数加减法的综合应用

例3 已知|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,求|z1+z2|.
解 方法一 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
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∵|z1|=|z2|=|z1-z2|=1, ∴a2+b2=c2+d2=1, (a-c)2+(b-d)2=1 由①②得2ac+2bd=1, ∴|z1+z2|= ?a+c?2+?b+d?2 = a2+c2+b2+d2+2ac+2bd= 3. ① ②

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方法二 设O为坐标原点, z1,z2,z1+z2对应的点分别为A,B,C. ∵|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,
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∴△OAB是边长为1的正三角形, ∴四边形OACB是一个内角为60° ,边长为1的菱形,
且|z1+z2|是菱形的较长的对角线OC的长, → ∴|z +z |=|OC|
1 2



→ → → → |OA|2+|AC|2-2|OA||AC|cos 120° 3. =

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小结

(1)设出复数z=x+yi(x,y∈R),利用复数相等或模

的概念,可把条件转化为x,y满足的关系式,利用方程思想
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求解,这是本章“复数问题实数化”思想的应用. (2)在复平面内,z1,z2对应的点为A,B,z1+z2对应的点为 C,O为坐标原点,则四边形OACB①为平行四边形;②若 |z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;③若|z1|=|z2|,则 四边形OACB为菱形;④若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四 边形OACB为正方形.

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跟踪训练3 本例中,若条件变成|z1|=|z2|=1,|z1+z2|= 2 . 求|z1-z2|. 解 由|z1|=|z2|=1,|z1+z2|= 2,
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知z1,z2,z1+z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶 点, 所求|z1-z2|是这个正方形的一条对角线长, 所以|z1-z2|= 2.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

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1 1 1.复数z1=2- i,z2= -2i,则z1+z2等于 2 2 3 5 A.0 B. + i 2 2 5 5 5 3 C. - i D. - i 2 2 2 2 1 1 5 5 解析 z1+z2=(2+ )-( +2)i= - i. 2 2 2 2

( C )

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2.若z+3-2i=4+i,则z等于 A.1+i
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( B )

B.1+3i D.-1-3i

C.-1-i

解析 z=4+i-(3-2i)=1+3i.

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→ → → 3.在复平面内,O是原点, OA , OC , AB 表示的复数分别 → 为-2+i,3+2i,1+5i,则BC表示的复数为 ( C )
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A.2+8i

B.-6-6i

C.4-4i D.-4+2i → → → → → → 解析 BC=OC-OB=OC-(AB+OA)=4-4i.

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4.若|z-1|=|z+1|,则复数z对应的点在 A.实轴上
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( B )

B.虚轴上 D.第二象限

C.第一象限

解析 ∵|z-1|=|z+1|,

∴点Z到(1,0)和(-1,0)的距离相等, 即点Z在以(1,0)和(-1,0)为端点的线段的中垂线上.

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1.复数代数形式的加减法满足交换律、结合律,复数的减
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法是加法的逆运算. 2.复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法 则.复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.


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