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【启学】高中数学人教A版选修2-1课件:2-4-1 抛物线及其标准方程_图文

第二章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线 2.4.1 抛物线及其标准方程 目标了然于胸,让讲台见证您的高瞻远瞩 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.会求简单的抛物线的方程. 新知视界 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距 离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点 F 叫做抛物线的 焦点,定直线l叫做抛物线的准线. 思考感悟 在抛物线定义中,若去掉条件“l 不经点 F”,点 的轨迹还是抛物线吗? 提示: 不一定是抛物线,当直线 l 经过点 F 时, 点的轨迹是过定点 F,且垂直于定直线 l 的一条直线; l 不经过点 F 时,点的轨迹是抛物线. 2.抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2= 2px (p >0) y2=- 2px (p >0) p ( ,0) 2 p (- ,0) 2 p x=- 2 p x= 2 x2=2py (p>0) x =-2py (p>0) 2 p (0, ) 2 p (0,- ) 2 p y=- 2 p y= 2 思考感悟 抛物线的标准方程 y2= 2px(p>0)与二次函数 y= ax2(a>0)有什么区别? 提示:y2= 2px(p>0)与 y= ax2(a>0)对应的图形都 是抛物线形,但开口方向和对称轴都不一样, y2 = p 2px(p>0):焦点( ,0),对称轴为 x 轴;y= ax2(a>0), 2 1 1 即 x = y,焦点 (0, ),对称轴为 y 轴. a 4a 2 尝试应用 1.平面内到定点F的距离等于到定直线l的距离的 点的轨迹是( A.抛物线 ) B.直线 C.抛物线或直线 D.不存在 答案:C 1 2 2.抛物线 y= x 的焦点坐标是( 4 1 A. (0, ) 16 C. (0,1) 1 B.( , 0) 16 D.(1,0) ) 答案:C 3.抛物线y2=24ax(a>0)上有一点M,它的横坐标 是3,它到焦点的距离是5,则抛物线的方程为( A.y2=8x B.y2=12x ) C.y2=16x D.y2=20x 解析:准线方程为 l: x=-6a,点 M 到准线的 1 距离等于它到焦点的距离,则 3+ 6a= 5,a= ,抛 3 物线方程为 y2=8x. 答案:A 4.抛物线y2=ax(a≠0,a∈R)的焦点坐标是 __________,准线方程是__________. a 答案:( ,0) 4 a x=- 4 5.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点(3,-4); (2)焦点在直线x+3y+15=0上. 解:法 1:(1)∵点 (3,-4)在第四象限, ∴抛物线的标准方程为 y2= 2px(p>0)或 x2=- 2p1y(p1>0). 把点 (3,- 4)的坐标分别代入 y2= 2px 或 x2=- 16 2p1y,得 (- 4) = 2p· 3,3 =-2p1· (-4),即 2p= , 3 2 2 9 2p1= . 4 16 9 2 ∴所求抛物线的方程为 y = x 或 x =- y. 3 4 2 (2)令x=0得y=-5;令y=0得x=-15. ∴抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0). ∴所求抛物线的标准方程为y2=-60x 或x2=-20y. 法 2:(1)∵点(3,-4)在第四象限, ∴抛物线的方程可设为 y2=ax 或 x2=by. 16 9 把点(3,-4)分别代入,可得 a= ,b=- . 3 4 16 9 2 ∴所求抛物线的方程为 y = x 或 x =- y. 3 4 2 (2)同法 1. 典例精析 类型一 [ 例 1] 抛物线的标准方程 已知抛物线的方程如下,分别求焦点坐标 和准线方程. (1)y2=12x;(2)2y2+5x=0. [ 分析 ] 先把原方程化成标准方程,求得参数 p , 再求得焦点和准线方程. [解] (1)由方程 y2= 12x,得 p= 6,焦点 坐标是 (3,0),准线是 x=- 3. 5 (2)将 2y + 5x= 0 变形为 y =- x,则 2p 2 2 2 5 5 = , p= , 2 4 5 5 ∴焦点坐标为 (- ,0),准线方程为 x= . 8 8 [点评] 已知抛物线的标准方程求它的焦点坐标和 准线方程时,首先要判断抛物线的对称轴和开口方向, 再利用p的几何意义,求出焦点坐标和准线方程. 迁移体验 1 点坐标为( ) (1)抛物线方程为 7x+ 4y2= 0,则焦 7 A. ( , 0) 16 7 C. (- , 0) 16 7 B.(- , 0) 4 7 D. (0,- ) 4 ) 1 2 (2)抛物线 y=- x 的准线方程是( 4 1 A. x= 16 C. y= 1 B. x= 1 D. y= 2 解析:(1)将方程 7x+4y2=0 化为标准方程 y2= 7 7 - x,则焦点为(- ,0). 4 16 1 2 (2)将方程 y=- x 化为标准方程 x2=-4y,则 4 焦点在 y 轴负半轴上,∴准线方程为 y=1. 答案:(1)C (2)C 类型二 [ 例 2] 方程: 求抛物线的标准方程 分别求适合下列条件的抛物线的标准 (1)过点(- 3,2); (2)焦点在直线 x- 2y- 4= 0 上; 5 (3)以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为 . 2 [分析 ] 根据已知条件求出抛物线的标准方程 中的 p 即可,注意标准方程的形式. [解] (1)由题知(-3,2)在第二象限, 设抛物线 方程为 y2=-2px 或 x2=2py(p>0), 4 9 将点(-3,2)代入方程得 2p= 或 2p= , 3 2 4 2 9 故抛物线方程为 y =- x 或 x = y. 3 2 2 (2)①令 x=0,由方程 x-2y- 4=0 得

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