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高中数学1-6微积分基本定理_图文

1.6 微积分基本定理

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【课标要求】 1.了解微积分基本定理的内容与含义. 2.会利用微积分基本定理求函数的定积分.

【核心扫描】
1.用微积分基本定理求函数的定积分是本课的重点. 2.对微积分基本定理的考查常以选择、填空题的形式出现.

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自学导引
1.微积分基本定理

如果 f(x)是区间[a,b]上的 连续 函数,并且 内容 F′(x)= f(x) , 那么∫baf(x)dx= F(b)-F(a) . 这 个结论叫做微积分基本定理 符号
?b f(x)dx=F(x)? ? ?a



F(b)-F(a)

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想一想:导数与定积分有怎样的联系?

提示

导数与定积分都是定积分学中两个最基本、最重要的概

念,运用它们之间的联系,我们可以找出求定积分的方法,求 导数与定积分是互为逆运算.

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2.定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在x轴上方的面积为S上,x轴下方的面积为S下,则

(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时,如图(1),


图(1)

图(2)

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(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时,如图(2), 则?bf(x)dx= ? ?
?a

-S下



(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时,如图(3), 则?bf(x)dx= S上-S下 ? ?
? .

若 S 上=S 下,则?bf(x)dx= 0 . ? ?
?

a

a

图(3)
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想一想:在上面图(1)、图(2)、图(3)中的三个图形阴影部分的面积

分别怎样表示?
提示 根据定积分与曲边梯形的面积的关系知:

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名师点睛 1.微积分基本定理的理解

(1)微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的联系,同时它也
提供了计算定积分的一种有效方法. (2)根据定积分的定义求定积分往往比较困难,而利用微积分基 本定理求定积分比较方便.

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(3)设f(x)是定义在区间I上的一个函数,如果存在函数F(x),在区间 I上的任意一点x处都有F′(x)=f(x),那么F(x)叫做函数f(x)在区间I上

的一个原函数.根据定义,求函数f(x)的原函数,就是要求一个函
数F(x),使它的导数F′(x)等于f(x).由于[F(x)+c]′=F′(x)=f(x),所 以F(x)+c也是f(x)的原函数,其中c为常数. (4)利用微积分基本定理求定积分 的关键是找出满足F′(x)

=f(x)的函数F(x),通常,我们可以运用基本初等函数的求导公式

和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x).

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2.被积函数为分段函数或绝对值函数时的正确处理方式 分段函数和绝对值函数积分时要分段去积和去掉绝对值符号去 积.处理这类积分一定要弄清分段临界点,同时对于定积分的 性质,必须熟记在心.

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3.常用的基本初等函数 f(x)和它的一个原函数 F(x)如下: (1)若 f(x)=c(c 为常数),则 F(x)=cx; 1 n+1 (2)若 f(x)=x (n≠-1),则 F(x)= · ; x n+1
n

1 (3)若 f(x)=x ,则 F(x)=ln x(x>0); (4)若 f(x)=ex,则 F(x)=ex; (5)若 f(x)=a ,则 F(x)=ln
x

1

·x(a>0 且 a≠1); aa x;

(6)若 f(x)=sin x,则 F(x)=-cos (7)若 f(x)=cos x,则 F(x)=sin x.

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题型一 求简单函数的定积分 【例1】 计算下列定积分

[思路探索] 解答本题可先求被积函数的原函数;然后利用微 积分基本定理求解.

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解 所以

(1)因为(3x)′=3,
?2 3dx=(3x)? ? ?1

=3×2-3×1=3.

(2)因为(x2+3x)′=2x+3, 所以
?2 (2x+3)dx=(x2+3x)? ? ?0

=22+3×2-(02+3×0)=10.
? x3? (3)因为?2x2- 3 ?′=4x-x2, ? ?

所以

3 ? x3?? (4x-x2)dx=?2x2- 3 ?? ? ??-1 ?

? 33? ? ?-1?3? 20 ? =?2×32- 3 ?-?2×?-1?2- = . 3 ? 3 ? ? ? ? ?
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?1 ? 6 (4)因为?6?x-1? ?′=(x-1)5, ? ?

