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北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题


昌平区 2012-2013 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数 学 试 卷(理科)

(满分 150 分,考试时间 120 分钟)2013.1 考生须知: 1. 本试卷共 6 页,分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。 2. 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填 写。 3. 答题卡上第 I 卷(选择题)必须用 2B 铅笔作答,第 II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的 签字笔作答,作图时可以使用 2B 铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答, 未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。 4. 修改时,选择题部分用塑料橡皮擦涂干净,不得使用涂改液。保持答题卡整洁,不 要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。 5. 考试结束后,考生务必将答题卡交监考老师收回,试卷自己妥善保存。 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. (1)设集合 A ? x x >1 , B ? ? x | x( x ? 2) ? 0? ,则 A ? B 等于 A. {x | x ? 2} C. ?x 1 ? x ? 2? (2)“ a ? 2 ”是“直线 y ? ?ax ? 2与y ? A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. x 0 ? x ? 2

?

?

?

?

D. {x | 0 ? x ? 1}

a x ? 1 垂直”的 4
B 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(3)已知函数 f (x)= ln x ,则函数 g (x)=f (x) ? f '( x) 的零点所在的区间是 A.(0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)

? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? (4)设不等式组 ? x ≤ 4, 表示的平面区域为 D .在区域 D 内随机取一个点,则此点 ? y ? ?2 ?

到直线 y +2=0 的距离大于 2 的概率是 A.

4 13

B.

5 13

C.

8 25

D.

9 25

(5)设 Sn 是公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和,且 S1 , S2 , S4 成等比数列,则

a2 等于 a1

A.1

B. 2

C. 3

D. 4

(6)在高三(1)班进行的演讲比赛中,共有 5 位选手参加,其中 3 位女生,2 位男生.如 果 2 位男生不能连续出场,且女生甲不能排在第一个,那么出场顺序的排法种数为 A. 24 B. 36 C. 48 D.60

( 已 一 空 几 体 三 图 图 示 根 图 标 的 寸 可 这 几 体 全 积 7) 知 个 间 何 的 视 如 所 , 据 中 出 尺 , 得 个 何 的 面 为 A.

10 ? 4 3 ? 4 2

B. 10 ? 2 3 ? 4 2 C. 14 ? 2 3 ? 4 2 D. 14 ? 4 3 ? 4 2
2 (8)已知函数:① f ( x) ? ? x ? 2 x ,② f ( x) ? cos(

?
2

?

1 ?x ) ,③ f ( x) ? |x ? 1| 2 .则以 2

下四个命题对已知的三个函数都能成立的是 命题 p : f ( x) 是奇函数;
1 1 命题 r : f ( ) ? ; 2 2

命题 q : f ( x ? 1) 在 (0,1) 上是增函数; 命题 s : f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称

A.命题 p、 q

B.命题 q、 s

C.命题 r、s

D.命题 p、 r

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. ai (9)若 ? ?2 ? 2i ,其中 i 是虚数单位,则实数 a 的值是 1? i ____________.

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,并与其渐近线相 (10)以双曲线 9 16
切的圆的标准方程是 _____. .

(11)在 △ABC 中,若 b ? 2 2 , c ? 1 , tan B ? 2 2 ,则 a =

(12)已知某算法的流程图如图所示,则程序运行结束时输出的结果为



? (13) 在 Rt?ABC 中 , ?C ? 90 , AC ? 4, BC ? 2 , D 是 BC 的 中 点 , 那 么

uur uuu uuu u r r ( AB ? AC) ? AD ? ____________;若 E 是 AB 的中点, P 是 ?ABC (包括边界)内任一
点.则 AD ? EP 的取值范围是___________. (14) 在平面直角坐标系中, 定义 d (P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 为两点 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 之间的“折线距离”. 则 ① 到坐标原点 O 的“折线距离”不超过 2 的点的集合所构成的平面图形面积是_________; ② 坐标原点 O 与直线 2x ? y ? 2 3 ? 0 上任意一点的“折线距离”的最小值是 _____________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分 13 分)已知函数 (Ⅰ)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [ , ] 上的最值.
E F

uuu uur r

f ( x) ?

