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山东淄博市淄川一中2016届高三上学期第一次阶段检测理科数学试题

山东淄博市淄川一中 2016 届高三上学期第一次阶段检测 理科数学试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1. 设全集 U 是实数集 R , M ? {x | x ? 9} , N ? {x | 2 ? x ? 4} ,则图中阴影部分表示的集合是
2

8.已知 f ? x ? ?

1 2 x ? cos x , f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,则 f ? ? x ? 的图象是( ) 4

9 . 已 知 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 当 x ? 0 时 , ( ) A.-3 B. ?

f ( x) ? 2x , 则 f (log4 9) 的 值 为

A. {x | ?3 ? x ? 2} C. {x | ?3 ? x ? 4}
x

B. {x | 2 ? x ? 3} D. {x | x ? 3} ( )

1 3

C.

1 3

D. 3

10.函数 f ( x) ? 2 sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0,| ? |? 间为 ( )

π ) 的部分图象如图所示, 则 f ( x ) 的单调递减区 2

2.函数 f ( x) ? e ? 3x 的零点个数是 A.0 B.1 C.2 D.3

3. 若 a ? 30.2 , b ? log π 3 , c ? log 3 cos

2 ? ,则 4





A. b ? c ? a B. b ? a ? c C. a ? b ? c D. c ? a ? b 4. 李 华 经 营 了 两 家 电 动 轿 车 销 售 连 锁 店 , 其 月 利 润 ( 单 位 : 元 ) 分 别 为 , 若某月两连锁店共销售了 110 L1 ? ?5x2 ? 900x ?16000 , L2 ? 300 x ? 2000(其中 x 为销售辆数) 辆,则能获得的最大利润为( A.11000 ) C. 33000 D. 40000 A. [

B. 22000

5? 11? ? k? , ? k? ], k ? z 12 12 5? 11? ? 2 k? , ? 2k? ], k ? z C. [ 12 12

B. [

5? 11? ? k? ? x ? ? k? ], k ? z 6 6 ? 5? ? k? , ? k? ], k ? z D. [? 12 12

5.已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x ,且 f ' ( x) ? 3 f ( x) ,则 tan 2 x 的值是( )

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

4 4 3 3 B. C. ? D. 3 4 3 4 2 6. “ a ? 2 ”是“函数 f ( x) ? x ? 3a ? 2 在区间 (??, ?2] 内单调递减”的(
A. ? A 充分非必要条件.
3

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。
) 11.已知 A ? ? x

( B ) 必要非充分条件. (C ) 充要条件. ( D ) 既非充分又非必要条件.

1? ? 1 ? 3? x ? ? , B ? {x | log 2 ( x ? 2) ? 1} ,则 ? U A ? B ? _____. 9? ? 27

7.曲线 C : y ? x ( x ? 0) 在点 x ? 1 处的切线为 l ,则由曲线 C 、直线 l 及 x 轴围成的封闭图形的 面积是 A. 1 ( B. ) .

12.给出如下四个命题:①若“ p 或 q ”为真命题,则 p 、 q 均为真命题; ②命题“若 x ? 4 且 y ? 2 ,则 x ? y ? 6 ”的否命题为“若 x ? 4 且 y ? 2 ,则 x ? y ? 6 ”; ③在 ?ABC 中,“ A ? 30 ”是“ sin A ?
0

1 12

C.

4 3

D.

3 4

1 ”的充要条件。 2

④命题 “ ?x0 ? R, e

x0

? 0 ”是真命题.

