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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第5章 第5节 数列的综合应用


第五节

数列的综合应用

[主干知识梳理] 一、数列在实际生活中有着广泛的应用,其解 题的基本步骤,可用图表示如下:

二、数列应用题常见模型 1.等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该模

型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差.
2.等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的 数时,该模型是等比模型,这个固定的数就是公比. 3.递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系 不固定,随项的变化而变化时,应考虑是an与an+1的递

推关系,还是前n项和Sn与Sn+1之间的递推关系.

[基础自测自评] 1.某学校高一、高二、高三共计 2 460 名学生,三个年级的学生 人数刚好成等差数列,则该校高二年级的人数是 ( A.800 C.840 a-d,a,a+d. 2 460 则 a-d+a+a+d=2 460,解得 a= =820. 3 故高二年级共有 820 人.] B.820 D.860 )

B [由题意可设高一、高二、高三三个年级的人数分别为

2.(教材习题改编)有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀 死一个病毒的同时将自身分裂为 2 个, 现在有一个这样的细菌 和 100 个这样的病毒(假设病毒不繁殖),问细菌将病毒全部杀 死至少需要 ( A.6 秒钟 B.7 秒钟 C.8 秒钟 D.9 秒钟 )

B [设至少需 n 秒钟,则 1+21+22+…+2n-1≥100, 1-2n 即 ≥100,解得 n≥7.] 1-2

3.数列{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且 a6 =b7,则有 ( A.a3+a9≤b4+b10 B.a3+a9≥b4+b10 C.a3+a9≠b4+b10 D.a3+a9 与 b4+b10 的大小不确定
2 B [a3+a9≥2 a3a9=2 a6 =2a6=2b7=b4+b10,

)

当且仅当 a3=a9 时,不等式取等号.]

2π 4.一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为 ,公 3 π 差为 ,则这个多边形的边数为________. 36 解析 由于凸 n 边形的内角和为(n-2)π, 2π n(n-1) π 故 n+ × =(n-2)π. 3 2 36 化简得 n2-25n+144=0. 解得 n=9 或 n=16(舍去). 答案 9

5.设曲线 y=xn+1(n∈N*)在点(1, 1)处的切线与 x 轴的交点的横坐 标为 xn,xn=________,令 an=lg xn,则 a1+a2+…+a99 的值 为________. 解析 ∵y=xn+1,∴y′=(n+1)xn, 它在点(1,1)处的切线方程为 y-1=(n+1)(x-1), 1 n 与 x 轴交点的横坐标为 xn=1- = , n+1 n+1 由 an=lg xn 得 an=lg n-lg(n+1),

于是 a1+a2+…+a99 =lg 1-lg 2+lg 2-lg 3+…+lg 99-lg 100 =lg 1-lg 100 =0-2 =-2. n 答案 -2 n+1

[关键要点点拨] 1.对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解,有些

数列题目条件已指明是等差(或等比)数列,有的数列并没
有指明,但可以通过分析构造,转化为等差数列或等比 数列,然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题.

2.数列是一种特殊的函数,故数列有着许多函数的性

质.等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列,
它们是研究数列性质的基础,与函数、方程、不等式、 三角等内容有着广泛的联系,在实际生活中也有着广泛 的应用,随着高考对能力要求的进一步提高,这一部分 内容也将受到越来越多的关注.

等差数列与等比数列的综合问题 [典题导入] 在等比数列{an}(n∈N*)中,a1>1,公比q>0,设bn= log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.

(1)求证:数列{bn}是等差数列;
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an.

[听课记录]

(1)证明:∵bn=log2an,

an+1 ∴bn+1-bn=log2 =log2q 为常数, an ∴数列{bn}为等差数列且公差 d=log2q. (2)∵b1+b3+b5=6,∴b3=2, ∵a1>1,∴b1=log2a1>0. ∵b1b3b5=0, ∴b5=0.

