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2017届惠州市高三(一模)数学(理)试题及答案


2017 届惠州市高三年级第一次调研考试
数学(理科) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。只有一项是符合题目要求的。 1、已知 A ? {1, 2, 4,8,16} , B ? {y | y ? log2 x, x ? A} ,则 A ? B ? ( A. {1, 2} B. {2, 4,8} C. {1, 2, 4} ) D.
2 ?1 2

2016.7

) D. {1, 2, 4,8}

2、若复数 z 满足 z (1 ? i) ?| 1 ? i | ?i ,则 z 的实部为( A.
2 ?1 2

B. 2 ? 1

C.1

x?2 ? ? x ? 2? ?3 f ( x ) ? 3、函数 ,若 f (a) ? 1 ,则 a 的值是( ? 2 ? ?log 3 ( x ? 1) ? x ? 2 ?

) D.1 或﹣2

A.2 4、将函数 y ?

B.1

C.1 或 2

? 2 (sin x ? cos x) 图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移 个单位, 2 2
) C. y ? ? sin(2 x ? ) 4

所得函数图象的解析式是( A. y ? cos
x 2

x 3? B. y ? sin( ? ) 2 4

?

D. y ? sin(2 x ?

3? ) 4

5、已知圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? a 截直线 x ? y ? 2 ? 0 所得弦长为 6,则实数 a 的值为( A.8 B.11 C.14 )
1 2



D.17

6、执行如图的程序框图,则输出 S 的值为( A.2 B. ?3

C. ?

D.

1 3

7、设 a ? 0 , b ? 0 ,若 2 是 4a 和 2b 的等比中项,
2 1 则 ? 的最小值为( a b

) B.8 C.9 D.10

A. 2 2

8、某几何体的三视图如右图,其正视图中的曲线部分 为半个圆弧,则该几何体的表面积为( A. 19 ? ? cm2 C. 10 ? 6 2 ? 4? cm2
Middle



B. 22 ? 4? cm2 D. 13 ? 6 2 ? 4? cm2

9、某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x (万元) 销售额 y (万元) 1 10 2 26 4 35 5 49

? 约等于 9,据 此模型预报广告费用为 6 万元时, ??x?a ? 的b 根据上表可得回归方程 ? y ?b
销售额约为( A.54 万元 ) 。 B.55 万元 C.56 万元 D.57 万元

10、已知三棱锥 S ? ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形, AB ? 2 , SA ? SB ? SC ? 2 , 则三棱锥的外接球的球心到平面 ABC 的距离是( A.
3 3

) D.
3 3 2

B.1

C. 3

11、双曲线 M :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 实轴的两个顶点为 A, B ,点 P 为双曲线 M 上除 A、B 外的 a 2 b2

一个动点,若 QA ? PA且QB ? PB ,则动点 Q 的运动轨迹为( A.圆 B.椭圆 C.双曲线

) D.抛物线

12、已知 f ( x) 是定义在 R 上的且以 2 为周期的偶函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x2 . 如果函数 g ( x) ? f ( x) ? ( x ? m) 有两个零点,则实数 m 的值为( A. 2k (k ? Z )
1 B. 2k 或2k ? (k ? Z ) 4


1 D. 2k 或2k ? (k ? Z ) 4

C.0

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 ? ? ? ? ? ? ? ? 13、已知 | a |? 4 , | b |? 2 ,且 a 与 b 夹角为 120°,则 (a ? 2b) ? (a ? b) =________.
a 5 14、已知 ( x ? ) 的展开式中含 x 2 的项的系数为 30,则 a ? ________. x
3

?y ? x ? 15、设 m ? 1 ,变量 x , y 在约束条件 ? y ? mx 下,目标函数 z ? x ? my 的最大值为 2 ,则 m ? ____. ?x ? y ? 1 ?

b 1 16、已知数列 {an },{bn } 满足 a1 ? , an ? bn ? 1, bn?1 ? n 2 (n ? N * ) ,则 b2017 ? ______. 2 1 ? an

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、 (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 若 3cos( B ? C) ?1 ? 6cos B cos C .
Middle

(Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)若 a ? 3 , ?ABC 的面积为 2 2 ,求 b, c 边长.

