当前位置:首页 >> 数学 >>

空间角专题

空间角的求解 石桥中学 余昕伟
一、知识与方法整理: 空间角 异面直线所成的角 定义 范围 图示 直线和平面所成的角 二面角

作法 求空间角的一般步骤是: (一“作” ;二“证” ;三“求” ) (1)找出或作出有关的图形(将空间角转化为平面上的角研究) ; (2)证明此角为所求角; (3)计算。 二、例题讲解: 一、异面直线夹角问题 基础知识 1.定义: 直线 a、b 是异面直线,经过空间一交 o,分别 a?//a,b?//b,相交直线 a?b?所成的 锐角(或直角)叫做 。 2.范围: 3.方法: 平移法、问量法、三线角公式 (1)平移法:在图中选一个恰当的点(通常是线段端点或中点)作 a、b 的平行线,构造一 个三角形,并解三角形求角。 (2)向量法:可适当选取异面直线上的方向向量,利用公式 cos? ? cos ? a,b ? ? 求出来 方法 1:利用向量计算。选取一组基向量,分别算出 a ? b , a , b 代入上式 方法 2:利用向量坐标计算,建系,确定直线上某两点坐标进而求出方向向量

a ?b ab

a ? ( x1 , y1 , z1 )

s ? b ? ( x2 , y2 , z2 ) ? c o ?

x1 x2 ? y1 y 2 ? z1 z 2 x1 ? y1 ? z1
2 2 2

x2 ? y 2 ? z 2
P
a A ?1 ? ?2 B c

2

2

2

(3)三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于 斜线和平面内的直线所成角的余弦 即: cos?1 cos? 2 ? cos? 二、例题讲练

?

O b

D1

C1

例 1、 (1)如图,正棱柱 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 中, AA 1 ? 2 AB ,则异面直线

A1
D

B1
C
B

A1B 与 AD1 所成角的余弦值为_

_

_
?

(2) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA= 90 ,点 D1、F1 分别 是 A1B1 和 A1C1 的中点,若 BC=CA=CC1,求 BD1 与 AF1 所成的角的余 弦值_________。
1 石桥中学高二备课组第 1 页 共 8 页

A

(3)如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C 1D1 , E , F 分别为 BC 与 A1 D1 的中点, 直线 A1C 与 DE 所成的角等于
D1 A1 B1 C1

D A B

C

小结:线线角抓平行线。要求异面直线夹角,关键是将两条直线平移到同一平面上,将空间 角转化为平面角。 异面直线所成的角几何求法:①平移法 ②割补法 二、线面夹角问题 范围:_ _ _ 1.定义: (①斜线和平面所成的角②垂线与平面所成的角③ l ? ?或l // ? ) 2.直线与平面所成角范围是 。 3.斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角。 (最小值定理) 4. 求法: 几何法 公式法 问量法 (1)几何法:作出斜线与射影所成的角,论证所作(或所找)的角就是要滶的角,解三角 形求出此角。 (2)公式法: cos? ?

cos?1 ? cos?1 ? cos? 2 cos? cos? 2 AB ? ?于 点 B, ?AOB ? ? , ?AOC ? ?1 , ?BOC ? ? 2

A

O C

B

(即:与斜线射影所成的两角的余弦的积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦值) (3)向量法:设直线 a 与平面 ? 所成角为 ? ,直线 a 的方向向量与面 ? 的法向量分别是

m, n ,

则 ? m,n ? 的 余 角 或 其 补 角 的 余 角 即 为 a 与

? 所成的角? ,

sin ? ? cos ? m,n ? ?

m?n mn
m

n

例 2、 (1)直线 a 是平面 ? 的斜线, 直线 b 在平面 ? 内,当 a 与 b 成 60 的角, 且 b 与 a 在? O 内的射影成 45 的角时, a 与 ? 所成的角为( ) O O O O (A)60 (B)45 (C) 90 (D)30 (2)在如图所示的几何体中, EA ? 平面 ABC , DB ? 平面 ABC , AC ? BC ,且 AC ? BC ? BD ? 2 AE , M 是 AB 的中点. (I)求证: CM ? EM ; (II)求 CM 与平面 CDE 所成的角.
O

