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2015-2016学年广东省东莞市高二下学期期末考试理科数学试题(B卷)


2015—2016 学年度第二学期教学质量检查

高二理科数学(B 卷)
考生注意:本卷共三大题,22 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟.

?x ? a ? ?b ? 中系数计算公式: 参考公式:最小二乘估计线性回归方程 y

?? b

? ( xi ? x )( yi ? y )
i ?1

n

?(x ? x)
i ?1 i

n

?

?x y
i ?1 i

n

i

? nx ? y ? nx
2

2

?x
i ?1

n

?x ,其中 x , y 表示样本均值. ? ? y ?b ,a

2 i

n(ad ? bc) 2 . P( K 2 ? k ) 与 k 对应值表: 2? 2 列联表随机变量 K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

P( K 2 ? k )
k

0.10 2.706

0.05 3.841 第Ⅰ卷

0.025 5.024
[学网]

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

选择题

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 每小题各有四个选择支,仅有一 个选择支正确.请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑. 1.复数 z ? i ? i 的实部与虚部分别是(
2

) D. ? 1,?1

A. ? 1,1

B. 1, ? 1

C. 1,1

2.对具有线性相关关系的两个变量 y 与 x 进行回归分析,得到一组样本数据 ?x1 , y1 ? ,

?x2 , y2 ?,...,?xn , yn ? ,则下列说法中不正确 的是( ...



? ? 0.52x ? a ? ,则 y 与 x 具有正相关关系 A.若最小二乘法原理下得到的回归直线方程 y
B.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好 C.在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适 D.用相关指数 R 2 来刻画回归效果, R 2 越小说明拟合效果越好 3.向量的运算常常与实数运算进行类比,下列类比推理中结论正确的是( )

? ? ? ? ? ? ? ? A.“若 ac ? bc(c ? 0) ,则 a ? b ”类比推出“若 a ? c ? b ? c (c ? 0) ,则 a ? b ”

?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C.“在实数中有 ?ab?c ? a?bc?”类比推出“在向量中 ?a ? b ?? c ? a ? ?b ? c ?”
?
第 1 页 共 9 页

B.“在实数中有 ?a ? b?c ? ac ? bc ”类比推出“在向量中 a ? b ? c ? a ? c ? b ? c ”

? ?

D.“若 ab ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ”类比推出 “若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ” 4.用反证法证明命题“设 a , b 为实数,则方程 3x ? 4ax ? 5b ? 0 至少有一个实根”时,
2

? ?

?

?

?

?

要做的假设是(
2

) B.方程 3x ? 4ax ? 5b ? 0 至多有一个
2

A. 方程 3x ? 4ax ? 5b ? 0 没有实根 实根 C. 方程 3x ? 4ax ? 5b ? 0 至多有两个实根
2

D.方程 3x ? 4ax ? 5b ? 0 恰好有两个
2

实根 5 .已知随机变量 ? 服从正态分布 N (5,9) ,若 p(? ? c ? 2) ? p(? ? c ? 2) ,则 c 的值为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 6.已知具有线性相关关系的变量 y 与 x 之间的一组数据:

x y

1 2

2 4

3 6

4 8 )

5 5 y

? 的值为( ?x ? 0.5 ,则 b ? ?b 若由最小二乘法原理得到回归方程 y
A.0.5 B.1
2

C.1.5

D.2
O

y=2x x y=3-x2

7.抛物线 y ? 3 ? x 与直线 y ? 2 x 与所围成图形(图中的阴影部分) 的面积为( A. 10 8 .若 (3 x ? ) B.

31 3

C. 11

D.

32 3

第 7 题图

1 n ) (n ? N * ) 的展开式中各项系数的和为 P ,所有二项式系数的和为 S , 若 x P ? S ? 272 ,则正整数 n 的值为( )


A.4 B.5 C.6 D. 7 9. 有 3 位老师和 3 个学生站成一排照相, 则任何两个学生都互不相邻的排法总数为 ( A.36 B.72 C.144 D.288 10.经检测有一批产品合格率为

3 , 现从这批产品中任取 5 件, 设取得合格产品的件数为 ? , 4
) C.4 D.5

则 P(? ? k ) 取得最大值时 k 的值为( A.2 B.3

11.定义方程 f ( x) ? f ?( x) 的实数根 x 0 叫做函数 f ( x ) 的“异驻点”.若函数 g ( x) ? 2016x ,

h( x) ? ln(x ? 1) ,? ( x) ? x3 ? 1 的“异驻点”分别为 ? , ? ,? ,则 ? , ? , ? 的大小关系
为( ) B. ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? ? D. ? ? ? ? ?