? ? ?b1+2d=2, ?b1=4, ∴? 解得? ? ? ?b1+4d=0, ?d=-1,

n(n-1) 9n-n2 ∴Sn=4n+ × (-1)= . 2 2 ? ? ?q= , log q =- 1 , ? 2 ∵? ∴? 2 ? ?log2a1=4, ? 1 ∴an=25-n(n∈N*).

?a1=16,

[互动探究] 试比较(2)求出的 Sn 与 an 的大小. 解析 ∵an=25-n>0, n(9-n) 当 n≥9 时,Sn= ≤0,∴n≥9 时,an>Sn. 2 ∵a1=16,a2=8,a3=4,a4=2,a5=1, 1 1 1 a6= ,a7= ,a8= , 2 4 8 S1=4,S2=7,S3=9,S4=10,S5=10, S6=9,S7=7,S8=4, ∴当 n=3,4,5,6,7,8 时,an<Sn; 当 n=1,2 或 n≥9 时,an>Sn.

[规律方法] 解决等差数列与等比数列的综合问题,关键是理清两个数列

的关系.如果同一数列中部分项成等差数列,部分项成等比
数列,要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究;如 果两个数列通过运算综合在一起,要从分析运算入手,把两 个数列分割开,弄清两个数列各自的特征,再进行求解.

[跟踪训练] 1 1.(2014· 湖北省七市联考)数列{an}是公比为 的等比数列,且 1- 2 a2 是 a1 与 1+a3 的等比中项,前 n 项和为 Sn;数列{bn}是等差 数列,b1=8,其前 n 项和 Tn 满足 Tn=nλ· bn+1(λ 为常数,且 λ ≠1). (1)求数列{an}的通项公式及 λ 的值; 1 1 1 1 1 (2)比较 + + +…+ 与 Sn 的大小. T1 T2 T3 Tn 2

解析

(1)由题意得(1-a2)2=a1(a3+1),

? ?1 ? 1 ? ? ?2 ? 即?1-2a1? =a1?4a1+1? ?, ? ? ? ? ?1?n 1 ? 解得 a1= ,∴an=? ?2? . 2 ? ? ? ?T1=λb2, ? ?8=λ(8+d), 又? 即? ? ?T2=2λb3, ? ?16+d=2λ(8+2d),

1 ? ?λ= , ? ?λ=1, 2 解得? 或? (舍), ? d = 0 ? ? ?d=8 1 ∴λ= . 2

(2)由(1)知

?1? ?n Sn=1-? ?2? , ? ?

? 1 1 ? ?1?n+1 1 ∴ Sn= -?2? ≥ , 2 2 ? ? 4



1 又 Tn=4n +4n, Tn
2

1 ? 1 1? ?1 ? = = ?n- , n+1? 4n(n+1) 4? ?

1 1 1 ∴ + +…+ T1 T2 Tn 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? = ?1-2+2-3+…+n- 4? n+1? ? 1 ? 1? ? ? 1 1 - = ? < , 4? n+1? ? 4 ②

1 1 1 1 由①②可知 + +…+ < Sn. T1 T2 Tn 2

等差数列与等比数列的实际应用 [典题导入] (2012· 湖南高考)某公司一下属企业从事某种高科技产 品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元,将其投入生

产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率
与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上 缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年 年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.

(1)用 d 表示 a1,a2,并写出 an+1 与 an 的关系式; (2)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4 000 万元, 试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示). [听课记录] (1)由题意得

a1=2 000(1+50%)-d=3 000-d, 3 5 a2=a1(1+50%)-d= a1-d=4 500- d, 2 2 … 3 an+1=an(1+50%)-d= an-d. 2

3 (2)由(1)得 an= an-1-d 2
? 3? ?3 = ?2an-2-d? ?-d 2? ? ?3?2 3 ? ? =?2? an-2- d-d 2 ? ?