其中正确的命题的个数是

13.把函数 y ? f ( x) 的图象向右平移

? ? 个单位, 得到 y ? 2sin(3 x ? ) 的图象, 则函数 y ? f ( x) 的 4 4

解析式是 14.过函数 f(x)=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 +2x+5 图像 上一个动点作函数的切线, 则切线倾斜角的范 围是________________。 15. 设函数 f ( x) ? ax3 ? 3x ? 1( x ? R) , 若对于任意的 x ? [?1,1] , 都有 f ( x) ? 0 成立,则实数 a 的值为________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin x ? 2 3 sin x ? sin( x ?
2

? ?? x ? 1( x ? ?2) ? 1 ? 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ? x ? 3( ?2 ? x ? )(x ? R ) . 2 ? 1 ? 5 x ? 1( x ? ) ? 2 ?
(1)求函数 f ( x ) 的最小值; (2)已知 m ? R ,命题 p :关于 x 的不等式 f ( x) ? m ? 2m ? 2 对任意 m ? R 恒成立; q :函
2

数 y ? (m ? 1) 是增函数,若“ p 或 q ”为真, “ p 且 q ”为假,求实数 m 的取值范围.
2 x

20. (本小题满分 13 分)已知函数 f(x)=x(x+a)-lnx,其中 a 为常数. (1)当 a=-1 时,求 f(x)的极值; (2)若 f(x)是区间 ( ,1) 内的单调函数,求实数 a 的取值范围; (3)过坐标原点可以作几条直线与曲线 y=f(x)相切?请说明理由. 21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ax 2 ? x(a ? R) . (1)求 f ( x) 的单调区间和极值点; (2)求使 f ( x) ? g ( x) 恒成立的实数 a 的取值范围;

?
2

)(? ? 0 ) .

(1)求 f ( x) 的最小正周期;

1 2

2? ] 上的取值范围. (2)求函数 f ( x) 在区间 [0, 3 u r r u r r 17.(本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? m ? n ,其中向量 m ? ? 2cos x,1? n ? cos x, 3 sin 2 x .

?

?

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期与单调递减区间. (2)在 ?ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,已知 f ? A? ? 2, b ? 1, ?ABC 的面积为 18. (本小题满分 12 分)已知 P ? x x ? 3x ? 18 ? 0 , S ? x x ? 2 ? m ? 1
2

3 , 2

(3)当 a ?

1 3 f ( x) ? m ? g ( x) ? 0 有三个不等实根?若存 时,是否存在实数 m ,使得方程 8 4x

?

?

?

?

在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

(1)若 ( P ? S ) ? P ,求实数 m 的取值范围; (2)是否存在实数 m,使得“ x ? P ”是“ x ? S ”的充要条件,若存在,求出 m 的取值范围;若 不存在,请说明理由.

因为 x ? [0,

? ? 7? 2? ] , 所以 2 x ? ? [? , ] , 6 6 6 3
?
6 ) ? [ ?1, 2] 所以 f ( x) ? [0,3]

??????8 分

理科数学答案
选择每题 5 分 共 50 分 1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 6.A 7.B 8.A 9.B 10.A 填空 每题 5 分共 25 分 11.

所以 2sin(2 x ? 即 f ( x) 在区间 [0,

????????10 分

2? ] 上的取值范围是 [0,3] . 3

????????12 分

? x 3 ? x ? 4?

12.0 解析:①中 p、q 可为一真一假;②的否命题是将且改为或;③是充分非

17. (12 分)(1)由题意得

必要条件;④显然错误。 13. y ? 2cos3x 14. ?0, ? ? ? , ? 2? ?2 4 ? ? 15.4 解析:由题意得 f ?( x) ? 3ax2 ? 3 ,当 a ? 0 时, f ?( x) ? 3ax2 ? 3 ? 0 ,所以 f ( x) 在 [ ?1,1] 上 为减函数,所以 f ( x)min ? f (1) ? a ? 2 ? 0 ,解得 a ? 2 (与 a ? 0 矛盾,舍去) .当 a ? 0 时,令

? ??

? ? 3? ?

f ?( x) ? 0 可得 x ? ?

