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2015年杭州市高一统测数学荅案


2015 年杭州市高一年级教学质量检测 数学试题卷 一、选择题:本大题共 25 小题,1-20 题每小题 2 分, 21-25 每小题 3 分,共 55 分,在每个小题给出的四个 选项中,有且只有一项是符合题目要求的. 题号 答案 题号 答案 1 A 14 A 2 D 15 C 3 B 16 B 4 B 17 A 5 A 18 C 6 D 19 B 7 A 20 B 8 A 21 A 9 C 22 B 10 C 23 D 11 A 24 D 12 C 25 C 13 A

二、填空题:本大题有 5 小题,每题 3 分,共 15 分.请将答案填写在答题卷中的横线上. 3 1 4 26.4 27.- 28. ? 29.- 30.(-1,1) 5 2 3 三.解答题:本大题共 3 小题,共 30 分,要求写出详细的推证和运算过程 1 1 31.解: (Ⅰ)先作出 2a,再作出 b,最后再作 2a- b,如右图所示. 2 2 (Ⅱ)设 a+b 与 a-b 的夹角为 θ,则 (a ? b) ? (a ? b) cosθ= | a ? b || a ? b | ?3 = (a ? b ) 2 (a ? b ) 2 =
b

1 b 2 a

1 2a- b 2

a

?3 5?2 2 5?2 2

??

3 17 . 17

π 1 π? ? 32.解: (Ⅰ)因为 sin(? ? ) ? cos ? ? ? ? , 3 2 6? ?

π π π π ? 2cos ? sin ? cos ? cos ? sin ? sin , 3 3 6 6 2π 即 sin ? ? 3 cos ? ? 0 ,又 ? ? ? 0, π ? ? ? ? , 3 4π ? 3. 所以 tan 2? ? tan 3 2π (Ⅱ)因为 ? ? , 3 所以 f (x) ? 4sin x cos x cos2? ? cos2 x sin 2? ? 1 4π 4π 3 ? 2sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? 1 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 3 3 2 7 ?? sin ? 2 x ? ? ? ? 1 . 2 7 ?1 . 当 sin ? 2 x ? ? ? ? ?1 时,f (x)的最大值为 2
所以 2sin ? cos

1

?? x ? 2 ?? x ? 3? , x ? 3 ? ?? x ? 2 ?? 3 ? x ? ,0 ? x ? 3 33. (I) f ( x) ? ( x ? 2) x ? 3 ? ? ?? x ? 2 ?? 3 ? x ? , ?3 ? x ? 0 ? x ? 2 ? x ? 3 , x ? ?3 ?? ? ?? 画出分段函数图象

? 1 5? 可得单调递增区间为 ? ??, ?3? , ? ? , ? , ?3, ?? ? . ? 2 2? ?? x ? 2 ?? x ? a ? , x ? a ? ?? x ? 2 ?? ? x ? a ? ,0 ? x ? a (II) f ? x ? ? ? ?? x ? 2 ?? x ? a ? , ?a ? x ? 0 ? x ? 2 ? x ? a , x ? ?a ?? ? ??
n i (1)若 0 ? a ? 2 时(图 1) ,y ni m ?m
当 ?5 3 ? a ? ?2a 时,解得 a ? 所以当 0 ? a ? 2 时, ymin (2)若 a ? 2 时(图 2) ①若 2 ? a ? 3 时, ymin 当 ?5 ? 3 ? a ?

f 3, ? n i ? 5 3 ? 0f ? m ? ? ? ?

,? 2 ?? a ? a

?,

15 或 a ? 5, 7 ? ?5 ? 3 ? a ? .

2 ? a ? 2? ? ? ? ? ? ? 2 ? a ?? ? min ? f ? ?3? , f ? ?, ? ? ? min ??5 ? 3 ? a ? , ? 4 ? ? 2 ?? ? ? ? ?
2

? a ? 2? ??
4

时,解得 a ? ?12 ? 10 2 ? ? 2,3? ,

??5 ? 3 ? a ? , a ? 2,10 2 ? 12 ? ? 2 所以 ymin ? ? . a ? 2? ?? ? , a ? 10 2 ? 12,3 ? 4 ? ②若 a ? 3 时, (图 3)

?

?

?

?

2

2?a ,即 3 ? a ? 8 时, 2 2 ? a ? 2? . ? a?2? ymin ? f ? ? ? ? ? 2 ? 4 ? 2?a (ii)若 ? ?3 ,即 a ? 8 时, 2 ymin ? f ? ?3? ? ?5a ? 15 .
(i)若 ?a ? ?3 ?

图1

综上, f ? x ?min

??5 ? 3 ? a ? , a ? 0,10 2 ? 12 ? ? a?2 2 ? , a ? 10 2 ? 12,8 ? ? . ? ?? 4 ? ??5a ? 15, a ? ?8, ?? ? ? ?

?

图2

?

图3

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3


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