? ?3?n-1 ? ?3?n-2? 3 ? ? ? ? ?3?2 ? ? =?2? a1-d?1+ +?2? +…+? ?2? ?. 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

整理得

?3? ?n-1 an=? (3 ?2? ? ?

??3? ? ?? ?n-1 ? 000-d)-2d· - 1 ??2? ? ?? ? ?

?3? ?n-1 =? (3 ?2? ? ?

000-3d)+2d.

由题意,am=4 000,
?3?m-1 ? 即? (3 ?2? ? ?

000-3d)+2d=4 000. 000(3m-2m+1) . 3m-2m

解得

??3? ? ?? ?m ? - 2 1 000 ??2? ?× 1 ?? ? ? d= = ?3?m ? ? ?2? -1 ? ?

1 000(3m-2m+1) 故该企业每年上缴资金 d 的值为 时, 经过 m(m≥3) m m 3 -2 年企业的剩余资金为 4 000 万元.

[规律方法]

1.数列实际应用题的解题策略
解等差、等比数列应用题时,首先要认真审题,深刻理 解问题的实际背景,理清蕴含在语言中的数学关系,把 应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题,然后求 解.

2.处理分期付款问题的注意事项

(1)准确计算出在贷款全部付清时,各期所付款额及利息
(注:最后一次付款没有利息). (2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时 所生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款 时的利息之和,只有掌握了这一点,才可以顺利建立等

量关系.

[跟踪训练] 2.从经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发 展旅游产业.根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入 1 将比上年减少 ,本年度当地旅游业估计收入 400 万元,由于 5 该项建设对旅游业的促进作用, 预计今后的旅游业收入每年会 1 比上年增加 . 4 (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元, 旅游业总收入 为 bn 万元,写出表达式; (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?

解析

(1)第一年投入为 800 万元,
? 1? ? 800?1-5? ?万元, ? ? ? 1? n-1万元, ? 800?1-5? ? ? ?

第二年投入为

第 n 年内的总投入为

所以,n 年的投入为:
? ? 1? 1? n-1 ? ? ? an=800+800?1-5?+…+800?1-5? ? ? ? ? ?

=4 000-4

?4? ?n 000? ?5? . ? ?

第一年旅游业收入为 400 万元,第二年旅游业收入为
? 1? ? 400?1+4? ?万元. ? ?

第 n 年旅游业收入为

? 1? n-1万元, ? 400?1+4? ? ? ?

所以,n 年内的旅游业总收入为
? ? 1? 1? n-1 ? ? ? bn=400+400?1+4?+…+400?1+4? ? ? ? ? ?

=1

?5? ?n 600? ?4? -1 ? ?

600.

(2)设经过 n 年旅游业的总收入超过总投入,由此 bn-an>0, 即1
?5?n ? 600? ?4? -1 ? ?

600-4 000+4

?4?n ? 000? ?5? >0, ? ?

化简得

?5? ?4? ? ?n ?n 2?4? +5? ?5? -7>0, ? ? ? ?

?4? ?n 设? ?5? =x,代入上式,得 ? ?

5x2-7x+2>0,

2 解此不等式,得 x< 或 x>1(舍去), 5
?4?n 2 ? 即? ?5? <5,由此得 ? ?

n≥5.

故至少经过 5 年旅游业的总收入才能超过总投入.

数列与函数、不等式的综合应用

[典题导入] x (2012· 安徽高考)设函数 f(x)= +sin x 的所有正的极小值 2 点从小到大排成的数列为{xn}. (1)求数列{xn}的通项公式; (2)设{xn}的前 n 项和为 Sn,求 sin Sn.

[听课记录]

1 (1)令 f′(x)= +cos x=0, 2

1 2π 得 cos x=- ,解得 x=2kπ± (k∈Z). 2 3 由 xn 是 f(x)的第 n 个正极小值点知, 2π xn=2nπ- (n∈N*). 3

2 2nπ (2)由(1)可知,Sn=2π(1+2+…+n)- nπ=n(n+1)π- , 3 3 所以 sin
? 2nπ? ? Sn=sin?n(n+1)π- 3 ? ?. ? ?