18、 (本小题满分 12 分)4 月 23 日是世界读书日,惠州市某中学在此期间开展了一系列的 读书教育活动。为了解本校学生课外阅读情况,学校随机抽取了 100 名学生对其课外 阅读时间进行调查。下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位:分钟) 的频率分布直方图,且将日均课外阅读时间不低于 60 分钟的学生称为“读书迷”, 低于 60 分钟的学生称为“非读书迷”. (Ⅰ)根据已知条件完成下面 2×2 列联表,并据此判断是否有 99%的把握认为“读书迷” 与性别有关? 组距
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 O 30 40 50 60 70 80

频率

时间 / 分钟

(Ⅱ)将频率视为概率,现在从该校大量学生中用随机抽样的方法每次抽取 1 人,共抽取 3 次,记被抽取的 3 人中“读书迷”的人数为 X ,若每次抽取的结果是相互独立的, 求 X 的分布列、数学期望 E ( X ) 和方差 D( X ) . 附: K 2 ?

n(ad ? bc)2 ,n ? a ?b ?c ? d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

Middle

19、(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PC ? 底面 ABCD ,底面 ABCD 是 直角梯形, AB ? AD , AB / /CD , AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 , E 是 PB 上的点. (Ⅰ)求证:平面 EAC ⊥平面 PBC ; (Ⅱ)若 E 是 PB 的中点,且二面角 P ? AC ? E 的余弦值为 所成角的正弦值.
6 ,求直线 PA 与平面 EAC 3

P E A D
C

B

20、 (本小题满分 12 分)已知点 A(?1, 0) , B(1, 0) ,直线 AM 与直线 BM 相交于点 M , 直线 AM 与直线 BM 的斜率分别记为 k AM 与 kBM ,且 k AM ? kBM ? ?2 . (Ⅰ)求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过定点 F (0,1) 作直线 PQ 与曲线 C 交于 P, Q 两点, ?OPQ 的面积是否存在最大值? 若存在,求出 ?OPQ 面积的最大值;若不存在,请说明理由.

Middle

21、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ?

a ( x ? 1) (a ? R) . x

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)求证: ? x ? (1, 2) ,不等式

1 1 1 ? ? 恒成立. ln x x ? 1 2

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。 22、 (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙O 的直径,弦 CD 与 AB 垂直,并与 AB 相交于点 E ,点 F 为弦 CD 上异于 点 E 的任意一点,连接 BF 、 AF 并延长交⊙O 于点 M , N . (Ⅰ)求证: B, E, F , N 四点共圆; (Ⅱ)求证: AC 2 ? BF ? BM ? AB2 .
A M

C
E O B

F D

N

Middle

23、 (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 经过点 P(?1, 0) ,其倾斜角为 ? ,以原点 O 为极点,以 x 轴 非负半轴为极轴,与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线 C 的 极坐标方程为 ? 2 ? 6? cos? ? 5 ? 0 . (Ⅰ)若直线 l 与曲线 C 有公共点,求 ? 的取值范围; (Ⅱ)设 M ( x, y) 为曲线 C 上任意一点,求 x ? y 的取值范围.

24、 (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| ax ? 1| . (Ⅰ)若 f ( x) ? 2 的解集为 [?6, 2] ,求实数 a 的值; (Ⅱ)当 a ? 2 时,若存在 x ? R ,使得不等式 f (2 x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 7 ? 3m 成立, 求实数 m 的取值范围.

Middle

惠州市 2017 届高三第一次调研考试 数 学(理科)参考答案与评分标准

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 A 5 B 6 A 7 C 8 C 9 D 10 A 11 C 12 D

1.C【解析】由已知可得 B ? {log2 1,log2 2,log2 4,log2 8,log2 16} ? {0,1, 2,3, 4},所以 A ? B ? {1, 2, 4} ,所以选 C. 2.【解析】由 z(1 ? i) ?|1 ? i | ?i ? 2 ? i ,得

z?

2 ? i ( 2 ? i)(1 ? i) 2 ?1 2 ?1 ? ? ? i ,则 z 的实部为 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2

2 ?1 ,故选 A. 2

考点:复数的代数运算 3. 【解析】若 a ? 2 ,则由 f (a) ? 1 得, 3a ?2 ? 1,∴ a ? 2 .此时不成立.
2 若 a ? 2 ,则由 f (a) ? 1 得, log3 (a ?1) ? 1 ,∴ a ? 2 ,故选 A.

