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安徽省“江南十校”高三数学3月联考试题 文(扫描版)_图文

安徽省“江南十校”2015 届高三数学 3 月联考试题 文(扫描版)

数学(文科)参考答案

2?i (2 ? i)2 3 4 ? ? ? i 1. B . 2 ? i (2 ? i)(2 ? i) 5 5 ,故选 B
2. C . 故选 C
2 6 ,故选 A 3. A .命题 p : 3 ? 2 ? m ? 0, m ? 6 ;命题 q :由m ? 5m ? 5 ? 1得m ? ?1或

A ? ? x x ? 0? , B ? ? x ?2 ? x ? 2?



CR B = ? x x ? 2或x ? ?2? , ? A ? CR B = ? x x ? 2? ,

4. A .由程序框图可知,最后输出的

p ? sin

?

2 ? sin ? ? 4 4

? sin

15 ? ?0 4 ,故选 A

S ,S6 ? S3,S9 ? S6,S12 ? S9 , S15 ? S12 也 成 等 比 , 易 求 出 5. C . 由 等 比 数 列 性 质 可 知 3 a13 ? a14 ? a15 ? S15 ? S12 ? 32 , 故选 C
2), Q(1, 2) ,设 l:y ? 2 ? k ( x ?1), 即kx ? y ? 2 ? k ? 0 ,圆 C: ( x ? 1)2 ? ( y ?1)2 ? 9 , 6. A . P(2,

( -1,1 ) 圆心 C 到 l 的距离
选A

d?

?k ? 1 ? 2 ? k k 2 ?1

? 32 ? (

3 2)2 2 ? k 2 ? 8k ? 7 ? 0 , k ? ?1或? 7, 故

AC BD
7. D .

AC ? (?11), , BD ? (3, 2), ? AC 在 BD 方向上的投影为

BD

?

?1? 3 ? 1? 2 3 ?2
2 2

?

?1 13

??

13 13 ,故选 D

8. D .

? ? 1 3 f ( x) ? a sin x ? a cos x ? 3 sin x ? cos x a sin( x ? ) ? 2 cos( x ? ) 3 3 2 2 =
?
?

? g ( x) ? f ( x? ) ? a s i nx? 2 c oxs x? 3 4 对称, ,由题意得 g ( x) 图象关于直线 ? g(

?
2

) ? g ( 0 )? , a ? 2

,故选 D

x ?? ?1,0? x ?1??0,1? f ( x) ? f ( x ?1) ? 9 B . g ( x) ? 0 ? f ( x) ? ? x ? a ,当 时, ,
故把 y ?

x ?1 ,

x 图象在 ?0,1? 上的部分向左平移 1 个单位得到 f ( x) 在 ? ?1,0? 上的图象,再把 f ( x) 在

??1,0? 上的图象每次向左平移 1 个单位连续平移就得到 f ( x) 在 R 上的图象,再作出 y ? ? x ? a 的

图象,由图象可得 ? a ? 1 , a ? ?1 ,故选 B

10. D .易证

A1BD / / 面 B1D1C 选,? ①正确; A1B / / D1C , ?OC1D 就是异面直线 AB1 与 OC1 所
OD ? 1 1 BD ? C1 D 2 2 ,

成的角.

BD ? OC, BD ? CC1 ,? BD ? 面 OCC1 ,? BD ? OC1 ,又

??OC1 D ?

?
6 ,? ②正确;设棱 B1D1, B1C1, BB1, AB, AD, DD1 的中点分别为 E, F , G, H , M , N ,

则过点 E, F , G 的正方形截面就是正六边形 EFGHMN , 连 结

S ? 6?

3 ? 4

? 2?

2

?3 3

,? ③正确; ,

A1P







A 1A ?

A, P 又

P Q ?

1

A ,C PA ? PQ, PA1 ? PA1

? Rt?A1PA ? Rt ?A1PQ, A1 A ? AQ 1 ,? Q 为 AC 1 上定点,又 PA ? PQ ,点 P 在线段 AQ 的中垂
面上,? 点 P 在 AQ 的中垂面与正方形 ABCD 的交线上,? ④正确;故选 D 11.对任意 x ? R ,都有 x ?1 ? 1 ? x ? 0 .
2 2

5 12. 2

1 5 ? sin(?30 ) ? 1 ? 2 ? ? ? 3 ? 2 2. 原式

?x ? 4 ? 4 ? 2y ? , 4 ? ? P ? ?1,0? ? x, y ? 连线斜率的 2 倍,画出可行域,由 ? ?2 x ? y ? 6 ? 0 13. ? 5 ? x ? 1 可看作点 与点 ?x ? y ? 3 ? 0 A? 4, ?2? ? 2 x ? y ? 6 ? 0 得 B ?1,4 ? , 得 ,由 ?
14.

? 4 ? 2 2y k PA ? ? , k PB ? 2, ?? , 4? 5 ? x ? 1 的取值范围为 ? 5 ? .

? ?1,9?
a1 ? 8 个,且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为 ?1,1?

