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高考数学二轮专题综合训练_圆锥曲线(分专题_含答案)


圆锥曲线综合训练题
一、求轨迹方程:
1、 (1)已知双曲线 C1 与椭圆 C2 : 圆的离心率 e2 之比为

x2 y 2 ? ? 1 有公共的焦点,并且双曲线的离心率 e1 与椭 36 49

7 ,求双曲线 C1 的方程. 3

(2)以抛物线 y 2 ? 8x 上的点 M 与定点 A(6, 0) 为端点的线段 MA 的中点为 P,求 P 点的轨 迹方程. 2、 (1) ?ABC 的底边 BC ? 16 , AC 和 AB 两边上中线长之和为 30,建立适当的坐标系求 此三角形重心 G 的轨迹和顶点 A 的轨迹. (2)△ABC 中,B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB=

3 sinA, 5

求点 A 的轨迹方程. 3、如图,两束光线从点 M(-4,1)分别射向直线 y= -2 上两点 P(x1,y1)和 Q(x2,y2) 后,反射光线恰好通过椭圆 C: 心率为

x2 y2 ? ? 1(a>b>0)的两焦点,已知椭圆的离 a2 b2

6 1 ,且 x2-x1= ,求椭圆 C 的方程. 2 5 1 4、在面积为 1 的 ?PMN 中, tan M ? , tan N ? ?2 ,建立适当的坐标系,求 2 出以 M 、 N 为焦点且过 P 点的椭圆方程.
5、已知点 P 是圆 x2+y2=4 上一个动点,定点 Q 的坐标为(4,0) . (1)求线段 PQ 的中点的轨迹方程; (2)设∠POQ 的平分线交 PQ 于点 R(O 为原点) ,求 点 R 的轨迹方程.

6、已知动圆过定点 ?1,0 ? ,且与直线 x ? ?1 相切.(1) 求动圆的圆心轨迹 C 的方程;(2) 是 否存在直线 l ,使 l 过点(0,1) ,并与轨迹 C 交于 P, Q 两点,且满足 OP ? OQ ? 0 ?若存 在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 7、设双曲线

uuv uuu u v

y2 x2 ? ? 1 的两个焦点分别为 F1 、F2 ,离心率为 2.(I)求此双曲线的渐近 3 a2

线 l1 、l2 的方程; (II)若 A、B 分别为 l1 、l2 上的点,且 2| AB| ? 5| F1 F2 | ,求线段 AB 的中 点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线; (III)过点 N (1,0) 能否作出直线 l ,使 l 与双 曲线交于 P、Q 两点,且 OP · OQ ? 0 .若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 8、设 M 是椭圆 C :

?

?

x2 y 2 ? ? 1 上的一点,P、Q、T 分别为 M 关于 y 轴、原点、x 轴的对 12 4

称点,N 为椭圆 C 上异于 M 的另一点,且 MN⊥ MQ,QN 与 PT 的交点为 E,当 M 沿椭圆 C 运动时,求动点 E 的轨迹方程.
1

9、已知:直线 L 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上。若点 A(-1,0) 和点 B(0,8)关于 L 的对称点都在 C 上,求直线 L 和抛物线 C 的方程. 10、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1(-c,0) 2(c,0) 、F ,Q a2 b2

是椭圆外的动点,满足 | F1Q |? 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上, 并且满足 PT ? TF2 ? 0, | TF2 |? 0.(Ⅰ)设 x 为点 P 的横坐标,证明 | F1 P |? a ?

c x; (Ⅱ) a

求点 T 的轨迹 C 的方程; (Ⅲ)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M,使△F1MF2 的 面积 S= b 2 . 若存在,求∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明理由. 11、设抛物线 C : y ? x 2 的焦点为 F,动点 P 在直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上运动,过 P 作抛物 线 C 的两条切线 PA、PB,且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.(1)求△APB 的重心 G 的轨迹方程; (2)证明∠PFA=∠PFB.

二、中点弦问题:
12、已知椭圆

x2 ?1 1? ? y2 ? 1 , (1)求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在直线的方程; (2)求 2 ? 2 2?

斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程; (3)过 A?2, 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨 1?

O OQ 斜率满足 kOP ? kOQ ? ? 迹方程; 椭圆上有两点 P 、Q , 为原点, (4) 且有直线 OP 、
求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程.

1 , 2

x2 y 2 13 、 椭 圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 两 个 焦 点 为 F1,F2, 点 P 在 椭 圆 C 上 , 且 a b
PF1 ? F 1F , |PF 1| ? 2 4 14 ,PF ? | (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; | 2 . (Ⅱ)若直线 l 过圆 3 3

x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M,交椭圆 C 于 A, B 两点,且 A、B 关于点 M 对称,求直线 l 方程. 14、 已知椭圆

y 2 x2 9 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点 F1 (0, ?2 2) , 对应的准线方程为 y ? ? . 2 a b 4

? 1 3? (1) 求椭圆的方程; 直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、 且线段 MN 恰被点 P ? ? , ? (2) N, ? 2 2?
平分,求直线 l 的方程. 15、设 F1 , F2 分别是椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0) 的左右焦点,(1)设椭圆 C 上的点 a2 b2

2

3 ) 到 F1 , F2 两点距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标;(2)设 K 是(1) 2 中所得椭圆上的动点, 求线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点, ( 3,
过原点的直线 L 与椭圆相交于 M, 两点, N 当直线 PM , 的斜率都存在, PN 并记为 k PM , K PN 探究 k PM 试

? K PN 的值是否与点 P 及直线 L 有关,并证明你的结论.
2 4 9 2 , 离心率 e 满足 , e, 3 3 4

16、 已知椭圆的一个焦点为 F1 (0,?2 2 ) , 对应的准线为 y ? ?

成等比数列. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)是否存在直线 l ,使 l 与椭圆交于不同的两点 A, B , 且线段 AB 恰被直线 x ? ?

1 平分?若存在,求出直线 l 倾斜角 ? 范围;不存在,说明理由. 2

三、定义与最值:
17、已知 F 是椭圆 (1)求 PA ?

5x2 ? 9 y2 ? 45 的左焦点,P 是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点.

3 PF 的最小值,并求点 P 的坐标; (2)求 2

PA ? PF 的最大值和最小值.

18、设 F1、F2 分别是椭圆
??? ??? ? ?

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,若 P 是该椭圆上的一个动点, 4

(Ⅰ)求 PF 1 ? PF 2 的最大值和最小值;(Ⅱ)求

PF1 ? PF2 的最大值和最小值.

19、若双曲线过点 (2, 6) ,其渐近线方程为 y ? ? 2x .(I)求双曲线的方程; (II)已知 A (3,2) , B( 3,0) ,在双曲线上求一点 P ,使 PA ?

3 PB 的值最小. 3

x2 y2 ? ? 1 的焦点为焦点,过直线 l:x ? y ? 9 ? 0 上一点 M 作椭圆,要使所 20、以椭圆 12 3
作椭圆的长轴最短,点 M 应在何处?并求出此时的椭圆方程. 21、已知动点 P 与双曲线

x2 y2 - =1 的两个焦点 F1、F2 的距离之和为 6. 2 3

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)若 PF ? PF2 =3,求⊿PF1F2 的面积; 1 (Ⅲ)若已知 D(0,3),M、N 在轨迹 C 上且 DM =? DN ,求实数?的取值范围. 22、 E 、 F 是椭圆 x ? 2 y ? 4 的左、右焦点, l 是椭圆的右准线,点 P ? l ,过点 E 的直
2 2

线交椭圆于 A 、 B 两点.(1)当 AE ? AF 时,求 ?AEF 的面积; (2)当 AB ? 3 时, 求 AF ? BF 的大小; (3)求 ? EPF 的最大值.

3

23、已知定点 A(0 ,1 ) 、 B(0 , ? 1) 、 C (1, 0 ) ,动点 P 满足: AP? BP ? k | PC | 2 .(1)求 动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的图形; (2)当 k ? 2 时,求 | AP ? BP | 的最大 值和最小值. 24、点 A、B 分别是以双曲线
? ?? ? ??

