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新课标人教A版高中数学选修2-1多媒体教学优质课件 2.3.2 双曲线的简单几何性质 第2课时_图文

第2课时 双曲线方程及性质的应用 双 曲 线 性 质 图象 范围 对称 性 顶点 渐近 线 离心 率 x2 y2 ? 2 ?1 2 a b ( a ? 0, b ? 0 ) y x ? 2 ?1 2 a b ( a ? 0, b ? 0 ) 2 2 y x?a x x ? ?a y?a 或 或 b 关于 ( ? a ,0 ) y ? ? x a e? c 坐标 轴和 原点 都对 称 y x y ? ?a a c2 = a 2 + b2 ) ( 0,? a ) y ? ? x b (其 中 a 1.了解双曲线的几何性质,并会应用于实际问 题之中.(重点) 2.会利用双曲线的定义、标准方程、几何性质 及图形四者之间的内在联系,分析和解决实 际问题.(重点、难点) 探究点1 由双曲线的性质求双曲线方程 【例1】 双曲线型冷却塔的外形 , 是双曲线的一部分绕 其 虚轴旋转所成的曲面 (如图),它的最小半 径 为 12 m, 上 口半径为 13 m , 下口半径为25 m, 高为55 m.试选择适当的坐 标系 , 求出此双曲线的方程 (精确到 1 m ) . y 解 : 如图 , 建立冷却塔的轴截面所在 平面的直角坐标系 xOy, 使小圆的直 径 AA ?在 x轴上 ,圆心 与原点重合 . C' A' O 13 12 C A x 这时 , 上、下口的直径 CC?, BB ? 都平行 B' 25 B 于 x 轴 , 且 | CC? |? 13 ? 2,| BB ? |? 25 ? 2. x2 y 2 设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? , 令点 C的 a b 坐标为(13, y ),则点 B 的坐标为(25, y ? 55) . 因 为 点 B, C 在 双 曲 线 上 , 所 以 ? 252 ? y ? 55 ? 2 ? 2? ? 1, 2 ? 12 b ? 2 2 ? 13 y ? 2 ?1. 2 ? ? 12 b 5b 由方程 ? 2 ? , 得 y ? 负值舍去 ? , ? 12 代入方程(1),得 2 y (1) (2) B' C' 13 12 C A ' O A x 25 B ? 5b ? ? 55 ? ? 2 25 ? 12 ? ? ? 1, 2 2 12 b 化简得19b 2 ? 275b ? 18150 ? 0. (3) 用 计 算 器 解 方 程 ( 3) , 得 b ? 25 . x2 y2 所以, 所求双曲线的方程为 ? ? 1. 144 625 【提升总结】 已知双曲线的几何性质,求其标准方程的方法步骤: (1)确定焦点所在的位置,以确定双曲线方程的形式; (2)确立关于a,b,c的方程(组),求出参数a,b,c; (3)写出标准方程. 【例2】点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到定 16 5 直线 l : x ? 的距离的比是常数 ,求点M的轨迹. 5 4 y l d 解: 设d是点M到直线l的距离,根 H .M 据题意,所求轨迹就是集合 ? | MF | P ? ?M ? d ? 由此得 5? ?, 4? . O . F x 9 x 2 ? 16 y ? 144 . (x ? 5) 2 ? y 2 5 ? . 将上式两边平方,并化简,得 16 4 | ?x| 2 2 5 x y 2 即 16 ? 9 ? 1. 所以点 M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为 8, 6的双曲线 . 【提升总结】 双曲线中应注意的几个问题: (1)双曲线是两支曲线,而椭圆是一条封闭的曲线; (2) 双曲线的两条渐近线是区别于其他圆锥曲线所特 有的; (3)双曲线只有两个顶点,离心率e>1; (4)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线,其离心率为 2,实轴长与虚轴长相等,两条渐近线互相垂直; (5)注意双曲线中a,b,c,e的等量关系与椭圆中a, b,c,e的不同. 探究点2 直线与双曲线的位置关系 Y O X 种类: 相离; 相切; 相交(一个交点, 两个交点) 【提升总结】 直线与双曲线的位置关系: 通法 1.位置关系:相交、相切、相离 2.判别方法(代数法) 联立直线与双曲线的方程, 消元得到一元二次方程(当二次项系数不为0时) (1)△>0?直线与双曲线相交?有两个公共点; (2)△=0 ?直线与双曲线相切?有且只有一个 公共点; (3)△<0 ?直线与双曲线相离?无公共点. x2 y 2 【例3】如图,过双曲线 ? ? 1的右焦点F2 , 倾斜角 3 6 为30?的直线交双曲线于A, B两点,求 AB . y 解:由双曲线的方程得,两焦点 分别为F1(-3,0),F2(3,0). 且直线经过右焦点F2,所以,直 线AB的方程为 因为直线AB的倾斜角是30°, F1 · A O B F2 x · 3 y? (x ? 3). 3 (1) 由 ? 3 y? (x ? 3), ? ? 3 ? 2 2 ? x ? y ? 1, ? 6 ? 3 消 去 y, 得 5 x 2 ? 6 x ? 27 ? 0 . 9 解这个方程,得 x1 ? ? 3, x 2 ? . 5 2 3 将 x1 , x 2的值代入(1),得 y 1 ? ? 2 3 , y 2 ? ? . 5 9 2 3 于是, A, B 两点的坐标分别为( ? 3, ? 2 3 ), ( , ? ). 5 5 所以, AB ? (x1 ? x 2 ) 2 ? (y 1 ? y 2 ) 2 9 2 2 3 2 ? ( ?3 ? ) ? ( ?2 3 ? ) 5 5 16 ? 3. 5 【提升总结】 算一算, 看结果一 样吗? 这里我们也可以利用弦长公式求解. 弦长公式:AB ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 ? 1 ? k ?

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