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山东省泰安市宁阳二中2013届高三12月质检 文科数学

山东省泰安市宁阳二中 2013 届高三 12 月质检 文科数学
2012.12

第Ⅰ卷(选择题
注意事项:

共 60 分)

1.答第 I 卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号填写在答题卡和试卷上 规定的位置。 2.第 I 卷共 2 页,答题时,考生须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,在试卷上作答无效。 一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分. 1、如果全集 U ? R , A ? {x 2 ? x ? 4} , B ? {3,4} ,则 A ? A. (2,3) ? (3,4) B. (2,4) C. (2,3) ? (3,4]
U

B 等于(



D. (2,4] )

2、 a ? 1 ”是“函数 y ? cos2 ax ? sin 2 ax ”的最小正周期为 ? ”的( “ A.充分不必要条件 C.充要条件 3、函数 y ? lg x ? x ? 1 的定义域是 A. {x | x ? 0} B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 1} B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 (



D. {x | x ? 1} )

4、已知向量 a ? (3, 4) , b ? (2, ?1) ,如果向量 a ? xb 与 b 垂直,则 x 的值为( A.

?

?

?

?

?

23 3

B.

3 23

C.2

D. ?

2 5


5、已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 3,a2 ? a3 ? 6 ,则 a7 ? ( A.64 B.81 C.128 D.243

2 6、设曲线 y ? ax 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ? (



A.1

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?1

·1·

7、已知函数 y=2sin(ω x+φ )(ω >0)在区间[0,2π ]的 图像如下:那么ω =( A. 1 C. 1/2
2

) B. 2 D. 1/3 )

8、不等式 x ? 3x ? 2 ? 0 的解集为( A ? ??, ?2? ? ? ?1, ??? C. ? ??,1? ? ? 2, ???

B. ? ?2, ?1? D. ?1, 2 ? 正视图 侧视图

9、如右图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形, 俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积是( ) A.

4 3 ? 3

B.
2

1 ? 2

C.

3 ? 3
2

D.

3 ? 6

C 10、关于 x 的方程 x ? x cos A cos B ? cos ? 0 有一个根为 1 ,则△ABC 中一定有( 2
A. A ? B B. B ? C C. A ? C D. A ? B ?

俯视图



?
2

11、设 m , n 是两条不同的直线,

? , ? , ? 是三个不同的平面.有下列四个命题:

①若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n ;②若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ? ; ③ 若 n ? ? , n ? ? , m ? ? ,则 m ? ? ;④ 若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? . 其中错误命题的序号是 .. A.①④ B.①③
2

( C.②③④

) D.②③ )

12、二次函数 y=ax +bx 与指数函数 y=(

b x ) 的图象只可能是( a

A.

B.

C.

D.

·2·

第Ⅱ卷(选择题
二、填空题(每小题 4 分,共 4×4 分=16 分)

共 90 分)


13、如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行,那么系数 a 的值为

?2 x ? y ? 3, ? x ? 2 y ? 3, ? 14、满足线性约束条件 ? 的目标函数 z ? x ? y 的最大值是 x ? 0, ? ?y ? 0 ? 15、一个高为 2 的圆柱,底面周长为 2? ,该圆柱的表面积为
16、已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?1,5? ,部分对应值如下表,



x

-1 1

0 2

4 2

5 1

f ? x?

f ? x? 的 导 函 数 y ? f?? x 的 图 象 如 图 所 示 . ? f ? x ? 的命题:

下列关于 ②函数 f ? x ? 在 ?0, 2? 上是减函数;

①函数 f ? x ? 的极大值点为 0 , 4 ;

③当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ? x ? ? a 有 4 个零点; ④函数 y ? f ? x ? ? a 的零点个数可能为 0、1、2、3、4 个. 其中正确命题的序号是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 )
17、若 a = ( 3 cos?x, sin ?x) ,b = (sin ? x,sin ? x) ,其中 ? >0,记函数 f(x)=2 a · ,f(x) b

图象中相邻两条对称轴间的距离为 (1)求 ? 的值;

? , 2

(2)求 f(x)的单调减区间和 f(x)的最大值及取得最大值时 x 的取值集合.

18、等差数列 ?an ? 中, a4 ? 10 且 a3,a6,a10 成等比数列,求数列 ?an ? 前 20 项的和 S 20 .

·3·

19、在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? (Ⅰ )若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (Ⅱ )若 sin B ? 2sin A ,求 △ ABC 的面积.

? . 3

20、在四面体 ABCD 中, CB ? CD, AD ? BD ,且 E、F 分别是 AB、BD 的中点, 求证: (1)直线 EF//面 ACD B (2)面 EFC⊥面 BCD F E D

C

A

21、如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分) ,这 2, 两栏的面积之和为 18000cm 四周空白的宽度为 10cm, 两栏之间的中缝空白的宽度为 5cm, 怎样确定 广告的高与宽的尺寸(单位:cm) ,能使矩形广告面积最小?

22、已知 a 是实数,函数 f ( x) ? x ( x ? a) 。
2
' (Ⅰ)若 f (1) ? 3 ,求 a 的值及曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;

(Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ?0,2? 上的最大值。

·4·

高三数学(文科)质量检测试题答案
一、选择题: 1-5 AADDA 6-10ABDDA 11-12DA

二、填空题 13、-6 14、 2 15、 4 ?

16

???

三、解答题 17、解: ∵a = ( 3 cos ? x,sin ? x)

b = (sin ? x,sin ? x)

故 f(x)=2 a · =2 3 sin ? x cos ? x ? 2sin 2 ? x b = 3 sin 2? x ? cos 2? x ? 1
? 2sin(2? x ? ) ? 1 …………………………4 分 6 T ? ? ? ,∴? ? 1 (1)由题意可知 ? ……………………6 分 2 2? 2

?

