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高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法1空间向量与平行关系课件新人教A版选修2_12_图文

§3.2 立体几何中的向量方法(一) 空间向量与平行关系 学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示. 2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义;会用待 定系数法求平面的法向量. 3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平 面的平行问题. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 直线的方向向量与平面的法向量 思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置? 答案 梳理 (1)用向量表示直线的位置 条件 直线l上一点A 方向向量 表示直线l方向的向量 a(即直线的 → 在直线lAB 上取 =a,那么对于直线l上任意一点P, 形式 → → tAB 使得 =____ AP 作用 定位置 定点 位置 点A和向量a可以确定直线的 一点 l上的任意 可以具体表示出 (2)用向量表示平面的位置 ①通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定: 条件 平面α内两条相交直线的方向向量a,b和交 → (x,y)使 形式 对于平面α上任意一点P,存在有序实数对 OP ②通过平面α上的一个定点A和法向量来确定: 平面的法向量 确定平面位置 方向向量 直线l⊥α,直线 l的 ,叫做平 过点A,以向量a为法向量的平面是完 (3)直线的方向向量和平面的法向量 直线的方 非零 能平移到直线上的 向量a, 向向量 平面的法 向量 个方向向量 方向向量ln 直线l⊥α,取直线 的 的法向量 (4)空间中平行关系的向量表示 设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为 μ,v,则 线线平行 线面平行 a ∥ b l∥ m ? ?a=kb(k∈R) a⊥ · μ= 0 _______ l∥α?a μ? = k? v(k ∈R) 面面平行 α∥β?μμ ∥ v ____________ 知识点二 利用空间向量处理平行问题 思考 (1)设v1=(a1,b1,c1),v2=(a2,b2,c2)分别是直线l1, l2的方向向量.若直线l1∥l2,则向量v1,v2应满足什么关 答案 系. 由直线方向向量的定义知若直线 l1∥l2,则直线 l1 , l2 的 方向向量共线,即l1∥l2?v1∥v2?v1=λv2(λ∈R). 思考 (2) 若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量, 则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行? 答案 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直,进而 确定线面是否平行. (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么? 答案 关键是找到两个平面的法向量,利用法向量平行来说明 两平面平行. 梳理 利用空间向量解决平行问题时,第一,建立立体图形与空间向 量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把 立体几何问题转化为向量问题;第二,通过向量的运算,研究 平行问题;第三,把向量问题再转化成相应的立体几何问题, 从而得出结论. 题型探究 类型一 求直线的方向向量、平面的法向量 例1 空 如图,四棱锥 P- ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥ 平 间 直 角 面ABCD,E为PD的中点.AB=AP=1,AD= 3 ,试建立恰当的 系 , 求平面ACE的一个法向量. 解答 坐 标 引申探究 若本例条件不变,试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一 个法向量. 解答 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量:设平面的法向量为n=(x,y,z). 反思与感 悟 → → (2)选向量:在平面内选取两个不共线向量AB,AC. ? → ?n· AB=0, (3)列方程组:由? 列出方程组. ? → AC=0 ?n· ? → ?n· AB=0, (4)解方程组:? ? → AC=0. ?n· (5)赋非零值:取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论:得到平面的一个法向量. 跟踪训练 1 如图,在四棱锥 P- ABCD中,底面 ABCD是矩形 . 平面PAB⊥平面ABCD,△PAB是边长为1的正三角形,ABCD是 菱形.∠ABC=60°,E是PC的中点,F是AB的中点,试建立恰 当的空间直角坐标系,求平面DEF的法向量. 解答 类型二 利用空间向量证明平行问题 例2 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E、F分别是BB1、 DD1的中点,求证: (1)FC1∥平面ADE; 证明 (2)平面ADE∥平面B1C1F. 证明 → 因为C1B1=(2,0,0),设 n2=(x2,y2,z2)是平面 B1C1F 的一个法向量. → — → 由 n2⊥FC1,n2⊥C1B1, ? → ? ?n2· FC1=2y2+z2=0, ?x2=0, 得? 得? → ? z2=-2y2. ? — ? · C2 x2= 0,1, 2 1B 1=2y 令? zn = ,得 =- 2 2 所以n2=(0,-1,2), 因为n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F. 反思与感 悟 利用向量证明平行问题,可以先建立空间直角坐标系,求出直 线的方向向量和平面的法向量,然后根据向量之间的关系证明 平行问题. 跟踪训练 2 如图,在四棱锥 P - ABCD 中, PA⊥ 平面 ABCD , PB与底面所成的角为 45°,底面 ABCD 为直角梯形, ∠ ABC = ∠BAD=90°,PA= 1 2 AD=1,问在棱PD上是否存在一点E,使CE∥平面PAB? BC= 若存在, 解答 求出E点的位置;若不存在,请说明理由. 当堂训练 1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向 √ 向量为 A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) 答案 解析 → 因为AB=(2,4,6), → 所以与AB共线的非零向量都可以作为直线 l

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