(2 3 sin 2 x ? sin 2 x) ? cos x ?1. sin x

? ? 4 2

(16) (本小题满分 14 分)在四棱锥 E - ABCD 中,底面 ABCD 是正 形,AC与BD交于点O, EC ^ 底面ABCD,F 为 BE 的中点. (Ⅰ) 求证: DE ∥平面 ACF ; (Ⅱ)求证: BD ^ AE ; (Ⅲ)若 AB =
D C O


B

A

2CE, 在线段 EO 上是否存在点 G ,使 CG ^ 平面BDE ?若存在,求出

EG 的值,若不存在,请说明理由. EO

(17)(本小题满分13分)为了解甲、乙两厂的产品的质量,从两厂生产的产品中随机抽取 各10件,测量产品中某种元素的含量(单位:毫克).下表是测量数据的茎叶图: 甲厂 9 0 乙厂

3 9

6 5 8

1

8 4 5 6 9 0 3

1 5 0 3 2 1 0 3 规定:当产品中的此种元素含量满足≥18 毫克时,该产品为优等品. (Ⅰ)试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率; (Ⅱ)从乙厂抽出的上述 10 件产品中,随机抽取 3 件,求抽到的 3 件产品中优等品数 ? 的 分布列及其数学期望 E (? ) ; (Ⅲ)从上述样品中,各随机抽取 3 件,逐一选取,取后有放回,求抽到的优等品数甲厂恰 比乙厂多 2 件的概率.

(18)(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? 4 ( a ? R ). (Ⅰ) 若函数 y ? f (x) 的图象在点 P (1, f (1) ) 处的切线的倾斜角为 上的最小值; (Ⅱ)若存在 x0 ? (0,??) ,使 f ( x0 ) ? 0 ,求 a 的取值范围.

? , f ( x ) 在 ??1,1? 求 4

(19) (本小题满分 13 分)已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴, 离心率为

2 , 且抛物线 2

y 2 ? 4 2 x 的焦点是椭圆 M 的一个焦点.
(Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 M 相交于 A、B 两点,以线段 OA, OB 为邻边作平行四边形 OAPB, 其中点 P 在椭圆 M 上, O 为坐标原点. 求点 O 到直线 l 的距离的最小值.

(20)(本小题满分 14 分) 已知每项均是正整数的数列 a1, a2 , a3 ,?, a100 ,其中等于 i 的项有 k i 个 (i ? 1, 2,3?) ,设
? b j ? k1 ? k 2 ? ? ? k j ( j ? 1, 2, 3 ), g (m) ? b1 ? b2 ? ?? bm ?100m (m ? 1, 2,3?).

(( ( ( ) (Ⅰ) 设数列 k1 ? 40, k2 ? 30, k3 ? 20, k4 ? 10, k5 ? ... ? k100 ? 0 , g,) 2,)g 求 1,) 34
(Ⅱ)若 a1, a2 , a3 ,?, a100 中最大的项为 50, 比较 g (m), g (m ? 1) 的大小;

g

g



(Ⅲ)若 a1 ? a2 ? ? ? a100 ? 200 ,求函数 g (m) 的最小值.

昌平区 2012-2013 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数 学 试卷 参考答案(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项.)
题 号 答案 (1) C (2) A (3) B (4) D (5) C (6) D (7) B (8) C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.) (9)

4

(10) ( x ? 5)2 ? y 2 ? 16 (12)4 (14) 8; 3

(11) 3 (13) 2; [-9,9]

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.)
(15)(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)由 sin x ? 0 得 x ? k π ( k ? Z), 故 f ( x ) 的定义域为 {x ? R | x ? k π, k ? Z}.…………………2 分

(2 3 sin 2 x ? sin 2 x) ? cos x 因为 f ( x) ? ?1 sin x
? (2 3sin x ? 2cos x ) ? cos x ? 1
? 3 sin 2 x ? cos 2 x

π ? 2sin(2 x ? ) ,………………………………6 分 6
所以 f ( x ) 的最小正周期 T ?

2π ? π .…………………7 分 2

[ (II)由 x 挝 , ], 2 x
当 2x ?

? ? 4 2

? ? [ , ?], 2 x 2 6

? 5? [ , ], …………..9 分 3 6

? 5? ? ? , 即x ? 时, f ( x)取得最小值1 ,…………….11 分 6 6 2

当 2x ?

? ? ? ? , 即x ? 时, f ( x)取得最大值2 .……………….13 分 6 2 3
E F G C O A B

(16)(本小题满分 14 分) 解:(I)连接 OF . 由 ABCD 是正方形可知,点 O 为 BD 中点. 又 F 为 BE 的中点, 所以 OF ∥ DE ………………….2 分 又 OF 趟平面ACF , DE

平面ACF ,

D

所以 DE ∥平面 ACF ………….4 分 (II) 证明:由 EC ^ 底面ABCD,BD 所以 EC ^ BD , 由 ABCD 是正方形可知, AC ^ BD, 又 AC 翘 =C, AC,EC EC

底面ABCD,

平面ACE,

所以 BD ^ 平面ACE , ………………………………..8 分 又 AE ? 平面ACE, 所以 BD ^ AE …………………………………………..9 分 (III)解法一: 在线段 EO 上存在点 G ,使 CG ^ 平面BDE . 如图,取 EO 中点 G ,连接 CG . 在四棱锥 E - ABCD 中, AB = 理由如下:

