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江西省新余市第一中学2013届高三第七次模拟考试数学试题(理)


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江西省新余市第一中学 2013 届高三第七次模拟考试 数学试题(理)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 2 ? ai ( a ? R ) 是纯虚数,则 a ? 1.复数 1? i A. 0 B. 1
2.命题“ ?x ? R , x 2 ? 1 ? 1 ”的否定是 C A. ?x ? R , x ? 1 ? 1
2

( C ) C. 2 D. 3

(第 6 题图)

(第题 7 图)

7. 如 图 , 函 数 y ? f (x) 的 图 像 是 中 心 在 原 点 , 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 的 两 段 弧 , 则 不 等 式
2

B. ?x ? R , x ? 1 ? 1 D. ?x ? R , x ? 1 ? 1
2

f ( x) ? f (? x) ? x 的解集为
A. (? 2 ,0) ? ( 2 ,2] B. [?2,? 2 ) ? ( 2 ,2] D. (? 2 ,0) ? (0, 2 )

(

A )

C. ?x ? R , x ? 1 ? 1
2
2 2

3.如果双曲线 A.4

x y ? ? 1 上一点 P 到它的右焦点距离是 8,那么点 P 到它的左焦点的距离是( C ) 4 12
B.12 C.4 或 12 D.不确定

C. [ ?2,?

2 2 )?( ,2] 2 2

4.函数 y ? f ( x) 的图象如图 1 所示,则 y ? f ?( x) 的图象可能是( D )

8. 已知 Sn 是等差数列{an}(n?N*)的前 n 项和,且 S6>S7>S5,有下列四个命题,假命题的是( C ) ... (A)公差 d<0 (C)满 足 Sn>0 的 n 的个数有 11 个 (B)在所有 Sn<0 中,S13 最大 (D)a6>a7

9. 右图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输出相应的 y 值.若要使 输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值有( C ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

5. 在区间 ?1,5? 和 ? 2, 4 ? 分别取一个数,记为 a,b ,则方程 ? ? ? ?

x2 y2 ? 2 ? 1 表示焦点在 x 轴上且离心率 a2 b

10.设 f(x)是定义在 R 的偶函数,对任意 x?R,都有 f(x-2)=f(x+2),且当 x?[-2, 0] 时, f(x)= ( 1 ) x ? 1 .若在区间(-2,6]内关于 x 的方程 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰有 3 个不同的实 2 数根,则实数 a 的取值范围是( D ) A.(1, 2) B.(2,+?) C.(1, 3 4 ) D.( 3 4 , 2)

3 小于 的椭圆的概率为 B 2
A.

1 2

B.

15 32

C.

17 32

D.

31 32

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卷的相应位置) 11.若向量 a, b 的夹角为 120 , a ? 1, b ? 3 ,则 5a ? b ?
?

? ?

?

?

? ?

7 .

6. 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 1 的等腰直角三角形,则该几何体的 外接球的表面积是 ( D ) A. 12 3? B. 12? C. 4 3? D.

12.若 ( x ? ) n (n 为正偶数)的展开式中第 5 项的二项式系数最大,则第 5 项是 13.椭圆 4xa 2 ?
2

x 2

35 6 x 8

3?

y2 3a 2

? 1(a ? 0) 的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆相交于点 A、B,当△FAB 的周长最大时,

△FAB 的面积是 3a2 . 14. 已 知 △ ABC 的 面 积 为 1 , 在 △ ABC 所 在 的 平 面 内 有 两 点 P 、 Q , 满 足 PA ? PC ? 0 , QA ? QB ? QC ? BC ,则四边形 BCPQ 的面积为 2/3 .

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?
4
被 圆 ? ? 2s i n 截 得 的 弦 的 长 ? 当 ? ? 0 时, P(? ? 0) ?
2 C4 2 ? 2 C6 5

15A 在 极 坐 标 系 ( ? , ? ) ( 0 ? ? ? 2? ) 中 , 直 线 ? ? 是 . 2
2

7分

当 ? ? 1 时, P(? ? 1) ?

15B.已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? b(a, b ? R) 的值域为 (??,0] , 若关于 x 的不等式 f ( x) ? c ? 1 的解集 为 (m ? 4, m ? 1) ,则实数 c 的值为 -21/4 .