2 石桥中学高二备课组第 2 页 共 8 页

小结:线面角抓面垂线(定射影) 。要求直线与平面所成的角,关键是找到直线在此平面上 的射影,为此,必须在这条直线上的某一点处作一条(或找一条)平面的垂线。 斜线与平面所成的角求法:定义法(简单问题首选,难点建系) 三、二面角问题(文科注意基础,要求更低) 范围:_ _ _

基础知识
1.定义: 二面角:由一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 平面角: 过棱上同一点分别位于二面角的两个面内, 且与棱同时垂直的两条射线所成的角 叫做二面角的平面角,二面角的取值范围是 . 注:二面角是空间图形,平面角是平面图形。在书写时不要写成” ? AOB 为所求二面角”, 而应写成” ? AOB 为二面角 ? ? l ? ? 的平面角”。 2.求法:几何法 向量法 公式法 (1)几何法:作出二面角的平面角,再求解,常见的有
定义法 作 法 在棱 CD 上找一点 O,在两个面内分别 作棱的垂线 AO,BO ? AOB 为二面角 ? ? CD ? ? 的平面角 个半平面的交线分别为 AOBO ? AOB 为 ? ? CD ? ? 的平面角 过 B 内一点 A, 作 AB ? 作 BO ? CD 于 O,连结 AO, ? AOB 的 ? ? CD ? ? 平面角或其补角 图 形

过棱上一点 O 作棱的垂直平面 ? 与两 垂面法

三垂线法

? 交 ? 于 B,

(2)向量法: ①分别求出 ? 和 ? 的法向量 m, n , 则二面角 ? ? l ? ? 的大小为 ? m,n ? 或 ? — ? m,n ? 用此法须知: 〈1〉需建空间直角坐标系,定准相应点的坐标 〈2〉通常容易找到一个面的法向量,只需通过二次垂直,求另一个平面的法向量 〈3〉当 ? ? l ? ? 为锐角时 ? ? ? m,n ? ( ? m,n ? 为锐角) 或

? — ? m,n ? ( ? m,n ? 为钝角)
? ? AC ? EF 在平面 ? 内, BD ? EF ,且 B ? EF 分别求出 AC, BD ,则 ? ? A ? EF

②在平面 ? 内 ?

? AC,BD ? 即为二面角 ? ? EF ? ? 的大小
(3)公式法: ① 设 二 面 角

? ?l ? ?

的 大 小 为

? , AB ? ? , CD ? ? , AB ? l , CD ? l ,



AB ? m, CD ? n, BD ? d , 则

AC 2 ? m 2 ? n 2 ? d 2 ? 2mncos?
注意: BA 与 DC 所成的角一定与二面角的平面角大小相等,但不一定是异面直线 BA 和 CD 所成角的大小。 ②面积法: 设二面角 ? ? l ? ? 的平面 ? 内某一图形(一般取三角形)面积为 S,该图形
3 石桥中学高二备课组第 3 页 共 8 页

在 平 面 ? 上 射 影 面 积 为 S? , 二 面 角

? ?l ? ?

的 大 小 为

?

, 则

cos ? ?

例 3、 (1) 四边形 ABCD 是正方形, P 是平面 ABCD 外一点, 且 PA ? 平面 ABCD, PA=AB=a, 则二面角 B ? PC ? D 的大小为 。 (2)在二面角 ? ? l ? ? 的一个平面 ? 内有一条直线 AB,它与棱的夹角为 45? ,AB 与平 面 ? 所成的角为 30? ,则二面角的大小为 ; (3)二面角 ? ? l ? ? 是锐角,空间一点 P 到 ? , ? 和棱的距离分别是 2 2 ,4 和 4 2 ,则 这个二面角的度数为( ) A、 30? 或 45 ? B、 15 ? 或 75 ? C、 30? 或 60 ? D、 15 ? 或 60 ? (4) 如图,△ABC 中, ∠ABC= 30 , PA⊥平面 ABC, PC⊥BC, PB 与平面 ABC 成 45 ? 角, ①求证:平面 PBC⊥平面 PAC ; ②求二面角 A—PB—C 的正弦值。
?