? ?? ? ??

? ??

x2 y2 ? ? 1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆 C 长轴的左、 16 20 右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆 C 上,且位于 x 轴上方, PA ? PF ? 0 (1)
求椭圆 C 的的方程; (2)求点 P 的坐标; (3)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,点 M 到直 线 AP 的距离等于|MB|,求椭圆上的点到 M 的距离 d 的最小值.

25 、 已 知 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 向 量 j ? (0,1), ?OFP的面积为 3 , 且 2

u u ur u u r u u ur 3 O F? F P , t O M ? ? 3

u uur r uu uu v v O P. j 设 4 ? t ? 4 3, 求向量OF与FP的夹角? 的取值范围; ? (I)

(II)设以原点 O 为中心,对称轴在坐标轴上,以 F 为右焦点的椭圆经过点 M,且

| OF |? c, t ? ( 3 ? 1)c 2 ,当| OP | 取最小值时,求椭圆的方程.
26、已知点 F (0 , 1) ,一动圆过点 F 且与圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 8 内切. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设点 A(a , 0) ,点 P 为曲线 C 上任一点,求点 A 到点 P 距离的最大值 d (a ) ; (Ⅲ)在 0 ? a ? 1 的条件下,设△POA 的面积为 S1 ( O 是坐标 原点, P 是曲线 C 上横坐标为 a 的点) ,以 d (a ) 为边长的正方形的面积为 S 2 .若正数 m 满 足 S1 ? mS2 ,问 m 是否存在最小值,若存在,请求出此最小值,若不存在,请说明理由. 27、已知点 M(-2,0) ,N(2,0) ,动点 P 满足条件|PM|-|PN|=2 2 . 记动点 P 的轨迹为 W.(1)求 W 的方程; (2)若 A、B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求 OA? OB 的最 小值. 29、设 F 是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点,直线 l 为其左准线,直线 l 与 x 轴交 a2 b2

于点 P,线段 MN 为椭圆的长轴,已知: | MN |? 8, 且 | PM |? 2 | MF | . (1)求椭圆 C 的 标准方程; (2)若过点 P 的直线与椭圆相交于不同两点 A、B 求证:∠AFM=∠BFN; (3)求 三角形 ABF 面积的最大值.

四、弦长及面积:
30、已知双曲线的方程为 x2 ?

y2 ? 1 ,设 F1、F2 分别是其左、右焦点.(1)若斜率为 1 且过 3
4

F1 的直线 l 交双曲线于 A、B 两点,求线段 AB 的长;(2)若 P 是该双曲线左支上的一点,且

?F1PF2 ? 60? ,求 ?F1PF2 的面积 S.
31、已知椭圆 4 x 2 ? y 2 ? 1 及直线 y ? x ? m . (1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点?

(2)若直线被椭圆截得的弦长为

2 10 ,求直线的方程. 5

32、 已知长轴为 12, 短轴长为 6, 焦点在 x 轴上的椭圆, 过它对的左焦点 F1 作倾斜解为 直线交椭圆于 A , B 两点,求弦 AB 的长. 33、设双曲线方程 直线 l 的距离为

? 的 3

x2 y 2 ? ? 1(b ? a ? 0) 的半焦距为 c ,直线 l 过 (a, 0), (0, b) 两点,已知原点到 a 2 b2

3 (1)求双曲线的离心率; (2)经过该双曲线的右焦点且斜率为 2 的直 c. 4 线 m 被双曲线截得的弦长为 15,求双曲线的方程.

34 、 已 知 △ ABC 的 顶 点 A,B 在 椭 圆 x2 ? 3 y 2 ? 4 上 , C 在 直 线 l: y ? x? 2 上 , 且

AB ∥ l . (Ⅰ)当 AB 边通过坐标原点 O 时,求 AB 的长及 △ ABC 的面积;
(Ⅱ)当 ?ABC ? 90 ,且斜边 AC 的长最大时,求 AB 所在直线的方程.
?