考点:函数的零点;函数的值. 4. 【解析】将函数 y ?
2 ? (sin x ? cos x) ? sin( x ? ) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,可得函数 2 4

1 ? ? 1 ? 1 y ? sin( x ? ) 的图象; 再向左平移 个单位, 所得函数图象的解析式为 y ? sin( x ? ) ? cos x , 故选: 2 4 2 2 2 2

A. 考点:三角函数的图象变换. 5. 【解析】圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? a ,圆心 ? ?2, 2? ,半径 a .故弦心距 d ? 式可得 a ? 2 ? 9 ? 11 ;故选 B. 考点:直线与圆的位置关系.
1 1 6. 【解析】 k ? 1, s ? ?3; k ? 2, s ? ? ; k ? 3, s ? ; k ? 4, s ? 2, 以 4 作为一个周期,所以 k ? 2016, s ? 2 ,故 2 3
?2 ? 2 ? 2 2 ? 2 .再由弦长公

选A 7. 【解析】因为 4a ? 2b ? 2 ,所以 2a ? b ? 1 ,
2 1 ?2 1? ?b a? ? ? ? 2a ? b ? ? ? ? ? 5 ? 2 ? ? ? ? 9 . a b ?a b? ?a b?
Middle

当且仅当

b a 1 ? 即 a ? b ? 时“=”成立,故选 C. 2 a b

考点:基本不等式;等比数列的性质. 8. 【解析】几何体是一个组合体,包括一个三棱柱和半个圆柱,三棱柱的是一个底面是腰为 2 的等腰直
1 角三角形,高是 3,其底面积为: 2 ? ? 2 ? 2 ? 4 ,侧面积为: 3 ? 2 2 ? 3 ? 2 ? 6 2 ? 6 ;圆柱的底面半径 2 1 是 1,高是 3,其底面积为: 2 ? ? 1? ? ? ? ,侧面积为: 3 ? ? ? 3? ; 2

∴组合体的表面积是 π +6 2 +4+6+3π =4π +10+6 2 故选 C. 9. 【解析】? x ?
1? 2 ? 4 ? 5 10 ? 26 ? 35 ? 49 ? 3, y ? ? 30 ,中心点为 ? 3,30? , 4 4

? ?a ? ? 3? ? 代入回归方程得 30 ? 27 ? a y ? 9x ? 3? x ? 6 时 ? y ? 57
考点:回归方程 10. 【解析】因为三棱锥 S ? ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形, SA ? SB ? SC ? 2 ,
? S 在面 ABC 内的射影为 AB 中点 H ,? SH ? 平面 ABC ,? SH 上任意一点到 A, B, C 的距离相等.

? SH ? 3 , CH ? 1,在面 SHC 内作 SC 的垂直平分线 MO ,则 O 为 S ? ABC 的外接球球心.
? SC ? 2 ,? SM ? 1 , ?OSM ? 30? ,? SO ?

2 3 3 ,即为 O 到平面 ABC 的距离,故选 A. , OH ? 3 3

考点:球内接多面体;点到面的距离的计算. 11.【解析】设 P(m, n), Q( x, y ), 双曲线M:

x2 y 2 ? ? 1 ,实轴的两个顶点 A(?a,0), B(a,0) a 2 b2
ny , x?a

QA ? (? x ? a, ? y), PA ? (?m ? a, ?n) ∵QA⊥PA,∴ ? ?x ? a ?? ?m ? a ? ? ny ? 0 ,可得 m ? a ? ?
同理根据 QB⊥PB,可得 m ? a ? ?
ny n2 y 2 两式相乘可得 m 2 ? a 2 ? 2 x?a x ? a2

∵点 P(m, n) 为双曲线 M 上除 A、B 外的一个动点,?

m2 n2 ? ? 1, a 2 b2

整理得 n 2 ?

b2 2 (m ? a 2 ) 2 a

x2 b2 y 2 ? 2 ? 1 故选:C. a2 a
0 ? ? x ? 1 , f (? x) ? ? ? x ? ? x 2 ? f ( x) ,
2

12. 【解析】设 ?1 ? x ? 0 ,则
Middle

综上, f ( x) ? x2 , x ???1,1? , f ( x) ? ? x ? 2k ? , x ?? 2k ?1, 2k ? 1? ,
2

由于直线 y ? x ? a 的斜率为 1, 在 y 轴上的截距等于 a , 在一个周期 ??1,1? 上,a ? 0 时 满足条件,a ? ?

