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31.2.1


知识回顾;任意角的三角函数 定义
那么:(1)y 叫做

设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P( x, y )

? 的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? ? y ; (2)x 叫做 ? 的余弦,记作 cos?,即 cos? ? x ; y ? 的正切,记作tan? ,即 tan ? ? y ( x ? 0) (3) 叫做
x
x
y

P ? x, y ?


O

?
A?1,0? x

所以,正弦,余弦,正切都 是以角为自变量,以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数,我们将他们称为三角函数.

使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域.

? 的终边 y

说 明
(1)正弦就是交点的纵坐标,余弦就是交点

P( x, y )

?
o

x
A(1,0)

正切就是 交点的纵坐标与 的横坐标,
横坐标的比值. (2) 正弦、余弦总有意义.当

y ? 横坐标等于0,tan ? ? 无意义,此时 ? ? ? k? (k ? z ). x 2

? 的终边在 y 轴上时,点P 的

(3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系, 三角函数可以看成是自变量为实数的函数.

定义推广:
设角? 是一个任意角, ( x, y ) 是终边上的任意一点, P 点 P 与原点的距离 r ?

x 2 ? y 2 ? 0.

y y sin ? ? 那么① 叫做 ? 的正弦,即 r r x x ② r 叫做? 的余弦,即 cos ? ? r y y tan ? ? ?x ? 0? ③ x 叫做? 的正弦,即 x

任意角? 的三角函数值仅与 ? 有关,而与点 P 在角的 终边上的位置无关.




1.根据三角函数的定义,确定它们的定义域 (弧度制)
三角函数 定义域

cos?

sin ?

R
R
? ? ? ?? ? ? ? k? (k ? Z )? 2 ? ?

tan?

2.确定三角函数值在各象限的符号
y ( +) + o x ( - )( - )
sin ?

y ( - )( +) o x ( - )( + ) cos?

y ( -) ( + ) o x ( +) ( - ) tan?

三个三角函数在各象限的符号
y sin ? ? r
y + +

x cos ? ? r
y
x -o + + x

y tan ? ? x
y
+ o + - x

o

-

y

sin ? 全为+
tan ?
o

记法:
一全正 二正弦 三正切 四余弦

cos?

x

心得:角定象限,象限定符号.

P15.3

例3. 求证:当下列不等式组成立时,角 ?

为第三象限角.反之也对.

证明:

?sin ? ? 0 ? ? tan? ? 0

① ②

因为①式sin ? ? 0 成立,所以 ? 角的终边可能位于第三 或第四象限,也可能位于y 轴的非正半轴上; 又因为②式 tan ? ? 0 成立,所以角? 的终边可能位于 第一或第三象限. 因为①②式都成立,所以角? 的终边只能位于第三象限. 于是角 ? 为第三象限角.

反过来请同学们自己证明.

P15.6



如果两个角的终边相同,那么这两 个角的同一三角函数值有何关系?
终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)

sin(? ? k ? 2? ) ? sin ? cos(? ? k ? 2? ) ? cos? tan( ? k ? 2? ) ? tan? ?
其中

k?z

利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为 求 0到2?

?或0? ? 360?? 角的三角函数值 .

例题
例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos250 ;(2) sin(23? ( 5 ) sin 3.cos 4.tan( ? ) 4
?

?
4

);(3) tan(-672 ? );(4) tan3 ? .

解: (1)因为

250 ?是第三象限角,所以 cos 250 ? ? 0;

? ? ? sin ? ? ? ? 0; 是第四象限角,所以 4 ? 4? (3)因为 tan(?672?)= tan(48? ? 2 ? 360?) ? tan 48?, 而48 ?是第一象限角,所以 tan(?672?) ? 0;

(2)因为 ?

?

(4)tan3? ? tan(? ? 2? ) ? tan? ? 0.

例5.求下列三角函数值: 9π 11π (1)sin1480 10'; (2)cos ; (3)tan() 4 6
o

解:(1)sin1480o10' = sin(40o10' + 4 ? 360o )
= sin40 10' ? 0.645;
o

9? ? ? 2 (2) cos ? cos( ? 2? ) ? cos ? ; 4 4 4 2
11? ? ? 3 (3) tan(? ) ? tan( ? 2? ) ? tan ? . 6 6 6 3

6.已知 ? 在第二象限, 试确定 sin(cos?)?cos(sin?) 的符号.
解: ∵? 在第二象限, ∴-1<cos?<0, 0<sin?<1. ∵- ? <-1, 1< ? , ∴- ? <cos?<0, 0<sin?< ? . 2 2 2 2 ∴sin(cos?)<0, cos(sin?)>0. ∴sin(cos?)?cos(sin?)<0. 故 sin(cos?)?cos(sin?) 的符号为“ - ”号.

? 11? 练习:求值 cos ? ? ? 3
? 11? 解: ? ? cos ? 3

? ? 71? ? ? sin ? ? ? ? 6

? ? 19? ? ? ? tan ? ? ? ? 3 ?

? ? 71? ? ? sin ? ? ? ? 6

? ? 19? ? ? ? tan ? ? ? ? 3 ?

?? ?? ?? ? ? ? ? cos ? ?4? ? ? ? sin ? ?12? ? ? ? tan ? 6? ? ? 3? 6? 3? ? ? ?