2CE, CO =

2 AB = CE , 2

所以 CG ^ EO .…………………………………………………………………..11 分 由(II)可知, BD ^ 平面ACE, 而 BD ? 平面BDE, 所以, 平面ACE ^ 平面BDE , 且平面ACE ? 平面BDE 因为 CG ^ EO, CG

EO,

平面ACE,

所以 CG ^ 平面BDE …………………………………………………………. 13 分 故在线段 EO 上存在点 G ,使 CG ^ 平面BDE . 由 G 为 EO 中点,得

EG 1 = . …………………………………………… 14 分 E EO 2
解法二: 由 EC ^ 底面ABCD, 且底面 ABCD 是正方形,如图,

z

F G C O D x A B y

建立空间直角坐标系 C - DBE , 由已知 AB =

2CE, 设 CE = a(a > 0) ,

则 C(0,0,0), D( 2a,0,0), B(0, 2a,0), E(0,0, a),

O(

uuu r 2 2 a, a,0), BD = ( 2a, 2 2

uur 2a,0), BE = (0, -

uuu r 2 2 2a, a), EO = ( a, a, - a). 2 2

设 G 为线段 EO 上一点, 且

uuu r uuu r EG 2 2 = ? (0 < ? < 1) , EG = ? EO = ( ? a, ? a, - ? a), 则 EO 2 2

uuu uur r uuu r 2 2 CG = CE + ? EO = ( ? a, ? a,(1- ? )a), …………………………..12 分 2 2
由题意,若线段 EO 上存在点 G ,使 CG ^ 平面BDE ,则 CG ^ BD , CG ^ BE .

uuu r

uuu r

uuu r

uur

1 (0,1 , ) 2 EG 1 = . …………………… 14 分 故在线段 EO 上存在点 G ,使 CG ^ 平面BDE ,且 EO 2
所以, - ? a + (1- ? )a = 0, 解得,? =
2 2

(17)(本小题满分 13 分) 解:(I)甲厂抽取的样本中优等品有 6 件,优等品率为

6 3 ? . 10 5 5 1 ? . ………………..2 分 乙厂抽取的样本中优等品有 5 件,优等品率为 10 2

(II) ? 的取值为 0,1,2,3.

P(? ? 0) ?

3 C50 ? C5 C1 ? C 2 5 1 ? , P(? ? 1) ? 5 3 5 ? , 3 C10 12 C10 12

P(? ? 2) ?

1 3 C52 ? C5 5 C5 1 ? , P(? ? 3) ? 3 ? 3 C10 12 C10 12

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

1 12

5 12

5 12

1 12

E ? 故 ?的数学期望为(?) 0 ?

1 5 5 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 12 12 12 12 2 ……………………9 分

(III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件包括 2 个事件, A=“抽取的优等品数甲厂 2 即 件,乙厂 0 件”,B=“抽取的优等品数甲厂 3 件,乙厂 1 件”

3 2 1 1 27 P( A) ? C32 ( ) 2 ( ) ? C30 ( ) 0 ( )3 ? 5 5 2 2 500 1 81 3 3 1 1 P( B) ? C3 ( )3 ? C3 ( )1 ( ) 2 ? 5 2 2 1000
抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件的概率为 P( A) ? P( B) ? (18)(本小题满分 13 分) 解:(I) f ?( x) ? ?3x 2 ? 2ax. 根据题意, f ?(1) ? tan …………………………. ……………1 分

27 81 27 ? ? . …13 分 500 1000 200

? ? 1,??3 ? 2a ? 1, 即a ? 2. …………………3 分 4

此时, f ( x) ? ? x3 ? 2 x2 ? 4 ,则 f ?( x) ? ?3x2 ? 4 x . 令 f '( x) ? 0,得x1 ? 0, x2 ?

4 . 3
0
0
?4

x
f ? ? x?

?1

(?1, 0)


(0,1)
+ ↗

1
1

?7
?1

f ? x?

?3

…………………………………………………………………………………………. 6 分 ∴当 x?? ?1,1? 时, f ? x ? 最小值为 f ? 0? ? ?4 . ………………………7 分 (II)? f ?( x) ? ?3x( x ?

2a ). 3

①若 a ≤ 0,当x ? 0时, f ?( x) ? 0,? f ( x)在(0, ??) 上单调递减. 又 f (0) ? ?4, 则当x ? 0时, f ( x) ? ?4.

?当a ≤ 0时, 不存在x0 ? 0, 使f ( x0 ) ? 0. …………………………………………..10 分
②若 a ? 0, 则当0 ? x ?