1 4

时,在此周期上直线和曲线相切,并和曲线在下一个区间上图象有一个交点,也满足条件.由于 f ( x) 的
1 周期为 2,故在定义域内,满足条件的 a 应是 2k ? 0或2k ? ,k∈Z.故选 D. 4

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13. 12 14. ?6 15. 1 ? 2 16.
2017 2018

? ? ? ? ? ? ?2 ?2 ? ? 13. 【解析】? a ? 4, b ? 2 ,且 a 与 b 夹角为 120? ,? a ? 16, b ? 4 , a ? b ? a ? b ? cos120?

? ? ? ?2 ? ? ? ? ?? ? 1? ? 4 ? 2 ? ? ? ? ? ?4 , a ? 2b ? a ? b ? a 2 ? a ? b ? 2b ? 12 ,故答案为 12 . ? 2?

?

??

?

考点:1、平面向量模与夹角;2、平面向量的数量积.
r 5 5? r

1.6 1.4

a r 5 3 1 ) , ? r ? ,? r ? 1 , C5 (?a) ? 30, a ? ?6 1.2 14.【解析】 Tr ?1 ? C ( x ) (? 1 2 2 x y=mx 0.8 B z=x+my y y=x 0.6 B 的坐标为 15. 【解析】作出可行域如图所示,当直线 z ? x ? my 经过点 B 时, z 有最大值,此时点
0.4

A

(

1 m 1 m , ),z ? ? m? ? 2 ,解之得 m ? 1 ? 2 或 m ? 1 ? 2 (舍去) ,所以 m ? 1 ? 2 . O m ?1 m ?1 m ?1 m ?1 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5
0.2 0.2 0.4 0.6 0.8

2

2

考点:线性规划. 16. 【解析】∵ an ? bn ? 1 , a1 ?
bn 1 1 ,∴ b1 ? ,∵ bn?1 ? 1 ? an 2 2 2

x+y=1

x 1 1 1 ? ? ?1 , 1 ,∴ ,∴ bn ?1 ? 2 ? 1.2 bn bn?1 ? 1 bn ? 1
1.4

1 ? 1 ? 1 ? ?2 .∴数列 ? 又∵ b1 ? ,∴ ? 是以﹣2 为首项,﹣1 为公差的等差数列, b1 ? 1 2 ? bn ? 1?



1 n 2017 2017 ? ?n ? 1 ,∴ bn ? .则 b2017 ? .故答案为: . bn ? 1 n ?1 2018 2018

考点:数列递推式. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)由 3cos( B ? C ) ? 1 ? 6cos B cos C , 得 3(cos B cos C ? sin B sin C ) ? ?1 ,...............2 分
Middle

1 即 cos( B ? C ) ? ? , 3

.......................................3 分

1 在 ?ABC 内, cos A ? ? cos( B ? C ) ? ......................................5 分 3

1 2 2 (Ⅱ)∵ 0 ? A ? ? , cos A ? ,∴ sin A ? , 3 3
1 由 S?ABC ? 2 2 ,得 bc sin A ? 2 2 ,即 bc ? 6 ..........................6 分 2

由余弦定理,得 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,.............................7 分 ∴ 9 ? (b ? c)2 ? 2bc(1 ? cos A) ? (b ? c)2 ?16 , ∴ b ? c ? 5 ..................................................................9 分

?b ? c ? 5 ?b ? 2 ?b ? 3 由? ,得 ? 或? .............................................12 分 ? bc ? 6 ? c ? 3 ?c ? 2
考点:1、三角恒等变换;2 余弦定理、 ;3、正弦定理的应用. 18. (本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)2×2 列联表如下: 非读书迷 男 女 合计 易知 K 2 的观测值 k ? 40 20 60 读书迷 15 25 40 合计 55 45 100

100 ? (40 ? 25 ? 15 ? 20)2 ? 8.249 ....................4 分 60 ? 40 ? 55 ? 45

因为 8.249>6.635,所以有 99%的把握认为“读书迷”与性别有关...............5 分 (Ⅱ)由频率分布直方图可知从该校学生中任意抽取 1 名学生恰为“读书迷”的概率为
2 ,..............6 分 5
2 由题意可知 X ? B (3, ) , X 的所有可能取值为 0,1,2,3,......................7 分 5