所以

(x-1)5dx
2

? 1 6? =6(x-1) ? ?1

1 1 6 =6(2-1) -6(1-1)6 1 =6.

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(1)用微积分基本定理求定积分的步骤: ①求f(x)的一个原函数F(x); ②计算F(b)-F(a).

(2)注意事项:
①有时需先化简,再求积分; ②f(x)的原函数有无穷多个,如F(x)+c,计算时,一般只写一个最 简单的,不再加任意常数c.

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【变式1】 求下列定积分:

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题型二 求较复杂函数的定积分 【例 2】 求下列定积分:

[ 思 路 探 索 ]

化简被积函数 → 转化为基本函数的积分

→ 求原函数 → 求定积分

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解 (1)∵ x(1- x)= x-x,

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求较复杂函数的定积分的方法: (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则,正确求解被积

函数的原函数,当原函数不易求时,可将被积函数适当变形后求
解,具体方法是能化简的化简,不能化简的变为幂函数、正、余 函数、指数、对数函数与常数的和与差. (2)精确定位积分区间,分清积分下限与积分上限.

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【变式 2】 计算下列定积分:

1 解 (1)sin x-sin 2x 的一个原函数是-cos x+ cos 2x, 2

? =?-cos ?

1 x+2cos

?? 2x??3 ?

?π ?0

? 1 1? ? 1? 1 =?-2-4?-?-1+2?=-4. ? ? ? ?

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题型三 定积分的简单应用 【例 3】 已知 f(a)= (2ax2-a2x)dx,求 f(a)的最大值.

[思路探索] 求2ax2-a2x的原函数 → 求f?a? → 利用二次函数性质求最值

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?2 1 2 2? 3 ∵?3ax -2a x ?′=2ax2-a2x, ? ?

4? 2 2 1 2 1? 2 4 即 f(a)=3a-2a =-2?a -3a+9?+9 ? ? 2? 2 2 1? =-2?a-3? +9, ? ? 2 2 ∴当 a= 时,f(a)有最大值 . 3 9

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定积分的应用体现了积分与函数的内在联系,可以通过 积分构造新的函数,进而对这一函数进行性质、最值等方面的考 查,解题过程中注意体会转化思想的应用.

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【变式 3】 已知 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且 f(-1)=2,f′(0)=0, f(x)dx=-2,求 a、b、c 的值. 解 由 f(-1)=2,得 a-b+c=2. 又 f′(x)=2ax+b,∴f′(0)=b=0, ① ②

1 1 = a+ b+c, 3 2 1 1 ∴3a+2b+c=-2, 由①②③式得 a=6,b=0,c=-4.
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题型四

求分段函数的定积分

【例 4】 计算下列定积分:

(1)分段函数的定积分采用分段来求. (2)求带绝对值符号的函数的定积分,先去掉绝对值符号,然 后再分段求解.

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【题后反思】 (1)求分段函数的定积分时,可利用积分性质将其表

示为几段积分和的形式;
(2)带绝对值的解析式,先根据绝对值的意义找到分界点,去掉绝 对值号,化为分段函数; (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论.

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【变式 4】 求 解

(|2x+3|+|3-2x|)dx.

∵|2x+3|+|3-2x|

3 ? ?-4x,x<- , 2 ? ? 3 3 =?6, -2≤x≤2, ? ? 3 ?4x, x>2, ?

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误区警示 【示例】 计算

原函数求错而导致结果错误 1 x dx.

1 [错解] ∵(ln x)′=x ,

∵ln(-1)、ln(-2)无意义, ∴此积分不能用初等函数表示.

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被积函数的原函数求错. ∵积分区间为[-2,-1],∴x<0, 1 因此有(ln|x|)′==(ln(-x))′=x (x<0).

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求f(x)在某个区间上的定积分,关键是求出被积函数f(x) 的一个原函数,即要正确运用求导运算与求定积分运算互为逆运 算的关系.

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