A. ? ? ? ? ?

第 2 页 共 9 页

12. 已知函数 f ( x) ? ?

?

ax2 ? 1, x ? 0 ( 1,2) 在点 处的切线与 f ( x) 的图像有三个公共 2 ? ? 4 x ? x ? b, x ? 0
) B. (?4 ? 2 5, ?4 ? 2 5) D. (?4 ? 2 5,?? 8]

点,则 b 的取值范围是( A. [?8, ?4 ? 2 5) C. (?4 ? 2 5,?8]

第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡中相应的位置 上. 13.用 1,2,3,4 这四个数字能组成 个没有重复数字的四位数.
3 14. 已 知 函 数 f ( x) ? 3x ? x , 当 x ? a 时 f ( x ) 取 得 极 大 值 b , 则 a ? b 等 于

______________. 15. ( x ?

1 ? 2)5 展开式中常数项为 __________ __________ __ . x

16. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数. 他们研究 过如图所示的三角形数:

1

3

6

10

将三角形数 1,3,6,10,?记为数列 ?a n ?,将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组 成一个新数列 ?bn ?,可以推测: (1) b5 ? _________; (2) b2n?1 ? __________ __________ __ . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分 ) 已知复数 z1 ? 2 ? a ? i, z2 ? 3a ? ai ( a 为实数, i 为虚数单位)且 z1 ? z2 是纯虚数.
2

(1)求 a 的值,并求 z12 的共轭复数; (2)求

z1 的值. z2

18. (本小题满分 12 分) 某市教育局委托调查机构对本市中小学学校使用“微课掌上通”满意度情况进行调查。 随机选择小学和中学各 50 所学校进行调查,调查情况如下表: 评分等级 ☆ ☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆

第 3 页 共 9 页

小学 中学

2 3

7 9

9 18

20 12

12 8

(备注: “☆”表示评分等级的星级,例如“☆☆☆”表示 3 星级。 ) (1) 从评分等级为 5 星级的学校中随机选取两所学校, 求恰有一所学校是中学的概率; (2)规定:评分等级在 4 星级以上(含 4 星)为满意,其它星级为不满意.完成下列 2×2 列联表并帮助判断: 能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为使用是否满意与学 校类别有关系? 学校类型 小学 中学 总计 满意 不满意 总计 50 50 100 注意:请将答案填入答题卡中的表格.

19.(本小题满分 12 分) “莞马”活动中的 ? 机器人一度成为新闻热点,为检测其质量,从一生产流水线上抽 取 20 件该产品,其中合格产品有 15 件,不合格的产品有 5 件. (1)现从这 20 件产品中任意抽取 2 件,记不合格的产品数为 X ,求 X 的分布列及数 学期望; (2)用频率估计概率,现从流水线中任意抽取五个机器人,记 ? 为取得合格机器人的 件数,求 ? 的分布列及数学期望.

20.(本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ln x ? ax ? ax ? 5 , a ? R .
2

(1)若函数 f ( x ) 在 x ? 1 处有极值,求实数 a 的值; (2)若函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 内有极值,求实数 a 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分) 已知 An ? 1 ?

1 1 1 1 3 1 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 , Bn ? ? 2 , n ? N * . 3 2 3 4 n 2 2n

(1)当 n ? 1,2,3 时,试比较 An 与 Bn 的大小关系; (2)猜想 An 与 Bn 的大小关系,并用数学归纳法给出证明.

22.(本小题满分 12 分)
x 设 f ( x) ? e ? ax (a ? R), e 为自然对数的底数.

第 4 页 共 9 页

(1)若 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 0 处的切线方程; (2)求函数 f ( x ) 在 [0,1] 上的最小值.