3 27 P ( X ? 0) ? C30 ( )3 ? , 5 125

54 1 2 3 2 P( X ? 1) ? C3 ( )( ) ? , 5 5 125

Middle

2 3 36 P( X ? 2) ? C32 ( ) 2 ? , 5 5 125
X 的分布列为 X
P

8 3 2 3 P( X ? 3) ? C3 ( ) ? ...........9 分 5 125

0
27 125

1
54 125

2
36 125

3
8 125

...................................10 分
E( X ) ? 3? 2 6 ? ................................................11 分 5 5

2 2 18 D( X ) ? 3 ? ? (1 ? ) ? ......................................12 分 5 5 25

19. (本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)证明: ? PC ? 平面 ABCD, AC ? 平面 ABCD, ? AC ? PC ,.........1 分
AB ? 2 , AD ? CD ? 1 , ? AC ? BC ? 2
? AC 2 ? BC 2 ? AB2 , ? AC ? BC ...........................................2 分

又 BC ? PC ? C , PC ? 面 PBC , BC ? 面 PBC ...................3 分
? AC ? 平面 PBC ,.................................................................4 分

∵ AC ? 平面 EAC , ? 平面 EAC ? 平面 PBC

...........................5 分

(Ⅱ)以 C 为原点,建立空间直角坐标系如图所示, 则 C(0,0,0) , A (1,1,0) , B (1,-1,0)
1 a 1 设 P (0,0, a ) (a ? 0) ,则 E ( , ? , ) , 2 2 2 1 1 a CA ? (1,1,0) , CP ? (0,0, a) , CE ? ( ,? , ) ,.......6 分 2 2 2

z
P E A

x
C

B

取 m =(1,-1,0)
?? 则 m ? CP ? m ? CA ? 0 , ? m 为面 PAC 的法向量

y D

设 n ? ( x, y, z ) 为面 EAC 的法向量,则 n ? CA ? n ? CE ? 0 ,
? x ? y ? 0, 即? ,取 x ? a , y ? ?a , z ? ?2 ,则 n ? (a,?a,?2) ,.............. 8 分 ? x ? y ? az ? 0

依题意, cos ? m, n ? ?

m?n mn

?

a a2 ? 2

?

6 ,则 a ? 2 ...............9 分 3

Middle

于是 n ? (2,?2,?2) .........................................10 分 设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 ? ,则 sin ? ? cos ? PA, n ? ?
PA ? n PA n ? 2 , 3

即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为 20. (本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)设 M ? x, y ? ,则 kMA ? 所以

2 ............................12 分 3

y y , k MB ? ? x ? ?1? , x ?1 x ?1

y y y2 ? ? ?2 所以 x 2 ? ? 1? x ? ?1? (未写出范围扣一分)............4 分 x ?1 x ?1 2

(Ⅱ)由已知当直线 PQ 的斜率存在,设直线 PQ 的方程是 y ? kx ? 1 ,........5 分
? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 联立 ? ,消去 y 得 ? k ? 2 ? x ? 2kx ? 1 ? 0 ,.....................6 分 2 ? y ? kx ? 1 ?

因为 ? ? ? 4k

2

? ? 4?k

2

? 2 ? ? 8 ? k 2 ? 1? ? 0 ,所以 k ? R ,...............7 分

设 P ? x1, y1 ? , Q ? x2 , y2 ? , x1 ? x2 ? ?
1 1 S?OPQ ? ? OF ? x1 ? x2 ? 2 2

2k 1 , x1 x2 ? ? 2 k ?2 k ?2
2

......................8 分

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 ? x2 ? 2 ?

k 2 ?1 ........10 分 k2 ? 2

? 2?

1 k 2 ?1 ? 1 k 2 ?1

?

2 2 当且仅当 k ? 0 时取等号,

?OPQ 面积的最大值为

2 . 2

.......................................12 分

考点:1、求曲线的方程;2、椭圆的方程;3、利用基本不等式求最值. 21. (本小题满分 12 分)
/ 【解析】 (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ( x) ?

x?a x2

....................3 分

①若 a ? 0, f / ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增

...................4 分

②若 a ? 0 ,当 x ? (0, a) 时, f / ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, a ) 单调递减. 当 x ? (a, ??) 时, f / ( x) ? 0 , f ( x) 在 (a, ??) 单调递增..................6 分
Middle

(Ⅱ)?1 ? x ? 2 ?