以 O 为中心,边长为 2 的正方形上共有格点 以 O 为中心, 边长为 4 的正方形上共有格点 以 O 为中心, 边长为 6 的正方形上共有格点 ………

a2 ? 16 个, ? 2, 2 ? 且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为

a3 ? 24 个, ? 3,3? 且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为 an ? 8n 个,且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为

以 O 为中心,边长为 2 n 的正方形上共有格点

? n, n?

S ? a1 ? a2 ? a3 ? … ?an ? 8 ? 16 ? 24 ? … ,由前 n 个正方形上格点的总数 n

?8n ?

n(8 ? 8n) 9(8 ? 72) ? 350 S9 ? ? 360 2 2 得 n ? 9 .当 n ? 9 时,前 9 个正方形上格点的总数 ,

且蚂蚁在第 9 个正方形(边长为 18 )上爬过的最后一个格点为 过的第 350 个格点

A360 ?9,9?

,故蚂蚁在爬行过程中经

A350 坐标为 ? ?1,9? .
d? 5 22 ? 1 ?1

15. ② ③ ⑤

对①:

,? 不合题意;对②:设直线

l1 : y ? 2x ? b 与 曲 线

C : y ? ? x2 ? 2x ?

9 9 9 2 y ? ?x 2 ? x ? x2 ? ? b ? 0 ? b代 入 4 相 切 , 把 y?2 x 4 得 4 , 由

9 81 ?9 ? 9 d? 4 ? ?1 ? ? 0? 4 ? ? b? ? 0 b ? ? l 80 5 l ?4 ? 4 1 ,得 ,此时直线 与 的距离 ,符合题意;

对③:

圆心

C ? 0, 5?

到直线 l 的距离

d?

0?5 5

? 5

,? 圆 C 上的点到 l 距离的最小值为

5 ?1 ? 1 ,符合题意;对④:设曲线 C 上斜率为 2 的切线的切点为 P ? x0 , y0 ? ,
? k ? y'
x ? x0

y' ? ex ,
, 即 :

? e x0 ? 2, ? x0 ? ln 2



? P ? ln 2,3?

, 切 线 :

y ? 3 ? 2 ? x ? ln 2?
ln 4


2x ? y ? 3 ?

2 l? n 2 0切线与 C 的距离 ,?

d?

3? 2 l n 2 ? 3 ? 5 5

ln 4 ? ?1,2?
y' ? 1 x,



?3 ? ln 4 ??1,2?
? k ? y' ?

,而 5 ? 2,?d ? 1 ,不合题意;对⑤:设切点为

P ? x0 , y0 ?



x ? x0

1 ? ln 2 ? 2 3 ? ln 2 1 1 ? ? 2, ? x0 ? 1 ? P ? , ?2 ? ln 2 ?, ?d ? ? ? 1, ? x0 5 5 ?2 ? 2, 符合题意。

? ?? ? f ? x ? ? 4sin x ? cos x cos ? sin x sin ? ? 1 6 6 ? = 2 3sin x cos x ? 2sin 2 x ?1 ? 16.解: (I)
?? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin ? 2 x ? ? 6? ? =
?T ? 2? ?? 2

…………3 分

…………5 分

(II)

?? ?? ? ? f ? A? ? 2sin ? 2 A ? ? ? 2,? sin ? 2 A ? ? ? 1 6? 6? , ? ?

0 ? A ? ? ,?


?
6

? 2A ?

?
6

?

13? ? ? ? ,? 2 A ? ? , A ? 6 6 2 6

…………7 分

1 S?ABC ? bc sin A ? 3,? bc ? 4 3 2 …………9 分


a2 ? 32 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b2 ? c2 ? 12 ,?b2 ? c 2 ? 21

…………12 分

17.解: (I)该校高三文科(1)班参加“江南十校”联考的总人数为

5 ? 50 0.010 ? 10 (人)

……………………3 分

(II)平均分 x ? 45 ? 0.06 ? 55 ? 0.16 ? 65 ? 0.20 ? 75 ? 0.28 ? 85 ? 0.20 ? 95 ? 0.10

? 2.7 ? 8.8 ? 30 ? 21 ? 9.5 ? 72 (分)
(Ⅲ) 成绩在 成绩在

…………7 分 …………8 分

?40,50? 中共有 0.006 ?10 ? 50 ? 3 (人) ,记为 a, b, c
? a, b? , ? a, c? , ? a,1? , ???, ? 4,5? 共

?90,100? 中共有 0.010 ?10 ? 50 ? 5 (人) ,记为 1,2,3,4,5
28 个,其中 2 人来自同一分数段的基本事件有 …………11 分

总的基本事件有

? a, b? , ? a, c? , ?b, c? , ?1,2? , ?1,3? , ???, ?4,5? 共 13 个
P?
故概率

13 28

…………12 分

18.(Ⅰ)

an?2 ? 2 anan?2 ? an ? 4an?1



an ? 0
…………3 分 ………… 5 分 …………7 分

? ( an?2 ? an )2 ? (2 an?1 )2
?

