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3.3.1函数的单调性与导数(1课时)导学案


高二下学期数学学案

选修 1-1

第三章

导数及其应用

课题: 单调性与导数 编号 1-1 3.3.1 主备人

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【学习目标】 :1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 【学习重点】 :利用导数符号判断一个函数在其定义区间内的单调性. 【学习过程】 : (预习教材 P89~ P93,找出疑惑之处) 复习 1:以前,我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数 x1, x2∈I, 且当 x1<x2 时, 都有= , 那么函数 f(x)就是区间 I 上的 数.
王新敞
奎屯 新疆



复习 2: C ' ?
(loga x)' ?

;( xn )' ? ; (e )' ?
x x

;(sin x) ' ? ; (a )' ? ;

;(cos x) ' ?

;(ln x) ' ?



【合作探究】 探究任务一:函数的导数与函数的单调性的关系: 问题:我们知道,曲线 y ? f ( x) 的切线的斜率就是函数 y ? f ( x) 的导数.从函数 y ? x 2 ? 4 x ? 3 的图像来观察其关系: y=f(x)=x2-4x+3 切线的斜率 f′(x) 在区间(2, ? ? )内,切线的斜率为 , 函数 y ? f ( x) 的值随着 x 的增大而 , (2,+∞) 即 y ? ? 0 时, 函数 y ? f ( x) 在区间 (2, ?? ) (-∞,2) 内为 函数; y 在区间( ? ? ,2)内,切线的斜率为 ,函数 y ? f ( x) 的值随着 x / f?x? = ?x2-4?x?+3 的增大而 ,即 ? 0 时,函数 y ? f ( x) 在区间( ,2)内为

y

??

函数. 新知:一般地,设函数 y ? f ( x) 在某个区间内有导数,如果在这个区 间内 y ? ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内的增函数;如果在这个 区间内 y ? ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内的减函数. 试试:判断下列函数的的单调性,并求出单调区间: (1) f ( x) ? x3 ? 3x ; (2) f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ; (3) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ) ; (4) f ( x) ? 2 x3 ? 3x2 ? 24 x ? 1.
B O
1 2 3

A

x

反思:用导数求函数单调区间的三个步骤: ①求函数 f(x)的导数 f ?( x) . ②令 f ?( x) ? 0 解不等式,得 x 的范围就是递增区间. ③令 f ?( x) ? 0 解不等式,得 x 的范围就是递减区间. 探究任务二:如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,那么函数 f ( x) 有什么特性?

1

高二下学期数学学案

选修 1-1

第三章

导数及其应用

典型例题 例 1 已知导函数的下列信息: 当 1 ? x ? 4 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 .试画出函数 f ( x) 图象的大致形状.

变式:函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,试画出导函数 f ?( x) 图象的大致形状.

例 2 如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象.

当堂检测 1.判断下列函数的的单调性,并求出单调区间: (1) f ( x) ? x2 ? 2 x ? 4 ; (2) f ( x) ? e x ? x ; (3) f ( x) ? 3x ? x3 ; (4) f ( x) ? x3 ? x2 ? x .

2.求证:函数 f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? 7 在 (0, 2) 内是减函数.

学习小结 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数 f(x)的定义域; ②求函数 f(x)的导数 f ?( x) . ? ③令 f ( x) ? 0 ,求出全部驻点; ④驻点把定义域分成几个区间,列表考查在这几个区间内 f ?( x) 的符号,由此确定 f ( x) 的单调 区间 注意:列表时,要注意将定义域的“断点”要单独作为一列考虑.
2


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