1 1 1 ? ? 等价于 ( x ? 1)ln x ? 2( x ?1) ? 0 ??????7 分 ln x x ? 1 2 ( x ? 1) 1 ? 2 ? ln x ? ? 1 ???9 分 x x 1 ? 1 ? 0 .......10 分 x

/ 令 F ( x) ? ( x ? 1)ln x ? 2( x ? 1) ,则 F ( x) ? ln x ?

由(Ⅰ)知,当 a ? 1 时 f min ( x) ? f (1) ? 0 ,? f ( x) ? f (1) ,即 ln x ? 所以 F / ( x) ? 0 ,则 F ( x) 在 (1, 2) 上单调递增,所以 F ( x) ? F (1) ? 0 即 有1 ? x ? 2 时
1 1 1 ? ? ln x x ? 1 2

??????????????????12 分

考点:导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、极值、最值及分类讨论、转化与化归的数学思想 22.(本小题满分 10 分) 【解析】证明 (Ⅰ)连接 BN ,则 AN ? BN ,?????2 分 又 CD ? AB, 则 ?BEF ? ?BNF ? 90 ,.......4 分
?

C

即 ?BEF ? ?BNF ? 180 ,则 B, E, F , N 四点共圆...............5 分
?

A M

E O F D

B
N

(Ⅱ)由直角三角形的射影定理可知 AC ? AE ? AB,
2

.................6 分

相似可知:

BF BE ? , BA BM

BF ?BM ? BA?BE ? BA? ( BA ? EA) ,

BF ? BM ? AB 2 ? AB ? AE .........................?????????8 分
? BF ? BM ? AB2 ? AC 2 ,即AC 2 ? BF ? BM ? AB2 .............................10 分

23.(本小题满分 10 分) 【解析】 (Ⅰ)将 C 的极坐标方程 ? 2 ? 6? cos? ? 5 ? 0 化为直角坐标为 x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 ,.........1 分

? x ? ?1 ? t cos ? (t为参数) 直线 l 的参数方程为 ? ??????...................2 分 ? y ? t sin ?
将直线的参数方程代入曲线 C 的方程整理得 t 2 ? 8t cos ? ? 12 ? 0 .......???3 分 直线与曲线有公共点,?? ? 64cos2 ? ? 48 ? 0 得 cos ? ?
3 3 或 cos ? ? ? 2 2

? ? 5? ? ?? ? [0, ? ),?? 的取值范围为 [0, ] ? ? , ? ? .............????????5 分 6 ?6 ?
Middle

(Ⅱ)曲线 C 的方程 x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0化为( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 ,

? x ? 3 ? 2cos ? (? 为参数) 其参数方程为 ? ................?????????7 分 ? y ? 2sin ?
M ( x, y) 为曲线 C 上任意一点,

?? ? ? x ? y ? 3 ? 2cos ? ? 2sin ? ? 3 ? 2 2 sin ?? ? ? ..........9 分 4? ?
x ? y 的取值范围是 [3 ? 2 2,3 ? 2 2] ...........................?????????10 分

24.(本小题满分 10 分) 【解析】 (Ⅰ)显然 a ? 0 ,??????????????????????1 分
1 3 1 3 当 a ? 0 时,解集为 [? , ] , ? ? ?6, ? 2 ,无解;????3 分 a a a a
1 3 1 1 3 当 a ? 0 时,解集为 [ , ? ] ,令 ? ? 2, ? ?6 , a ? ? , 2 a a a a 1 综上所述, a ? ? .????????????????????5 分 2

(Ⅱ)当 a ? 2 时,

1 ? ? 2 x ? 4, x ? ? ? 4 ? 1 3 ? 令 h( x) ? f (2x ?1) ? f ( x ?1) ? 4x ?1 ? 2x ? 3 ? ?6 x ? 2, ? ? x ? ????7 分 4 2 ? 3 ? ? 2 x ? 4, x ? 2 ?
1 3 1 3 由此可知, h( x) 在 (??, ? ) 单调减,在 (? , ) 和 ( , ??) 单调增, 4 2 4 2 1 7 则当 x ? ? 时, h( x) 取到最小值 ? ,????????????8 分 4 2

由题意知, ?

7? 7 ? ? 7 ? 3m ,则实数 m 的取值范围是 ? ??, ? ?????10 分 2? 2 ?

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