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浠水实验高中高三数学测试题


浠水实验高中高三数学测试题
一、选择题 1 、 定 义 集 合 A 、 B 的 一 种 运 算 : A ? B ? {x | x ? x1 ? x2 , 其 中 x1 ? A, x2 ? B } , 若

8、设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 (a6 ?1)3 ? 2012(a6 ?1) ? 1,(a2006 ?1)3 ?

A ? {1, 2, 3} B?
A 、9 2、已知复数 z ? A、第一象限

{1,,则 2} A ? B 中的所有元素数字之和为
B、14 C、18 D、21

2012(a2006 ?1) ? ?1则下列结论中正确的是 A、 S2011 ? 2011, a2006 ? a6 B、 S2011 ? 2011, a2006 ? a6 C、 S2012 ? ?2012, a2006 ? a6 D、 S2012 ? ?2012, a2006 ? a6
x2 ? y 2 ? 1的两个焦点分别为 F1、 9、 双曲线 F2, 点 P 在双曲线上, 且满足 | PF 1 | ? | PF 2 |? 2 5 , 3 则 ?PF 1F 2 的面积为 1 A、 B、 5 C、 3 D、1 2 10 、 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x , ? 1 )? ? f ( x ) 当 x ? (? 1 , 1 ]时 , ( x1?) , 1, ?l o 3g x ? 那么函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [?5,5] 上零点 f ( x )? x 2 g, x (? ? ) x ?2 ,x ? 1 ,
的个数为 A、9 B 、8 C 、7 D、6

1 ,则 z ? i 在复平面内对应的点位于 1? i
B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

3、给出下列两个命题:命题 p1 : y ? ln[(1 ? x)(1 ? x)] 为偶函数;命题 p2 : y ? ln 数,则下列命题是假命题的是 A、 p1 ? p2 B、 p1 ? ?p2 C、 p1 ? p2 D、 p1 ? ?p2

1? x 为奇函 1? x

? x ? 2 y ? 1 ? 0, y ?1 ? 4、已知变量 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 0, 则z ? 的取值范围为 x ? 1 ? x ? 1, ?
A、 [1, 2] B、 [1, ]

3 2

C、 [ ?1, ]

1 2

D、 [ , ]

1 3 2 2

二、填空题(15、16 题选做一题) 11、已知平面向量 a ? b 满足 a ? (b ? a) ? 2 ,且 | a |? 1,| b |? 2 ,则 a 与 b 的夹角为 12、曲线 y ? .

5、某几何体的三视图如图所示,则其侧面积为

2? 3 ? 6 3? 2 D、 2 2 ? ? 6、 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图象关于直线 x ? 对称, 且 f ( ) ? 0, 则? 的 3 12
A、 B、 C、 最小值为 A、2 B、4 C、6 D、8 7、执行如图所示的程序框图,若输出的 S 值为 516,则 M=

3? 2 ? 6 2

6? 2 ? 3 2

1 ? 2 x ? 2e 2 x ,直线 x ? 1, x ? e 和 x 轴所围成的区域的面积是 . x 13、 在锐角三角形 ABC 中, a, b, c 分别为 A, B, C 的对边, 且 3a ? 2c sin A, c ? 7, ?ABC

3 3 ,则 a+b= . 2 14、在三棱锥 S ? ABC 中, AB ? BC, AB ? BC ? 2, SA ? SC ? 2 ,二面角 S—AC—B 的
的面积为 余弦值是 ?

3 ,若 S、A、B、C 都在同一球面上,则该球的表面积是 3

.

15、如图,AD,AE,BC 分别与圆 O 切于点 D,E,F,延长 AF 与 圆 O 交于另一点 G.给出下列三个结论: ①AD+AE=AB+BC+CA; ② AF ? AG ? AD ? AE ; ③ ?AFB∽?ADG ; 其中正确结论的序号是 .

16、 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos ? (? 为参数 ) ,在极坐标系(原 ? y ? 1 ? sin ? 点与极点重合, x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C2 的方程为 ? (cos ? ? sin ? ) ? 1 ? 0 ,则
C1 和 C2 的交点个数为 .

第 5 题图 A 、4 B、5 C、6

第 7 题图 D、7

1

三、解答题 17 、 在 ?ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 向 量

20、如图,四棱锥 A—BCDE 中, ?ABC 是正三角形,四边形 BCDE 是矩形,且平面 ABC ? 平面 BCDE,AB=2,AD=4. (1)若点 G 是 AE 的中点,求证:AC//平面 BDG; (2)试问点 F 在线段 AB 上什么位置时,二面角 B—CE—F 的余弦值为

p?( s i A n b ? , c ) ? q,
(1)求角 B 的大小; (2)设 m ? (sin( C ?

? a( c , ? sC i ,满足 n B | sp i ?n q |?| )p ? q | .

? 1

), ), n ? (2 k,cos 2 A) ( k ?1) , m ? n 有最大值为 3,求 k 的值. 3 2

3 13 . 13

18、 已知函数 f ( x) ? x ? bx 为偶函数, 数列 {an } 满足 an?1 ? 2 f (an ? 1) ? 1, 且 a1 ? 3 , an ? 1 .
2

(1)设 bn ? log 2 ( an ?1) ,求证:数列 {bn ? 1} 为等比数列; (2)设 cn ? nbn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn .

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F2 (3,0) ,离心率为 e . a 2 b2 3 (1)若 e ? ,求椭圆的方程; 2 (2)设直线 y ? kx 与椭圆相交于 A,B 两点,M,N 分别为线段 AF2,BF2 的中点.若坐标原
21、已知椭圆 点 O 在以 MN 为直径圆上,且

2 3 ,求 k 的取值范围. ?e? 2 2

19、某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取 60 名同学将其成绩(百分制) (均为整数)分 成 6 组后,得到部分频率分布直方图(如图) ,观察图形中的信息,回答下列问题. (1)求分数在 [70,80) 内的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)从频率分布直方图中,估计本次考试的平均分; (3)若从 60 名学生中随机抽取 2 人,抽到的学生成绩在 [40,70) 记 0 分,在 [70,100) 记 1 分,用 X 表示抽取结 束后的总记分,求 X 的分布列和数学期望. 22、已知函数 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x2 ? ax ? 3 . (1)求函数 f ( x ) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值; (2)若存在 x ? [ , e](e 是自然对数的底数, e ? 2.71828 求实数 a 的取值范围.

1 e

) 使不等式 2 f ( x) ? g ( x) 成立,

2

高三数学测试题参考答案
一、选择题 1 2 B B 二、填空题 11、 3 D
2e

?? An ? 2 ? 22 ? 23 ?
8 A 16、2 个 9 D 10 B

? 2n ? n ? 2n?1 ?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ? n ? 2n?1 ? 2 , 1? 2
9分

4 B 13、5

5 C 14、6 ?

6 A

7 B 15、①②

? An ? (n ?1)2n?1 ? 2 .
设 Bn ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ?

? 3

12、 e

17 、 解 析

( 1 ) 由 条 件 | p ? q |?| p ? q | , 两 边 平 方 得 p ? q ? 0 . 又

q ? (sin A, b ? c), q ? (a ? c,sin C ? sin B) , 代入得 (a ? c)sin A ? (b ? c)(sin C ? sin B) ? 0 . 根据正弦定理,可化为 a(a ? c) ? (b ? c)(c ? b) ? 0 , 3分 2 2 2 即 a ? c ? b ? ac , 2 2 2 又由余弦定理 a ? c ? b ? 2ac cos B 1 ? 所以 cos B ? , B ? 60 . 6分 2 ? 1 (2) m ? (sin(C ? ), ), n ? (2k , cos 2 A) ( k ? 1) , 3 2 ? 1 1 m ? n ? 2k sin(C ? ) ? cos 2 A ? 2k sin(C ? B) ? cos 2 A 3 2 2 1 1 ? 2k sin A ? cos 2 A ? ? ? sin 2 A ? 2k sin A ? 2 2 1 ? ?(sin A ? k ) 2 ? k 2 ? (k ? 1) 9分 2 2 而 0 ? A ? ? ,sin A ? (0,1] , 3 1 7 故当 sin A ? 1 时, m ? n 取最大值为 2k ? ? 3 ,得 k ? . 12 分 2 4 18、 解析 (1) 函数 f ( x) ? x2 ? bx 为偶函数, ?b ? 0,? f ( x) ? x2 ,?an?1 ? 2 f (an ?1) ?

n(n ? 1) , 2 n(n ? 1) ? Sn ? An ? Bn ? (n ? 1)2n ?1 ? 2 ? . 12 分 2 19 、 解 析 ( 1 ) 设 分 数 在 [70,80) 内 的 频 率 为 x , 根 据 频 率 分 布 直 方 图 , 则 有 (0.01 ? 0.015 ? 2 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? x ? 1 ,可得 x ? 0.3 ,所以频率分布直方图如

? n ,则 Bn ?

图所示.

3分 (2)平均分为: x ? 45 ? 0.1 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.15 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.25 ? 95 ? 0.05 ? 71. 6分 (3)学生成绩在 [40,70) 的有 0.4 ? 60 ? 24 人,在 [70,100) 的有 0.6 ? 60 ? 36 人,并且 X 的 可能取值是 0,1,2. 则 P( X ? 0) ?
1 1 2 2 C24 C36 C36 C24 46 144 105 , , , 9分 ? P ( X ? 1) ? ? P ( X ? 0) ? ? 2 2 2 C60 295 C60 295 C60 295

所以 X 的分布列为 X P 0 1 2

46 144 105 295 295 295 46 144 105 354 ? E( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2? ? . 295 295 295 295

12 分

1 ? 2(an ?1)2 ? 1 ,?an?1 ?1 ? 2 f (an ?1)2 . 又 a1 ? 3, an ? 1, bn ? log2 (an ?1),?b1 ? log2 (a1 ?1) ? 1 ,
?
2

3分

bn?1 ? 1 log 2 (an?1 ? 1) ? 1 log 2 [2(an ?1) ] ? 1 2 ? 2log 2 (an ?1) ? ? ? ? 2. bn ? 1 log 2 (an ? 1) ? 1 log 2 (an ?1) ? 1 log 2 (an ?1) ? 1 6分 ? 数列 {bn ? 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列.
(2)由(1)得, bn ? 1 ? 2 ,?bn ? 2 ?1,?cn ? nbn ? n2 ? n ,
n n n

20、解析 (1)证明,设 BD,CE 交于点 O,连接 OG,易知 OG 为 ?ACE 的中位线,故 OG//AC,又 AC ? 平面 BDG,OG ? 平面 BDG,得 AC//平面 BDG. 4分 (2)解:如图,建立空间直角坐标系 H ? xyz .