? cos

?
3

? sin

?
6

? tan

?
3

1 1 ? ? ? 3 ? 1? 3 2 2

归纳
1. 内容总结:

总结

①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一. 2 .方法总结: 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想: 划归的思想,数形结合的思想.

下面我们再从图形角度认识一下三角函数.

sin? ? y ? MP
M
A P

cos? ? x ? OM

思考: 为了去掉等式中得绝对值符号,能否 给线段OM、MP规定一个适当的方向, 使它们的取值与点P的坐标一致?

我们把带有方向的线段叫有向线段. (规定:与坐标轴相同的方向为正方向).
y
? 的终边

P
x

M?
? 的终边
P?
o M

T P MA
(1,0)

sin ? ? y= MP

P

cos ? ? x ? OM

M

A T

y MP AT tan ? ? ? ? ? AT x OM OA
T M P A MA P T

这几条与单位圆有关的有向线段 MP 、OM 、AT 分别叫做角? 的正弦线、余弦线、正切线.统称为 三角函数线.
T P
M A

P M

T A T
M P

A

MA

P T

当角? 的终边在 x 轴上时,正弦线、正切线分别 变成一个点;此时角? 的正弦值和正切值都为0 当角? 的终边在 y 轴上时,余弦线变成一个点, 正切线不存在.此时角? 的正切值不存在。

例 题 示 范
4? 例1.作出角 ? 的正弦线, 余弦线, 正切线. 3
?

Py M A x

MP是正弦线 OM是余弦线 AT是正切线

o

T

例2.作出下列各角的正弦线,余弦线,正切线. ? 2? (1) ;(2)? . 3 3

例1.在0~ 2? 内,求使

3 sin a > 2
y

成立的α的取值范围.
y = 3 2
P2 P P1 M

x

O

p 2p a ? ( , ) 3 3

例2.利用单位圆寻找适合下列条件的0?到360?的角.
s i n? ? 1 2

3 tan ? ? 3
y

解:
P2

y P1 o x
210?

30?T

o

A

x

30?≤?≤150?

30?<?<90?或210?<?<270?

π 例3.若0 ? α ? ,试比较sin? ,tan? ,? 的大小. 2
?


解:如图,在单位圆中,设?AOP=? ? ? ( (0, )),则AP=? . 2 过点P作PM ? OA于M,过点A作AT ? OA交OP的延长线于T,

则角?的正弦线为MP,正切线为AT .
??POA的面积<扇形POA的面积<?AOT的面积,
1 1 1 ? ? OA ? MP< ? OA ? ? < ? OA ? AT, 2 2 2

y

T P

即MP ? ? ? AT.

O

M Ax

?sin ? ? ? ? tan ? .

例4.利用三角函数线比较下列各组数的大小:
2? 4? sin 与 sin 3 5
2? 4? tan 与 tan 3 5

解: 如图可知:
2? 4? sin ? sin 3 5

S2

S1 P1 P2
M2 M1 o

B

A

例4.利用三角函数线比较下列各组数的大小:
2? 4? si n 与 si n 3 5

2? 4? tan 与 tan 3 5
S2 S1 B

解: 如图可知:
2? 4? si n ? si n 3 5 2? 4? tan ? tan 3 5

A
o T2

T1

例5.求函数 f (a ) = 2cos a - 1 的定义域.
y P2 P

1 cos a ? 2

O

M

x
P1

p p a?[ + 2k p, + 2k p ](k 3 3

1 x = 2

Z)

练习
3? 5? 3? 3? 7? A( , ) B( , ) C ( , 2? ) D( , ) 2 4 4 4 2 2 4

1.在(0, 2? )内使 cos x ? sin x ? tan x成立的x的取值范围是( C )

? 3?

y

o

M A x

3? 2.若? ? ( , ? ),则下列各式错误的是( D ) 4

P T
y P M o x y=-x

( A)sin ? ? cos ? ? 0
(C ) | sin ? |?| cos ? |

( B)sin ? ? cos ? ? 0 ( D)sin ? ? cos ? ? 0

分析: ? ? 0,cos? ? 0,| sin ? |?| cos ? | sin

小结sin ? ? cos? ?的符号问题:
y
P P o M P

y

sin ? ? cos ? ? 1,?? ? (0, ) 2

?

x

M o M

x
y=-x

y y=-x M o P x

y

MM o P x P

0 ? sin ? ? cos ? ? 1,?? ? ( , ) 2 4 3? sin ? ? cos ? ? 0,?? ? ( , ? ) 4 ? ? cos 3?? ? (? , 3? ) sin? 2? ? ?? ? 0,? ? 2k? (k ? ? ) 若? k ?? 2 4 4 3? 7? 则sin ? ? ? cos ? ? 0,?? ? ( , ) sin ? cos ? ? 0 2 4 3? 7? 若 sin ? k? ? ? ? 0,??? 2( 7?(k 2?? ) ? 2 ? cos ? ? ? k? , ? ) 4 4 4 则sin ? ? cos ? ? 0

? 3?

小 结
1. sin(? ? k ? 2? ) ? sin ?

cos(? ? k ? 2? ) ? cos? t an( ? k ? 2? ) ? t an? (k ? z ) ?
2.三角函数线的定义,会画 任意角的三角函数线; 3. 利用单位圆比较三角函数值 的大小,求角的范围.


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