因为 n(n+1)表示两个连续正整数的乘积,n(n+1)一定为偶数, 2nπ 所以 sin Sn=-sin . 3 当 n=3m-2(m∈N*)时, sin
? 4π? ? Sn=-sin?2mπ- 3 ? ?=- ? ?

3 ; 2

当 n=3m-1(m∈N*)时, sin
? 2π? ? Sn=-sin?2mπ- 3 ? ?= ? ?

3 ; 2

当 n=3m(m∈N*)时, sin Sn=-sin 2mπ=0. ? 3 * ?- 2 ,n=3m-2(m∈N ), ? 综上所述,sin Sn=? 3 * , n = 3 m - 1 ( m ∈ N ), ?2 ? * ?0,n=3m(m∈N ).

[规律方法]

数列与函数的综合问题主要有以下两类:
(1)已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的 性质、图象研究数列问题; (2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要充分 利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.另外, 解题时要注意数列与函数的内在联系,灵活运用函数的思想 方法求解,在问题的求解过程中往往会遇到递推数列,因此

掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决.

[跟踪训练] 3.设数列{an}是公差为 d 的等差数列,其前 n 项和为 Sn.已知 a1=1,d=2, Sn+64 (1)求当 n∈N 时, 的最小值; n
*

n+1 5 2 3 (2)当 n∈N 时,求证: + +…+ < . S1S3 S2S4 SnSn+2 16
*

解析

(1)∵a1=1,d=2,

n(n-1)d ∴Sn=na1+ =n2, 2 Sn+64 64 =n+ ≥2 n n 64 n× =16, n

64 当且仅当 n= ,即 n=8 时,上式取等号. n Sn+64 故 的最小值是 16. n

(2)证明:由(1)知 Sn=n2, n+1 n+1 11 1 当 n∈N 时, = = 2- , SnSn+2 n2(n+2)2 4n (n+2)2
*

? n+1 1? 1? 1? 2 3 11 ?1 ? 1? 1 ? + +…+ = ?12-32?+ ?22-42?+…+ 2- S1S3 S2S4 4n SnSn+2 4? ? 4? ?

1 (n+2)2
? 1 1 1 1? ?1 ? = ?12+22- 2- 2?, 4? (n+1) (n+2) ?

1 1 ∵ + >0, (n+1)2 (n+2)2 n+1 1? 1? 2 3 ?1 ∴ + +…+ < ?12+22? ? S1S3 S2S4 SnSn+2 4? ? 5 = . 16

【创新探究】 由题定法,揭开数列中探索性问题的神秘面纱 (2014· 天津市十二区县联考)已知数列{dn}满足 d1=4, d2=6,dn+dn+2=2dn+1(n∈N*),若 dn=logkan(k 为常数,k>0 且 k≠1). (1)求证:数列{an}是等比数列; (2)若 bn=an·dn,k= 2,求数列{bn}的前 n 项和 Sn; (3)若 cn=an·lg an,问是否存在实数 k,使得{cn}中的每一项恒 小于它后面的项?若存在,求出 k 的范围;若不存在,请说明 理由.

【思路导析】 (1)先求数列{dn}的通项,再求数列{an}的通 项;

(2)由数列{bn}通项的结构特征选取求Sn的方法;
(3)假设存在实数k,使得cn<cn+1对一切n∈N*成立,在这个 前提下,结合已知条件,寻找符合题意的实数k.

【解析】 (1)证明:因为 dn+dn+2=2dn+1, 所以{dn}是等差数列, 由题意 dn=4+(n-1)×2=2n+2, 故 logkan=2n+2,∴an=k2n+2, an+1 k2(n+1)+2 2 ∴ = 2n+2 =k . an k ∵常数 k>0 且 k≠1,∴k2 为非零常数, ∴数列{an}是以 k4 为首项,k2 为公比的等比数列.