S? S? (?为 锐 角 )或cos ? ? ? (?为 钝 角) S S

例 4、如图,平面 PCBM ? 平面 ABC , ?PCB ? 90? , PM // BC ,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60°,又 AC ? 1 , BC ? 2 PM ? 2 , ?ACB ? 90? . (Ⅰ)求证: AC ? BM ; (Ⅱ)求二面角 M ? AB ? C 的正切值; (Ⅲ)求多面体 PMABC 的体积.

小结:面面角抓棱垂线。要求二面角,关键是找到二面角的平面角,使得平面角的顶点在棱 上,两边分别在两个半平面上,且两边与棱垂直。 二面角的求法:注意“无棱的二面角问题” 。 课后练习:

2 AB ,E 为 AA1 中点, 1、 已知正四棱柱 ABCD ? A 则异面直线 BE 与 CD1 1B 1C1D 1 中,AA 1=
所形成角的余弦值为( (A) ) (B)

10 10

1 5

(C)

3 10 10

(D)

3 5

4 石桥中学高二备课组第 4 页 共 8 页

C 1 A1 B 1

B A D C

C D A B

2、 已知三棱柱 ABC ? A A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的 1B 1C1 的侧棱与底面边长都相等, 中点,则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为( )

(A)

3 4

(B)

5 4

(C)

7 4

(D)

3 4

AB , BB1 , B1C1 的中 3、如右图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,E,FG,H 分别为 AA 1,
点,则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于 4、 (09 浙江卷)在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点 D 是侧面

BB1C1C 的中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 (
A. 30
?

)
?
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

B. 45

?

C. 60

?

D. 90

5、如右图,若 A、B、C、D 是空间四个不同的点,在下列命题中, 不正确 的是( ) ... (A)若 AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面 (B)若 AC 与 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线 (C) 若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BC (D) 若 AB=AC,DB=DC,则 AD ? BC 6、如右图,四面体 ABCD 中,E、F 分别是 AC、BD 的中点,若 CD =2AB=2,EF⊥AB,则 EF 与 CD 所成的角等于________.

OB ? OC ? 2 , ,OB,OC 两两垂直, 7、 如图, 已知三棱锥 O ? ABC 的侧棱 OA 且 OA ? 1 , E 是 OC 的中点. (1)求 O 点到面 ABC 的距离; (2)求异面直线 BE 与 AC 所成的角; A (3)求二面角 E ? AB ? C 的大小.

O B





8、如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P ? ABCD中, AD // BC, ?ABC ? 90?,

PA ? 平面ABCD, PA ? 3, AD ? 2, AB ? 2 3 ,BC=6.
5 石桥中学高二备课组第 5 页 共 8 页

(Ⅰ)求证: BD ? 平面PAC;

(Ⅱ)求二面角 P ? BD ? A 的大小.

9、 (北京?理)如图,在 Rt△ AOB 中, ?OAB ?

π ,斜边 AB ? 4 . Rt△ AOC 可以通过 6 Rt△ AOB 以直线 AO 为轴旋转得到,且二面角 B ? AO ? C 是直二面角.动点 D 的斜边 AB 上. (I)求证:平面 COD ? 平面 AOB ; (II)当 D 为 AB 的中点时,求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小; (III)求 CD 与平面 AOB 所成角的最大值.
A

D

O

E

B

C
10、 如图, 矩形 ABCD 中, AB ? 6, BC ? 2 3 , 沿对角线 BD 将 ?ABD 向上折起, 使点 A 移至点 P ,且 P 在平面 BCD 的射影 O 在 DC 上。 (1)求二面角 P ? DB ? C 的平面角的余弦值。 (2)求直线 DC 与平面 PBD 所成角的正弦值。