1 1 C2 ? C4 8 ? 2 C6 15

8分

2 C2 1 当 ? ? 2 时, P(? ? 2) ? 2 ? C6 15

9分 10 分 11 分 12 分

分布列为:

三、解答题: (本大题共 6 题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) ?? ? ?? ? x x x 16. 已知向量 m ? (2sin , 2sin 2 ?1), n ? (cos , ? 3) ,函数 f ( x) ? m ? n .
4 4 4
(1) 求函数 f ( x ) 的最大值,并写出相应 x 的取值集合; (2) 若 f (? ?

2 8 1 E (? ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? 5 15 15 2 = 3

?
3

)?

?? ? x x x x x x ? f ( x) ? m ? n ? 2sin cos ? 3(1 ? 2sin 2 ) ? sin ? 3 cos ? 2sin( ? ) 4 4 4 2 2 2 3 x ? ? ? (k ? Z ) 时, f max ? 2 。 所以,当 ? ? 2k? ? ,即当 x ? 4k? ? 2 3 2 3 ? 10 ? ? ? ? (2)由(1)得: f (? ? ) ? 2sin( ? ) ? 2 cos ,所以 cos ,从而 ? 3 2 2 2 2 10 ? 4 cos ? ? 2 cos 2 ? 1 ? ? 。
2 5
由于 ? ? (0, ? ) ,所以 sin ? ? 于是, tan ? ?

10 ,且 ? ? (0, ? ) ,求 tan ? 的值. 5

18.如图,平面 ABCD⊥平面 ADEF,其中 ABCD 为矩形,ADEF 为梯形,AF∥DE,AF⊥FE,AF=AD =2 DE=2,M 为 AD 中点. (Ⅰ) 证明 MF ? BD ; (Ⅱ) 若二面角 A-BF-D 的平面角的余弦值为 ,求 AB 的长.
B C

1 3

A F (第 18 题图)

D E

sin ? 3 ?? 。 cos ? 4

3 。 5

18.(Ⅰ).由已知 ?ADF 为正三角形, MF ? AD ? MF ? BD (Ⅱ) 方法一:设 AB=x.取 AF 的中点 G.由题意得 DG⊥AF. 因为平面 ABCD⊥平面 ADEF,AB⊥AD,所以 AB⊥平面 ADEF, 所以 AB⊥DG.所以 DG⊥平面 ABF.过 G 作 GH⊥BF,垂足为 H, 连结 DH,则 DH⊥BF, 所以∠DHG 为二面角 A-BF-D 的平面角.在直角△AGD 中,AD=2,AG=1,得 DG= 3 . 在直角△BAF 中,由

17.某某种饮料每箱 6 听,如果其中有两听不合格产品. (1)质检人员从中随机抽出 1 听,检测出不合格的概率多大?; (2)质检人员从中随机抽出 2 听,设 ? 为检测出不合格产品的听数,求 ? 的分布列及数学期望. 解: (1)在 6 听中随机抽出 1 听有 6 种方法 在 2 听中随机抽出 1 听有 2 种方法 所以 P ? 答: (1) ? ? 0,1,2 1分 2分 4分 5分 6分

1 x AB GH GH =sin∠AFB= ,得 = ,所以 GH= . 2 2 BF FG x x ?4 x ?4

2 1 ? 6 3

在直角△DGH 中,DG= 3 ,GH= 因为 cos∠DHG=

x x2 ? 4

,得 DH= 2

x2 ? 3 . x2 ? 4

2 2 GH 1 = ,得 x= 15 ,所以 AB= 15 . 5 5 DH 3

方法二: AB=x. F 为原点, 设 以 AF, 所在的直线分别为 x 轴, 轴建立空间直角坐标系 Fxyz. FQ y
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20.已知数列 {an } 满足:a1 ? 1 ,a2 ? a(a ? 0) ,an ? 2 ? p ? (1)判断数列 {
C

???? 则 F(0,0,0),A(-2,0,0),E( 3 ,0,0),D(-1, 3 ,0),B(-2,0,x),所以 DF = ??? ? (1,- 3 ,0), BF =(2,0,-x).

an ?1 * (其中 p 为非零常数,n ? N ) . an

2

?? ? 因为 EF⊥平面 ABF,所以平面 ABF 的法向量可取 n1 =(0,1,0). ?? ? B 设 n2 =(x1,y1,z1)为平面 BFD 的法向量,则
? 2 x1 ? z1 x ? 0, ? ? ? x1 ? 3 y1 ? 0, ?

z

an ?1 } 是不是等比数列? an

(2)求 an ; (3)当 a ? 1 时,令 bn ?

