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向量的加法及其几何意义


2.3.1平面向量的基本定理

情景1 火箭在升空的某一时刻,速度可以分解 成竖直向上和水平向前的两个分速度

情景2 在物理学中我们知道,一个放在斜面上的物 体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体 沿斜面下滑的力F1,和使物体垂直与斜面压 紧斜面的力F2,
F1 F2 G

情景3
如图,一盏电灯,可以由电线CO吊在天花 板上,也可以由电线AO和绳BO拉住,CO所 受的拉力F应于电灯重力平衡,拉力F可以分 解为AO与BO所受的拉力F1和F2

问题1 给定一个向量a是否可以分解成两个不共线方向上的 ???? ? ???? 向量之和, 即 a ? OM ? ON
N C

a e2 e1 B e2 A O e1

a

M

问题2平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢?

? ?? ?? ? e1, ? e2,给定向量 a , 结论 在同一平面内有两个不共线的向量 那么向量 a,存在一对实数 λ1,λ2?? ,使 ?? ? a=λ1e1+λ2 e . 2

平面向量基本定理

e2是同一平面内的两个不 如果 e1 、 共线向量,那么对于这一平面内的任 一向量 a 有且只有一对实数?1、 ?2 使 a = ?1 e1 + ?2e2 e2叫做表 我们把不共线的向量e1 、 示这一平面内所有向量的一组基底。

思考 (1)一组平面向量的基底有多少对? (有无数对) C F M M C A O a N B O a N E

思考
(2)若基底选取不同,则表示同一

向量的实数?1 、 是否相同? ?2
(可以不同,也可以相同) M F OC = OF + OE OC = 2OA + OE A B a OC = 2OB + ON C

O

N

E

特别的,若 a = 0 ,则有且只有 :

?1 = ?2 = 0
可使 0 =

?1e1 + ?2e2 .

为什么?

特别的,若a与 e( )共线,则有 1 e2

?2=0(?1 =0),使得: a = ?1e1 + ?2e2 .

?若 ?1与 ?2 中只
有一个为零,情 况会是怎样?

检测
1、给出下面三种说法: (1)一个平面内只有一对不共线的非零向量可 作为表示该平面所有向量的基底; (2)一个平面内有无数多对不共线非零向量可 作为表示该平面所有向量的基底; (3)零向量不可作为基底的向量 其中正确的说法是( B ) A、(1)(2) B、(2)(3) C、(1)(3) D、(2)

梯度训练
2、已知 e1 、 e2是表示平面内所有向量的一组 基底,那么下面四组向量中不能作为一组基 底的是( C ) e A、 e 和 e + e B、e1-2 e2 和 e2 - 2 1 1 1 2

-2 1 C、e1-2 e2 和 4 2

e

e

D、e1 +

e2 和 e1- e2

例3:
已知向量 e1、e2 求做向量-2.5 e1 +3 e2 C
e2

B

A
e1 ? 2.5e
1

3e2

· O

例3:
已知向量 e1、e2 求做向量-2.5 e1 +3 e2 还有其他作法?

e2

3e2
e1

O

2.5e1

总结: 1、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解 (1)实数对λ1、 λ2的存在性和唯一性 (2)基底的不唯一性 (3)定理的拓展性 3、平面向量基本定理的应用 求作向量、解(证)向量问题、解(证) 平面几何问题

2.3.2 平面向量的坐标表示

向量夹角
阅读课本P94页和P95页第3段 检测:已知∠AOB是两个非零向量a,b的 夹角 (1)∠AOB的取值范围什么? (2)若a,b同向,则∠AOB=? (3)若a,b反向,则∠AOB=? (4)若a,b垂直,则∠AOB=? (5)什么是正交分解?

平面向量基本定理的内容?什么叫基底? 分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向 量i 、j 能否作为基底?为什么? 任一向量a ,平面向量基本定理可知,有且 只有一对实数x,y,使得a=? a=xi+yj (x,y)叫做向量a的坐标,记作 a=(x,y)
0) 那么i =(1 , j =( 0 , 1 ) 0 =( 0 , 0) j y a

O i

x

2.3.2 平面向量的坐标表示
概念理解

1.以原点O为起点作 OA ? a ,点A的位置由谁确 定? 由a 唯一确定,为什么?
2.点A的坐标与向量a 的坐标的关系? 两者相同,为什么? a
j y
A(x, y)

a

向量a坐标 就是 OA坐标 就是 终点A坐标 O i

x

3.两个向量相等的充要条件,利用坐标如何表示?

a ? b ? x1 ? x2且y1 ? y2

小结
a=xi+yj a=(x,y)
OA=(x,y)
j

y
A(x, y)

a

a
x

O i

终点A(x,y)

?? ? 例1、如图,用基底i、表示向量 j a、 ??? ? b、 c、,并求出它们的坐标 d .
解:由图可知
a ? AA1 ? AA2 ? 2i ? 3 j
b 5 A2

B

4 3 2
j -1 o i A

a
A1

?  a ? (2,3)
同理,
-4 -3 -2

1

1

2

3

4

x

b ? ?2i ? 3 j ? (?2,3)
c ? ?2i ? 3 j ? (?2,?3)

-1 点A、B坐标是什么? OA、 -2 OB的坐标又是什么?
c

-3 -4
-5

d ? 2i ? 3 j ? (2,?3)

d

思考
设 a、b是两个不共线的向量, 已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共线, 求k的值。 解: ? A、B、D三点共线

?AB与BD共线,则存在实数
λ使得AB = λBD.

由于BD = CD – CB

?k =

=(2a – b) –(a +3b) = a – 4b 则需 2a + kb = ? (a – 4b ) 2 = ? 由向量相等的条件得 k = 4?
8.

此处可另解:

则需 2a + kb = ?(a – 4b )

即(2 - ? )a +(k - 4? )b = 0

?

k – 4? = 0 8.

2 -? = 0

?k =

评析 本题在解决过程中用到了两向量 共线的充要条件这一定理,还用待定

系数法列方程,通过消元解方程组。
这些知识和考虑问题的方法都必须切

实掌握好。

谢谢观看

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