35 、 梯 形 ABCD 的 底 边 AB 在 y 轴 上 , 原 点 O 为 AB 的 中 点 ,

| AB ? |

4 3

2

CD ? ? , | |

4 2 2 AC ? ,BD M 为 CD 的中点.(Ⅰ)求点 M 的轨迹方程; )过 , (Ⅱ 3

M 作 AB 的垂线,垂足为 N,若存在正常数 ?0 ,使 MP ? ?0 PN ,且 P 点到 A、B 的距离和 为定值,求点 P 的轨迹 E 的方程; )过 (0, ) 的直线与轨迹 E 交于 (Ⅲ y D P、Q 两点,求 ?OPQ 面积的最大值.

uuu v

uuu v

1 2

五、范围问题:

36、直线 y=ax+1 与双曲线 3x2-y2=1 相交于 A、B 两点.(1) 当 a 为何值时,A、B 两点在双曲线的同一支上?当 a 为何值时,A、B 两 B 点分别在双曲线的两支上?(2) 当 a 为何值时, AB 为直径的圆过原 以 点? 37、已知圆 C: (x-1)2+y2=r2 (r>1) ,设 M 为圆 C 与 x 轴负半轴的交点,过 M 作圆 C 的弦 MN,并使它的中点 P 恰好落在 y 轴上. (1)当 r=2 时,求满足条件的 P 点的坐标; (2)当 r∈(1,+∞)时,求点 N 的轨迹 G 的

A ON

P M

C

x

方程; 过点 P (3) (0, 的直线 l 与 2) (2) 中轨迹 G 相交于两个不同的点 E、 若 CE ·CF >0, F, 求直线 l 的斜率的取值范围.

5

38、 已知椭圆 C: ?

x2 4

y2 ? 1, 试确定 m 的取值范围, 使得对于直线 l:y ? 4 x ? m , 椭圆 C 3

上有不同的两点关于该直线对称. 39、已知抛物线 y2=2px (p≠0)上存在关于直线 x+y=1 对称的相异两点,求 p 的取值范围. 40、 已知圆 O : x ? y ?
2 2

16 2 7 S (I) 若直线 l 过点 (1,2) , 且与圆 O 交于两点 R 、 ,RS = , 9 . 3

求直线 l 的方程; (II)过圆 O 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m ,设直线 m 与 y 轴的交 点为 N ,若向量 OQ ? OM ? ON ,求动点 Q 的轨迹方程; (Ⅲ)若直线 nl : x ? 3 y ? 8 ? 0 , 点 A 在直线 n 上,圆 O 上存在点 B ,且 ?OAB ? 30? ( O 为坐标原点),求点 A 的横坐标的 取值范围. 41、已知△PAQ 顶点 P(-3,0) ,点 A 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴正半轴上, PA? AQ ? 0 , (2)设直线 l:y=k QM ? 2 AQ .(1)当点 A 在 y 轴上移动时,求动点 M 的轨迹 E 的方程; (x+1)与轨迹 E 交于 B、C 两点,点 D(1,0) ,若∠BDC 为钝角,求 k 的取值范围. 2 42、给定抛物线 C:y =4x,F 是 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,记 O 为 坐标原点.(1)求 OA ·OB 的值; (2)设 AF = ? FB ,当三角形 OAB 的面积 S∈[2, 5 ] , 求 ? 的取值范围. 43、已知动圆过定点 P(1,0) ,且与定直线 l : x ? ?1 相切,点 C 在 l 上. (1)求动圆圆 心的轨迹 M 的方程; (2)设过点 P,且斜率为- 3 的直线与曲线 M 相交于 A,B 两点.(i) 问:△ABC 能否为正三角形?若能,求点 C 的坐标;若不能,说明理由; (ii)当△ABC 为钝 角三角形时,求这种点 C 的纵坐标的取值范围. 44、在 Rt△ABC 中,∠CBA=90°,AB=2,AC=

uuu uuuv uuu v v

2 。DO⊥AB 于 O 点,OA=OB,DO=2,曲线 2

E 过 C 点,动点 P 在 E 上运动,且保持| PA |+| PB |的值不变.(1)建立适当的坐标系,求 曲线 E 的方程; (2)过 D 点的直线 L 与曲线 E 相交于不同的两点 M、N 且 M 在 D、N 之间, 设

