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教学案例


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“曲线的切线方程的探究” 引发课程的革命的思考
一、案例背景 由于新课标最大的特点是充分发挥学生的主动性。在完成必修 一,必修三,必修四,必修五这四个模块后,学习必修二时,其中第 四章第二节“直线与圆的位置关系”的授课中我举了大纲教材中的一 道例题——已知:圆 x 2 ? y 2 ? r 2 上一点 p ? x0 , y0 ? ,求过点 p 的切线方 程。结果引出了一场课程“里程碑”性的革命,这也就是新课标下最 期望的结果。 二、案例过程 那天正好是第一节课,由于课时松,任务轻,我便想起了大纲 教材中的一道题:过圆 x2 ? y 2 ? r 2 上点 p ? x0 , y0 ? 的切线方程。我想不妨 看看学生们如何解决这个问题, 考虑到学生们可能会根据平面几何知 识先设切线方程,再根据相关知识求解,那么在这一方法里,设一条 直线方程我们要考虑该直线斜率是否存在的问题。为了避免这一分 类,我便想在这个问题之前引入向量,利用向量的垂直进行求解,从 而引导同学们在求解垂直问题时通过向量可以避免讨论斜率存在与 否而进行的求解,充分说明向量这一数学工具的优点,可是我刚读完 题,班上的一位同学——柴香同学随口便说出了答案 : x0 x ? y0 y ? r 2 , 我当时以为是她在课前已经做过了,于是便让她解释原因。然而她的 回答大大出乎我的意料,她解释的原因如下:因为 p0 ? x0 , y0 ? 在圆上, 所以有 x02 ? y02 ? r2 ,这也说明点 p0 ? x0 , y0 ? 在直线, x0 x ? y0 y ? r 2 上,而

过点 p 的切线有且只有一条,我想就是它了,虽然结果是猜的,但这 种用曲线方程思想来做题,确实令我很吃惊,事后你想一想也不足为 怪。因为中考函数最后一题,有时也伴随出现这种思想。然后我让同 学们用正规做法验证一下,发现确实是这个答案,同学们一个个大眼 瞪小眼,迫切想知道究竟是怎么回事,心理纳闷自己用了好长时间才 算出正确答案,而柴香同学竟然笔都没动,口呼出了答案,见他们个 个兴趣高涨, 于是我便赶紧趁热“打铁”, 又出了一道过圆 x2 ? y 2 ? r 2 外 一点 p ? x0 , y0 ? 作两条切线,求两切点所确定的直线方程,结果有好几 个同学利用上述思想作出来了,他们通过设切点 A( x1, y1 ) , B ? x2 , y2 ? 则 直线 PA 为:
x1x ? y1 y ? r 2

直线 PB : x2 x ? y2 y ? r 2 。
y1 ? y0 2 r1? ?

因 且

为 p 是 两 直 线 的 公 共 点 。 所 以 有 x1 x0 ?
x2 x0 ? y2 y0 ? r 2

?2?

由 ?1? A 在直线 x0 x ? y0 y ? r 2 由 ? 2 ? 知 B 在直线 x0 x ? y0 y ? r 2 上,所以我们 有理由认为:直线 AB : x0 x ? y0 y ? r 2 (两点确定一条直线) 。 按照以往常规一般借助初中的平面几何知识,直线 AB 与直线 OP 垂 直,或利用以前的“尺规”作图作一个以 OP 为直径的圆,则两圆消除 二次项得到两圆公共弦所在的直线。课程进行到这里,原本打算就此 作罢,随后想想不如放手,看看结果怎样,而且刚好是连排两节数学 课,于是我索性放开他们,让他们组成学习小组,通过小组的合作, 交流,大胆猜想,对于一般曲线切线是否也可对照此法去做,通过学 生们热火朝天的讨论,有的小组甚至猜想到,在以后的学习里应该有 个曲线的切线公式: 若曲线方程为 Ax2 ? Cy2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 过其上一点

P

? x0 , y0 ?

















线







Ax0 x ? By0 y ? D ?

x ? x0 y ? y0 ?E? ?F ?0 2 2

可见同学们通过交流能达到

这种程度,我顿时目瞪口呆,可见人的潜能真是无法预知的,这种思 想的火花,思维的闪光点,着实令我震撼,随后我给了一条二次函数 曲线 y ? x 2 (并直接给了如何求过该曲线上一点的曲线切线方程的求 解公式)之后他们通过对比发现自己的猜想是完全符合的。相信他们 心底肯定都暗自肯定自己。 我想这对他们以后学习数学的热情定是百 无一害的!也清楚的认识的这样安排教学过程的积极性。 随后我又给出了一道题让学生们再一次验证自己的猜想。题目 如下: 过 (0, 2) 作任意一条直线 L 交抛物线于 M , N 两点, 过 M , N 两点分 别做抛物线的切线 L1 , L2 ,探究 L1 与 L2 的交点在一条定直线 y ? ?2 上 结合上述猜想,通过小组间的讨论,学生给出的做法如下: 设交点为 ? x0 , y0 ? ,则直线 MN 的方程可表示为 x0 x ? 过点 (0, 2) , 代入直线方程, 有 x0 ? 0 ? 的交点恒在直线上. 在我刚准备离开讲台,巡视一下的时候,学生们大声的给出了 答案, 虽然根据前面的猜想, 觉得他们能够解答该题是有心理准备的, 可解题速度之快,还是让我有点无措,学生这样的解题思路,让我大 吃一惊,这种做法,我也是前所未闻,最后我让同学们赶紧讲该法收 录起来,并嘱咐他们,我们还会继续学习这方面的相关问题,通过后 续的学习,去检验一下此法是否正确,是否完全适用,并在课后通过 查阅相关资料,更多的了解有关曲线切线方程的问题。
y0 ? y ,又直线 MN 2

y0 ? y 所以有 y0 ? ?2 , 可见 L1 与 L2 2

三、案例反思 通过本节课的案例我有如下几点体会与反思 1 我们不要老师担心学生不会什么?而是要关注学生会写什么,特别 是未学知识。 2 不要把数学的学习学的太呆板了, “没有因为,绝不能所以” ,事实 上大胆的猜想,类比迁移,是更好的学习方法。 3 通过这堂课,再次提醒了教师学习终身性的必要性,作为网络时代 的新型人民教师,我们要与时俱进,用知识武装自己,更好的为学生 起到引导表率的作用,鼓励学生积极通过各种渠道,增加自己的知识 储备量,做合格的社会主义接班人。 4 这堂课,让我们认识到很好的深化课程改革,对提高高中数学课堂 教学的有效性,对促进学生学习具有十分重要的实践意义。 5 本节课体现了课程改革就是要让学生的学习产生实质性的变化,由 本节课效果,深刻的意识到提倡自主,探索与合作新型学习方式的必 要的。 6 本节课也让我们广大教师意识到启发式教育的优越性,教师利用有 效的教学情境, 激发引导学生开动脑筋解决问题, 更有利于学生学习。 7 本节课的案例让我们充分感受到教师构建有效的、活跃的、素质化 的课堂模式的优越性。 8 本节案例也让我们明白培养学生自主学习,探究学习,合作学习的 能力,有助于培养学生的创新精神以及实践能力。


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