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集合间的基本关系


1.1.2 集合间的基本关系 1、教材分析 课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、 有理数的集合等)出发,通过类比实数间的大小关系引 入集合间的关系,同时,结合相关内容介绍子集等概念.在安排这部分内容时,课本注重体现逻 辑思考的方法,如类比等. 值得注意的问题:在集合间的关系教学中,建议重视使用 Venn 图,这有助于学生通过体会直观 图示来理解抽象概念 ;随着学习的深入 ,集合符号越来越多 ,建议教学时引导学生区分一些容 易混淆的关系和符号,例如∈与?的区别. 2、教学目标 1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系,提高利 用类比发现新结论的能力. 2.在具体情境中,了解空集的含义,掌握并能使用 Venn 图表达集合的关系,加强学生从具体到 抽象的思维能力,树立数形结合的思想. 3、教学重点难点 教学重点:理解集合间包含与相等的含义. 教学难点:理解空集的含义. 4、课时安排 1 课时 5、教学过程 一、 引入课题 1、 复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系,填以下空白: (1)0 N; (2) 2 Q; (3)-1.5 R

2、 类比实数的大小关系,如 5<7,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢?(宣 布课题) 二、新课教学 (一) 集合与集合之间的“包含”关系; A={1,2,3},B={1,2,3,4} 集合 A 是集合 B 的部分元素构成的集合,我们说集合 B 包含集合 A; 如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这两个集合有包含关系,称 集合 A 是集合 B 的子集(subset) 。 记作: A ? B(或B ? A) 读作:A 包含于(is contained in)B,或 B 包含(contains)A 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系

B A

A ? B(或B ? A)

例 1:集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若 B ? A,求实数 m 的取值范围; 解:(1)当 m+1>2m-1 即 m<2 时,B= ? 满足 B ? A. 当 m+1≤2m-1 即 m≥2 时,要使 B ? A 成立, 需?

?m ? 1 ? 2m ? 1, 可得 2≤m≤3.综上所得实数 m 的取值范围 m≤3. ?m ? 1 ? 5

例 2:已知集合 A={-1,3,2m-1},集合 B={3,m2}.若 B ? A,则实数 m=_______. 解:∵B ? A,∴3∈A,m2∈A.∴m2=-1(舍去)或 m2=2m-1.解得 m=1.∴m=1.: (二) 集合与集合之间的 “相等”关系;

A ? B且B ? A ,则 A ? B 中的元素是一样的,因此 A ? B


?A ? B A? B?? ?B ? A

练习 A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z}所以 A=B 结论:任何一个集合是它本身的子集。 (集合相等的两种证明方法) (三) 真子集的概念 若集合 A ? B , 存在元素 x ? B且x ? A , 则称集合 A 是集合 B 的真子集 (proper subset) 。 记作:A B(或 B A) 读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A) 例 1:集合 A={x|-1<x<3,x∈Z},写出 A 的真子集. 即 a={x|-1<x<3,x∈Z}={0,1,2}. 真子集: ? 、{1}、{2}、{0}、{0,1}、{0,2}、{1,2} 引申例 2:已知集合 M={x|2-x<0},集合 N={x|ax=1},若 N M,求实数 a 的取值范围. 分析:集合 N 是关于 x 的方程 ax=1 的解集,集合 M={x|x>2}≠ ? ,由于 N M,则 N= ? 或 N≠ ? , 要对集合 N 是否为空集分类讨论. 解:由题意得 M={x|x>2}≠ ? ,则 N= ? 或 N≠ ? . 当 N= ? 时,关于 x 的方程 ax=1 中无解,则有 a=0;

1 1 1 ,又∵N M,∴ ∈M.∴ >2. a a a 1 1 1 ∴0<a< .综上所得,实数 a 的取值范围是 a=0 或 0<a< ,即实数 a 的取值范围是{a|0≤a< } 2 2 2
当 N≠ ? 时,关于 x 的方程 ax=1 中有解,则 a≠0,此时 x= (四) 空集的概念 不含有任何元素的集合称为空集(empty set) ,记作: ? 规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 (五) 集合包含关系的结论: 1 反身性: A ? A 2 传递性: A ? B ,且 B ? C ,则 A ? C ○ ○ (六) 例题 1、 写出集合{a,b}的所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集。 2、 化简集合 A={x|x-3>2},B={x|x ? 5},并表示 A、B 的关系; 3、(1)分别写出下列集合的子集及其个数: ? ,{a},{a,b},{a,b,c}. (2)由(1)你发现集合 M 中含有 n 个元素,则集合 M 有多少个子集? 活动:学生思考子集的含义,并试着写出子集.(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集;(2) 由(1)总结当 n=0,n=1,n=2,n=3 时子集的个数规律,归纳猜想出结论. 答案:(1) ? 的子集有: ? ,即?有 1 个子集; {a}的子集有: ? 、{a},即{a}有 2 个子集; {a,b}的子集有: ? 、{a}、{b}、{a,b},即{a,b}有 4 个子集; {a,b,c}的子集有: ? 、{a}、{b}、{c}、{a,b}、{a,c}、{b,c}、{a,b,c},即{a,b,c}有 8 个子集. (2)由(1)可得:当 n=0 时,有 1=20 个子集;