1 1 1 1 , ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数; ) , 当 x ? (? 当 x ? (??,? a a a a

f ( x) ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 . 6 ? ? 3? ? 2 k? , k ? Z 得 所以,函数 f ( x) 的最小正周期为 T ? ? ,由 ? 2k? ? 2 x ? ? 2 6 2 2? ?? ? 函数 f ( x) 的单调递减区间是 ? ? k? , ? k? ? k ? Z ???????????6 分 3 ?6 ? ? ? (2)? f ( A) ? 2,? 2sin(2 A ? ) ? 1 ? 2 ,解得 A ? , 3 6 3 1 3 , b ? 1.得 bc sin A ? ?c ? 2 . 又? ?ABC 的面积为 2 2 2 2 2 2 再由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ,解得 a ? 3 c ? c 2 ? a 2 ? b2 ,即△ ABC 为直角三角形.? R ? ? 1 ??????????l2 分 2
18. (12 分)解:由 x2 ? 3x ?18 ? 0 得 ?3 ? x ? 6 ,所以 P ? [?3, 6] -----------------1 分 由 x ? 2 ? m ?1 得 3 ? m ? x ? 1 ? m ,所以 S ? x 3 ? m ? x ? 1 ? m (1) 要使 ( P ? S ) ? P ,则 S ? P 若 S ? ? ,此时 m ? 1 ; -----------4 分

?

1 , ? ?) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数,由 f (?1) ? 4 ? a ? 0 且 f (1) ? a ? 2 ? 0 ,可得 和( a
2 ? a ? 4 ,又 f (

?

?

--------------2 分

1 a

)?a?

1 a a

?

3 a

?1?1?

2 a

? 0 ,可得 a ? 4,综上可知 a ? 4 。

16. (12 分)解析: (1) f ( x) ? 1 ? cos 2x ? 2 3sin x ? cos x

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1
? 2sin(2 x ? ) ? 1 ????????????4 分 6 2? ?? 所以 f ( x) 的最小正周期为 T ? 2
(2)解: f ( x) ? 2sin(2 x ? ????6 分

?

?m ? 1 ? 0 ? 若 S ? ? ,此时 ?3 ? m ? ?3 ,解之得 1 ? m ? 5 ------------------6 分 ?1 ? m ? 6 ?
由以上可知 m ? (??,5] -----------------------7 分

(2) 由题意, “ x ? P ”是“ x ? S ”的充要条件,则满足 S=P 则?

?
6

) ?1

?m ? 6 ?3 ? m ? ?3 ,所以 ? ,所以这样的 m 不存在 。-----------------12 分 ?m ? 5 ?1 ? m ? 6

19. (12 分) 【解析】(1)作出函数 f ( x ) 的图象,可知函数 f ( x ) 在 (??,?2) 上单调递减,在

由 f ?( x) ? 0 得 x ?

1 1 , f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? , e e

(?2,??) 上单调递增,故 f ( x) 的最小值为 f ( x) min ? f (?2) ? 1 .
(2)对于命题 p : m 2 ? 2m ? 2 ? 1 ,故 ? 3 ? m ? 1 ; 对于命题 q : m2 ? 1 ? 1 ,故 m ? 2 或 m ? ? 2 . 由于“ p 或 q ”为真, “ p 且 q ”为假,则
? ①若 p 真 q 假,则 ? ? ? ? ? ?

1 ?1 ? ? f ( x) 在 (0, ) 单调递减,在 ? , ?? ? 单调递增,--------------3 分 e ?e ?
f ( x) 的极小值点为 x ?

1 .-------------------------4 分 e

(2)方法 1:由 f ( x) ? g ( x) 得 x ln x ? ax 2 ? x( x ? 0) ,

? 3 ? m ?1 ? 2 ?m? 2

,解得 ? 2 ? m ? 1 .

? ax ? ln x ? 1 ,令 h( x) ? ax ? ln x ? 1 ,则 h?( x) ? a ?

1 ax ? 1 ? , x x

②若 p 假 q 真,则 ?

?m ? 1或m ? ?3 ?m ? ? 2或m ? 2

ⅰ)当 a ? 0 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 ? 0, ?? ? 单调递减, h( x) 无最小值,舍去; ,解得 m ? ?3 或 m ? 2 . ⅱ)当 a ? 0 时, 由 h?( x) ? 0 得 x ?

1 1 , h?( x) ? 0 得 0 ? x ? , a a

故实数 m 的取值范围是 (??,?3) ? [? 2,1] ? ( 2, ? ?) . 20. (13 分)解析: (1)当 a=-1 时, f ?( x) ? 2 x ? 1 ?