? )+1 6 ? ? 3? ? 5? ? k? ? ? x ? k ? ? ,k ?Z 由 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? 2 6 2 3 3 ? 5? ∴f(x)的单调减区间为 [k? ? , k? ? ], k ? Z ………………8 分 3 3 ? ? ? 当 2x- = ? 2k? , k ? Z 即 x= ? k? , k ? Z 时 fmax(x)= 3 6 2 3 ? ∴ f(x)的最大值为 3 及取得最大值时 x 的取值集合为 {x | x ? ? k? , k ? Z } ?12 分
(2)由(1)得 f (x)=2sin(2x-
3
18、解: 设数列 ?an ? 的公差为 d ,则

a3 ? a4 ? d ? 10 ? d , a6 ? a4 ? 2d ? 10 ? 2d ,
··········· ·········· ··········· ·· ·········· ··········· ··········· · 3 a10 ? a4 ? 6d ? 10 ? 6d . ·································· 分
·5·

2 由 a3,a6,a10 成等比数列得 a3a10 ? a6 ,

即 (10 ? d )(10 ? 6d ) ? (10 ? 2d )2 , 整理得 10d ? 10d ? 0 ,
2

解得 d ? 0 或 d ? 1 .····································· 分 ··········· ·········· ··········· ····· ·········· ··········· ··········· ···· 7 当 d ? 0 时, S20 ? 20a4 ? 200 . ······························ 分 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········ 9 当 d ? 1 时, a1 ? a4 ? 3d ? 10 ? 3 ?1 ? 7 , 于是 S20 ? 20a1 ? 19、解: (Ⅰ)由余弦定理得, a ? b ? ab ? 4 ,
2 2

20 ?19 d ? 20 ? 7 ? 190 ? 330 . ···················· 分 ··················· 12 ·········· ········· 2

又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以 联立方程组 ?

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . ··········· 分 ·········· 4 ·········· 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ?ab ? 4,

解得 a ? 2 , b ? 2 . ···················· 分 ··········· ········· ·········· ········· 6

(Ⅱ)由正弦定理,已知条件化为 b ? 2a , ························8 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· 联立方程组 ?

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ?b ? 2a,

解得 a ?

2 3 4 3 ,b ? . 3 3

所以 △ ABC 的面积 S ?

1 2 3 ab sin C ? . ··········· ··········· · 分 ··········· ·········· ·· ······················12 2 3

20、 【解析】 :本小题考查空间直线于平面、平面与平面的位置关系的判定, 考查空间想象能力、推理论证能力。 (1)∵E、F 分别是 AB、BD 的中点 ∴EF 是△ABD 的中位线∴EF//AD 又∵ EF ? 面 ACD,AD ? 面 ACD ∴直线 EF//面 ACD (2) F E D B

EF // AD ? ? ? EF ? BD AD ? BD ?

C

A

·6·

CB ? CD ? ? ? CF ? BD F为BD中点?
? BD ? 面CEF ? ? ? 面EFC ? 面BCD BD ? 面BCD ?
CF ? E F? F

21、解法 1:设矩形栏目的高为 a cm,宽为 b cm,则 ab=9000.
广告的高为 a+20,宽为 2b+25,其中 a>0,b>0. 广告的面积 S=(a+20)(2b+25) =2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b ≥18500+2 25a ? 40b =18500+ 1000 ? 24500 ab . 当且仅当 25a=40b 时等号成立,此时 b=



5 a ,代入①式得 a=120,从而 b=75. 8

即当 a=120,b=75 时,S 取得最小值 24500. 故广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小. 解法 2:设广告的高为宽分别为 x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为 x-20, >25

y ? 25 , 其中 x>20,y 2

y ? 25 18000 ? 18000 ,由此得 y= ? 25, 2 x ? 20 18000 18000 ? 25 )= ? 25 x, 广告的面积 S=xy=x( x ? 20 x ? 20 360000 ? 25( x ? 20) ? 18500 . 整理得 S= x ? 20
两栏面积之和为 2(x-20) 因为 x-20>0,所以 S≥2

360000 ? 25( x ? 20) ? 18500? 24500 . x ? 20

当且仅当

360000 ? 25( x ? 20 ) 时等号成立, x ? 20
18000 +25,得 y=175, x ? 20

此时有(x-20)2=14400(x>20),解得 x=140,代入 y= 即当 x=140,y=175 时,S 取得最小值 24500,

故当广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小.

·7·

22、 (Ⅰ)解: f ?( x) ? 3x2 ? 2ax , 因为 f ?(1) ? 3 ? 2a ? 3 , 所以 a ? 0 . 又当 a ? 0 时, f (1) ? 1 , f ?(1) ? 3 ,

, 所以曲线 y ? f ( x) 在 (1 f (1)) 处的切线方程为 3x ? y ? 2 ? 0 .
(Ⅱ)解:令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ? 当

2a . 3

2a ≤ 0 ,即 a ≤ 0 时, f ( x) 在 [0, 上单调递增,从而 2] 3

fmax ? f (2) ? 8 ? 4a .


2a ≥ 2 ,即 a ≥ 3 时, f ( x) 在 [0, 上单调递减,从而 2] 3

f max ? f (0) ? 0 .
当0?

2a ? 2a ? ? 2a ? ? 2 , 即 0 ? a ? 3 时 , f ( x) 在 ?0, ? 上 单 调 递 减 , 在 ? ,? 上 单 调 递 增 , 从 而 2 3 ? 3? ?3 ?

0 ?8 ? 4a,? a ≤ 2, f max ? ? ?0, 2 ? a ? 3.
综上所述, f max ? ?

?8 ? 4a,a ≤ 2, a ? 2. ?0,

·8·