? an?2 ? an ? 2 an?1 a2 ? a1 ? 1
的等差数列

? a ? 是首项为
n

a1 =1

,公差为

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

an ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n, an ? n2
1 1 ? 2 n ? n ? 1?2

?bn ?

2n ? 1 n ? n ? 1?
2 2

?

……………………9 分

? Sn ? 1 ?

1 1 1 1 1 ? 2? 2 ? ? ? 22 22 32 … n ? n ? 1?

? 1?

1

? n ? 1?

2

?1
……………………12 分 D O

19.证明: (I)连接 PA , 又

AB 为 O 的直径,? PA ? PB …1 分
……2 分

C

AD ? 面PAB , PB ? 面PAB,? PB ? AD

又 PA ? AB ? A,? PB ? 面PAD 又 AQ ? 面PAD ,? AQ ? PB (II)过点 P 作 PE ? AB , E 为垂足,连结 DE ,

Q …………4 分 …………5 分 A P …………6 分 第 18 题图 图 …………8 分 B O1

E

OO1 ? 面PAB,?面ABCD ? 面PAB,? PE ? 面ABCD

? ? PDE 就是直线 PD 与 面ABCD 所成的角,? ?PDE ? 30



1 ? AP ? ? APB ?O1E ? 1, PE ? 3 , 3 ,
2

tan ?PDE ?


PE DE

? DE ? 3, AD ? DE 2 ? AE 2 ? 32 ? ? 2 ? 1? ? 2 2

……11 分 …………13 分

?V ? Sh ? ? ? 22 ? 2 2 ? 8 2?

20.(Ⅰ)当 a ? 1 时,

f ( x) ? ln x ?

1 2( x ? 1) ? 2 x 1 2 2x f / ( x) ? ? ? ? 2 x ( x ? 1) x ( x ? 1) 2 …… 2分 x ?1 ,

? f / (1) ? 1 ?

1 1 1 1 3 ? y ? (?1) ? ( x ? 1) y ? x ? 2 2 ,又 f (1) ? ?1 ? 切线方程为 2 2 2 …… 5分 即

(Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,

f / ( x) ?

a (a ? 1)( x ? 1) ? (a ? 1) x ax 2 ? (a ? 1) x ? a ? ? x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2
f / ( x) ? ? x 1 ?? ?0 2 x( x ? 1) ( x ? 1)2
2

…… 6分

①当 a ? 0 时,

? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减 …… 7分

②当 a ? 0 时,设 g ( x) ? ax ? (a ?1) x ? a( x ? (0, ??))

2 2 2 ( a )当 ? ? (a ?1) ? 4a ? ?3a ? 2a ? 1 ? 0 即

a?

1 / 3 时, f ( x) ? 0,

? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增
0?a?

………… 9分

( b )当 ? ? ?3a ? 2a ? 1 ? 0 即
2

1 1 ? a ? ?3a 2 ? 2a ? 1 x? 3 时, 由 g ( x) ? 0 得 2a

(1 ? a)2 ? (?3a2 ? 2a ? 1) ? 4a2 ? 0
? 0 ? x1 ? 1 ? a ? ?3a 2 ? 2a ? 1 1 ? a ? ?3a 2 ? 2a ? 1 ? x2 ? 2a 2a

/ / ? 当 x ? (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) 时, f ( x) ? 0 , 当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ( x) ? 0 ,

? f ( x) 单调递增区间为 (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) , f ( x) 单调递减区间为 ( x1 , x2 ) ………… 12分
综上,当 a ? 0 时, f ( x ) 单调递减区间为 (0, ??) ;

0?a?


1 3 时, f ( x) 单调递增区间为 (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) ,单调递减区间为 ( x1 , x2 ) ;

a?


1 3 时, f ( x) 单调递增区间为 (0, ??)

…………13 分

21. (Ⅰ)由题意得: 4a ? a , a ? 4, a ? 2
3 2

………… 2分

3 2 ( ) 3 1 2 (1, ) ? + 2 ?1 b 又 椭圆 C 过 2 点, 4
? b2 ? 3

………… 3分 ………… 5分

x2 y 2 ? ?1 ? 椭圆 C 的方程为 4 3
(Ⅱ)

………… 6分

c ? 1, l2 : y ? x ? 3 设 M (x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), P(t , t ? 3)
lMP : x1 x y1 y ? ?1 4 3 x2 x y2 y ? ?1 4 3
………… 7分

则直线

直线

lPN :

………… 8分

(t , t ? 3) 在上述两切线上, 又P

?

x1t y1 (t ? 3) x2t y2 (t ? 3) ? ?1 ? ?1 4 3 3 , 4 lMN : tx (t ? 3) y ? ?1 4 3

? 直线

………… 10分

即: (3x ? 4 y)t ? 12 y ? 12 ? 0

4 ? ?x ? ?3x ? 4 y ? 0 3 ? 4 ? ( , ?1) ? y ? ? 1 ? 12 y ? 12 ? 0 ? 直线 MN 过定点,且定点坐标为 3 由? 得?

… 13分