当 n=1 时,集合 M 有 2=21 个子集; 当 n=2 时,集合 M 有 4=22 个子集; 当 n=3 时,集合 M 有 8=23 个子集; 因此含有 n 个元素的集合 M 有 2n 个子集,2n -1 个真子集,2n -1 个非空子集,2n -2 个非空 真子集。 课堂练习 (七) 归纳小结,强化思想 本节课学习了: ①子集、真子集、空集、Venn 图等概念; ②能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集,进一步确定其是否是真子集; ③清楚两个集合包含关系的确定,主要靠其元素与集合关系来说明. 两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种,可类比两个实数间的大小关系,同 时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法; (八) 作业布置 1、 书面作业:习题 1.1 第 5 题 2、 提高作业:
1 已知集合 A ? {x | a ? x ? 5} , B ? {x | x ≥ 2} ,且满足 A ? B ,求实数 a 的取值范围。 ○ 2 设集合 A ? { ○ 四边形},B ? {平行四边形 },C ? {矩形},

D ? {正方形} ,试用 Venn 图表示它们之间的关系。
(九)板书设计(略)

(十)教学反思
本节教学设计注重引导学生通过类比来获得新知,在实际教学中, 要留给学生适当的思考时间,使学生自己通过类比得到正确结论.丰富学生的学习方式、 改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念,学生的数学学习活动不能仅限于对概 念、结论和技能的记忆、模仿和接受,独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成 为学生学习数学的重要方式.

备用例题:
1、集合 A={x|0≤x<3 且 x∈N}的真子集的个数是( C A.16 B.8 C.7 ) D.4

2、已知集合 A={x|1≤x≤3},B={x|(x-1)(x-a)=0},试判断集合 B 是不是集合 A 的子集?是否存 在实数 a 使 A=B 成立? 当 a=1 时,B={1},所以 B 是 A 的子集;当 1<a≤3 时,B 也是 A 的子集;当 a<1,或 a>3 时,B 不是 A 的子集.综上可知,当 1≤a≤3 时,B 是 A 的子集. 由于集合 B 最多只有两个元素,而集合 A 有无数个元素,故不存在实数 a,使 B=A. 3、已知集合 A={x∈R|x2-3x+4=0},B={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0},要使 A P ? B,求满足条件的 集合 P. 解:由 A={x∈R|x2-3x+4=0}= ? , B={x∈R|(x+1)(x2+3x-4)=0}={-1,1,-4}, 由 A ? P ? B 知集合 P 非空,且其元素全属于 B,即有满足条件的集合 P 为 {1}或{-1}或{-4}或{-1,1}或{-1,-4}或{1,-4}或{-1,1,-4}. 4.集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}, (1)若 B ? A,求实数 m 的取值范围; (2)当 x∈Z 时,求 A 的非空真子集个数; (3)当 x∈R 时,没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)当 m+1>2m-1 即 m<2 时,B= ? 满足 B ? A. 当 m+1≤2m-1 即 m≥2 时,要使 B ? A 成立, 需?

?m ? 1 ? 2m ? 1, 可得 2≤m≤3.综上所得实数 m 的取值范围 m≤3. ?m ? 1 ? 5

(2)当 x∈Z 时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}, 所以,A 的非空真子集个数为 2 -2=254. (3)∵x∈R,且 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},又没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立. 则①若 B≠ ? 即 m+1>2m-1,得 m<2 时满足条件; ②若 B≠ ? ,则要满足条件有: ? 综上有 m<2 或 m>4.
8

?m ? 1 ? 2m ? 1, ?m ? 1 ? 2m ? 1, 或? 解之,得 m>4. ?m ? 1 ? 5 ?2m ? 1 ? ?2


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