DM ? ? , 试确定实数 ? 的取值范围. DN

45、已知平面上一定点 C (?1, 0) 和一定直线 l : x ? ?4. P为该平面上一动点,作 PQ ? l , 垂足为 (2)点O Q , ( PQ? 2 PC) ? ( PQ? 2 PC) ? 0 .(1) 问点P在什么曲线上?并求出该曲线方程; 是坐标原 点, A、B 两点在点P的轨迹上,若 OA ? ?OB ? 1 ? ?) , 求 ? 的取值范围. ( OC
? ? ? ?

uuv

uuv u

uu v

六、定值、定点、定直线
6

46、过 y =x 上一点 A(4,2)作倾斜角互补的两条直线 AB、AC 交抛物线于 B、C 两点.求证: 直线 BC 的斜率是定值. 47、已知 A,B 分别是直线 y=x 和 y=-x 上的两个动点,线段 AB 的长为 2 3 ,D 是 AB 的中 点. (1)求动点 D 的轨迹 C 的方程; (2)若过点(1,0)的直线 l 与曲线 C 交于不同两点 P、Q, uuu uuu v v ① 当|PQ|=3 时,求直线 l 的方程;② 设点 E (m,0)是 x 轴上一点,求当 PE · QE 恒为定 值时 E 点的坐标及定值. 48、垂直于 x 轴的直线交双曲线 x 2 ? 2 y 2 ? 2 于 M、N 不同两点,A1、A2 分别为双曲线的
2 2 左顶点和右顶点, 设直线 A1M 与 A2N 交于点 P 0, 0) (x y (Ⅰ) 证明:x0 ? 2 y0 为定值 (Ⅱ) ;

2

过 P 作斜率为 ?

x0 的直线 l,原点到直线 l 的距离为 d,求 d 的最小值. 2 y0

49、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C(0,p)作直线与抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 相 交于 A、B 两点. (1)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求 ?ANB 面积的最小值; (2)是否存在垂直 y 轴的直线 l,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在, 求出 l 的方程;若不存在,说明理由. 50、已知双曲线 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x ? (Ⅰ) 2 a b 3

求双曲线 C 的方程;Ⅱ) ( 设直线 l 是圆 O : x2 ? y 2 ? 2 上动点 P( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0) 处的切线,

l 与双曲线 C 交于不同的两点 A, B ,证明 ?AOB 的大小为定值.
51、 (1)若 A、B 是抛物线 y =2Px(p>0)上的点,且∠AOB=90°(O 为原点) .求证:直线 AB 过定点. (2)已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F, A、B 为抛物线上的两个动点. (Ⅰ)如果直 线 AB 过抛物线焦点, 判断坐标原点 O 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系, 并给出证明;Ⅱ) ( uuv uuv u 如果 OA ? OB ? ?4 ( O 为坐标原点) ,证明直线 AB 必过一定点,并求出该定点. 52、 已知椭圆 C :
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上存在一点 P 到椭圆左焦点的距离与到椭圆右准线的 a 2 b2

距 离相等. 求椭圆的离心率 e 的取值范围; (I) (II) 若椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为 1 ,求椭圆 C 的方程; (Ⅲ)若直线 l : y ? kx ? m 与(II)中所述椭圆 C 相交于 A 、

B 两点( A 、 B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点 A2 ,求证:直线 l
过定点,并求出该定点坐标.

? 3? ? 2? 三点. )求椭圆 E 的方程; )若直线 l : y ? k ? x ?1? ( k ? 0 )与椭圆 E 交于 M 、 N (Ⅰ (Ⅱ 两点,证明直线 AM 与直线 BN 的交点在一条定直线上.
53、 已知椭圆 E 的中心在坐标原点, 焦点在坐标轴上, 且经过 A ? ?2,0? 、B ? 2,0? 、C ?1, ?

7


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