A

D E

y

nan ? 2 , Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和,求 Sn . an
???????????1 分

?? ?? ? ? ?? ? ?? ?? ? ? n1 ? n2 2 3 1 F x ? ? 所以,可取 n2 =( 3 ,1, ).因为 cos< n1 , n2 >= ?? ?? = , x | n1 | ? | n2 | 3(第 18 题图)
得 x=

解: (1)由 an ? 2 ? p ? 令 cn ?

2 a a an ?1 ,得 n? 2 ? p ? n ?1 . an?1 an an

2 2 15 ,所以 AB= 15 . 5 5

方法三:以 M 为原点,MA,MF 所在的直线分别为 x 轴,y 轴建立空间直角坐标系 Fxyz.略

19.已知函数 f ( x) ? ln(e x ? a)(a 为常数, e ? 2.71828 ? ? ? )是 R 上的奇函数. (Ⅰ)求 a 的值;(Ⅱ)讨论关于 x 的方程

ln x ? x 2 ? 2ex ? m 的根的个. f ( x)

an ?1 ,则 c1 ? a , cn?1 ? pcn . an c , ? a ? 0 ,?c1 ? 0 , n ?1 ? p (非零常数) cn a ????????????????????3 分 ? 数列 { n ?1 } 是等比数列. an (2)? 数列 {cn } 是首项为 a ,公比为 p 的等比数列, a ???????????4 分 ? cn ? c1 ? pn?1 ? a ? pn?1 ,即 n ?1 ? ap n ?1 . an a a a n?2 n ?3 0 当 n ? 2 时, an ? n ? n ?1 ?? ? 2 ? a1 ? (ap ) ? (ap ) ??? (ap ) ?1 an?1 an?2 a1

x 19. 解:(Ⅰ)由 f ( x) ? ln(e ? a ) 是 R 的奇函数,则 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,

从而可求得 a ? 0 .……………………………………………………..…..4 分

?a

n ?1

p

n 2 ?3 n ? 2 2


n2 ?3n? 2 2

??????????????????6 分

ln x ln x ? ? x 2 ? 2ex ? m , (Ⅱ)由 f ( x) x ln x 1 ? ln x , f 2 ( x ) ? x 2 ? 2ex ? m ,则 f 1' x ) ? ( 令 f1 ( x ) ? , x x2 ' 当 x ? (0, e) 时, f1 ( x) ? 0,? f1 ( x) 在 (0, e] 上为增函数;
当 x ? [e,??) 时, f ( x) ? 0,? f1 ( x) 在 [e,??) 上位减函数;
' 1

? a1 满足上式, ? an ? an?1 p
(3)?

, n ? N* .

??????????7 分

an? 2 an? 2 an?1 ? ? ? (ap n ) ? (ap n?1 ) ? a 2 p 2 n?1 , an an?1 an nan? 2 ? np 2 n?1 . pan
????????????????8 分

? 当 a ? 1 时, bn ?

当 x ? e 时, [ f1 ( x )] max ? f1 ( e) ?
2 2

1 ,…………………………….………..8 分 e

? Sn ? 1? p1 ? 2 ? p3 ? ?? n ? p2n?1 , p2 Sn ? 1? p3 ? ?? (n ?1) ? p2n?1 ? n ? p2n?1

① ②

而 f 2 ( x) ? ( x ? e) ? m ? e ,结合函数图象可知:

1 1 2 当 m ? e ? ,即 m ? ? e 时,方程无解; e e 1 1 2 2 当 m ? e ? ,即 m ? ? e 时,方程有一个根 x ? e ; e e 1 1 2 2 当 m ? e ? ,即 m ? ? e 时,方程有两个根. ………………..……..….12 分 e e
2

? 当 p2 ? 1 ,即 p ? ?1时,① ? ②得:
(1 ? p ) Sn ? p ? p ? ? ? p
2 1 3 2 n ?1

? np

2 n ?1

p(1 ? p 2 n ) ? ? np 2 n?1 , 2 1? p
??????????11 分

即 Sn ?
第 3 页 共 4 页

p(1 ? p 2 n ) np 2 n?1 ? , p ? ?1 . (1 ? p 2 )2 1 ? p 2

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? MN ? d1 ? d 2 , k

n(n ? 1) , ??????????12 分 2 n(n ? 1) 当 p ? ?1 时, S n ? (?1) ? (?2) ? ? ? (? n) ? ? .?????????13 分 2
而当 p ? 1 时, S n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?