设 An ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? 则 2 An ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ?

? n ? 2n , ? n ? 2n?1 ,
在 Rt ?ACD 中,斜边 AD=4,AC=2,得 CD= 2 3 .

? A(0,0, 3), B(1,0,0), C(?1,0,0), E(1, 2 3,0) .

3

设 BF ? ? BA ,得 F (1, ??,0, 3? ) . 设平面 CEF 的一个法向量为 n ,由 ?

6分

? ?n ? CE ? 0 ? ?n ? CF ? 0

? ?2 x ? 2 3 y ? 0, ?? ?n ? (2 ? ? , 0, 3? ) ? 0 ? ?(2 ? ? ) x ? 3? z ? 0, ? 2 取 x ? 3 ,得 n ? ( 3, ?1,1 ? ) . 9分 ? ?n ? n2 3 而平面 BCE 的法向量 n0 ? (0,0,1) ,? 由题得 , 13 ? 13 | n | ? | n0 |
即?

? ?n ? (2, 2 3, 0) ? 0

2


3 ? 13

?

?1 2

,解得 ? ? ?1 (舍去)或 ? ?

4 ? (1 ? )2

1 . 2

11 分

?

? 当点 F 在线段 AB 的中点时,二面角 B—CE—F 的余弦值为
?c ? 3, ? 21、解析 (1)由题意得 ? c 3 得a ? 2 3 . ? , ? 2 ?a 结合 a2 ? b2 ? c2 ,?a2 ? 12, b2 ? 3 .
所以,椭圆的方程为

3 13 . 12 分 13
2分 3分 4分

x2 y 2 ? ? 1. 12 3

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 2 2 2 2 (2)由 ? a 2 b 2 得 (b ? a k ) x ? a b ? 0 . ? y ? kx, ? 设 A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) .
? a 2b 2 所以 x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 2 . b ? a2k 2 依题意, OM ? ON ,
易知,四边形 OMF2N 为平行四边形, 所以 AF2 ? BF2 . 因为 F2 A ? ( x1 ? 3, y1 ), F2 B ? ( x2 ? 3, y2 ) , 所以 F2 A ? F2 B ? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? 9 ? 0 . 即 6分

7分

a 4 ? 18a 2 ? 81 1 ? ?1 ? 4 . 4 2 ?a ? 18a a ? 18a 2 2 3 因为 ,所以 2 3 ? a ? 3 2,12 ? a2 ? 18 . 11 分 ?e? 2 2 1 2 2 2 所以 k ? ,即 k ? (??, ? 13 分 ] ( , ??) . 8 4 4 1 22、解析 (1)由题意知 f ?( x) ? ln x ? 1 ,当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递 e 1 减;当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递增. 2分 e 1 当 0 ? t ? t ? 2 ? 时, t 无解; e 1 1 1 1 当 0 ? t ? ? t ? 2 ,即 0 ? t ? 时 f ( x) min ? f ( ) ? ? ; e e e e 1 1 当 ? t ? t ? 2 ,即 t ? 时, f ( x ) 在 [t ? t ? 2] 上单调递增,故 f ( x)min ? f (t ) ? t ln t . e e 1 ? 1 ? , 0 ? t ? , ? ? e e 所以 f ( x) min ? ? 6分 1 ?t ln t , t ? . ? e ? 3 2 (2)由题意知 2 x ln x ? ? x ? ax ? 3 ,即 a ? 2 ln x ? x ? . x 3 2 3 ( x ? 3)( x ? 1) 设 h( x) ? 2 ln x ? x ? ( x ? 0) ,则 h?( x) ? ? 1 ? 2 ? . 8分 x x x x2 1 当 x ? [ ,1) 时, h?( x) ? 0 ,此时 h( x) 单调递减; e 当 x ? (1, e] 时, h?( x) ? 0 ,此时 h( x) 单调递增; 1 1 h ( ), h e ( )} 所以 h( x)m a x ? max{ ,因为存在 x ? [ , e ],使 2 f ( x ) ? g ( x )成立,所 以 e e 1 1 3 又 h( ) ? ?2 ? ? 3e, h(e) ? 2 ? e ? , 11 分 a ? h( x)max . e e e 1 1 故 h( ) ? h(e) ,所以 a ? ? 3e ? 2 . 14 分 e e
将其整理为 k ?
2

?a 2 (a 2 ? 9)(1 ? k 2 ) ? 9 ? 0, a 2 k 2 ? (a 2 ? 9)

10 分

4


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