2a 2a 时, f ?( x) ? 0;当x ? 时, f ?( x) ? 0. 3 3 2a 2a 从而 f (x) 在(0, ) 上单调递增,在( ,+ ?) 上单调递减. 3 3

?当x ? (0,??)时, f ( x) max ? f (

2a 8a 3 4a 3 4a 3 )?? ? ?4? ? 4. 3 27 9 27

根据题意,

4a 3 ? 4 ? 0, 即a 3 ? 27.? a ? 3. …………….............................. 13 分 27

综上, a 的取值范围是 (3, ??) . (19)(本小题满分 13 分) 解:(I)由已知抛物线的焦点为 ( 2, 0) ,故设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

2 x2 y 2 2 则 c ? 2,由e ? ? 1. ……5 分 , 得a ? 2, b ? 2. 所以椭圆 M 的方程为 ? 4 2 2
(II)当直线 l 斜率存在时,设直线方程为 y ? kx ? m , 则由 ?

? y ? kx ? m, ? x2 y 2 ? 1. ? ? ?4 2
…………………6 分

消去 y 得, (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 4 ? 0 ,

? ? 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 4) ? 8(2 ? 4k 2 ? m2 ) ? 0 , ①…………7 分
设 A、B、P 点的坐标分别为 ( x1 , y1 )、x2 , y2 )、x0 , y0 ) ,则: ( (

x0 ? x1 ? x2 ? ?

4km 2m , y0 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? …………8 分 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ,
2 2 x0 y0 ? ?1 . 4 2

由于点 P 在椭圆 M 上,所以

……… 9 分

从而

4k 2 m2 2m2 ? ? 1 ,化简得 2m2 ? 1 ? 2k 2 ,经检验满足①式. 2 2 2 2 (1 ? 2k ) (1 ? 2k )
………10 分

又点 O 到直线 l 的距离为:

1 2 ?k |m| 1 1 2 2 d? ? ? 1? ? 1? ? 2 2(1 ? k ) 2 2 1? k 2 1? k 2
当且仅当 k ? 0 时等号成立 当直线 l 无斜率时,由对称性知,点 P 一定在 x 轴上,

………11 分 ………12 分

从而点 P 的坐标为 (?2,0)或(2,0) ,直线 l 的方程为 x ? ?1 ,所以点 O 到直线 l 的距离为 1 .

所以点 O 到直线 l 的距离最小值为 (20)(本小题满分 14 分)

2 . 2

………13 分

解: (I) 因为数列 k1 ? 40, k2 ? 30, k3 ? 20, k4 ? 10 , 所以 b1 ? 40, b2 ? 70, b3 ? 90, b4 ? 100 ,

100 …………………4 分 所以 g (1) ? ?60, g(2) ? ?90, g(3) ? ?100, g(4) ? ?
(II) 一方面, g (m ? 1) ? g (m) ? bm?1 ? 100 , 根据 b j 的含义知 bm?1 ? 100 , 故 g (m ? 1) ? g (m) ? 0 ,即 g (m) ? g (m ? 1) , 当且仅当 bm?1 ? 100 时取等号. 因为 a1, a2 , a3 ,?, a100 中最大的项为 50,所以当 m ? 50 时必有 bm ? 100 , 所以 g (1) ? g (2) ? ? ? g (49) ? g (50) ? g (51) ? ?? 即当 1 ? m ? 49 时,有 g (m) ? g (m ? 1) ; 当 m ? 49 时,有 g (m) ? g (m ? 1) …9 分 (III)设 M 为 ?a1, a2 ,?, a100? 中的最大值. 由(II)可以知道, g ( m) 的最小值为 g ( M ) . 根据题意, bM ? k1 ? k2 ? k3 ? L ? kM ? 100, ①

k1 ? 2 k2 ? 3 k3 ? L
下面计算 g ( M ) 的值.

? M k ? 1 ? a ? a . ?. ? 1 0. 0 a 2 a M 3 .

g ( M ) ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bM ? 100M ? (b1 ? 100) ? (b2 ? 100) ? (b3 ? 100) ? ?? (bM ?1 ? 100) ? (?k2 ? k3 ? ? ? kM ) ? (?k3 ? k4 ? ? ? kM ) ? (?k4 ? k5 ? ? ? kM ) ? ? ? (?kM ) ? ?[k2 ? 2k3 ? ? ? (M ?1)kM ] ? ?(k1 ? 2k2 ? 3k3 ? ? ? MkM ) ? (k1 ? k2 ? ? ? kM )

? ?(a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ) ? bM ? ?(a1 ? a2 ? a3 ? ?? a100 ) ? 100 ,
∵ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? 200 , ∴ g ( m) 最小值为 ?100 . ∴ g ( M ) ? ?100 ,

………………………………………….14 分


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