? n(n ? 1) , p ? 1, ? ? 2 ? n(n ? 1) 综上所述, S n ? ?? , p ? ?1, 2 ? ? p(1 ? p 2 n ) np 2 n ?1 ? , p ? ?1. ? 2 2 1 ? p2 ? (1 ? p )

S?

2m 2m d 2 ? d22 1 d1 ? d2 8 ,???11 分 ? 2 ? (d1 ? d 2 ) ? 1 ? 2 1 2 k 2k k ?1 m ? 3 ?1 m ? m 4
1 1 4 ? 3? ? 3 ,S ? 2 3. m 3 3
???????????13 分 ????????????14 分

???????????14 分

? m2 ? 4k 2 ? 3 ,? 当 k ? 0 时, m ? 3 , m ?
当 k ? 0 时,四边形 F1MNF2 是矩形, S ? 2 3 . 所以四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 2 3 . (法二)? d12 ? d2 2 ? (

21.已知两点 F1 (?1,0) 及 F2 (1,0) , P 在以 F1 、F2 为焦点的椭圆 C 上, PF1 、 F1 F2 、 PF2 点 且 构成等差数列. (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图 7,动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,点 M , N 是直线 l 上的两点, 且 F1 M ? l , F2 N ? l . 求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值. y l M N F1 O F2 x

?k ? m k 2 ?1
?

)2 ? (

k ?m k 2 ?1
?

)2 ?

2(m2 ? k 2 ) 2(5k 2 ? 3) , ? k 2 ?1 k 2 ?1

x y 解: (1)依题意,设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 . a b

2

2

d1d 2 ?

?k ? m k 2 ?1

?

k ?m k 2 ?1

m2 ? k 2 k 2 ?1

3k 2 ? 3 ? 3. k 2 ?1

? PF1 、 1F 2 、 2 构成等差数列, F PF ? 2a ? PF1 ? PF 2 ? 2 F1F2 ? 4 , a ? 2 .
又? c ? 1 ,? b ? 3 .
2

? MN ? F1 F2 2 ? (d1 ? d 2 ) 2 ? 4 ? (d12 ? d 2 2 ? 2d1d 2 ) ?
1 MN (d1 ? d 2 ) ? 2

2 k 2 ?1



四边形 F1MNF2 的面积 S ? 图7

1 k 2 ?1

( d1 ? d 2 ) ,

????11 分

? 椭圆 C 的方程为
(2)

x y ? ? 1 . ????????????????????4 分 4 3
m 入 椭 圆 C 的 方 程 3x2 ? 4 y 2 ? 12 中 , 得 代
??????????5 分
2 2 2 2

2

2

1 16k 2 ? 12 2 2 S ? 2 (d1 ? d 2 ? 2d1d 2 ) ? 2 k ?1 (k ? 1) 2
2

x 将 直 线 l 的 方 程 y ? k?

? 16 ? 4(

1 ? 2) 2 ? 12 . k ?1
2

??????????????????13 分

(4k 2 ? 3) x 2 ? 8kmx? 4m 2 ? 12 ? 0 .

当且仅当 k ? 0 时, S 2 ? 12, S ? 2 3 ,故 Smax ? 2 3 . 所以四边形 F1MNF2 的面积 S 的最大值为 2 3 . ??????????14 分

由直线 l 与椭圆 C 仅有一个公共点知, ? ? 64k m ? 4(4k ? 3)(4m ?12) ? 0 , 化简得: m ? 4k ? 3 .
2 2

??????????7 分

设 d1 ? F1M ?

?k ? m k 2 ?1

, d2 ? F2 M ?

k ?m k 2 ?1



(法一)当 k ? 0 时,设直线 l 的倾斜角为 ? , 则 d1 ? d2 ? MN ? tan ? ,
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??????????9 分 y l M H N O

F1 F2 x 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com


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