1 2 x 2 ? x ? 1 (2 x ? 1)(x ? 1) ? ? ( x ? 0) , x x x 所以 f(x)在区间 (0,1) 内单调递减,在 (1,??) 内单调递增.于是 f(x)有极小值 f (1) ? 0 ,无极大
-------------4 分

1 ?1 ? ? h( x) 在 (0, ) 单调递减,在 ? , ?? ? 单调递增, a ?a ?

1 ? h( x) min ? h( ) ? ln a ,只须 ln a ? 0 ,即 a ? 1 , a

值.

1 1 (2)易知 f ?( x) ? 2 x ? a ? 在区间 ( ,1) 内单调递增,所以 2 x 1 1 1 由题意可得 f ?( x) ? 2 x ? a ? ? 0 在 ( ,1) 内无解,即 f ?( ) ? 0 或 f ?(1) ? 0 , 2 2 x 解得实数 a 的取值范围是 (??,?1] ? [1,??) .-----------8 分
(3)设切点 (t , t ? at ? ln t ) ,则切线方程为 y ? (2t ? a ? )( x ? t ) ? t 2 ? at ? ln t .
2
2 因为过原点,所以 0 ? (2t ? a ? )( ?t ) ? t 2 ? at ? ln t ,化简得 t ? 1 ? ln t ? 0 (※).

? 当 a ? 1 时 f ( x) ? g ( x) 恒成立.
方法 2:由 f ( x) ? g ( x) 得 x ln x ? ax ? x( x ? 0) ,? ax ? ln x ? 1 ,
2

8分

1 t

ln x ? 1 对任意 x ? 0 恒成立, x ? ln x ln x ? 1 令 h( x ) ? ,则 h?( x) ? , x2 x
即a ? 由 h?( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 , h?( x) ? 0 得 x ? 1 ,

1 t

设 h(t ) ? t 2 ? 1 ? ln t (t ? 0) ,则 h?(t ) ? 2t ? ? 0 , 所以 h (t ) 在区间 (0,??) 内单调递增.-------------11 分 又 h(1) ? 0 ,故方程(※)有唯一实根 t ? 1, 从而满足条件的切线只有一条. 21. (14 分)解析: (1) f ?( x) ? ln x ? 1 , ------------13 分

1 t

? h( x) 在 (0,1) 单调递增,在 ?1, ?? ? 单调递减,

? h( x)max ? h(1) ? 1 ,? a ? 1 ,
? 当 a ? 1 时 f ( x) ? g ( x) 恒成立.
(3)假设存在实数 m ,使得方程 ----------------8 分

3 f ( x) ? m ? g ( x) ? 0 有三个不等实根, 4x

即方程 6ln x ? 8m ? x 2 ? 8x ? 0 有三个不等实根, 令 ? ( x) ? 6ln x ? 8m ? x2 ? 8x ,

? ?( x) ? ? 2 x ? 8 ?

6 x

2( x 2 ? 4 x ? 3) 2( x ? 3)( x ? 1) ? , x x

由 ? ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 或 x ? 3 ,由 ? ?( x) ? 0 得 1 ? x ? 3 ,

?? ( x) 在 (0,1) 上单调递增, (1,3) 上单调递减, (3, ??) 上单调递增,
所以 ? ( x) 的极大值为 ? (1) ? ?7 ? 8m , ? ( x) 的极小值为 ? (3) ? ?15 ? 6ln 3 ? 8m . 要

使 方程 6 ln x ? 8m ? x2 ? 8x ? 0有三个不等实根,则函数 ? ( x) 的图象与 x 轴要有三个交点, -------------------10 分 根据 ? ( x) 的图像可知必须满足 ?

??7 ? 8m ? 0 7 15 3 ? ln 3 , ,解得 ? m ? 8 8 4 ??15 ? 6ln 3 ? 8m ? 0

3 f ( x) ? m ? g ( x) ? 0 有三个不等实根, 4x 7 15 3 ? ln 3 . 实数 m 的取值范围是 ? m ? 8 8 4

? 存在实数 m ,使得方程

12 分


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