(2)由(1)知,bn=andn=k2n+2·(2n+2), 当 k= 2时,bn=(2n+2)· 2n+1=(n+1)· 2n+2. ∴Sn=2· 23+3· 24+4· 25+…+(n+1)· 2n+2, ①

2Sn=2· 24+3· 25+…+n· 2n+2+(n+1)· 2n+3. ② ②-①得 Sn=-2· 23-24-25-…-2n+2+(n+1)· 2n+3= -23-(23+24+25+…+2n+2)+(n+1)· 2n+3
3 n 2 ( 1 - 2 ) 3 =-2 - +(n+1)· 2n+3=n· 2n+3. 1-2

(3)由(1)知,cn=anlg an=(2n+2)· k2n+2lg k, 要使 cn<cn+1 对一切 n∈N*恒成立, 即(n+1)lg k<(n+2)· k2·lg k 对一切 n∈N*成立. ①当 k>1 时,lg k>0,n+1<(n+2)k2 对一切 n∈N*恒成立; ②当 0<k<1 时,lg k<0,n+1>(n+2)k2 对一切 n∈N*恒成立, 即k
2

?n+1? ? <? ?n+2?min, ? ?

n+1 1 ∵ =1- 单调递增, n+2 n+2 ∴当 n=1
2

?n+1? 2 ? ? 时,? ?min=3. n + 2 ? ?

2 ∴k < ,且 0<k<1, 3 6 ∴0<k< , 3 综上所述,存在实数
? k∈? ?0, ?

6? ? ∪(1,+∞)满足条件. ? 3?

【高手支招】

本题属于存在探索性问题,处理这种问题的

一般方法是:假定题中的数学对象存在或结论成立或暂且认 可其中的一部分结论,然后在这个前提下进行逻辑推理.若 由此导出矛盾,则否定假设,否则,给出肯定结论,其中反 证法在解题中起着重要的作用.

解决数列探索性问题基本方法:
(1)对于条件开放的探索性问题,往往采用分析法,从结论 和部分已知条件入手,执果索因,导出所需的条件.

(2)对于结论探索性问题,需要先得出一个结论,再进行证

明.注意含有两个变量的问题,变量归一是常用的解题思想,
一般把其中的一个变量转化为另一个变量,根据题目条件, 确定变量的值.数列中大小关系的探索问题可以采用构造函 数,根据函数的单调性进行证明,这是解决复杂问题常用的 方法.

(3)处理规律探索性问题,应充分利用已知条件,先求出数
列的前几项,根据前几项的特点透彻分析,发现规律、猜想 结论.

[体验高考]
(2013·湖北高考)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S4,S2, S3成等差数列,且a2+a3+a4=-18. (1)求数列{an}的通项公式; (2)是否存在正整数n,使得Sn≥2 013?若存在,求出符合条件 的所有n的集合;若不存在,说明理由.

解析

(1)设数列{an}的公比为 q,则 a1≠0,q≠0.

? ?S2-S4=S3-S2, 由题意得? ? ?a2+a3+a4=-18,
2 3 2 ? ? - a q - a q = a q ? ?a1=3, 1 1 1 , 即? 解得? 2 ? ? ?a1q(1+q+q )=-18, ?q=-2.

故数列{an}的通项公式为 an=3(-2)n-1.

3·[1-(-2)n] (2)由(1)有 Sn= =1-(-2)n. 1-(-2) 若存在 n,使得 Sn≥2 013, 则 1-(-2)n≥2 013, 即(-2)n≤-2 012. 当 n 为偶数时,(-2)n>0,上式不成立; 当 n 为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 012, 即 2n≥2 012,则 n≥11. 综上,存在符合条件的正整数 n,且所有这样的 n 的集合为 {n|n=2k+1,k∈N,k≥5}.

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