球的问题

典型例题 1——球的截面
例 1 球面上有三点 A 、 B 、 C 组成这个球的一 个 截 面 的 内 接 三 角 形 三 个 顶 点 , 其 中 AB ? 18 , BC ? 24 、 AC ? 30 ,球心到这个截面的距离为球半 径的一半,求球的表面积. 分析:求球的表面积的关键是求球的半径,本题的条件涉及球的截面, ?ABC 是截面 的内接三角形,由此可利用三角形求截面圆的半径,球心到截面的距离为球半径的一半,从
6 石桥中学高二备课组第 6 页 共 8 页

而可由关系式 r ? R ? d 求出球半径 R . .
2 2 2

说明:涉及到球的截面的问题,总是使用关系式 r ?

R2 ? d 2 解题,我们可以通过两

个量求第三个量,也可能是抓三个量之间的其它关系,求三个量. 【练习】过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的弦 AB 、 AC 、 AD ,且两两夹角都 为 60 ? ,若球半径为 R ,求弦 AB 的长度. .

典型例题 2——球面距离(选讲,不涉及经纬度,强调弧长公式)
例 2 过球面上两点作球的大圆,可能的个数是( ) . A.有且只有一个 B.一个或无穷多个 C.无数个 例 3 球面上有 3 个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 D.以上均不正确

小圆的周长为 4? ,求这个球的半径. . 说明:本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题,除了考查常规 的与多面体综合外,还考查了球面距离,几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点, 是一道不可多得的好题. 例4

1 ,经过 3 个点的 6

A 、 B 是半径为 R 的球 O 的球面上两点,它们的球面距离为

?
2

R ,求

过 A 、 B 的平面中,与球心的最大距离是多少?

典型例题 3——其它问题
例 5 .自半径为 R 的球面上一点 M ,引球的三条两两垂直的弦 MA, MB, MC ,求

MA2 ? MB 2 ? MC 2 的值. .
说明: 此题突出构造法的使用, 以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算. 例 6.试比较等体积的球与正方体的表面积的大小. .

典型例题 4——球与几何体的切、接问题
说明:解决与球有关的接、切问题时,一般作一个适当的截面,将问题转化为平 面问题解决,这类截面通常指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等,在 这个截面中应包括每个几何体的主要元素, 且这个截面必须能反映出体和体之间 的主要位置关系和数量关系. 例 7 一个倒圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在容器内注入水,并放 入一个半径为 r 的铁球,这时水面恰好和球面相切.问将球从圆锥内取出后,圆 锥内水平面的高是多少? 分析:先作出轴截面,弄清楚圆锥和球相切时的位置特征,利用铁球取出后,锥内下降 部分(圆台)的体积等于球的体积,列式求解. 例 8.设正四面体中,第一个球是它的内切球,第二个球是它的外接球,求这两个球的 表面积之比及体积之比. 分析: 此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系, 第二个关键是两 个球的半径之间的关系,依靠体积分割的方法来解决的. . 说明:正四面体与球的接切问题,可通过线面关系证出,内切球和外接球的两个球心是
7 石桥中学高二备课组第 7 页 共 8 页

重合的,为正四面体高的四等分点,即定有内切球的半径 r ? 外接球的半径 R ? 3r . 立体几何-球专题训练

1 h ( h 为正四面体的高),且 4

1、半径为 5 的球被一个平面所截,截面面积为 16? ,则球心到截面的距离为 ( (A) 4 (B) 3 (C) 2.5 (D) 2



2 、自 半 径 为 1 的 球 面 上 一 点 Q , 作 球 的 三 条 互 相 垂 直 弦 QA, QB, QC , 则
2 2 2 QA ? QB ? QC ?