2015—2016 学年第二学期教学质量检查

高二理科数学(B 卷)
参考答案
一、选择题: 1 A 2 D 3 B 4 A 5 B 6 B或C 7 D 8 A 9 C 10 C 11 D 12 D

说明: 第 6 题选 B 或选 C 都正确。 由公式带入求出 b 的值为 1, 由样本点中心带入求得 b=1.5。 二、填空题:13.24; 14. -1; 15.-252; 16. 105 (2 分) ; 三、解答题:
2 17 题解析: (1) ? z1 ? 2 ? a ? i, z2 ? 3a ? ai ,

5n(5n ? 1) (3 分) 2

? z1 ? z2 ? (a 2 ? 3a ? 2) ? (1 ? a)i

?????????????2 分;

? z1 ? z2 是纯虚数
所以 故

?

?

a 2 ?3a?2?0 ? a ? ?2 ??????????5 分; 1?a?0
????????????7 分; ????????????8 分;

z1 ? 35? 12i

2

z12 的共轭复数 z1 ? 35 ?12i

(2)

z1 19 3 ?? ? i z2 20 20

??????????????10 分;

2 18 题解析: (1)因为从 5 星级的 20 人中随机选取 2 人,共有 C20 ? 190 种结果,??1 分;

第 5 页 共 9 页

1 1 其中恰有 1 所学校是中学的共有 C12 C8 ? 96 种结果,

??????????2 分;

故所求概率为 P ? (2) 学校类型 小学 中学 总计 满意 32 20 52

96 48 ? . 190 95
不满意 18 30 48 总计 50 50 100

??????????????????4 分;

(有错得 2 分)??????????7 分; 经计算 K 的观测值 k ?
2

100(32 ? 30 ? 18 ? 20)2 ? 5.769 ? 3.841 ????????11 分; 52 ? 48 ? 50 ? 50

所以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为使用满意与学校类型有关系.????12 分; 19 题解析: (1) X 的取值为 0,1,2,3,4 ????????????1 分;
1 2 C5 C15 35 ? 3 C20 76 3 0 C5 C15 1 ? 3 C20 114

P( X ? 0) ?

0 3 C5 C15 91 ? 3 C20 228 , 1 C52C15 5 , ? 3 C20 38

P( X ? 1) ?

P( X ? 2) ?

P( X ? 3) ?

X
P( X )

0

1

2

3

91 228

35 76

5 38

1 114
????????5 分; ????????6 分;

? E? ? 0 ?

91 35 5 1 57 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 228 76 38 114 76
3 , 4

(2) 依题意得知, 流水线中任意抽到合格机器人的概率为 于是 ? 的取值为 0,1,2,3,4,5

??????7 分;

1 1 P (? ? 0) ? ( ) 5 ? 4 1024

,

1 15 1 3 P(? ? 1) ? C5 ( ) ( )4 ? 4 4 1024

3 1 90 270 3 3 3 1 2 P(? ? 2) ? C52 ( ) 2 ( )3 ? , P(? ? 3) ? C5 ( ) ( ) ? 4 4 1024 4 4 1024
3 243 3 1 405 P(? ? 5) ? ( )5 ? P(? ? 4) ? C54 ( ) 4 ( )1 ? 4 1024 4 4 1024 ,
分布列为

第 6 页 共 9 页

?
P?? ?

0

1

2

3

4

5

1 1024

15 1024

90 1024

270 1024

405 1024

243 1024

????????11 分;

? 3? ? 服从二项分布 ? ~ B? 5, ? ? 4?
20 解析:(1) f ( x) ?
'

? E (? ) ? 5 ?

3 15 ? 4 4

??????12 分;

1 ? 2ax ? a x

??????????????2 分; ???????3 分; ????????4 分;

因为 f ( x) 在 x ? 1 处有极值,所以 f ' (1) ? 1 ? 2a ? a ? 0 即 a ? ?1 ,经验证符合;

1 2ax2 ? ax ? 1 (2)由 f ( x) ? ? 2ax ? a ? x x
'

1 ? 0 在 (0,??) 上恒成立,不满足题意,舍去;????6 分; x 1 2 ( ii )当 a ? 0 时,记 h( x) ? 2ax ? ax ? 1,其图像过点 (0,1) ,对称轴 x ? ; 4 当 a ? 0 ,如图所示: 符合题意; ????????8 分;
' ( i )当 a ? 0 时, f ( x ) ?