( (C) 1 (D)不能确定



(A) 4

(B) 2

3、两个平行平面去截半径为 5 的球,若截面面积分别为 9? ,16? ,则这两个平行 平面间的距离是 (A) 1 (B) 7 (C) 3 或 4 ( (D) 1 或 7 )

4 一张正方形的纸 ABCD,BD 是对角线, 过 AB、CD 的中点 E、 F 的线段交 BD 于 O,以 EF 为棱, 将正方形的纸折成直二面角,则∠BOD 等于( ) A.120° B.150° C.135° D.90°

5. 正四面体的外接球和内切球的体积之比是___________ , 表面积之比是___________ . 6. 三棱锥 O-ABC 的三条棱 OA, OB, OC 两两垂直, OA=1, OB=OC=2, 则内切球表面积为______ , 外接球体积为_____________ . 7. 已知球面上的三点 A、B、C,AB=6,BC=8,AC=10,球的半径为 13,求球心到平面 ABC 的距离. 8 如图,矩形 ABCD 中,AB=2,BC=2 3 ,以 AC 为轴翻折半平面,使二平面角 B—AC—D 为 120°,求:(1)翻折后,D 到平面 ABC 的距离;(2)BD 和 AC 所成的角.

8 石桥中学高二备课组第 8 页 共 8 页


相关文章:
空间角专题复习.doc
空间角专题复习 - 空间角专题复习 ●知识梳理 一、异面直线所成的角及求法 (1
空间角专题_图文.ppt
空间角专题 - 课题导入 今天我们来系统的复习一下有关线 线角和线面角的内容。
空间角和距离专题.doc
空间角和距离专题 - 空间角和距离专题 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考
高中数学空间角专题.doc
高中数学空间角专题 - 空间角专题 求空间角的步骤:(1)找出或作出有关的图形;
立体几何专题空间角.doc
立体几何专题空间角_数学_高中教育_教育专区。立体几何专题:空间角一、异面直线所
空间角计算专题典型题.doc
空间角计算专题典型题 - 空间角计算专题典型题 1、三棱锥 P-ABC 中,PA
立体几何复习专题(空间角)(学生卷).doc
立体几何复习专题(空间角)(学生卷) - Ainy 晴 专题一:空间角 一、基础
立体几何专题3空间角的问题_图文.doc
立体几何专题3空间角的问题 - 《高中数学专题题型分类大全》立几专题三___空间角的问题 《必修 2》立几专题 三、空间角的问题 ?『基 基础知识梳理』? (一...
立体几何复习专题(空间角)(学生卷)范文.doc
立体几何复习专题(空间角)(学生卷)范文 - 专题一:空间角 一、基础梳理 1.
专题十四空间角.doc
专题十四空间角 - 高三二轮专题十四 空间向量的应用 备课:xx 审核:xxx
高考复习专题--数学空间角教案.doc
高考复习专题--数学空间角教案 - 2014 年高考数学第二轮复习专题 立体几何---空间角 【考点审视】 立体几何高考命题及考查重点、 难点稳定: 高考始终把空间直线...
专题16 空间角(教师版).doc
专题16 空间角(教师版) - 专题 16 ★★★高考在考什么 空间角 【考题回
空间向量成角专题.doc
空间向量成角专题 - 全国名校高考数学优质自学学案、辅导专题汇编(附详解)... 空间向量成角专题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。全国名校高考数学优质自学学案、辅...
空间立体几何专题复习《空间角的计算》.doc
空间立体几何专题复习《空间角的计算》 - 空间立体几何专题复习《空间角的计算》
高考复习专题--数学空间角_图文.ppt
高考复习专题--数学空间角 - 异面直线所成的角 直线与平面所成角 平面与平面所
2018届二轮(文科数学) 立体几何中的空间角 专题卷(全国....doc
2018届二轮(文科数学) 立体几何中的空间角 专题卷(全国通用) - (一)选
高考数学专题复习16空间角.doc
高考数学专题复习16空间角 - 高考数学专题复习 16 空间角 ★★★高考在考什
高三复习专题讲座空间角的问题.doc
高三复习专题讲座空间角的问题 - 空间向量将立体问题代数化,程序化,公式化,
高三立体几何重点专题复习教案(空间角).doc
高三立体几何重点专题复习教案(空间角) - 高三立体几何重点专题复习教案 空间的
立体几何专题空间几何角和距离的计算.doc
立体几何专题空间几何角和距离的计算 - 立体几何专题:空间角和距离的计算 一