当 a ? 0 ,如图所示:

2 又需满足 ? ? a ? 8a ? 0 ,即得 a ? 8 ;?11 分;

综上所述,实数 a 的取值范围为 a ? 0 或 a ? 8 . 21 题解析:(1)当 n ? 1 时, A1 ? 1, B1 ? 1 ,所以 A1 ? B1 ;

????????12 分.

????????1 分;

当 n ? 2 时, A2 ?

9 11 , B2 ? ,所以 A2 ? B2 8 8 251 312 , B3 ? ,所以 A3 ? B3 ; 216 216

????????2 分;

当 n ? 3 时, A3 ?

????????4 分;

(2)由(1)猜想 An ? Bn ,下面用数学归纳法给出证明: ?当 n ? 1,2,3 时,不等式显然成立;

????????5 分; ????????6 分;

第 7 页 共 9 页

?假设当 n ? k (k ? 3) 时,不等式成立,即 1 ? 当 n ? k ? 1 时, Ak ?1 ? Ak ?

1 1 1 1 3 1 ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? 3 ? ? 2 , ??7 分; 3 2 3 4 k 2 2k
????????8 分;

1 3 1 1 , ? ? 2? 3 (k ? 1) 2 2k (k ? 1)3

因为

1 1 1 k ?3 1 ? 3k ? 1 ?( 2 ? )? ? 2 ? ? 0 ??????10 分; 2 3 3 2(k ? 1) 2k (k ? 1) 2(k ? 1) 2k 2(k ? 1)3 k 2
3 1 ? ? Bk ?1 , 2 2(k ? 1) 2
*

所以 Ak ?1 ?

????????????11 分;

由?,?可知,对一切 n ? N ,都有 An ? Bn .

????????????12 分.

' x 22 解析: (1)当 a ? 1 时, f ( x) = e ? x 是,所以 f ( x) ? e ?1 ?????????1 分;
x

f ' (0) ? e0 ?1 ? 0 , f (0) ? e0 ? 0 ? 1;

??????????????????2 分; ??????????????3 分;

所以曲线 y ? f ( x) 在 x ? 0 的切线方程为 y ? 1 (2) f ( x) ? e ? a ;
' x

' ( i )当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,即函数 f ( x) 在 ?0,1?上为增函数,

所以函数 f ( x) 在 ?0,1?上的最小值为 f (0) ? 1 ;
' ( ii )当 a ? 0 时,令 f ( x) ? 0 得到 x ? ln a ;

????????5 分;

' 若 ln a ? 0 ,即 0 ? a ? 1 时,在 ?0,1?上 f ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 ?0,1?上为增函数,

所以函数 f ( x) 在 ?0,1?上的最小值为 f (0) ? 1 ;

????????7 分;

' 若 ln a ? 1 ,即 a ? e 时,在 ?0,1?上 f ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 ?0,1?上为减函数,

所以函数 f ( x) 在 ?0,1?上的最小值为 f (1) ? e ? a ;
'

????9 分;
'

若 0 ? ln a ? 1 ,即 1 ? a ? e 时,在 ?0, ln a ? 上 f ( x) ? 0 ,在 ?ln a,1? 上 f ( x) ? 0 , 即函数 f ( x) 在 ?0, ln a ? 上单调递减,在 ?ln a,1? 上单调递增, 所以函数 f ( x) 在

?0,1?上的最小值为 f (ln a) ? a ? a ln a ;

????11 分;

综上所述, 当 a ? 1 时, 函数 f ( x) 在 ?0,1?上的最小值为 1; 当 1 ? a ? e 时, 函数 f ( x) 在 ?0,1?

第 8 页 共 9 页

上的最小值为 e ? a ;当 a ? e 时,函数 f ( x) 在 ?0,1?上的最小值为 a ? a ln a ;???12 分.

第 9 页 共 9 页


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